7.2.1 随机变量的分布与特征同步配套分层练习-2025-2026学年高二数学教材解读与拓展（沪教版2020选择性必修第二册）

第八章 成对数据的统计分析》同步配套分层练习-2024-2025学年高二数学教材解读与拓展（沪教版2020）选择性必修第二册 【解析版】 7.2.1 随机变量的分布与特征 【附录】相关考点 考点一 随机变量 我们总是假设样本空间是有限的；这时，以样本空间作为定义域的一个函数称为一个随机变量，即对样本空间中任意给定的元素，都有唯一的实数与之对应； 考点二 随机变量的分布 随机变量所有可能的取值以及相应的概率，称为随机变量的分布； （其中：；且） 考点三 随机变量的分布列的性质 随机变量的分布列的性质 （1）；（2） 随机变量的分布列的两个作用 （1）利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值. （2）随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率. 伯努利分布 只取两个值的随机变量称为伯努利型，其分布称为伯努利分布； 如：（其中：） 说明： 1、随机变量的特征：（1）可以用数值表示；（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值；（3）试验结果能一一列出； 【说明】（1）尽管随机变量的名字中用了“变量”这两个字，但实际上它是一个函数；随机变量的取值在随机现象发生前是随机的，且其取某一具体值这一事件的概率是该随机变量在该值上的分布； （2）随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量； （3）“三步法”判定离散型随机变量 ①明确随机试验的所有可能结果；②将随机试验的试验结果数量化；③确定实验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是。 ④随机变量的分布列的其他表示方法 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，我们称X取每一个的概率，为X的概率分布列，简称分布列． 离散型随机变量的分布列可以用表格表示： X … … 2、随机变量分布列的意义和作用 （1）随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础。 （2）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和。 3、等可能分布 当随机变量取所有值的概率均相等时，称它是等可能分布或均匀分布的； 如：（其中：） 4、伯努利分布 只取两个值的随机变量称为伯努利型，其分布称为伯努利分布； 如：（其中：） 【说明】（1）又名“0-1分布”； 对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”， 定义如果，则，那么X的分布列如表所示． X 0 1 我们称X服从两点分布或0－1分布． 【注意】（1）随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是． （2）伯努利分布的适用范围 ①研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律； ②研究某一随机事件是否发生的概率分布规律。 如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布来研究。 【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容； 1、某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为X，则“X=5”表示的试验结果 是（ ） A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标 C．前4次未击中目标 D．第4次击中目标 【答案】C； 【解析】击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数X=5，则说明前4次均未击中目标； 2、抛掷两枚骰子，所得点数之和为X，那么X=4表示的试验结果为（ ） A．一枚1点、一枚3点 B．两枚都是4点 C．两枚都是2点 D．一枚1点、一枚3点，或者两枚都是2点 【答案】D； 【解析】抛掷两枚骰子，所得点数之和记为X，则X=4表示的随机试验结果是一枚是1点，一枚是3点或者两枚都是2点； 3、甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局；用X表示甲的得分，则{X＝3} 表示（ ） A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局二次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 【答案】D； 【解析】因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分， 故{X＝3}表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次； 4、若随机变量X的分布列为： 则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[1，2] C．(1，2] D．(1，2) 【答案】C； 【解析】由随机变量X的分布列知，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，故当P(X<a)＝0.8时， 实数a的取值范围是(1，2]； 【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题； 5、有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是 【答案】0，1，2，3； 【解析】可能第一次就取到合格品，也可能取完次品后才取得合格品，所以X的所有可能取值为0，1，2，3. 6、已知随机变量X的分布规律为P(X＝i)＝(i＝1，2，3)，则P(X＝2)＝________. 【答案】； 【解析】由分布列的性质知＋＋＝1，所以，a＝3，所以，P(X＝2)＝＝； 7、袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是 （个） 【答案】9； 【解析】由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1，2，3，4，5中某个，故两次抽取球号码之和X的可能取值是2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个； 8、已知随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝(n＝1， 2， 3， …，10)，则实数a＝________. 【答案】； 【解析】依题意，P(X＝n)＝a， 由分布列的性质得P(X＝n)＝a＝＝1，解得a＝. 【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。 9、下面给出四个随机变量： ①某高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X是一个随机变量； ②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量； ③一天内见到数学老师的次数； ④一天内的温度η. 其中是离散型随机变量的为(　　) A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】C； 【解析】①是，因为1小时内经过该收费站的车辆可一一列出； ②不是，质点在直线y＝x上运动时的位置无法一一列出； ③是，一天内见到数学老师的次数可一一列出； ④不是，1天内的温度η是该天最低温度和最高温度这一范围内的任意实数，无法一一列出． 10、离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以“x”“y”(x，y∈N)代替，其表如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20 则P等于 【答案】0.35； 【解析】根据分布列的性质可知，随机变量的所有取值的概率和为1，得x＝2，y＝5； 故P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.35； 11、某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会． （1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率； （2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列． 【解析】（1）)4＝1＋3＝2＋2，所以P(A)＝＝. （2）X的可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列为： 【说明】离散型随机变量分布列的求解步骤 明取值 明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义 求概率 要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率 画表格 按规范要求形式写出分布列 做检验 利用分布列的性质检验分布列是否正确 12、为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期，月度滚动使用．