第17讲 转化单位“1”（二）-六年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第17讲 转化单位“1”（二） 六年级数学思维拓展精编 专题概述 对于较为复杂的分数应用题，我们需要找出题目中不变的量，将其作为单位"1"。根据已知的条件，寻找所求数量相当于单位"1"的几分之几，再列式子，进行解答。有些题目中的单位"1"不一定很明显，这时，我们不妨转换一下思路，例如进行倒推，或转换问题，再进行解答，就会得到"柳暗花明又一村"的效果。 2 例题 思路点拨 思路点拨 例题 思路点拨 思路点拨 思路点拨 例题 思路点拨 思路点拨 例题 思路点拨 思路点拨 例题 思路点拨 例题 思路点拨 例题 思路点拨 例题 思路点拨 思路点拨 第17讲 转化单位“1”（二） 六年级数学思维拓展精编 【例1】某武术学校原有长鞭的根数，占长鞭、短鞭总数的 。后来又买进了20根长鞭，这时长鞭的根数占长鞭、短鞭总数的 。求这个武术学校现有长鞭、短鞭的总数是多少？ 解法一：对本题，我们要特别注意 与 这两个分数的单位"1"是不一样的。由于短鞭的根数没有发生变化，我们不妨把短鞭的根数看作单位"1"，先求出原来的长鞭根数占短鞭的 ，后来的长鞭根数是短鞭根数的 。所以，20根长鞭相当于短鞭的 ，从而求出短鞭的根数。再用短鞭的根数除以 就可以得出这个学校现有长鞭和短鞭的总数。即 解法二：我们可以把短鞭的根数看作单位"1"，则原来的总数是短鞭的 ，后来的总数是短鞭的 。所以 【例2】已知甲数比乙数多 ，求：乙数比甲数少几分之几？ 单位1不同，解法就不同： 解法一：我们把乙数看作1，则甲数为 ，求乙数比甲数少几分之几，只要把乙数比甲数少多少除以甲数即可得出结果。 解法二：我们把乙数看作1，则甲数为 ，先求出乙数是甲数的几分之几，再求乙数比甲数少几分之几。 解法三：因为甲数比乙数多 ，把乙数看作3份，则甲数为4份。 解法四：甲数比乙数多 ，那么乙数比甲数少 。 答：乙数比甲数少 。 【例3】某工厂中，甲车间的人数是乙车间的 ，如果从乙车间调8人到甲车间，则甲车间人数是乙车间的 。请你算一下：乙车间原有多少人？ 本题中，我们不能简单地认为8人的对应分率是 ，因为甲、乙两个车间的人数先后发生变化，与的标准量不同，所以不能相加减。读题可知，两个车间的总人数是不变量，因此我们要抓住这个不变的总量，把表示部分量之间的关系的分率转化为部分量占总量的几分之几。把两个车间的总人数看成单位"1"是解题关键。 因为"甲车间的人数是乙车间的 "，我们可以把甲车间人数看作2份，乙车间人数就是3份，那么甲车间人数占两个车间总人数的 。 因此，我们可以知道8人对应分率为 。那么，甲、乙两个车间的总人数为 乙车间原有的人数为 答：乙车间原有 108 人。 【例4】某大型超市进了一批高档水果，由四家分店销售，其中：甲店销售量是其他三家店销售总数的一半，乙店销售量是其他三家店总数的 ，丙店销售量是其他三家店总数的 ，丁店销售了 650 盒，问：甲、乙、丙三家店各销售了多少盒？ 解答本题的关键在于，求出了店销售 650 盒水果的对应分率。 但是，题目中出现的三个分数（、、）是针对不同标准量而说的，只有销售总量是固定的。因此，我们可以把四家店的销售总量看作单位"1"，那么： 甲店销售的是四家销售总量的 乙店销售的是四家销售总量的 丙店销售的是四家销售总量的 即可求出丁店销售的 650 盒水果占销售总量的几分之几了。 甲店： 乙店： 丙店： 【例5】甲、乙两个仓库共存放了750套家具，甲仓库运进，乙仓库运出，这时两个仓库共有家具710套。两个仓库现各有多少套家具？ 假设乙仓库也运进，那么甲、乙仓库应共有： 比实际多出： 乙仓库现有家具的套数： 甲仓库现有家具的套数： 答：甲仓库现有350套家具，乙仓库现有360套家具。 【例6】小丽有一包水果糖，其中奶糖占，爸爸又给她买了56块水果糖，奶糖就只占。问：这包水果糖原来一共有多少块？ 我们以奶糖数这个不变量作为单位"1"，很轻易就能解答出这道题。 开始，奶糖占 ，其他糖占奶糖的 ，加入水果糖后，奶糖占 ，其他糖占奶糖的 ，奶糖为 （块），原来糖的总数为 （块）。 