专题05 立体几何初步解答题（4大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（广西专用）

专题05 立体几何初步解答题 题型概览 题型01平行与垂直（精选7题） 题型02距离与体积（精选10题） 题型03线面角（精选7题） 题型04二面角（精选9题） 优选提升题（精选5题） 平行与垂直题型01 一、解答题 1．（22-23高一下·广西百色·期末）如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证: (1)平面AEC; (2)平面AEC⊥平面PBD． 2．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，在三棱柱中，分别是的中点.求证： (1)证明：四点共面；直线，直线，直线三线共点 (2)平面平面. 3．（22-23高一下·广西南宁·期末）如图，在正方体中，为底面的中心. 求证：    (1)平面； (2). 4．（22-23高一下·广西南宁·期末）如图，中，，是正方形，平面平面，若、分别是、的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面. 5．（22-23高一下·广西河池·期末）如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别AB，PD的中点，且PA＝AD． (1)求证：AF//平面PEC； (2)求证：AF⊥平面PCD． 6．（23-24高一下·广西示范性高中·期末）如图，在正方体中，为的中点．    (1)求证：‖平面； (2)上是否存在一点，使得平面‖平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 7．（22-23高一下·广西钦州·期末）如图，在三棱锥中，已知，，且，、分别为、的中点.    (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 距离与体积题型02 一、解答题 1．（23-24高一下·广西桂林·期末）已知正方体的棱长为2． (1)证明：． (2)求三棱锥的体积． 2．（23-24高一下·广西贺州·期末）如图，在直三棱柱中，，侧棱，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 3．（23-24高一下·广西百色·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，为的中点，，. (1)平面； (2)求三棱锥的体积． 4．（23-24高一下·广西梧州·期末）如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点． (1)求证：PA∥平面BDE； (2)平面PAC⊥平面BDE； (3)若二面角E﹣BD﹣C为30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积． 5．（22-23高一下·广西百色·期末）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD=3. (1)若点E为线段PD的中点，求证：AE⊥平面PDC； (2)若，则线段AB上是否存在一点F，使得平面PBC，若存在，请确定点F的位置，并求三棱锥FPBC的体积. 6．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，是棱上的一点，点在棱上，是三棱柱，分别是线段的中点． (1)证明：直线平面； (2)若四棱锥的体积为，求的长度． 7．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，.    (1)证明：； (2)求点到平面的距离. 8．（22-23高一下·广西南宁·期末）如图1，在矩形ABCD中，，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图2中的位置，得到四棱锥.    (1)证明：平面； (2)当平面平面时，若，求三棱锥的体积. 9．（22-23高一下·广西百色·期末）在四棱锥中，底面是矩形，若，．    (1)证明：平面平面； (2)若分别是的中点，动点P在线段EF上移动，求三棱锥的体积． 10．（22-23高一下·广西南宁·期末）如图，已知直三棱柱，，，，点为的中点．    (1)证明：∥平面； (2)求直线AB1到平面的距离． 线面角题型03 一、解答题 1．（23-24高一下·广西来宾·期末）如图，在正三棱柱中，为的中点．    (1)求直线与所成角的大小； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 2．（23-24高一下·广西河池·期末）如图1，在四边形中，，将沿边BD翻折至，使得平面平面，如图2所示．E是线段PD上的一点，且．    (1)求证：平面平面； (2)求直线BE与平面所成角的正弦值． 3．（23-24高一下·广西钦州·期末）如图，在四棱柱中，平面平面，，，，.    (1)证明：平面； (2)求四棱柱的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 4．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，在三棱锥中，，底面. （1）求证：平面平面； （2）若，，是的中点，求与平面所成角的正切值. 5．（22-23高一下·广西南宁·期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形，平面平面PCD，，，AD＝5，棱PC的中点为N，连接DN.    (1)求证：平面PCD； (2)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值. 6．（22-23高一下·广西来宾·期末）如图，已知正方体中，分别是和的中点．      (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 7．（22-23高一下·广西南宁·期末）如图，已知点是正方形所在平面外一点，，分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)若中点为，求证：平面平面. (3)若平面，，求直线与面所成的角. 二面角题型04 一、解答题 1．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，在三棱锥中，平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且，，．    (1)证明：； (2)求二面角的余弦值． 2．（23-24高一下·广西北海·期末）如图，在三棱锥中，是等边三角形，，，，，，分别，的中点. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值. 3．（23-24高一下·广西防城港·期末）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，. (1)证明：平面； (2)若二面角为，求异面直线与所成角的正切值. 4．（22-23高一下·广西百色·期末）如图，四棱锥，平面，，，，过点作直线的平行线交于，为线段上一点．    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值． 5．（22-23高一下·广西北海·期末）如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点.    (1)求证：直线平面； (2)求二面角的余弦值. 6．（21-22高一下·广西百色·期末）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，且，． (1)证明：平面ABC⊥平面； (2)若，求二面角的余弦值． 7．（23-24高一下·广西百色·期末）如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P在侧棱SD上，且． (1)求证：； (2)求二面角的大小； (3)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 8．（23-24高一下·广西柳州·期末）在正方体中 (1)若分别为和的中点，求证：平面 (2)求二面角的正切值 (3)如图，为的中点，问：在棱上是否存在一点，使平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 9．（22-23高一下·广西南宁·期末）如图所示，正四棱锥中，O为底面正方形的中心，已知侧面与底面所成的二面角的大小为60°，E是PB的中点．    (1)请在棱AB与BC上各找一点M和N，使平面∥平面，作出图形并说明理由； (2)求异面直线与所成角的正切值．   则平面平面，   因为，所以为异面直线与所成的角或其补角， 一、解答题 1．（22-23高一下·广西钦州·期末）如图，在长方体中，点在平面的射影为．    (1)证明：为的垂心． (2)若，且点在平面的射影为点，求三棱锥的体积． 2．（22-23高一下·广西联考·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正切值； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 3．（22-23高一下·广西玉林·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是正三角形，为线段的中点，点为棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)若平面平面. ①当点恰为中点时，求异面直线与所成角的余弦值； ②在平面内确定一点，使的值最小，并求此时的值. 4．（21-22高一下·广西南宁·期末）如图，四边形为正方形，四边形为两个全等的等腰梯形，，，，．    (1)求二面角的大小； (2)求三棱锥的体积； (3)点N在直线上，满足，在直线上是否存在点M，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 5．（21-22高一下·广西玉林·期末）如图①，在梯形中，，，，，分别是，上的点，，.沿将梯形翻折，使平面平面（如图②）. (1)判断平面与平面的位置关系，并说明理由； (2)作出二面角的平面角，说明理由并求出它的余弦值. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 立体几何初步解答题 题型概览 题型01平行与垂直（精选7题） 题型02距离与体积（精选10题） 题型03线面角（精选7题） 题型04二面角（精选9题） 优选提升题（精选5题） 平行与垂直题型01 一、解答题 1．（22-23高一下·广西百色·期末）如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证: (1)平面AEC; (2)平面AEC⊥平面PBD． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1) 设,连接,根据中位线可得,再根据线面平行的判定定理即可证明; (2)根据可得,根据四边形为菱形,可得,再根据线面垂直的判断定理可得平面,再根据面面垂直的判定定理即可得出结果. 【详解】（1）设,连接,如图所示: 因为O,E分别为,的中点,所以, 又因为平面,平面, 所以平面． （2）连接,如图所示: 因为,为的中点,所以, 又因为四边形为菱形,所以, 因为平面,平面,且, 所以平面,又因为平面, 所以平面平面． 2．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，在三棱柱中，分别是的中点.求证： (1)证明：四点共面；直线，直线，直线三线共点 (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明即可得证四点共面；与是两条相交的直线，证明直线过它们的交点即可得证三线共点. （2）证明平面和平面即可根据面面平行的判定定理得证平面平面. 【详解】（1）分别是的中点， 是的中位线，，且 又在三棱柱中，，且， 由平行的传递性，，且， 四点共面； 由上可知四边形是梯形，故与是两条相交的直线， 设，下证， 平面，且平面， 平面，且平面， 平面平面， ，即三线共点. （2）分别为的中点，， 平面平面， 平面， 在三棱柱中，，且， ，且， 四边形是平行四边形，， 平面平面， 平面， ，平面， 平面平面. 3．（22-23高一下·广西南宁·期末）如图，在正方体中，为底面的中心. 求证：    (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接交于点，再连接，证得四边形为平行四边形，所以，结合线面平行的判定，即可证得平面； （2）分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得. 