第一阶梯：年用电量在2 160度以下(含2 160度)，执行第一档电价0.565 3元/度；第二阶梯：年用电量在2 161度到4 200度内(含4 200度)，超出2 160度的电量执行第二档电价0.615 3元/度；第三阶梯：年用电量在4 200度以上，超出4 200度的电量执行第三档电价0.865 3元/度． 某市的电力部门从本市的用户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下： 用户编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年用电量/度 1 000 1 260 1 400 1 824 2 180 2 423 2 815 3 325 4 411 4 600 （1）计算表中编号为10的用户该年应交的电费； （2）现要在这10户中任意选取4户，对其用电情况进行进一步分析，求取到第二阶梯的户数的分布列； 【解析】（1）因为第二档电价比第一档电价每度多0.05元， 第三档电价比第一档电价每度多0.3元， 编号为10的用户一年的用电量是4 600度， 所以该户该年应交电费4 600×0.565 3＋(4 200－2 160)×0.05＋(4 600－4 200)×0.3＝2 822.38(元)． （2）设取到第二阶梯的户数为X， 易知第二阶梯有4户，则X的所有可能取值为0，1，2，3，4. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， 故X的分布列为：； 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第八章 成对数据的统计分析》同步配套分层练习-2024-2025学年高二数学教材解读与拓展（沪教版2020）选择性必修第二册 【原卷版】 7.2.1 随机变量的分布与特征 【附录】相关考点 考点一 随机变量 我们总是假设样本空间是有限的；这时，以样本空间作为定义域的一个函数称为一个随机变量，即对样本空间中任意给定的元素，都有唯一的实数与之对应； 考点二 随机变量的分布 随机变量所有可能的取值以及相应的概率，称为随机变量的分布； （其中：；且） 考点三 随机变量的分布列的性质 随机变量的分布列的性质 （1）；（2） 随机变量的分布列的两个作用 （1）利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值. （2）随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率. 伯努利分布 只取两个值的随机变量称为伯努利型，其分布称为伯努利分布； 如：（其中：） 说明： 1、随机变量的特征：（1）可以用数值表示；（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值；（3）试验结果能一一列出； 【说明】（1）尽管随机变量的名字中用了“变量”这两个字，但实际上它是一个函数；随机变量的取值在随机现象发生前是随机的，且其取某一具体值这一事件的概率是该随机变量在该值上的分布； （2）随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量； （3）“三步法”判定离散型随机变量 ①明确随机试验的所有可能结果；②将随机试验的试验结果数量化；③确定实验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是。 ④随机变量的分布列的其他表示方法 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，我们称X取每一个的概率，为X的概率分布列，简称分布列． 离散型随机变量的分布列可以用表格表示： X … … 2、随机变量分布列的意义和作用 （1）随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础。 （2）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和。 3、等可能分布 当随机变量取所有值的概率均相等时，称它是等可能分布或均匀分布的； 如：（其中：） 4、伯努利分布 只取两个值的随机变量称为伯努利型，其分布称为伯努利分布； 如：（其中：） 【说明】（1）又名“0-1分布”； 对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”， 定义如果，则，那么X的分布列如表所示． X 0 1 我们称X服从两点分布或0－1分布． 【注意】（1）随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是． （2）伯努利分布的适用范围 ①研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律； ②研究某一随机事件是否发生的概率分布规律。 如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布来研究。 【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容； 1、某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为X，则“X=5”表示的试验结果 是（ ） A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标 C．前4次未击中目标 D．第4次击中目标 2、抛掷两枚骰子，所得点数之和为X，那么X=4表示的试验结果为（ ） A．一枚1点、一枚3点 B．两枚都是4点 C．两枚都是2点 D．一枚1点、一枚3点，或者两枚都是2点 3、甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局；用X表示甲的得分，则{X＝3} 表示（ ） A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局二次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 4、若随机变量X的分布列为： 则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[1，2] C．(1，2] D．(1，2) 【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题； 5、有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是 6、已知随机变量X的分布规律为P(X＝i)＝(i＝1，2，3)，则P(X＝2)＝________. 7、袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是 （个） 8、已知随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝(n＝1， 2， 3， …，10)，则实数a＝________. 【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。 9、下面给出四个随机变量： ①某高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X是一个随机变量； ②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量； ③一天内见到数学老师的次数； ④一天内的温度η. 其中是离散型随机变量的为(　　) A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 10、离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以“x”“y”(x，y∈N)代替，其表如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20 则P等于 11、某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会． （1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率； （2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列． 12、为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期，月度滚动使用．第一阶梯：年用电量在2 160度以下(含2 160度)，执行第一档电价0.565 3元/度；第二阶梯：年用电量在2 161度到4 200度内(含4 200度)，超出2 160度的电量执行第二档电价0.615 3元/度；第三阶梯：年用电量在4 200度以上，超出4 200度的电量执行第三档电价0.865 3元/度． 某市的电力部门从本市的用户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下： 用户编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年用电量/度 1 000 1 260 1 400 1 824 2 180 2 423 2 815 3 325 4 411 4 600 （1）计算表中编号为10的用户该年应交的电费； （2）现要在这10户中任意选取4户，对其用电情况进行进一步分析，求取到第二阶梯的户数的分布列； 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$