专题03 函数（5题型）（广西专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题03 函数 题型概览 题型01一次函数的应用 题型02二次函数的应用 题型03反比例函数的应用 题型04一次函数与反比例函数的综合应用 题型05一次函数与二次函数的综合应用 一次函数的应用题型01 1．（2025·广西贵港·一模）小林在学习了摩擦力的相关知识后，在斜面上拉动木块进行实验．如图用弹簧测力计拉着重为的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动．经测算，在弹性范围内，弹簧测力计的读数F（N）是装置高度h（m）的一次函数．当时，F为；当时，F为．当弹簧测力计读数达到最大量程时，此时装置高度h为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广西玉林·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在x轴正半轴上，顶点A在直线上，若点A的横坐标是，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·广西来宾·一模）全世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但美国等个别国家采用华氏温标，小明同学通过查阅资料，得到了相关数据，如下表： 摄氏温度值/℃ 0 10 20 30 40 50 华氏温度值/℉ 32 50 68 86 104 122 小军看到小明表格中的数据后，认为相应的值一直大于值，小明不认同这个观点，并运用所学数学知识计算得出，当的取值范围是 时，值小于值． 4．（2025·广西梧州·一模）如图，客车、货车分别从A、B两地同时出发，向C地匀速行驶，客车的速度是，货车的速度是，客车比货车早30分钟到达C地．客车和货车离A地的距离与行驶时间的关系如图． (1)求A、C两地相距的路程． (2)求m，n的值． 5．（2025·广西钦州·一模）综合与实践 现有三个款式的杯子，它们的高度不同．数学兴趣小组对杯子叠放的总高度与杯子数量之间的数学问题开展研究． 【实践操作】 （1）把A款杯子按如图①所示的方式整齐地叠放成一摞，6只杯子叠放的总高度为，已知一只A款杯子的高度为，且叠放总高度与杯子数量的函数解析式为，请求出的值； （2）把A款杯子按如图②所示的方式整齐地叠放成一摞，7只杯子叠放的总高度为，已知一只B款杯子的高度为，请求出叠放总高度与杯子数量的函数解析式； （3）把C款杯子按如图③所示的方式整齐地叠放成两摞，3只杯子叠放的总高度为，8只杯子叠放的总高度为，请直接写出叠放总高度与杯子数量的函数解析式； 【知识运用】 （4）已知杯子摆放区的高度为，若把款杯子叠放成一摞放入杯子摆放区，请问一摞最多能叠放多少只杯子？ 6．（2025·广西桂林·一模）为迎接暑期旅游旺季的到来，某景区商店计划采购一批太阳帽和太阳伞进行售卖，以便游客购买．已知采购4顶太阳帽和3把太阳伞共需要100元，采购6顶太阳帽和4把太阳伞共需要140元． (1)求每顶太阳帽和每把太阳伞的进价． (2)若该景区商店将太阳帽的售价定为15元/顶，太阳伞的售价定为30元/把，计划购进太阳帽和太阳伞共600顶（把），且购进太阳帽的数量不少于太阳伞数量的2倍，则该景区商店如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？ 7．（2025·广西·一模）在生物实验室，科研人员对一种生物标本进行真空冷却实验，探索低温环境对标本细胞活性的影响．标本初始温度为，在真空冷却过程中，温度（单位：）与冷却时间（单位：分钟）满足一次函数关系：前8分钟，温度每分钟下降；8分钟后，调整冷却设备，温度每分钟下降．同时，标本的细胞活性与温度也满足一次函数关系，且当时，；当时，． 根据以上信息，回答下列问题： (1)求在不同阶段标本温度关于冷却时间的函数解析式； (2)当细胞活性降至时，求标本冷却时间． 8．（2025·广西河池·一模）综合与实践 【问题背景】某校为在操场举办“辞旧迎新”活动，采购了一批彩色的塑料凳子，如图，该塑料凳子高为，若将其叠放在一起，每增加一张，高度就会增加，老师给数学兴趣小组布置了以下任务． 【问题解决】任务1：若该校购买了n张凳子，将其全部叠放在一起，求叠放高度h（单位：）与凳子张数n的表达式； 任务2：现有甲、乙两种包装纸箱，其长宽与凳子的长宽正好相等，其中甲纸箱的高度为，乙纸箱的高度为，每个纸箱的上下底都要装上厚的泡沫，求甲、乙每个纸箱最多能装下多少张凳子； 任务3：已知甲、乙纸箱的单价分别为5元/个和3元/个，该校要采购1200张凳子，计划用甲、乙两种纸箱共90个来包装，如何选用甲、乙两种纸箱，使得支出的包装费用最少？最少是多少？ 二次函数的应用题型02 1．（2025·广西河池·一模）剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美．如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A，B，C，D四点落在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广西南宁·一模）二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广西崇左·一模）将函数的图象平移后得到函数的图象，平移方式正确的是（    ） A．向右平移3个单位，再向上平移2个单位 B．向右平移3个单位，再向下平移2个单位 C．向左平移3个单位，再向上平移2个单位 D．向左平移3个单位，再向下平移2个单位 4．（2025·广西来宾·一模）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广西钦州·一模）如图，抛物线与轴交于两点，的直角顶点在抛物线对称轴上，为线段上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·广西河池·一模）根据以下素材，探索完成任务． 材料 如图，某经济开发区计划在道路上方搭建一座抛物线桥拱形彩虹桥，已知道路的宽为（路内侧两边各有宽的绿化带，其余路面正常通行），桥面最高处与路面的距离为． 任务1 以所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求该抛物线形彩虹桥的解析式． 任务2 按计划在该彩虹桥下方需对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路的正常通行，求支撑柱的最小高度． 任务3 若在该彩虹桥下方有一个限高的横杆，现要在横杆上方悬挂一个宽、高的横幅，在不超出桥面的情况下，横幅能否按计划悬挂（不考虑横杆的宽度）？请通过计算说明． 7．（2025·广西防城港·一模）小明利用电脑软件模拟弹力球的抛物运动．