答：这包水果糖原来一共有 34 块。 【例7】某年级原有学生240人，其中，女生占，后来又转来了几名女生，这样女生占总数的。问：转来了多少名女生？ 我们若用一般方法——从"女生人数"这方面来思考这道题，会感到十分困难。因此，我们不妨转换一下思路，采取逆向思维的方式，从"男生人数"这个方面寻找突破口。因为男生的人数始终没变，根据男生占总数的 ，后来又转来几名女生，则男生人数占总数的 。这样求出后来的总人数，再求出转来的女生人数。 解： 答：转来 10 名女生。 【例8】 有两只水桶，一共装了 44 千克水。如果从第一只水桶里倒出 ，第二只水桶里倒进 2.8 千克，则两只水桶内的水量相等。问：原来每只水桶各装了多少千克水？ 我们把第一只水桶的水看作单位"1"。当第一桶倒出 ，第二桶倒进 2.8 千克，两桶内的水量相等。即第二桶倒进 2.8 千克后，第二桶内的水相当于第一桶内水的 ，即 。44 千克加上 2.8 千克，相当于第一桶内所装水的 ，即 。用除法就能求出第一桶内的水量，再求出第二桶内原来的水量。 解：原来第一桶内的水量： 原来第二桶内的水量：44-26=18（千克） 答：原来第一只水桶装了26千克水，第二只水桶装了18千克水。 $$ 前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               转化单位“1”（二） 第17讲     专题概述 对于较为复杂的分数应用题，我们需要找出题目中不变的量，将其作为单位"1"。根据已知的条件，寻找所求数量相当于单位"1"的几分之几，再列式子，进行解答。有些题目中的单位"1"不一定很明显，这时，我们不妨转换一下思路，例如进行倒推，或转换问题，再进行解答，就会得到"柳暗花明又一村"的效果。 重点例题1、2 【例1】某武术学校原有长鞭的根数，占长鞭、短鞭总数的 。后来又买进了20根长鞭，这时长鞭的根数占长鞭、短鞭总数的 。求这个武术学校现有长鞭、短鞭的总数是多少？ 【思维点拨】解法一：对本题，我们要特别注意 与 这两个分数的单位"1"是不一样的。由于短鞭的根数没有发生变化，我们不妨把短鞭的根数看作单位"1"，先求出原来的长鞭根数占短鞭的 ，后来的长鞭根数是短鞭根数的 。所以，20根长鞭相当于短鞭的 ，从而求出短鞭的根数。再用短鞭的根数除以 就可以得出这个学校现有长鞭和短鞭的总数。即 解法二：我们可以把短鞭的根数看作单位"1"，则原来的总数是短鞭的 ，后来的总数是短鞭的 。所以 【例2】已知甲数比乙数多 ，求：乙数比甲数少几分之几？ 【思维点拨】单位1不同，解法就不同： 解法一：我们把乙数看作1，则甲数为 ，求乙数比甲数少几分之几，只要把乙数比甲数少多少除以甲数即可得出结果。 解法二：我们把乙数看作1，则甲数为 ，先求出乙数是甲数的几分之几，再求乙数比甲数少几分之几。 解法三：因为甲数比乙数多 ，把乙数看作3份，则甲数为4份。 解法四：甲数比乙数多 ，那么乙数比甲数少 。 答：乙数比甲数少 。 培优拔尖1 1.有一杯盐水，其中，盐占总质量的25%，再放入15克水后，盐只占总质量的20%。问：这杯盐水中含盐多少克？ 2.某艺术学校舞蹈班，上学期男生人数占班级学生人数的 ，这学期转来6名女生，男生人数就只占班级学生总人数的 。请问：这个舞蹈班现有女生多少人？ 重点例题3、4、5 【例3】某工厂中，甲车间的人数是乙车间的 ，如果从乙车间调8人到甲车间，则甲车间人数是乙车间的 。请你算一下：乙车间原有多少人？ 【思维点拨】本题中，我们不能简单地认为8人的对应分率是 ，因为甲、乙两个车间的人数先后发生变化，与的标准量不同，所以不能相加减。读题可知，两个车间的总人数是不变量，因此我们要抓住这个不变的总量，把表示部分量之间的关系的分率转化为部分量占总量的几分之几。把两个车间的总人数看成单位"1"是解题关键。 因为"甲车间的人数是乙车间的 "，我们可以把甲车间人数看作2份，乙车间人数就是3份，那么甲车间人数占两个车间总人数的 。 因为"甲车间人数是乙车间的 "，我们不妨把甲车间人数看成4份，乙车间就是5份，则甲车间人数占两个车间总人数的 。 因此，我们可以知道8人对应分率为 。