【详解】（1）证明：连接交于点， 再连接，因为为底面的中心，可得为的中点， 在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以, 因为分别为的中点， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）证明：由四边形为正方形，可得， 因为平面，且平面，所以, 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以.    4．（22-23高一下·广西南宁·期末）如图，中，，是正方形，平面平面，若、分别是、的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，得到面面平行，从而得到线面平行； （2）由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，结合勾股定理逆定理得到线面垂直. 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，．   ，分别是和的中点， ，． 又四边形为正方形， ，从而． 平面，平面， 平面， 同理平面，又， 平面平面， ∵平面， 则平面； （2）为正方形， ． 又平面平面，且平面平面，面， 平面，平面，则， ，， ，则，得． 又，平面， 平面； 5．（22-23高一下·广西河池·期末）如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别AB，PD的中点，且PA＝AD． (1)求证：AF//平面PEC； (2)求证：AF⊥平面PCD． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过构造平行四边形的方法来证得平面. （2）结合线面垂直的判定定理来证得平面. 【详解】（1）设是的中点，由于是的中点， 所以， 由于是的中点，四边形是矩形， 所以， 所以， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）由于PA⊥平面ABCD，平面ABCD， 所以， 因为，，、平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 因为是的中点， 所以， 因为，、平面， 所以平面. 6．（23-24高一下·广西示范性高中·期末）如图，在正方体中，为的中点．    (1)求证：‖平面； (2)上是否存在一点，使得平面‖平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点为的中点 【分析】（1）连接交于，连接，则由三角形的中位线定理得‖，再由线面平行的判定理可证得结论； （2）当点为的中点时，即满足平面‖平面，连接，，可证得‖平面，由（1）知‖平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论. 【详解】（1）证明：如图，连接交于，连接．   正方体，底面为正方形，， 为的中点，又为的中点， 是的中位线，‖， 又平面，平面， ‖平面． （2）当点为的中点时，即满足平面‖平面，理由如下： 连接，，   为的中点，为的中点，‖，， 四边形为平行四边形，‖， 又平面，平面， ‖平面． 由（1）知‖平面， 又，，平面， 平面‖平面． 7．（22-23高一下·广西钦州·期末）如图，在三棱锥中，已知，，且，、分别为、的中点.    (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）由异面直线所成角的定义可知，异面直线与所成角为或其补角，求出三边边长，可知该三角形为等腰三角形，取线段的中点，连接，可知，即可求得的值，即为所求. 【详解】（1）证明：因为、分别为、的中点，则， 因为平面，平面，因此，平面. （2）解：因为，则异面直线与所成角为或其补角， 因为，，则为等边三角形，且， 因为为的中点，则，且， 易知是边长为的等边三角形， 因为为的中点，则，且， 因为，、分别为、的中点，则， 取线段的中点，连接，    因为，，则， 所以，， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 距离与体积题型02 一、解答题 1．（23-24高一下·广西桂林·期末）已知正方体的棱长为2． (1)证明：． (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证平面，则可得； （2）利用等体积转化即可求得. 【详解】（1）在正方体中，， 平面，平面，． 又，、平面，平面． 又平面，． （2）在正方体中，平面， . 2．（23-24高一下·广西贺州·期末）如图，在直三棱柱中，，侧棱，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取的中点，连,利用中位线证明四边形为平行四边形，即可证明. （2）利用即可求解. 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连， 且， 且， 四边形为平行四边形，， 平面平面， 平面. （2）解：取中点，连， 且为直三棱柱， 为直角三角形且，平面， 平面，， 由（1）知， 为直三棱柱，为中点，， ， ， 平面，平面， ， ， 设点到平面的距离为， ， ， 有，得， 故点到平面的距离为. 3．（23-24高一下·广西百色·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，为的中点，，. (1)平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，即可得到，从而得证； （2）依题意可得，再根据锥体的体积公式求出，即可得解. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为底面是平行四边形，所以为的中点，又为的中点， 所以，又平面，平面， ∴平面； （2）因为为的中点， 所以，所以， 因为平面，，，是平行四边形， 所以， 所以， 所以. 4．（23-24高一下·广西梧州·期末）如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点． (1)求证：PA∥平面BDE； (2)平面PAC⊥平面BDE； (3)若二面角E﹣BD﹣C为30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）连接可证从而得到要证明的线面平行； （2）再通过证明平面得到要证明的面面垂直． （3）设的中点为，可证平面且是二面角的平面角，从而，故可得到平面的距离，它的两倍是到底面的距离，最后根据公式计算四棱锥的体积． 