如图，弹力球从x轴上的点A处抛出，其经过的路径是抛物线L：的一部分，并在点B处达到最高点，落到x轴上的点C处时弹起，向右继续沿抛物线G运动．已知抛物线G与抛物线L的形状相同，且其达到的最大高度为1个单位长度． (1)直接写出点C的坐标． (2)求抛物线G的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）． (3)在x轴上有一个矩形接球筐，其中，点N位于点处，弹力球只可通过矩形接球筐的边落入框内．为使弹力球落入接球筐内（落在点M，N上也视为落在筐内），需将接球筐沿x轴向左移动b个单位长度，求出b的取值范围．（结果保留根号） 8．（2025·广西桂林·一模）小明利用电脑软件模拟弹力球的抛物运动．如图，弹力球从x轴上的点A处抛出，其经过的路径是抛物线的一部分，并在点B处达到最高点，落到x轴上的点C处时弹起，向右继续沿抛物线G运动．已知抛物线G与抛物线L的形状相同，且其达到的最大高度为1个单位长度． (1)直接写出点C的坐标． (2)求抛物线G的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）． (3)在x轴上有一个矩形接球筐，其中，点N位于点处，弹力球只可通过矩形接球筐的边落入框内．为使弹力球落入接球筐内（落在点M，N上也视为落在筐内），需将接球筐沿x轴向左移动b个单位长度，求出b的取值范围．（结果保留根号） 9．（2025·广西贵港·一模）已知抛物线：，若点和在抛物线上，且，． (1)求A，B两点的坐标； (2)将拋物线平移得到抛物线：．当时，抛物线的函数最大值为p，最小值为q，若，求k的值． 反比例函数的应用题型03 1．（2025·广西梧州·一模）已知某蓄电池的电压（单位：）为定值，使用该蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该蓄电池的电压为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广西梧州·一模）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（   ）． A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 3．（2025·广西贵港·一模）已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A． B． C． D．2 4．（2025·广西崇左·一模）点，，均在的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广西来宾·一模）反比例函数的图象一定经过（    ） A．一二象限 B．一三象限 C．二三象限 D．二四象限 6．（2025·广西·一模）若点，是反比例函数图象上的两点，下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 7．（2025·广西玉林·一模）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（k为常数，）．若某乐器的弦长l为米，振动频率f为200赫兹，则k的值为 ． 8．（2025·广西柳州·一模）如图所示，A为反比例函数图象上一点，垂直轴，垂足为点，若，则的值为 ． 9．（2025·广西河池·一模）广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进人·3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？ 10．（2025·广西贵港·一模）【综合实践】如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A． 10 20 30 40 50 … … 10 a b … (1)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的重力变化时，的长度随之变化．设重物B的重力为，的长度为．则： ①y关于x的函数解析式是 ； ②完成表格： ， ； ③在如图的直角坐标系中画出该函数的图象： (2)在（1）的条件下，若点O的坐标为，点M的坐标为，在（1）中所求函数的图象上存在点N，使得，求点N的坐标． 一次函数与反比例函数的综合应用题型04 1．（2025·广西桂林·一模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，将正比例函数的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，连接，则四边形的面积为（   ） A．5 B． C． D．3 2．（2025·广西南宁·一模）已知点在双曲线上，点在直线上且，两点关于轴对称，设点的坐标为，则的值是 ． 3．（2025·广西柳州·一模）如图，直线（，为常数，）与双曲线（为常数且）相交于，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)连接、，求的面积． 一次函数与二次函数的综合应用题型05 1．（2025·广西南宁·一模）某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图所示：种植果树的利润（万元）与投资量（万元）成二次函数关系，如图所示如果这位专业户投入种植茶树及果树资金共万元，则他能获取的最大总利润是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广西梧州·一模）如图，A、B为一次函数的图象与二次函数的图象的交点，点A在y轴上，点B的横坐标为5．P为二次函数的图象上的动点，且位于直线的下方． (1)求点A的坐标； (2)求二次函数的表达式； (3)过P作轴于点M，交直线于点N，设点M的横坐标为m，当时，求m的值． 1．（2025·广西柳州·一模）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A是函数（，k是不等于0的常数）图象上的一点，的延长线交函数的图象于点C，点A关于y轴的对称点为，点C关于x轴的对称点为、关于原点的对称点是，连接，交x轴于点B，连接，，．若的面积等于2，则四边形的面积等于（    ） A．7 B．8 C．3 D．4 2．（2025·广西贵港·一模）如图，抛物线：，抛物线交轴于点、（点在点的右侧），交轴于点，抛物线与抛物线关于原点成中心对称． (1)求抛物线的函数表达式和直线对应的函数表达式： (2)点是第一象限内抛物线的一个动点，连接、，与相交于点． ①作轴，垂足为，当时，求点的的横坐标； ②请求出的最大值． 3．（2025·广西玉林·一模）如图1，在矩形中，，，点P从点A出发向点B运动，同时点Q从点B出发向点C运动，且点Q的速度是点P的两倍．的面积为S，求： (1)点P的速度为，后的面积S是多少？ (2)若P、Q运动过程中，S与时间t的关系如图2所示，求点P的速度． (3)在（2）的条件下，求出当t为何值时S取最大值，最大值是多少？ 4．（2025·广西玉林·一模）小明家有一栋附带小庭院的楼房，为提高居住的舒适度，他在楼房的窗子上方安装一个圆弧形遮阳棚（如图1所示）．图2是安装遮阳棚一侧的院子的俯视图，设房子墙壁与院墙分别为、，这两面墙间距米，经观测，太阳光线常从院墙方向照进院子中，房子墙壁下方紧挨着矩形花圃（花圃高度忽略不计），花圃的另一边紧贴着左侧院墙，米．图3是院子的左视图，已知弧所在的圆的圆心O恰好在墙壁上，测得遮阳棚的顶部到地面的距离，外边缘B到墙壁的距离，．在太阳光的照射下，遮阳棚对面院墙落在地面上的影子是，． (1)根据以上数据求圆心O到地面的距离； (2)小明说：“当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧的半径．”，你认为他的说法正确吗？请说明理由． (3)如图4，从某一时刻开始，过点G的太阳光线正好落在花圃边沿H处，随着时间的推移，光线逐渐向左移动．假设太阳光线可照射在花圃上的宽度为l米，影长为n米（），试判断l与n有什么关系？并说明理由． (4)在（3）的条件下，若要求太阳光线照在花圃上的宽度不得小于米，则n的取值范围是多少？ 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数 题型概览 题型01一次函数的应用 题型02二次函数的应用 题型03反比例函数的应用 题型04一次函数与反比例函数的综合应用 题型05一次函数与二次函数的综合应用 一次函数的应用题型01 1．（2025·广西贵港·一模）小林在学习了摩擦力的相关知识后，在斜面上拉动木块进行实验．如图用弹簧测力计拉着重为的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动．经测算，在弹性范围内，弹簧测力计的读数F（N）是装置高度h（m）的一次函数．当时，F为；当时，F为．当弹簧测力计读数达到最大量程时，此时装置高度h为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用、求一次函数解析式，利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．设一次函数为，根据题意代入和，得出一次函数的解析式，再利用一次函数的性质即可求解． 【详解】解：设一次函数为， 代入和得，， 解得：， 一次函数为， 当时，， 解得：． 故选：A． 2．（2025·广西玉林·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在x轴正半轴上，顶点A在直线上，若点A的横坐标是，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到轴，最后由平移即可求解． 【详解】解：∵顶点A在直线上，点A的横坐标是， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴轴， ∴将点A向右平移10个单位得到点C， ∴点， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（2025·广西来宾·一模）全世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但美国等个别国家采用华氏温标，小明同学通过查阅资料，得到了相关数据，如下表： 摄氏温度值/℃ 0 10 20 30 40 50 华氏温度值/℉ 32 50 68 86 104 122 小军看到小明表格中的数据后，认为相应的值一直大于值，小明不认同这个观点，并运用所学数学知识计算得出，当的取值范围是 时，值小于值． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数关系的判断、待定系数法求一次函数的解析式的运用和解不等式，由函数值求自变量的值的运用，求出函数的解析式是解题的关键． 根据表格中的数据，判断与的函数关系是一次函数，设函数解析式，再根据表格中的数据，求出函数解析式，结合题意得到不等式，求解即可． 【详解】解：由表格可知，每增加，就增加，则两种温标计量值的对应关系是一次函数， 设华氏温度与摄氏温度之间的函数关系式为， 由表中的数据，得， 解得， ， ∵值小于值 ∴，解得， 故答案为：． 4．（2025·广西梧州·一模）如图，客车、货车分别从A、B两地同时出发，向C地匀速行驶，客车的速度是，货车的速度是，客车比货车早30分钟到达C地．客车和货车离A地的距离与行驶时间的关系如图． (1)求A、C两地相距的路程． (2)求m，n的值． 【答案】(1)A、C两地相距的路程是320km (2)， 【分析】本题考查了从函数图像获取信息，一元一次方程的应用，一次函数得应用，数形结合是解答本题的关键． （1）设A、C两地相距的路程为，根据客车比货车早30分钟到达C地列方程求解即可； （2）先根据图象得出函数解析式，然后联立求解即可． 【详解】（1）解：设A、C两地相距的路程为． 依题意得：， 解得：． 答：A、C两地相距的路程是320km． （2）解：依题意，得客车离A地的距离与行驶时间的函数关系式为：． 货车离A地的距离与行驶时间的函数关系式为： 联立， 解得 ，． 5．（2025·广西钦州·一模）综合与实践 现有三个款式的杯子，它们的高度不同．数学兴趣小组对杯子叠放的总高度与杯子数量之间的数学问题开展研究． 【实践操作】 （1）把A款杯子按如图①所示的方式整齐地叠放成一摞，6只杯子叠放的总高度为，已知一只A款杯子的高度为，且叠放总高度与杯子数量的函数解析式为，请求出的值； （2）把A款杯子按如图②所示的方式整齐地叠放成一摞，7只杯子叠放的总高度为，已知一只B款杯子的高度为，请求出叠放总高度与杯子数量的函数解析式； （3）把C款杯子按如图③所示的方式整齐地叠放成两摞，3只杯子叠放的总高度为，8只杯子叠放的总高度为，请直接写出叠放总高度与杯子数量的函数解析式； 【知识运用】 （4）已知杯子摆放区的高度为，若把款杯子叠放成一摞放入杯子摆放区，请问一摞最多能叠放多少只杯子？ 【答案】（1）3；（2）；（3）；（4）最多能叠放17只杯子 【分析】本题考查了一次函数实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）把时，代入即可求解； （2）运用待定系数法求解； （3）运用待定系数法求解； （4）由题意得，解不等式即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 解得： （2）解：设叠放总高度与杯子数量的函数解析式为， 当时，，时，， ∴， 解得：， ∴叠放总高度与杯子数量的函数解析式为； （3）解：设叠放总高度与杯子数量的函数解析式为， 当；， ∴， 解得：， ∴叠放总高度与杯子数量的函数解析式为； （4）解：由题意，， 解得：， ∴最多能叠放17只杯子． 