那么，甲、乙两个车间的总人数为 乙车间原有的人数为 答：乙车间原有 108 人。 【例4】某大型超市进了一批高档水果，由四家分店销售，其中：甲店销售量是其他三家店销售总数的一半，乙店销售量是其他三家店总数的 ，丙店销售量是其他三家店总数的 ，丁店销售了 650 盒，问：甲、乙、丙三家店各销售了多少盒？ 【思维点拨】解答本题的关键在于，求出了店销售 650 盒水果的对应分率。 但是，题目中出现的三个分数（、、）是针对不同标准量而说的，只有销售总量是固定的。因此，我们可以把四家店的销售总量看作单位"1"，那么： 甲店销售的是四家销售总量的 乙店销售的是四家销售总量的 丙店销售的是四家销售总量的 即可求出丁店销售的 650 盒水果占销售总量的几分之几了。 甲店： 乙店： 丙店： 【例5】甲、乙两个仓库共存放了750套家具，甲仓库运进，乙仓库运出，这时两个仓库共有家具710套。两个仓库现各有多少套家具？ 【思维点拨】假设乙仓库也运进，那么甲、乙仓库应共有： 比实际多出： 乙仓库现有家具的套数： 甲仓库现有家具的套数： 答：甲仓库现有350套家具，乙仓库现有360套家具。 培优拔尖2 1.甲、乙、丙、丁四人向灾区捐款，其中甲的捐款是另外三人捐款总数的，乙的捐款是另外三人捐款总数的，丙的捐款是另外三人捐款总数的，丁捐款920元。求：四人一共捐款多少元？ 2.有甲、乙、丙三个数，其中甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙、丙三数的和是310。问：甲、乙、丙各是多少？ 3.有四个孩子，合租一只租金为60元的小船。第一个孩子付的钱数是其他孩子付钱总数的一半，第二个孩子付的钱数是其他孩子付钱总数的，第三个孩子付的钱数是其他孩子付钱总数的。请问：第四个孩子付了多少钱？ 重点例题6、7、8 【例6】小丽有一包水果糖，其中奶糖占，爸爸又给她买了56块水果糖，奶糖就只占。问：这包水果糖原来一共有多少块？ 【思维点拨】我们以奶糖数这个不变量作为单位"1"，很轻易就能解答出这道题。 开始，奶糖占 ，其他糖占奶糖的 ， 加入水果糖后，奶糖占 ，其他糖占奶糖的 ， 奶糖为 （块）， 原来糖的总数为 （块）。 答：这包水果糖原来一共有 34 块。 【例7】某年级原有学生240人，其中，女生占，后来又转来了几名女生，这样女生占总数的。问：转来了多少名女生？ 【思维点拨】我们若用一般方法——从"女生人数"这方面来思考这道题，会感到十分困难。因此，我们不妨转换一下思路，采取逆向思维的方式，从"男生人数"这个方面寻找突破口。因为男生的人数始终没变，根据男生占总数的 ，后来又转来几名女生，则男生人数占总数的 。 这样求出后来的总人数，再求出转来的女生人数。 解： 答：转来 10 名女生。 【例8】 有两只水桶，一共装了 44 千克水。如果从第一只水桶里倒出 ，第二只水桶里倒进 2.8 千克，则两只水桶内的水量相等。问：原来每只水桶各装了多少千克水？ 【思维点拨】我们把第一只水桶的水看作单位"1"。当第一桶倒出 ，第二桶倒进 2.8 千克，两桶内的水量相等。即第二桶倒进 2.8 千克后，第二桶内的水相当于第一桶内水的 ，即 。44 千克加上 2.8 千克，相当于第一桶内所装水的 ，即 。用除法就能求出第一桶内的水量，再求出第二桶内原来的水量。 解：原来第一桶内的水量： 原来第二桶内的水量： 44-26=18（千克） 答：原来第一只水桶装了26千克水，第二只水桶装了18千克水。 培优拔尖3 1.某农场养了白兔和黑兔共84只，如果白兔卖出 ，就会比黑兔多6只。问：白兔、黑兔原来各有多少只？ 2.某班有学生43人，的男生参加篮球比赛走了，剩下的男生比女生还多1人。问：该班男生、女生各有多少人？ 3.大兰和小兰一共要做83道数学题。大兰做了自己的 后就比小兰要做题少3道。问：大兰、小兰原来各要完成多少道数学题？ 第17讲 转化单位“1”（二）强化训练 1.有甲、乙、丙、丁四个数，已知甲是另外三数之和的 ，乙是另外三数之和的 ，丙是另外三数之和的 ，丁是130。求这四个数之和。 2.有甲、乙两个书库，原来甲书库是乙书库存储量的 ，如果从乙书库调10包图书到甲书库，此时甲是乙的 。