【详解】（1）证明: 连接，如图所示．∵分别为中点，∴． ∵面，面，∴面． （2）∵面，面， ∴． 在正方形中，，又∵，∴面． 又∵面，∴面面． （3）取中点，连接．∵为中点，∴为的中位线，∴． 又∵面，∴面， 由（1）可知面，而面，所以，∵， ∴为二面角的平面角， ∴． 在中，， ∴，∴． ∴． 5．（22-23高一下·广西百色·期末）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD=3. (1)若点E为线段PD的中点，求证：AE⊥平面PDC； (2)若，则线段AB上是否存在一点F，使得平面PBC，若存在，请确定点F的位置，并求三棱锥FPBC的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，F为AB靠近点В的三等分点，. 【分析】（1）根据面面垂直的性质，结合正方形的性质、线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）根据线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，结合面面平行的性质、三棱锥的体积公式进行求解即可. 【详解】（1）因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD， 因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，CD平面ABCD， 所以CD⊥平面PAD， 又AE平面PAD，所以CD⊥AE. 又因为PA=PD=AD，且E为中点，所以AE⊥PD， 又因为PDCD=D，所以AE⊥平面PDC； （2）如图分别取AB､CD的三等分点F､G， 结合题意可得：，. 又因为PC平面PBC，EG平面PBC，所以平面PBC，同理平面PBC. 因为EG平面EFG，FG平面EFG，平面， 所以平面平面PBC，又因为EF平面EFG，所以平面PBC， 此时F为AB靠近点В的三等分点， 所以. 6．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，是棱上的一点，点在棱上，是三棱柱，分别是线段的中点． (1)证明：直线平面； (2)若四棱锥的体积为，求的长度． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质定理推出，应用勾股定理得，再用线面垂直的判定定理即可. （2）由四棱锥的体积可得点到平面的距离为，连接，过点作的垂线交于点，用线面垂直的判定定理证明平面，即为四棱锥的高，由可得. 【详解】（1）在正方体中，平面，分别是棱的中点， ，则平面， 又平面，， 由题意知，由勾股定理得， ，即， 又，平面 平面 （2）由（1）知，平面，又平面， ， 由题意知，所以四边形的面积为， 由四棱锥的体积为，得，所以四棱锥的高为， 即点到平面的距离为. 连接，易知三点共线，过点作的垂线交于点，即， 由平面，得平面， 又平面，， 又，平面， 平面，即为四棱锥的高， ， ，，， ，即 . 7．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，.    (1)证明：； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而可得线线垂直，进而可证平面，即可求证， （2）利用等体积法即可求解. 【详解】（1）证明：取的中点，连接，因为，所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面.又因为平面，所以. 又因为长方形中，，平面， 所以平面. 又因为平面，所以.    （2）连接，由（1）知为三棱锥的高. 因为， 所以. 由（1）知，又因为，所以，所以. 设点到平面的距离为.因为， 所以，所以. 8．（22-23高一下·广西南宁·期末）如图1，在矩形ABCD中，，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图2中的位置，得到四棱锥.    (1)证明：平面； (2)当平面平面时，若，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据，证得，得出，得到，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）由和平面平面，证得平面，求得，再求得，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，，O是与的交点， 可得，所以， 因为，且， 所以，可得，所以， 在图（2）中，可得， 因为，且平面，所以平面； （2）解：由（1）知，， 因为平面平面，且平面，且平面平面， 所以平面， 又因为，且，所以， 可得，所以， 在图（1）中，连接，由,可得相似比为， 设边的高为，边的高为，可得， 因为，可得， 则， 又由， 所以三棱锥的体积.    9．（22-23高一下·广西百色·期末）在四棱锥中，底面是矩形，若，．    (1)证明：平面平面； (2)若分别是的中点，动点P在线段EF上移动，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，得到，再由，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面； （2）根据题意得到动点在线段上移动，等于点到平面的距离的一半，取的中点，得到，且，结合，即可求解. 【详解】（1）证明：在中，，可得， 所以为直角三角形且， 又因为底面是矩形，则， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）解：因为底面是矩形，且，可得， 又因为分别为的中点，所以， 动点在线段上移动，则点到平面的距离等于点到平面的距离， 即点到平面的距离的一半， 由（1）知平面平面，且， 取的中点，连接，可得，且， 又因为平面平面，且平面，所以平面， 所以.    10．（22-23高一下·广西南宁·期末）如图，已知直三棱柱，，，，点为的中点．    (1)证明：∥平面； (2)求直线AB1到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明； （2）根据线面平行可知直线与平面的距离等价于点A到平面的距离，利用等体积法求点到面的距离. 