6．（2025·广西桂林·一模）为迎接暑期旅游旺季的到来，某景区商店计划采购一批太阳帽和太阳伞进行售卖，以便游客购买．已知采购4顶太阳帽和3把太阳伞共需要100元，采购6顶太阳帽和4把太阳伞共需要140元． (1)求每顶太阳帽和每把太阳伞的进价． (2)若该景区商店将太阳帽的售价定为15元/顶，太阳伞的售价定为30元/把，计划购进太阳帽和太阳伞共600顶（把），且购进太阳帽的数量不少于太阳伞数量的2倍，则该景区商店如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每顶太阳帽的进价是10元，每把太阳伞的进价是20元． (2)购进400顶太阳帽，200把太阳伞，可使销售所获利润最大，最大利润为4000元． 【分析】本题考查了一次函数、二元一次方程组和一元一次不等式的应用，正确理解题意列出对应的方程，函数关系和不等式是解题的关键． （1）设每顶太阳帽的进价是x元，每把太阳伞的进价是y元，根据采购4顶太阳帽和3把太阳伞共需要100元，采购6顶太阳帽和4把太阳伞共需要140元建立二元一次方程组求解； （2）设购进m顶太阳帽，则购进太阳伞把，所获利润为w元，根据“总利润太阳帽的利润太阳伞的利润”建立函数，根据函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每顶太阳帽的进价是x元，每把太阳伞的进价是y元， 根据题意，得， 解得， 答：每顶太阳帽的进价是10元，每把太阳伞的进价是20元； （2）解：设购进m顶太阳帽，则购进太阳伞把，所获利润为w元， 购进太阳帽的数量不少于太阳伞数量的2倍， ， 解得， 根据题意，得， ， w随m的增大而减小， 当时，w取得最大值，最大值为， 此时， 答：购进400顶太阳帽，200把太阳伞，可使销售所获利润最大，最大利润为4000元． 7．（2025·广西·一模）在生物实验室，科研人员对一种生物标本进行真空冷却实验，探索低温环境对标本细胞活性的影响．标本初始温度为，在真空冷却过程中，温度（单位：）与冷却时间（单位：分钟）满足一次函数关系：前8分钟，温度每分钟下降；8分钟后，调整冷却设备，温度每分钟下降．同时，标本的细胞活性与温度也满足一次函数关系，且当时，；当时，． 根据以上信息，回答下列问题： (1)求在不同阶段标本温度关于冷却时间的函数解析式； (2)当细胞活性降至时，求标本冷却时间． 【答案】(1)标本温度关于冷却时间的函数解析式表示为 (2)当细胞活性降至时，标本冷却时间是分钟 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数解析式等知识点，审清题意、正确列出函数关系式成为解题的关键． （1）根据题意分和两种情况列出函数解析式即可解答； （2）先运用待定系数法求得细胞活性与标本温度满足一次函数关系式；当时，可得，然后结合（1）即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得，当时，， 当时，， 当时，，即， 标本温度关于冷却时间的函数解析式表示为． （2）解：细胞活性与标本温度满足一次函数关系， 设， 将，；，代入得： ，解得：， ． 对于，当时，，解得：． 对于，当时，． ， 时，， 把代入，得：，解得， 当细胞活性降至时，标本冷却时间是分钟． 8．（2025·广西河池·一模）综合与实践 【问题背景】某校为在操场举办“辞旧迎新”活动，采购了一批彩色的塑料凳子，如图，该塑料凳子高为，若将其叠放在一起，每增加一张，高度就会增加，老师给数学兴趣小组布置了以下任务． 【问题解决】任务1：若该校购买了n张凳子，将其全部叠放在一起，求叠放高度h（单位：）与凳子张数n的表达式； 任务2：现有甲、乙两种包装纸箱，其长宽与凳子的长宽正好相等，其中甲纸箱的高度为，乙纸箱的高度为，每个纸箱的上下底都要装上厚的泡沫，求甲、乙每个纸箱最多能装下多少张凳子； 任务3：已知甲、乙纸箱的单价分别为5元/个和3元/个，该校要采购1200张凳子，计划用甲、乙两种纸箱共90个来包装，如何选用甲、乙两种纸箱，使得支出的包装费用最少？最少是多少？ 【答案】任务1：；任务2：甲纸箱最多能装下20张凳子，乙纸箱最多能装下10张凳子；任务3：选用甲纸箱30个，乙纸箱60个，使得支出的包装费用最少，最少为330元 【分析】本题考查函数关系式，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用： 任务1：根据每增加一张，高度就会增加，由叠放高度一张凳子的高度加上，列关系式即可； 任务2：由任务1知凳子叠放的高度，分别根据甲乙两种包装的高度列出不等式求解即可； 任务3：设甲纸箱选用x个，则乙纸箱选用个，求解的取值范围，设支出的总包装费用为y，则，根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：任务1：； ∴叠放高度h（单位：）与凳子张数n的表达式为； 任务2：甲：，解得， 乙：，解得， ∴甲纸箱最多能装下20张凳子，乙纸箱最多能装下10张凳子； 任务3：设甲纸箱选用x个，则乙纸箱选用个， 由题意得，解得， 设支出的总包装费用为y，则， ∵， ∴y随x的增大而增大， 当时，y有最小值为（元） ∴选用甲纸箱30个，乙纸箱（个），使得支出的包装费用最少，最少为330元． 二次函数的应用题型02 1．（2025·广西河池·一模）剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美．如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A，B，C，D四点落在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，即可判断a，c的符号，然后求出即可求解． 【详解】解：建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A，B，C，D四点落在抛物线上， ∵根据抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴，则． 故选：A． 2．（2025·广西南宁·一模）二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是熟练掌握二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于．抛物线与x轴交点个数由决定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 根据抛物线开口方向对A进行判断；根据抛物线的对称轴位置对B进行判断；根据抛物线与y轴的交点位置对C进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数对D进行判断． 