问：原来两个书库分别有多少包图书？ 3.某校航模班，女生人数是总人数的 ，后来又来了2名女生，这样女生人数就占总人数的 。问：航模班原有多少人？ 学科网（北京）股份有限公司 $$前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思 维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀， 它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希 望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点， 总结出 4 点巧思，这 4 点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥 数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025 版」》，它基于教材知识 和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、 培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进 行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解 记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有 针对性的挑选强化练习，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练 习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的 对于较为复杂的分数应用题，我们需要找出题目中不变的量，将其作 为单位"1"。根据已知的条件，寻找所求数量相当于单位"1"的几分之 几，再列式子，进行解答。有些题目中的单位"1"不一定很明显，这 时，我们不妨转换一下思路，例如进行倒推，或转换问题，再进行解 答，就会得到"柳暗花明又一村"的效果。 【例 1】某武术学校原有长鞭的根数，占长鞭、短鞭总数的 3 8 。后 来又买进了 20根长鞭，这时长鞭的根数占长鞭、短鞭总数的 7 12 。 求这个武术学校现有长鞭、短鞭的总数是多少？ 【思维点拨】解法一：对本题，我们要特别注意 3 8 与 7 12 这两个 转化单位“1”（二）第 17讲 专题概述 重点例题 1、2 分数的单位"1"是不一样的。由于短鞭的根数没有发生变化，我们 不妨把短鞭的根数看作单位"1"，先求出原来的长鞭根数占短鞭的 3 8−3 ，后来的长鞭根数是短鞭根数的 7 12−7 。所以，20根长鞭相当于 短鞭的 ( 7 12−7− 3 8−3 )，从而求出短鞭的根数。再用短鞭的根数除以 (1− 7 12 ) 就可以得出这个学校现有长鞭和短鞭的总数。即 20 ÷ ( 12 12−7 − 8 8−3 ) ÷ (1− 7 12 ) = 60（根） 解法二：我们可以把短鞭的根数看作单位"1"，则原来的总数是短 鞭的 8 8−3 ，后来的总数是短鞭的 12 12−7 。所以 20 ÷ ( 12 12−7 − 8 8−3 ) ÷ (1− 7 12 ) = 60（根） 【例 2】已知甲数比乙数多 1 3 ，求：乙数比甲数少几分之几？ 【思维点拨】单位 1不同，解法就不同： 解法一：我们把乙数看作 1，则甲数为 (1 + 1 3 )，求乙数比甲数少 几分之几，只要把乙数比甲数少多少除以甲数即可得出结果。 1 3 ÷ (1 + 1 3 ) = 1 3 ÷ 1 = 1 3 × 1 4 解法二：我们把乙数看作 1，则甲数为 (1 + 1 3 )，先求出乙数是甲 数的几分之几，再求乙数比甲数少几分之几。 1−1 ÷ (1 + 1 3 ) = 1−1 ÷ 1 = 1 3 = 1− 3 4 = 1 4 解法三：因为甲数比乙数多 1 3 ，把乙数看作 3份，则甲数为 4份。 (4−3) ÷ 4 = 1 4 解法四：甲数比乙数多 b a ，那么乙数比甲数少 b a + b 。 1 3 + 1 = 1 4 答：乙数比甲数少 1 4 。 1.有一杯盐水，其中，盐占总质量的 25%，再放入 15克水后，盐只 占总质量的 20%。问：这杯盐水中含盐多少克？ 2.某艺术学校舞蹈班，上学期男生人数占班级学生人数的 7 13 ，这学 培优拔尖 1 期转来 6名女生，男生人数就只占班级学生总人数的 1 2 。请问：这个 舞蹈班现有女生多少人？ 【例 3】某工厂中，甲车间的人数是乙车间的 2 3 ，如果从乙车间调 8人到甲车间，则甲车间人数是乙车间的 4 5 。请你算一下：乙车间 原有多少人？ 【思维点拨】本题中，我们不能简单地认为 8人的对应分率是 ( 4 5 − 2 3 )，因为甲、乙两个车间的人数先后发生变化， 2 3 与 4 5 的标准量不同， 所以不能相加减。读题可知，两个车间的总人数是不变量，因此我 们要抓住这个不变的总量，把表示部分量之间的关系的分率转化为 部分量占总量的几分之几。把两个车间的总人数看成单位"1"是解 题关键。 因为"甲车间的人数是乙车间的 2 3 "，我们可以把甲车间人数看作 2 份，乙车间人数就是 3 份，那么甲车间人数占两个车间总人数的 2 2 + 3 。 因为"甲车间人数是乙车间的 4 5 "，我们不妨把甲车间人数看成4份， 乙车间就是 5份，则甲车间人数占两个车间总人数的 4 4 + 5 。 因此，我们可以知道 8人对应分率为 4 4 + 5 − 2 2 + 3 。那么，甲、乙两 重点例题 3、4、5 个车间的总人数为 8 ÷ 4 4 + 5 − 2 2 + 3 = 180(人) 乙车间原有的人数为 180 ÷ 1 + 2 3 = 108(人) 答：乙车间原有 108 人。 【例 4】某大型超市进了一批高档水果，由四家分店销售，其中： 甲店销售量是其他三家店销售总数的一半，乙店销售量是其他三家 店总数的 1 3 ，丙店销售量是其他三家店总数的 1 4 ，丁店销售了 650 盒，问：甲、乙、丙三家店各销售了多少盒？ 【思维点拨】解答本题的关键在于，求出了店销售 650 盒水果的 对应分率。 但是，题目中出现的三个分数（ 1 2 、 1 3 、 1 4 ）是针对不同标准量而说 的，只有销售总量是固定的。因此，我们可以把四家店的销售总量 看作单位"1"，那么： 甲店销售的是四家销售总量的 1 1 + 2 乙店销售的是四家销售总量的 1 1 + 3 丙店销售的是四家销售总量的 1 1 + 4 即可求出丁店销售的 650 盒水果占销售总量的几分之几了。 650 ÷ 1− 1 1 + 2 − 1 1 + 3 − 1 1 + 4 = 3000(盒) 甲店：3000 × 1 1 + 2 = 1000(盒) 乙店：3000 × 1 1 + 3 = 750(盒) 丙店：3000 × 1 1 + 4 = 600(盒) 【例 5】甲、乙两个仓库共存放了 750 套家具，甲仓库运进 1 6 ，乙 仓库运出 1 5 ，这时两个仓库共有家具 710 套。两个仓库现各有多少 套家具？ 【思维点拨】假设乙仓库也运进 1 6 ，那么甲、乙仓库应共有： 750 × 1 + 1 6 = 875(套) 比实际多出：875−710 = 165(套) 乙仓库现有家具的套数： 750 × 1 + 1 6 −710 ÷ 1 5 + 1 6 × 1− 1 5 = 360(套) 甲仓库现有家具的套数：710−360 = 350(套) 答：甲仓库现有 350套家具，乙仓库现有 360套家具。 1.甲、乙、丙、丁四人向灾区捐款，其中甲的捐款是另外三人捐款总 数的 1 3 ，乙的捐款是另外三人捐款总数的 1 4 ，丙的捐款是另外三人捐款 总数的 1 5 ，丁捐款 920元。求：四人一共捐款多少元？ 2.有甲、乙、丙三个数，其中甲数是乙数的 3 5 ，乙数是丙数的 2 3 ，甲、 乙、丙三数的和是 310。问：甲、乙、丙各是多少？ 3.有四个孩子，合租一只租金为 60元的小船。第一个孩子付的钱数 是其他孩子付钱总数的一半，第二个孩子付的钱数是其他孩子付钱总 数的 1 3 ，第三个孩子付的钱数是其他孩子付钱总数的 1 4 。