【详解】（1）设交于O，连接OD， 在直三棱柱中，可知：侧面是平行四边形，则O是的中点， 又因为D是AC的中点，所以， 且平面，平面，故∥平面. （2）由（1）知∥平面，可知直线与平面的距离等价于点A到平面的距离，设为h， 因为，，所以， 又因为D为AC的中点，则， 可得，， 在直三棱柱中，可得面ABC，面ABC， 故，， 在中，，， 在中，， 所以在中，， 可知为锐角，则， 故， 因为，即， 可得，解得， 所以直线与平面的距离为．    线面角题型03 一、解答题 1．（23-24高一下·广西来宾·期末）如图，在正三棱柱中，为的中点．    (1)求直线与所成角的大小； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）法1：证明出平面，故，得到直线与所成角为；法2：作出辅助线，找到为直线与的所成角（或其补角），设，，求出各边长，得到，由勾股定理逆定理得到垂直关系，得到答案； （2）法1：由（1）知平面，从而得到即为直线与平面所成的角，设等边的边长为2，求出其他各边长，得到；法2：先证明平面，从而得到即为直线与平面所成的角，设等边的边长为2，求出其他各边长，得到； 【详解】（1）法1：在正三棱柱中， 因为平面，平面，所以． 因为为等边三角形，为的中点，所以． 又因为，平面， 所以平面； 又因为平面，所以， 所以直线与所成角的大小为． 法2：取的中点，连结，，又为的中点， 所以为的中位线，， 故为直线与的所成角（或其补角） 设，，因为为正三角形，所以， 在中，，在中，， 所以，， 所以直线与所成角的大小为．    （2）法1：由（1）知，平面，所以即为直线与平面所成的角， 设等边的边长为2，则， 所以在中，，， 所以． 即直线与平面所成的角的正弦值为．    法2：在正三棱柱中，因为平面，平面， 所以． 因为为等边三角形，为的中点，所以． 又因为，平面， 所以平面，所以即为直线与平面所成的角， 设等边的边长为2，则， 所以在中，，， 所以． 即直线与平面所成的角的正弦值为． 2．（23-24高一下·广西河池·期末）如图1，在四边形中，，将沿边BD翻折至，使得平面平面，如图2所示．E是线段PD上的一点，且．    (1)求证：平面平面； (2)求直线BE与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）由平面平面，可得平面PBD，从而，结合已知可证平面，由面面垂直的判定定理可证平面平面； （2）根据等体积法求出点E到平面的距离d，则直线BE与平面所成角的正弦值为． 【详解】（1）因为平面平面BCD，平面平面， 且平面，由题意易知，所以平面PBD，                    又平面，所以，                   又，且平面PCD，所以平面，                 又平面，所以平面平面； （2）在中，结合已知有．             因为平面平面，平面平面， 且平面，，所以平面， 平面，所以， 所以中，易得， 所以．        因为平面PBD，所以CD是三棱锥的高， 解法一：所以．               设点D到平面的距离为h，因为， 所以，解得， 易得，所以点E到平面的距离为，      所以直线BE与平面所成角的正弦值为．     解法二：在中，BE是边PD的高，可求出，     所以， 设点E到平面的距离为d，则，     由等体积可知，令，解出，     所以直线BE与平面所成角的正弦值为． 3．（23-24高一下·广西钦州·期末）如图，在四棱柱中，平面平面，，，，.    (1)证明：平面； (2)求四棱柱的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 (3) 【分析】（1）在上取点，使得，连接，即可说明，由面面垂直的性质得到平面，即可得到，从而证明平面，再根据平行关系即可得证； （2）根据柱体的体积公式计算可得； （3）作平面，垂足为，连接，则是直线与平面所成的角，利用等体积法求出，即可得解. 【详解】（1）在上取点，使得，连接，因为，， 所以，， 又，即， 所以四边形是正方形.    因为，，所以. 因为，，所以，所以， 因为平面平面，且平面平面， ，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为，平面，且与相交，所以平面. 因为平面平面，，所以平面. （2）由题意可得梯形的面积， 则四棱柱的体积. （3）作平面，垂足为，连接， 则是直线与平面所成的角， 由题意可得的面积， 由（1）可知平面， 所以三棱锥的体积， 因为，且，所以. 由（1）可知平面，平面，所以. 又，，所以. 在中由余弦定理可知， 则， 所以，则的面积， 故三棱锥的体积. 因为，所以，解得， 则，即直线与平面所成角的正弦值为. 4．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，在三棱锥中，，底面. （1）求证：平面平面； （2）若，，是的中点，求与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）证明出平面，利用面面垂直的判定定理可证得平面平面； （2）在平面内，过点作，连接，证明出平面，可得出与平面所成角为，计算出的边、的长，由此可计算出与平面所成角的正切值. 【详解】（1）证明：在三棱锥中，底面，平面， ， 又，即，，平面， 平面，因此，平面平面. （2）解：在平面内，过点作，连接， 平面，平面，， ，，平面， 是直线与平面所成的角. 平面，平面，， 在中，，， ，为的中点，且， 又是的中点，在中，， 平面，平面，， 在中，. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了线面角的正切值的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 5．（22-23高一下·广西南宁·期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形，平面平面PCD，，，AD＝5，棱PC的中点为N，连接DN.    (1)求证：平面PCD； (2)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得DN⊥平面PAC，从而得到DN⊥PA，利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）连接AN，由线面角的定义可得，∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角，在三角形中，利用边角关系求解即可. 