【详解】解：A、∵抛物线开口向下，∴，故此选项不符合题意； B、∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴，∴，故此选项不符合题意； C、∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴，故此选项不符合题意； D、∵抛物线与x轴有2个交点，∴，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（2025·广西崇左·一模）将函数的图象平移后得到函数的图象，平移方式正确的是（    ） A．向右平移3个单位，再向上平移2个单位 B．向右平移3个单位，再向下平移2个单位 C．向左平移3个单位，再向上平移2个单位 D．向左平移3个单位，再向下平移2个单位 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移；根据“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：由题意得：平移方式正确的是向左平移3个单位，再向下平移2个单位； 故选：D． 4．（2025·广西来宾·一模）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，根据中顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B 5．（2025·广西钦州·一模）如图，抛物线与轴交于两点，的直角顶点在抛物线对称轴上，为线段上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数交点式，二次函数图象及性质，勾股定理，等积法求线段长，三角函数等．根据题意先求出，，后求出对称轴，再设，再利用勾股定理求出，再过点作，再用等积法求出，再利用三角函数即可得到本题答案． 【详解】解：∵抛物线与轴交于两点， ∴令，即或， ∴，， ∵在抛物线对称轴上， ∴，对称轴：直线， ∴为等腰直角三角形， 设， ∴， ∴，解得：， ∵如图点在第三象限， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴过点作， ， ∴，即，解得：， ∴， ∴， 故选：A． 6．（2025·广西河池·一模）根据以下素材，探索完成任务． 材料 如图，某经济开发区计划在道路上方搭建一座抛物线桥拱形彩虹桥，已知道路的宽为（路内侧两边各有宽的绿化带，其余路面正常通行），桥面最高处与路面的距离为． 任务1 以所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求该抛物线形彩虹桥的解析式． 任务2 按计划在该彩虹桥下方需对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路的正常通行，求支撑柱的最小高度． 任务3 若在该彩虹桥下方有一个限高的横杆，现要在横杆上方悬挂一个宽、高的横幅，在不超出桥面的情况下，横幅能否按计划悬挂（不考虑横杆的宽度）？请通过计算说明． 【答案】任务1：；任务2：支撑柱的最小高度为米．任务3：横幅能按计划悬挂． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确建立坐标系、求得函数解析式成为解题的关键． 任务1：先根据题意建立直角坐标系，然后运用待定系数法求解即可； 任务2：先求出支撑柱到的距离至少为8米，再令，求得y的值即可解答； 任务3：由题意可得：横幅的上边沿离路面的最小距离为米，令，求得x的值，进而求得当横幅的上边沿离路面距离为6米，桥面的宽度为10米，据此即可即可． 【详解】解：任务1：根据题意建立直角坐标系如下：顶点坐标为：，点， 设该抛物线的解析式为：， 则，解得：， 所以该抛物线形彩虹桥的解析式为． 任务2：∵要确保道路的正常通行， ∴两个支撑柱之间的距离最少为， ∴支撑柱到的距离至少为8米， 令，则． 所以支撑柱的最小高度为米． 任务3：由题意可得：横幅的上边沿离路面的最小距离为米， 令，则，解得：， ∴当横幅的上边沿离路面距离为6米，桥面的宽度为10米， ∵， ∴横幅能按计划悬挂． 7．（2025·广西防城港·一模）小明利用电脑软件模拟弹力球的抛物运动．如图，弹力球从x轴上的点A处抛出，其经过的路径是抛物线L：的一部分，并在点B处达到最高点，落到x轴上的点C处时弹起，向右继续沿抛物线G运动．已知抛物线G与抛物线L的形状相同，且其达到的最大高度为1个单位长度． (1)直接写出点C的坐标． (2)求抛物线G的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）． (3)在x轴上有一个矩形接球筐，其中，点N位于点处，弹力球只可通过矩形接球筐的边落入框内．为使弹力球落入接球筐内（落在点M，N上也视为落在筐内），需将接球筐沿x轴向左移动b个单位长度，求出b的取值范围．（结果保留根号） 【答案】(1) (2)（或） (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用． （1）令，解方程即可得出点C的坐标； （2）根据题意设抛物线G的函数表达式为，再将点代入求解即可； （3）当时，求得，分别求出当弹力球恰好砸中筐的最左端时，当弹力球恰好砸中筐的最右端时，b的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：令， 解得，， ∴点C的坐标为； （2）解：抛物线G与抛物线L的形状相同，且最高点的纵坐标为1， 设抛物线G的函数表达式为， 抛物线G经过点C， 将点代入，得， 解得（舍去），， 抛物线G的函数表达式为（或）； （3）解：当时，， 解得，（不合题意，舍去）． 球筐的最左端与原点的距离为6.5， 当弹力球恰好砸中筐的最左端时，， ， 球筐的最右端与原点的距离为7.5， 当弹力球恰好砸中筐的最右端时，， b的取值范围为． 8．（2025·广西桂林·一模）小明利用电脑软件模拟弹力球的抛物运动．如图，弹力球从x轴上的点A处抛出，其经过的路径是抛物线的一部分，并在点B处达到最高点，落到x轴上的点C处时弹起，向右继续沿抛物线G运动．已知抛物线G与抛物线L的形状相同，且其达到的最大高度为1个单位长度． (1)直接写出点C的坐标． (2)求抛物线G的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）． (3)在x轴上有一个矩形接球筐，其中，点N位于点处，弹力球只可通过矩形接球筐的边落入框内．为使弹力球落入接球筐内（落在点M，N上也视为落在筐内），需将接球筐沿x轴向左移动b个单位长度，求出b的取值范围．