请问：第四个 孩子付了多少钱？ 【例 6】小丽有一包水果糖，其中奶糖占 9 17 ，爸爸又给她买了 56块 水果糖，奶糖就只占 1 5 。问：这包水果糖原来一共有多少块？ 【思维点拨】我们以奶糖数这个不变量作为单位"1"，很轻易就能 解答出这道题。 培优拔尖 2 重点例题 6、7、8 开始，奶糖占 9 17 ，其他糖占奶糖的 17−9 9 = 8 9 ， 加入水果糖后，奶糖占 5 7 ，其他糖占奶糖的 5−1 1 ， 奶糖为 56 ÷ 5−1 1 − 17−9 9 = 18（块）， 原来糖的总数为 18 ÷ 9 17 = 34（块）。 56 ÷ 5−1 1 − 17−9 9 ÷ 9 17 = 56 ÷ 28 9 ÷ 9 17 = 56 × 9 28 × 17 9 = 34(块) 答：这包水果糖原来一共有 34 块。 【例 7】某年级原有学生 240 人，其中，女生占 7 12 ，后来又转来了 几名女生，这样女生占总数的 3 5 。问：转来了多少名女生？ 【思维点拨】我们若用一般方法——从"女生人数"这方面来思考这 道题，会感到十分困难。因此，我们不妨转换一下思路，采取逆向 思维的方式，从"男生人数"这个方面寻找突破口。因为男生的人数 始终没变，根据男生占总数的 5 12 ，后来又转来几名女生，则男生 人数占总数的 2 5 。 这样求出后来的总人数，再求出转来的女生人数。 解：240 × (1− 7 12 ) + (1− 3 5 ) = 250名 250−240 = 10名 答：转来 10 名女生。 【例 8】 有两只水桶，一共装了 44 千克水。如果从第一只水桶 里倒出 1 5 ，第二只水桶里倒进 2.8 千克，则两只水桶内的水量相 等。问：原来每只水桶各装了多少千克水？ 【思维点拨】我们把第一只水桶的水看作单位"1"。当第一桶倒出 1 5 ， 第二桶倒进 2.8 千克，两桶内的水量相等。即第二桶倒进 2.8 千 克后，第二桶内的水相当于第一桶内水的 (1− 1 5 )，即 4 5 。44 千克 加上 2.8 千克，相当于第一桶内所装水的 1 + (1− 1 5 )，即 4 5 。用 除法就能求出第一桶内的水量，再求出第二桶内原来的水量。 解：原来第一桶内的水量： (44 + 2.8) ÷ [1 + (1− 1 5 )] = 26千克 原来第二桶内的水量： 44-26=18（千克） 答：原来第一只水桶装了 26千克水，第二只水桶装了 18千克水。 培优拔尖 3 1.某农场养了白兔和黑兔共 84只，如果白兔卖出 1 3 ，就会比黑兔多 6 只。问：白兔、黑兔原来各有多少只？ 2.某班有学生 43人， 1 6 的男生参加篮球比赛走了，剩下的男生比女生 还多 1人。问：该班男生、女生各有多少人？ 3.大兰和小兰一共要做 83道数学题。大兰做了自己的 2 5 后就比小兰 要做题少 3道。问：大兰、小兰原来各要完成多少道数学题？ 第 17 讲 转化单位“1”（二）强化训练 1.有甲、乙、丙、丁四个数，已知甲是另外三数之和的 1 2 ，乙是 另外三数之和的 1 3 ，丙是另外三数之和的 1 4 ，丁是 130。求这四 个数之和。 2.有甲、乙两个书库，原来甲书库是乙书库存储量的 5 7 ，如果从 乙书库调 10包图书到甲书库，此时甲是乙的 4 5 。问：原来两个 书库分别有多少包图书？ 3.某校航模班，女生人数是总人数的 9 19 ，后来又来了 2 名女生， 这样女生人数就占总人数的 9 19 。问：航模班原有多少人？ 前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               转化单位“1”（二） 第17讲     专题概述 对于较为复杂的分数应用题，我们需要找出题目中不变的量，将其作为单位"1"。根据已知的条件，寻找所求数量相当于单位"1"的几分之几，再列式子，进行解答。有些题目中的单位"1"不一定很明显，这时，我们不妨转换一下思路，例如进行倒推，或转换问题，再进行解答，就会得到"柳暗花明又一村"的效果。 重点例题1、2 【例1】某武术学校原有长鞭的根数，占长鞭、短鞭总数的 。