【详解】（1）∵为等边三角形，N为PC中点，∴，又∵平面平面PCD， 平面平面，∴平面PAC，又平面PAC，∴， 又，，CD，平面PCD，∴平面PCD； （2）连接AN，由（1）可知，平面PAC，∴为直线AD与平面PAC所成的角，    ∵为等边三角形，且为PC的中点，∴， 又，在中，， 故直线AD与平面PAC所成角的正弦值为. 6．（22-23高一下·广西来宾·期末）如图，已知正方体中，分别是和的中点．      (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接、．由题意可证得，因为为的中点，所以，即可证得. （2）设到平面（即平面）的距离为，直线与平面所成角为，由线面垂直的判定定理可证得平面，所以，由等体积法求出，再由，代入即可得出答案. 【详解】（1）证明：如图，正方体中， 取的中点，连接、．∵是的中点， ∴，．∵是的中点，且，， ∴，，∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，∵正方体，又为的中点， ∴，∴． （2）设到平面（即平面）的距离为，直线与平面所成角为， 设正方体棱长为2，则， 由（1）知：，由正方体的性质知平面， 因为平面，所以，平面，， 所以平面，因为，所以平面， ∴即， ∴， ∴．      7．（22-23高一下·广西南宁·期末）如图，已知点是正方形所在平面外一点，，分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)若中点为，求证：平面平面. (3)若平面，，求直线与面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3). 【详解】（1）取的中点，连接，，即可证明四边形为平行四边形，所以，从而得证； （2）依题意可得即可得到平面，再结合（1）的结论，即可得证； （3）依题意可得平面平面，由面面垂直的性质得到平面，则即为直线与面所成的角，再根据边长的关系得解. （1）取的中点，连接，， 因为是的中点，所以且， 又是的中点，是正方形，所以且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面.    （2）因为为的中点，是的中点 所以，又平面，平面，所以平面， 又平面，，平面，所以平面平面. （3）因为平面，平面，所以平面平面， 又为正方形，所以，因为平面，平面平面， 所以平面， 所以即为直线与面所成的角，又，所以为等腰直角三角形， 所以， 即直线与面所成的角为. 二面角题型04 一、解答题 1．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，在三棱锥中，平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且，，．    (1)证明：； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得，再根据，即可证出. （2）取的中点，过作交于，连接，由几何关系证明为二面角的平面角，再由勾股定理和等面积求出即可求出结果. 【详解】（1）分别为的中点， 平面， 平面， 平面，平面，. （2）    根据题意，取的中点，过作交于，连接， 因为为中点，为的中点，则，且， 又平面， 平面， 平面，而平面，， 又，平面， 所以平面， 平面，，即为二面角的平面角， 所以在中，，则， 由等面积可得， 所以，则， 即二面角的余弦值为. 2．（23-24高一下·广西北海·期末）如图，在三棱锥中，是等边三角形，，，，，，分别，的中点. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，根据几何关系证明平面； （2）根据（1）的结果，利用垂直关系构造二面角的平面角，即可求解. 【详解】（1）因为是等边三角形，点是的中点，， 所以，且， 点分别是的中点，所以， 中，，且，， 所以，， 所以，即， 且，且平面， 所以平面，平面, 所以平面平面； （2）中，，，，， 所以， 过点作， 因为平面平面，且平面平面； 所以平面， 作，连结， 因为平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面， 所以， 则为二面角的平面角， 中，， 中，， 所以，， 所以二面角的余弦值为. 3．（23-24高一下·广西防城港·期末）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，. (1)证明：平面； (2)若二面角为，求异面直线与所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质，线面垂直的性质 判定推理即得. （2）作出二面角的平面角，由此求出，再利用异面直线所成角的定义求出其正切值. 【详解】（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得， 由侧面底面，侧面底面平面， 得平面，又平面，则， 又侧面是正三角形，是的中点，则， 又平面，所以平面. （2）如图， 在平面内，过点作，垂足为，显然， 由侧面底面，交线为，得底面，底面， 则，过作，垂足为，连接，显然， 平面，则平面，而平面，因此， 则即为二面角的平面角，其大小为， 在中，，则， 由，得四边形为平行四边形，则， 由，得（或其补角）为异面直线与所成角， 由（1）知平面，则为直角三角形，， 所以异面直线与所成角的正切值为. 4．（22-23高一下·广西百色·期末）如图，四棱锥，平面，，，，过点作直线的平行线交于，为线段上一点．    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理，结合平行线的性质，可得答案； （2）根据二面角平面角的定义，作图，结合勾股定理以及余弦定理，可得答案. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）连结，过点作于点，连接，如图，   平面，、平面，所以，， 因为，，， 由勾股定理得：，则， 同理可得，， 故，所以三角形为等边三角形，， 同理可得：，，， 在中，由余弦定理得：， 则，， 在中，由余弦定理得：， 在中，， 因为，所以， 所以是平面与平面所成二面角的平面角， 由余弦定理得：． 5．（22-23高一下·广西北海·期末）如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点.    (1)求证：直线平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的判定定理求解； （2）连接，，可证明为二面角的平面角，利用余弦定理求解余弦值即可. 