（结果保留根号） 【答案】(1) (2)（或） (3) 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）令，解方程即可得出点C的坐标； （2）根据题意设抛物线G的函数表达式为，再将点代入求解即可； （3）当时，求得，分别求出当弹力球恰好砸中筐的最左端时，当弹力球恰好砸中筐的最右端时，b的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：令， 解得，， ∴点C的坐标为； （2）解：抛物线G与抛物线L的形状相同，且最高点的纵坐标为1， 设抛物线G的函数表达式为， 抛物线G经过点C， 将点代入，得， 解得（舍去），， 抛物线G的函数表达式为（或）； （3）解：当时，， 解得，（不合题意，舍去）． 球筐的最左端与原点的距离为6.5， 当弹力球恰好砸中筐的最左端时，， ， 球筐的最右端与原点的距离为7.5， 当弹力球恰好砸中筐的最右端时，， b的取值范围为． 9．（2025·广西贵港·一模）已知抛物线：，若点和在抛物线上，且，． (1)求A，B两点的坐标； (2)将拋物线平移得到抛物线：．当时，抛物线的函数最大值为p，最小值为q，若，求k的值． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由抛物线对称性得到，解得即可得到答案； （2）分三种情况讨论，根据二次函数图象上点的坐标特征，表示出，根据题意得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由得：， ， ，． ，； （2）解：：的对称轴为：直线， 顶点为， 由（1）得：， Ⅰ．当时，，则： ，；，， ， 解得：（舍）； Ⅱ．当时，，则： ，；，， ， 解得：（舍）； Ⅲ．当时，， ，， 若，则：，即：， 此时，， ， 解得：（舍），（符合）， 若，则：，即：， 此时，， ， 解得：（符合），（舍）， 综上所述：或． 反比例函数的应用题型03 1．（2025·广西梧州·一模）已知某蓄电池的电压（单位：）为定值，使用该蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该蓄电池的电压为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求反比例函数解析式，理解反比例函数的定义是解题关键．根据反比例函数的定义直接求解即可． 【详解】解：由题意，设， 将点代入得：， ∴蓄电池的电压是， 故选：B． 2．（2025·广西梧州·一模）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（   ）． A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小． 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 3．（2025·广西贵港·一模）已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 只需把所给点的横纵坐标相乘即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 故选：A． 4．（2025·广西崇左·一模）点，，均在的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 直接把点，，代入函数，求出的值，并比较出其大小即可． 【详解】解：∵点，，均在的图象上， ∴，，， ∵， ∴， 故选：D． 5．（2025·广西来宾·一模）反比例函数的图象一定经过（    ） A．一二象限 B．一三象限 C．二三象限 D．二四象限 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质与图象．对于反比例函数，当，反比例函数图象在一、三象限；当，反比例函数图象在第二、四象限内． 【详解】解：反比例函数中， 则反比例函数的图象一定经过一三象限， 故选：B 6．（2025·广西·一模）若点，是反比例函数图象上的两点，下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：反比例函数的，反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，随的增大而减小， A、无法确定的正负，故无法确定，故说法不符合题意； B、当时，，，故说法正确，符合题意； C、当时，，，故说法错误，不符合题意； D、当时，，，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 7．（2025·广西玉林·一模）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（k为常数，）．若某乐器的弦长l为米，振动频率f为200赫兹，则k的值为 ． 【答案】160 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把，代入求解即可． 【详解】解：把，代入，得， 解得， 故答案为：160． 8．（2025·广西柳州·一模）如图所示，A为反比例函数图象上一点，垂直轴，垂足为点，若，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查的是反比例函数k的几何意义，如果点在反比例函数图象上与坐标轴构成直角三角形或者矩形，一般是利用反比例函数的值与矩形面积相等，或者是三角形面积两倍的关系． 设，则，再利用反比例函数的性质可得答案． 【详解】解：设， 则， ∴， ∵函数图象位于一、三象限， ∴， ∴取． 故答案为：12． 9．（2025·广西河池·一模）广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进人·3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价应为160元 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、分式方程的应用等知识点，正确求得函数解析式是解题的关键． （1）因为y与x成反比例函数关系，可设函数式为，然后根据当售价定为120元时，每天可售出20件可求出k的值即可． （2）设单价是x元，根据每天可售出y件，每件的利润是元，总利润为1200元，由利润=售价-进价列方程求解即可． 【详解】（1）解：设函数式为， ∵当销售定价为120元时，每日可销售20件， ∴，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：． （2）解：设单价是x元， ∵， ∴，解得：， 检验：当时，利润为元，符合题意． 答：销售单价应为160元． 10．（2025·广西贵港·一模）【综合实践】如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A． 10 20 30 40 50 … … 10 a b … (1)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的重力变化时，的长度随之变化．