后来又买进了20根长鞭，这时长鞭的根数占长鞭、短鞭总数的 。求这个武术学校现有长鞭、短鞭的总数是多少？ 【思维点拨】解法一：对本题，我们要特别注意 与 这两个分数的单位"1"是不一样的。由于短鞭的根数没有发生变化，我们不妨把短鞭的根数看作单位"1"，先求出原来的长鞭根数占短鞭的 ，后来的长鞭根数是短鞭根数的 。所以，20根长鞭相当于短鞭的 ，从而求出短鞭的根数。再用短鞭的根数除以 就可以得出这个学校现有长鞭和短鞭的总数。即 解法二：我们可以把短鞭的根数看作单位"1"，则原来的总数是短鞭的 ，后来的总数是短鞭的 。所以 【例2】已知甲数比乙数多 ，求：乙数比甲数少几分之几？ 【思维点拨】单位1不同，解法就不同： 解法一：我们把乙数看作1，则甲数为 ，求乙数比甲数少几分之几，只要把乙数比甲数少多少除以甲数即可得出结果。 解法二：我们把乙数看作1，则甲数为 ，先求出乙数是甲数的几分之几，再求乙数比甲数少几分之几。 解法三：因为甲数比乙数多 ，把乙数看作3份，则甲数为4份。 解法四：甲数比乙数多 ，那么乙数比甲数少 。 答：乙数比甲数少 。 培优拔尖1 1.有一杯盐水，其中，盐占总质量的25%，再放入15克水后，盐只占总质量的20%。问：这杯盐水中含盐多少克？ 【答案】 15克 【分析】 15克水相当于盐的 ， 盐水含盐 （克）。 2. 某艺术学校舞蹈班，上学期男生人数占班级学生人数的 ，这学期转来6名女生，男生人数就只占班级学生总人数的 。请问：这个舞蹈班现有女生多少人？ 【答案】 42人 【分析】 男生人数不变，原来学生总人数是男生人数的 倍，增加6名女生后学生总数是男生人数的2倍，6名女生是男生人数的 ，现有女生 （人）。 重点例题3、4、5 【例3】某工厂中，甲车间的人数是乙车间的 ，如果从乙车间调8人到甲车间，则甲车间人数是乙车间的 。请你算一下：乙车间原有多少人？ 【思维点拨】本题中，我们不能简单地认为8人的对应分率是 ，因为甲、乙两个车间的人数先后发生变化，与的标准量不同，所以不能相加减。读题可知，两个车间的总人数是不变量，因此我们要抓住这个不变的总量，把表示部分量之间的关系的分率转化为部分量占总量的几分之几。把两个车间的总人数看成单位"1"是解题关键。 因为"甲车间的人数是乙车间的 "，我们可以把甲车间人数看作2份，乙车间人数就是3份，那么甲车间人数占两个车间总人数的 。 因为"甲车间人数是乙车间的 "，我们不妨把甲车间人数看成4份，乙车间就是5份，则甲车间人数占两个车间总人数的 。 因此，我们可以知道8人对应分率为 。那么，甲、乙两个车间的总人数为 乙车间原有的人数为 答：乙车间原有 108 人。 【例4】某大型超市进了一批高档水果，由四家分店销售，其中：甲店销售量是其他三家店销售总数的一半，乙店销售量是其他三家店总数的 ，丙店销售量是其他三家店总数的 ，丁店销售了 650 盒，问：甲、乙、丙三家店各销售了多少盒？ 【思维点拨】解答本题的关键在于，求出了店销售 650 盒水果的对应分率。 但是，题目中出现的三个分数（、、）是针对不同标准量而说的，只有销售总量是固定的。因此，我们可以把四家店的销售总量看作单位"1"，那么： 甲店销售的是四家销售总量的 乙店销售的是四家销售总量的 丙店销售的是四家销售总量的 即可求出丁店销售的 650 盒水果占销售总量的几分之几了。 甲店： 乙店： 丙店： 【例5】甲、乙两个仓库共存放了750套家具，甲仓库运进，乙仓库运出，这时两个仓库共有家具710套。两个仓库现各有多少套家具？ 【思维点拨】假设乙仓库也运进，那么甲、乙仓库应共有： 比实际多出： 乙仓库现有家具的套数： 甲仓库现有家具的套数： 答：甲仓库现有350套家具，乙仓库现有360套家具。 培优拔尖2 1.甲、乙、丙、丁四人向灾区捐款，其中甲的捐款是另外三人捐款总数的，乙的捐款是另外三人捐款总数的，丙的捐款是另外三人捐款总数的，丁捐款920元。求：四人一共捐款多少元？ 【答案】 2400元 【分析】 （元） 2.有甲、乙、丙三个数，其中甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙、丙三数的和是310。