【详解】（1）连接交于点，连接，如图， 则为的中点， 由于是的中点，故， ∵平面，平面， 所以平面； （2）连接，， 因为，是的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 由底面是菱形，得， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 则为二面角的平面角， ，，， 由余弦定理可知， ∴二面角的余弦值为.    6．（21-22高一下·广西百色·期末）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，且，． (1)证明：平面ABC⊥平面； (2)若，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接，可得，进而可得平面，AB⊥平面，再利用面面垂直的判定定理即得； （2）过在平面内引直线垂直于AC，过O在平面ABC内引直线OH垂直于BC，根据面面垂直的性质定理及判定定理可得为二面角的平面角，结合条件即得. 【详解】（1）连接，如图， 由是菱形，所以． 又，， 所以平面，故, 又，， 所以AB⊥平面，又平面ABC． 所以平面ABC⊥平面． （2）过在平面内引直线垂直于AC，O为垂足，过O在平面ABC内引直线OH垂直于BC，H为垂足，连接． 由平面ABC⊥平面，平面平面， 所以平面ABC，所以，． 又OH⊥BC，， 所以BC⊥平面， 故为二面角的平面角． 设， 由，可知O为AC的中点， 所以．又，平面，平面， 所以AB⊥AC，所以． 所以． 所以， 所以二面角的余弦值为． 7．（23-24高一下·广西百色·期末）如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P在侧棱SD上，且． (1)求证：； (2)求二面角的大小； (3)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，，理由见解析. 【分析】（1）连接，连接，利用正四棱锥的结构特征，结合线面垂直的性质判定推理即得. （2）由（1）的信息，确定二面角的平面角，再计算大小. （3）过点作一平面平行于平面，再确定该平面与的交点即可得解. 【详解】（1）在正四棱锥中，连接，连接，则点O是正方形的中心， 平面，而平面，则，又 ， 平面，，于是平面，而 平面， 所以. （2）连接，由（1）知，平面，而平面，则， 于是是二面角的平面角，令正方形边长为， 则，有，又， 则，， 因此，，所以二面角的大小为. （3）在SP上取点N，使得，过N作交SC于点E，连BN， 由平面，平面，得平面， 由是的中点，得，而平面，平面，得平面， 又平面，因此平面平面，而平面， 则平面，由（2）知，，即点是中点， 于是，所以侧棱上存在一点E，使得平面，. 【点睛】关键点睛：本题是探求过定点的直线与已知平面平行的问题，过定点作与已知平面平行的平面是关键. 8．（23-24高一下·广西柳州·期末）在正方体中 (1)若分别为和的中点，求证：平面 (2)求二面角的正切值 (3)如图，为的中点，问：在棱上是否存在一点，使平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）取中点，连接，由四边形为平行四边形，可得，从而得证； （2）设正方体的棱长为1，由平面，可知为二面角的平面角，从而求解； （3）连接，则O是AC的中点，易证，根据平面平面，得到面MBD，进而得到，然后由求解. 【详解】（1）取中点，连接， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面； （2）连接，设正方体边长为1， 由正方体性质可得， 又平面，平面，所以， 平面，所以平面， 又平面，则， 所以为二面角的平面角， 中，. （3）如图所示： 在棱上存在一点M，使平面平面， 连接，则O是AC的中点， 则, 因为O是正方体中，BD的中点， 所以， 所以，因为平面平面， 所以面MBD， 所以， 所以， 又， 则， 则， 所以， 即. 9．（22-23高一下·广西南宁·期末）如图所示，正四棱锥中，O为底面正方形的中心，已知侧面与底面所成的二面角的大小为60°，E是PB的中点．    (1)请在棱AB与BC上各找一点M和N，使平面∥平面，作出图形并说明理由； (2)求异面直线与所成角的正切值． 【答案】(1)作图、理由见解析 (2) 【分析】（1）取,的中点,，连接,，可得平面，再利用面面平行的判定定理证明即可； （2）连接,，可得为异面直线与所成的角或其补角，计算即可； 【详解】（1）分别取,的中点,，连接,，   则平面平面， 证明：在中，,分别为，的中点， 所以，同理，， 又平面，平面， 所以平面，同理平面 又平面，所以平面平面， （2）连接,，取中点为，连接, 由于, 由于底面，底面, ，又因为，，，平面， 所以平面,平面,故, 故为侧面与底面所成的二面角的平面角，故60°， 不妨设底面正方形的边长为，则，,   因为，所以为异面直线与所成的角或其补角， 因为，，，,平面， 所以平面，又平面，所以， 所以， 所以， 则异面直线与所成角的正切值为； 一、解答题 1．（22-23高一下·广西钦州·期末）如图，在长方体中，点在平面的射影为．    (1)证明：为的垂心． (2)若，且点在平面的射影为点，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）利用线面垂直与面面垂直的判定与性质定理，确定了点的位置，从而利用等体积法求得三棱锥的体积. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又点在平面的射影为，即平面， 又平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理可证，所以为的垂心. （2）因为，所以， 记的中点为，则也是的中点，，由（1）知，    由（1）知，又在正方形中，， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 因为平面平面， 过作交于，则平面， 则平面，因为平面，所以与重合， 在四边形中，， 因为点在平面的射影为，点在平面的射影为， 所以，易知相似， 所以，得，同理得， 则， 易知平面，所以. 【点睛】关键点睛：本题第2小问解决的关键是确定点在平面的射影的位置，从而得解. 2．