设重物B的重力为，的长度为．则： ①y关于x的函数解析式是 ； ②完成表格： ， ； ③在如图的直角坐标系中画出该函数的图象： (2)在（1）的条件下，若点O的坐标为，点M的坐标为，在（1）中所求函数的图象上存在点N，使得，求点N的坐标． 【答案】(1)①；②5，2；③见解析 (2)点N的坐标为 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，求得函数的解析式是解答的关键． （1）①由公式可得关于的函数解析式； ②将和代入①中解析式中求解即可； ③根据表格数据进行描点、连线即可画出图象； （2）由题意，设，利用，解方程求解即可． 【详解】（1）解：①由得，则， ∴关于的函数解析式为； ②当时，； 当时，； ③列表： 10 20 30 40 50 … … 10 5 2 … 描点，连线，可得该函数的图象： （2）解：由题意，设， ∵点M的坐标为， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴点N的坐标为． 一次函数与反比例函数的综合应用题型04 1．（2025·广西桂林·一模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，将正比例函数的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，连接，则四边形的面积为（   ） A．5 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的平移，反比例函数的图象与性质，反比例函数比例系数k的几何意义；先求解反比例函数为：，正比例函数为，直线为，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴，， 解得：， ∴反比例函数为：，正比例函数为， ∵将正比例函数的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数的图象交于点， ∴，即，一次函数为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当时，， ∴， 如图，过作轴于，作轴于，过作轴于， ∴五边形的面积为， ∴四边形的面积为； 故选：B． 2．（2025·广西南宁·一模）已知点在双曲线上，点在直线上且，两点关于轴对称，设点的坐标为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数上点的坐标特征，关于轴，轴对称的点的坐标，熟练掌握这两个函数上点的坐标特征是解题的关键，根据，两点关于轴对称，，可以表示出点的坐标为，又因为这两个点分别在两个函数图象上，所以得到：，，根据，计算即可． 【详解】解：点的坐标为，、两点关于轴对称， ， 点在双曲线上， ， ， 点在直线上， ， 即， ， 故答案为：． 3．（2025·广西柳州·一模）如图，直线（，为常数，）与双曲线（为常数且）相交于，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)连接、，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，求一次函数和反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法． （1）用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）根据函数图象得出不等式的解集即可； （3）先求出点，然后用待定系数法求出直线的解析式，然后求出直线与y轴的交点坐标，再求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，将点代入双曲线解析式， ， ． 双曲线为． （2）解：根据函数图象可知：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上面， ∴关于的不等式的解集为或． （3）解：在双曲线为， ， ∴， 将，代入， 得：， 解得：， ， 设与轴交于点，则坐标， ， 答：的面积为． 一次函数与二次函数的综合应用题型05 1．（2025·广西南宁·一模）某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图所示：种植果树的利润（万元）与投资量（万元）成二次函数关系，如图所示如果这位专业户投入种植茶树及果树资金共万元，则他能获取的最大总利润是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数和二次函数解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，然后设这位专业户投入种植果树的资金为万元，则投入种植茶树的资金为万元，他获得的利润为万元，根据题意可得：，最后进行计算即可解答． 【详解】解：设， 把代入中得：， ； 设， 把代入中得： ， 解得：， ； 设这位专业户投入种植果树的资金为万元，则投入种植茶树的资金为万元，他获得的利润为万元， 由题意得： ， ， 当时，， ， 当时，， 能获取的最大总利润是万元， 故选：D． 2．（2025·广西梧州·一模）如图，A、B为一次函数的图象与二次函数的图象的交点，点A在y轴上，点B的横坐标为5．P为二次函数的图象上的动点，且位于直线的下方． (1)求点A的坐标； (2)求二次函数的表达式； (3)过P作轴于点M，交直线于点N，设点M的横坐标为m，当时，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）令求解即可； （2）用待定系数法求解即可； （3）设，，得出，证明是等腰直角三角形得，求出，然后根据列方程求解即可． 【详解】（1）当时，， （2）点B的横坐标为5，且点B在x轴上， 把，两点分别代入中， 得， 解得： 所求二次函数的表达式为． （3）设，， ，， ，即是等腰直角三角形 轴，即是等腰直角三角形 ， ． ， ， 解得，．（不符，舍去） 的值为2 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，数形结合是解答本题的关键． 1．（2025·广西柳州·一模）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A是函数（，k是不等于0的常数）图象上的一点，的延长线交函数的图象于点C，点A关于y轴的对称点为，点C关于x轴的对称点为、关于原点的对称点是，连接，交x轴于点B，连接，，．若的面积等于2，则四边形的面积等于（    ） A．7 B．8 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，涉及相似三角形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，轴对称和中心对称的性质，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键． 