问：甲、乙、丙各是多少？ 【答案】 甲数是60，乙数是100，丙数是150。 【分析】 丙数： 乙数： 甲数： 3. 有四个孩子，合租一只租金为60元的小船。第一个孩子付的钱数是其他孩子付钱总数的一半，第二个孩子付的钱数是其他孩子付钱总数的，第三个孩子付的钱数是其他孩子付钱总数的。请问：第四个孩子付了多少钱？ 【答案】 13元 【分析】 （元） 重点例题6、7、8 【例6】小丽有一包水果糖，其中奶糖占，爸爸又给她买了56块水果糖，奶糖就只占。问：这包水果糖原来一共有多少块？ 【思维点拨】我们以奶糖数这个不变量作为单位"1"，很轻易就能解答出这道题。 开始，奶糖占 ，其他糖占奶糖的 ， 加入水果糖后，奶糖占 ，其他糖占奶糖的 ， 奶糖为 （块）， 原来糖的总数为 （块）。 答：这包水果糖原来一共有 34 块。 【例7】某年级原有学生240人，其中，女生占，后来又转来了几名女生，这样女生占总数的。问：转来了多少名女生？ 【思维点拨】我们若用一般方法——从"女生人数"这方面来思考这道题，会感到十分困难。因此，我们不妨转换一下思路，采取逆向思维的方式，从"男生人数"这个方面寻找突破口。因为男生的人数始终没变，根据男生占总数的 ，后来又转来几名女生，则男生人数占总数的 。 这样求出后来的总人数，再求出转来的女生人数。 解： 答：转来 10 名女生。 【例8】 有两只水桶，一共装了 44 千克水。如果从第一只水桶里倒出 ，第二只水桶里倒进 2.8 千克，则两只水桶内的水量相等。问：原来每只水桶各装了多少千克水？ 【思维点拨】我们把第一只水桶的水看作单位"1"。当第一桶倒出 ，第二桶倒进 2.8 千克，两桶内的水量相等。即第二桶倒进 2.8 千克后，第二桶内的水相当于第一桶内水的 ，即 。44 千克加上 2.8 千克，相当于第一桶内所装水的 ，即 。用除法就能求出第一桶内的水量，再求出第二桶内原来的水量。 解：原来第一桶内的水量： 原来第二桶内的水量： 44-26=18（千克） 答：原来第一只水桶装了26千克水，第二只水桶装了18千克水。 培优拔尖3 1.某农场养了白兔和黑兔共84只，如果白兔卖出 ，就会比黑兔多6只。问：白兔、黑兔原来各有多少只？ 【答案】 白兔54只，黑兔30只。 【分析】 白兔：（只） 黑兔：（只） 2.某班有学生43人，的男生参加篮球比赛走了，剩下的男生比女生还多1人。问：该班男生、女生各有多少人？ 【答案】 男生24人，女生19人。 【分析】 （略） 3.大兰和小兰一共要做83道数学题。大兰做了自己的 后就比小兰要做题少3道。问：大兰、小兰原来各要完成多少道数学题？ 【答案】 大兰50道，小兰33道。 【分析】 大兰：（道） 小兰：（道） 第17讲 转化单位“1”（二）强化训练 1.有甲、乙、丙、丁四个数，已知甲是另外三数之和的 ，乙是另外三数之和的 ，丙是另外三数之和的 ，丁是130。求这四个数之和。 【答案】 600 【分析】 本题须统一单位"1"。"甲是另外三数之和的 "，可看出"甲是四个数之和的 "。同理，"乙是四个数之和的 "，"丙是四个数之和的 "，"丁是四个数之和的 "。 已知丁是130，那么四个数之和： 2.有甲、乙两个书库，原来甲书库是乙书库存储量的 ，如果从乙书库调10包图书到甲书库，此时甲是乙的 。问：原来两个书库分别有多少包图书？ 【答案】 甲150包，乙210包。 【分析】 甲、乙两书库的存储总量没有发生变化，所以我们把它作为单位"1"。"原来甲书库是乙书库存储量的 "，改成"甲书库是总存储量的 "，同理，"此时甲是乙的 "，改成"此时甲是总存储量的 "，二者相差的分享 对应着10包图书。由此即可求出两个书库的库存总量。 甲乙总量：（包） 甲：（包） 乙：（包） 3.某校航模班，女生人数是总人数的 ，后来又来了2名女生，这样女生人数就占总人数的 。问：航模班原有多少人？ 【答案】 36人 【分析】 男生人数占原来总人数的 ， 占后来总人数的 ，即原来总人数是男生的 ，后来总人数是男生的 ，比原来总人数多的人数是男生的 ，正好对应着2人。求出男生的人数，就可以求出航模班的总人数了。 航模班的总人数： （人）。 学科网（北京）股份有限公司 $$