（22-23高一下·广西联考·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正切值； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，即可证明，再利用线面垂直的判定定理即可证明平面； （2）根据题意可得异面直线与所成角即为直线与直线所成的角，利用线面垂直可证为直角三角形，求的正切值即可； （3）利用等体积法求解点到平面的距离，直线与平面所成角为，，即可求解直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）解：∵平面，平面，∴， 又四边形是矩形，∴， ∵，∴平面， ∵平面，∴， 又是的中点，，∴， ∵，所以平面. （2）解：∵底面是矩形，∴， ∴异面直线与所成角即为直线与直线所成的角， 由（1）得平面，∴平面， ∵平面，∴，∴为直角三角形， 又是的中点，，∴， ∴在中，即为异面直线与所成角，故， ∴异面直线与所成角的正切值为. （3）解：取中点为，连接，， 在中，分别为线段的中点，故， ∵平面，∴平面， ∴， 由（1）得平面，∵平面，∴， ∵，∴，又，∴, ∴， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 则，解得：， 故， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 3．（22-23高一下·广西玉林·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是正三角形，为线段的中点，点为棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)若平面平面. ①当点恰为中点时，求异面直线与所成角的余弦值； ②在平面内确定一点，使的值最小，并求此时的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②答案见解析 【分析】（1）根据面面垂直的而判定定理证明即可； （2）①作辅助线，根据平移法找到异面直线与所成角，解三角形即可求得其余弦值；②根据图形的几何性质说明当 NF PC 时， NF 最短，此时，点 H 在棱 BP 上，然后通过解三角形求得相关线段长，继而求得的值. 【详解】（1）证明：连接 BD ， ∵四边形 ABCD为菱形，∴ AD AB ， BC ∥ AD ， ∵ BAD 60 ，∴为正三角形； ∵为正三角形，且 E 为 AD 中点， ∴ AD PE ，且 AD BE ， ∵ PEBE E ，∴ AD 平面 PBE ， ∵ BC ∥ AD ，∴ BC 平面 PBE ， ∵ BC 平面 PBC ，∴平面 PBC 平面 PBE . （2）①取CD 的中点 M ，连接 BM ， FM ， ∵ F 为 PC 中点，∴ MF ∥ PD ，MF ， ∴BFM 就是异面直线 BF 和 PD 所成的角或所成角的补角. ∵平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD， PEAD， ∴ PE 平面 ABCD，∴ PE BE ， ∵菱形 ABCD的边长为 2，， ∴与是全等的正三角形， ∵ M 、 E 分别为CD 、 AD 的中点， ∴ PE BE BM， ∴在 中，， 在中，， ∴ ， ∴在中，; ②设为平面内一点，延长CB 到点 N ，使得 BN BC=2 ， ∵ BC 平面 PBE ， ∴ ，∴CH NH ， ∴CH FH NH FH , ∵ ，∴要使CH FH最小只需 NF 最短即可， 由于点为棱上的动点.，故当 NF PC 时， NF 最短，此时，点 H 在棱 BP 上， 在 中，，∴， 在 中， ， ∵PCB FCN ，∴，∴，∴ ， ∵， ∴在 中，， ∴BH BP HP ，∴ ， ∴当 H 在线段 BP 上，且满足时，可使CH FH的值最小. 4．（21-22高一下·广西南宁·期末）如图，四边形为正方形，四边形为两个全等的等腰梯形，，，，．    (1)求二面角的大小； (2)求三棱锥的体积； (3)点N在直线上，满足，在直线上是否存在点M，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为或． 【分析】（1）作出二面角的平面角，求得相关线段长，解三角形可得答案； （2）证明为三棱锥的高，根据棱锥的体积公式可求得，即可求得答案； （3）假设直线上存在点M，使平面，讨论N点的位置，根据三角形相似以及线面平行的性质，即可求得的值，即得答案. 【详解】（1）∵四边形，为两个全等的等腰梯形，且， 过点E作，，分别交，于G、H，连接，    ∴为二面角的平面角， ∵四边形为正方形， ∴，，则四边形为矩形，故； 又，，， 则，同理， 则， ∴，即二面角的大小为. （2）过点E作，垂足为O． ∵，平面，平面， ∴平面， ∵，， ∴ ∵平面，∴平面， ∵平面，∴ ∵平面， ∴平面， ∴为三棱锥的高， 由（1）可得，故， ∵，∴. （3）假设直线上存在点M，使平面， 当N在线段上时，连接交于R，连接，        则∽，所以， ∵平面，平面，平面平面 ∴， ∴； 当点N在延长线上时，连接交于S，连接，    则∽，则， ∵平面，平面，平面平面． ∴， 所以， 综上，在直线上存在点M，使平面，的值为或． 5．（21-22高一下·广西玉林·期末）如图①，在梯形中，，，，，分别是，上的点，，.沿将梯形翻折，使平面平面（如图②）. (1)判断平面与平面的位置关系，并说明理由； (2)作出二面角的平面角，说明理由并求出它的余弦值. 【答案】(1)平面平面，理由见解析 (2)图象见解析，理由见解析；余弦值为 【分析】（1）根据线面垂直的判定证明平面，进而得到平面平面； （2）在平面中，过作且交于.在平面中，过作且交于，连接，根据线面垂直的性质，结合二面角的定义可判断即为二面角的平面角，再根据几何关系求解即可 【详解】（1）平面平面，理由如下 在直角梯形中，，， 因为，故. 所以在折叠后的几何体中，有，， 而，故平面，又平面， 所以平面平面； （2）如图，在平面中，过作且交于. 在平面中，过作且交于，连接， 即为二面角的平面角， 因为平面平面，平面平面，平面，故平面，因为平面，故， 而，故平面， 又平面，故， 所以为二面角的平面角， 在平面中，因为，， 故， 又在直角梯形中，且， 故，故四边形为平行四边形， 故，， 在直角三角形中，，因为三角形内角， 故 故，故， 因为三角形内角，故 所以二面角的平面角的余弦值为 另解： 如图，在平面中，过作且交于. 在平面中，过作且交于，连接， 即为二面角的平面角， 因为平面平面，平面平面，平面， 故平面， 因为平面，故，而， 故平面， 又平面，故， 所以为二面角的平面角， 在平面中，因为，， 故， 又在直角梯形中，且， 故，故四边形为平行四边形， 故， 易知，所以 故 在中， 故 所以二面角的平面角的余弦值为 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$