延长，交于点E，令，与y轴的交点分别为M，N．则，，则，．而点A关于y轴的对称点为，点C关于x轴的对称点为、关于原点的对称点为，则，，．可得，则，故，由即可求解． 【详解】解：如图，延长，交于点E， 令，与y轴的交点分别为M，N． ∵，， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∵点A关于y轴的对称点为，点C关于x轴的对称点为、关于原点的对称点为， ∴，，． ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．（2025·广西贵港·一模）如图，抛物线：，抛物线交轴于点、（点在点的右侧），交轴于点，抛物线与抛物线关于原点成中心对称． (1)求抛物线的函数表达式和直线对应的函数表达式： (2)点是第一象限内抛物线的一个动点，连接、，与相交于点． ①作轴，垂足为，当时，求点的的横坐标； ②请求出的最大值． 【答案】(1)抛物线为：，直线的解析式为 (2)①的横坐标为；②的最大值为 【分析】（1）根据中心对称的性质可得抛物线的表达式，再令，求解点、的坐标，令，求出的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求解可得直线的解析式； （2）①如图，连接，设，而，求解直线为的解析式为，联立，解得，则，，， 根据列方程即可求解 ；②作于，而，可得，可得，推出，再建立二次函数的模型解题即可． 【详解】（1）解：抛物线：，抛物线与抛物线关于原点成中心对称． 抛物线为：， 抛物线为：， 在中，令，则，令，则， 解得：或， ，，； 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）①如图，连接，设，而， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线为的解析式为， 联立， 解得：， ，，， ， ， 解得：（不符合题意的根舍去）， ， 的横坐标为； ②作于，而， ， ， ， ，，， ， ，， ， ，， 当时，的最大值为：． 【点睛】本题考查的是中心对称的性质，求解二次函数、一次函数的解析式以及交点坐标，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，解题的关键是灵活运用相关知识． 3．（2025·广西玉林·一模）如图1，在矩形中，，，点P从点A出发向点B运动，同时点Q从点B出发向点C运动，且点Q的速度是点P的两倍．的面积为S，求： (1)点P的速度为，后的面积S是多少？ (2)若P、Q运动过程中，S与时间t的关系如图2所示，求点P的速度． (3)在（2）的条件下，求出当t为何值时S取最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)后的面积S是； (2)点P的速度为； (3)当时，最大，最大值为. 【分析】（1）由题意可得点Q的速度为，当时，可得，,再进一步求解即可； （2）由是的二次函数，设的速度为，则的速度为，可得，可得，求解或，结合图象可得不符合题意，从而可得答案； （3）由（2）得：当，则，可得，再结合二次函数的性质可得答案. 【详解】（1）解：∵点Q的速度是点P的两倍，点P的速度为， ∴点Q的速度为， 当时， ，, ∵， ∴， ∴的面积S是； （2）解：由题意可得：是的二次函数，设的速度为，则的速度为， ∴，，， ∴， 当时，， ∴，即， 解得：或， 结合图象可得不符合题意； ∴点P的速度为； （3）解：由（2）得：当，则， ∴， ∵的最长运动时间为， 的最长运动时间为：， ∴当时，最大， 最大值为：. 【点睛】本题考查的是矩形的性质，二次函数与几何图形的面积，二次函数的性质，二次根式的运算，一元二次方程的解法，本题的计算量大，掌握基础的计算方法是解题的关键. 4．（2025·广西玉林·一模）小明家有一栋附带小庭院的楼房，为提高居住的舒适度，他在楼房的窗子上方安装一个圆弧形遮阳棚（如图1所示）．图2是安装遮阳棚一侧的院子的俯视图，设房子墙壁与院墙分别为、，这两面墙间距米，经观测，太阳光线常从院墙方向照进院子中，房子墙壁下方紧挨着矩形花圃（花圃高度忽略不计），花圃的另一边紧贴着左侧院墙，米．图3是院子的左视图，已知弧所在的圆的圆心O恰好在墙壁上，测得遮阳棚的顶部到地面的距离，外边缘B到墙壁的距离，．在太阳光的照射下，遮阳棚对面院墙落在地面上的影子是，． (1)根据以上数据求圆心O到地面的距离； (2)小明说：“当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧的半径．”，你认为他的说法正确吗？请说明理由． (3)如图4，从某一时刻开始，过点G的太阳光线正好落在花圃边沿H处，随着时间的推移，光线逐渐向左移动．假设太阳光线可照射在花圃上的宽度为l米，影长为n米（），试判断l与n有什么关系？并说明理由． (4)在（3）的条件下，若要求太阳光线照在花圃上的宽度不得小于米，则n的取值范围是多少？ 【答案】(1)圆心O到地面的距离为 (2)小明的说法正确，理由见解析 (3)或； (4) 【分析】（1）由题意可得：，，设，再利用勾股定理求解，从而可得答案； （2）如图，设光线的延长线交于，证明，可得，从而可得结论； （3）当重合时，过作交于，过作于，证明，可得，证明四边形为矩形，可得，，如图，当光线时，可得，如图，当时，光线时，求解，结合，可得：，如图，当时，结合，可得，从而可得答案； （4）当时，，此时：，当时，，可得，再进一步解答即可. 【详解】（1）解：由题意可得：，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴圆心O到地面的距离为； （2）解：小明的说法正确。理由如下： 如图，设光线的延长线交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧的半径，小明的说法正确. （3）解：当重合时，过作交于，过作于， ∴，， ∴， ∴， ∵，结合题意可得四边形为矩形， ∴，， 如图，当光线时， 同理可得：， ∴，解得：， 如图，当时，光线时， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 如图，当时， ∵， ∴， ∴， 综上：或； （4）解：当时，， ∴， 此时：， 当时，， ∴， 解得：， ∴， 综上：太阳光线照在花圃上的宽度不得小于米时，. 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一次函数的应用，平行投影，本题的难度很大，清晰的分类讨论是解本题的关键. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$