专题04 立体几何初步选填题（4大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（广西专用）

专题04 立体几何初步选填题 题型概览 题型01简单几何体的表面积与体积（精选13题） 题型02斜二测画法（精选7题） 题型03点、线、面位置关系的判断（精选13题） 题型04球的切接问题（精选11题） 优选提升题（精选20题） 简单几何体的表面积与体积题型01 一、单选题 1．（22-23高一下·广西钦州·期末）已知一个底面半径为2，高为的圆锥，被一个过该圆锥高的中点且平行于该圆锥底面的平面所截，则截得的圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广西北海·期末）已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为6，则该圆锥的体积是（  ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广西河池·期末）已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·广西南宁·期末）圆台的上、下底面半径分别是，且圆台的高为4，则该圆台的体积是（    ） A．30π B．28π C．25π D．24π 5．（22-23高一下·广西北海·期末）若圆台的高是，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面所成角的大小为，则这个圆台的侧面积是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知球O的半径，球O的内接圆锥的高h与底面半径r的比为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A． B． C． D． 8．（22-23高一下·广西百色·期末）已知直角三角形三边分别是3，4，5，对其三边进行旋转得到三个几何体，其中最大的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·广西崇左·期末）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小 10．（22-23高一下·广西钦州·期末）已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则（    ） A．该圆锥的底面半径为2 B．该圆锥的高为 C．该圆锥的表面积为 D．能制作的零件体积的最大值为 三、填空题 11．（23-24高一下·广西崇左·期末）正方体的棱长扩大到原来的倍，则其表面积扩大到原来的 倍，体积扩大到原来的 倍. 12．（22-23高一下·广西百色·期末）圆台的上、下底面半径分别是10和20，体积是，则圆台的母线长为 . 13．（23-24高一下·广西北海·期末）如图，三棱台的上、下底边长之比为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则 . 斜二测画法题型02 一、单选题 1．（23-24高一下·广西河池·期末）矩形的直观图是（    ） A．正方形 B．矩形 C．三角形 D．平行四边形 2．（22-23高一下·广西南宁·期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是平行四边形，且，，，则平面图形的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．10 3．（22-23高一下·广西来宾·期末）已知正方形的边长为2，它的水平放置的一个平面图形的直观图为（在轴上），则图形的面积是（    ） A．4 B．2 C． D．1 4．（23-24高一下·广西防城港·期末）对某平面图形使用斜二测画法后得到的直观图是边长为1的正方形（如图），则原图形的面积是 A． B．2 C． D．4 5．（23-24高一下·广西示范性高中·期末）如图，的斜二测画法的直观图是腰长为的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（    ） A．6 B． C．12 D． 二、填空题 6．（22-23高一下·广西百色·期末）已知等边的边长为2，则它的直观图的面积为 . 7．（22-23高一下·广西百色·期末）水平放置的的直观图如图所示，已知， ，则边上的中线的实际长度为 ． 点、线、面位置关系的判断题型03 一、单选题 1．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广西钦州·期末）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（22-23高一下·广西钦州·期末）已知为平面外一点，则下列判断错误的是（    ） A．过点只能作一个平面与平行 B．过点可以作无数条直线与平行 C．过点只能作一个平面与垂直 D．过点只能作一条直线与垂直 4．（22-23高一下·广西北海·期末）已知互不重合的直线，，互不重合的平面，，，下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（23-24高一下·广西南宁·期末）在正方体中，分别为、、、的中点，则异面直线与所成的角等于（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·广西南宁·期末）设为不重合的两平面，为不重合的两直线，则下列说法正确的是（    ） A．，且，则 B．，则 C．，则 D．，则与不垂直 7．（22-23高一下·广西示范性高中·期末）已知、m、n表示三条不同的直线，、、表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若、m、n两两相交且不共点，则、m、n共面；②若，则与内的任意一条直线平行；③若，，则；④若，，则.其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（22-23高一下·广西百色·期末）如图是正方体的平面展开图，在原正方体中： ①与所在直线平行； ②与所在直线异面； ③与所在直线互相垂直； ④与所在直线成角是． 以上四个命题中，正确命题的序号是（    ）    A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④ 9．（23-24高一下·广西防城港·期末）如图，在正方体中，E，F分别为棱BC，的中点，过点A，E，F作一截面，该截面将正方体分成上、下两部分，则分成的上、下两部分几何体的体积比为（    ） A．2 B． C． D． 二、多选题 10．（23-24高一下·广西南宁·期末）在空间中，设是不同的直线，表示不同的平面，则下列命题错误的是（   ） A．若，则. B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（23-24高一下·广西示范性高中·期末）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ）    A．四点共面 B． C．三线不共点 D． 三、填空题 12．（22-23高一下·广西玉林·期末）设与的两边分别平行，若，则 . 13．（23-24高一下·广西来宾·期末）三条不同的直线a、b、c，若，c与a、b都相交，则a、b、c三条直线能确定的平面的个数是 个． 球的切接问题题型04 一、单选题 1．（22-23高一下·广西联考·期末）棱长为4的正方体的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·广西北海·期末）著名的古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理：把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和侧面相切（该球也被称为圆柱的内切球），那么此时圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为定值，则该定值为（    ）． A． B． C． D． 3．（22-23高一下·广西河池·期末）将半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥（接缝处忽略不计），则该圆锥的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广西桂林·期末）已知圆锥的高为8，底面圆的半径为4，顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·广西来宾·期末）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，，为球的直径，，则这个三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·广西南宁·期末）已知正三棱柱底面边长为，侧棱长为1，则该正三棱柱外接球体积为（    ） A．3π B． C． D． 7．（22-23高一下·广西南宁·期末）在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一下·广西来宾·期末）已知三棱锥是球的内接三棱锥，其中是等腰直角三角形，平面，，，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·广西钦州·期末）已知三棱锥的底面是直角三角形，平面，，则（    ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．三棱锥外接球的表面积为 C．三棱锥内切球的半径为 D．三棱锥内切球的半径为 三、填空题 10．（22-23高一下·广西南宁·期末）已知长方体的底面是边长为的正方形，若，则该长方体的外接球的表面积为 ． 11．（22-23高一下·广西百色·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，，已知动点从点出发，沿外表面经过棱上一点到点的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为 . 一、单选题 1．（23-24高一下·广西百色·期末）足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长，清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味.如右图几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中，，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体Ω，则Ω的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，是的中点，，侧面与底面所成的二面角的大小（   ）    A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广西崇左·期末）中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式，例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解．右图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图．对应的是正四棱台中间位置的长方体，、、、对应四个三棱柱，、、、对应四个四棱锥．若这四个三棱柱的体积之和等于长方体的体积，则四棱锥与三棱柱的体积之比为（   ） A．3:1 B．1:3 C．2:3 D．1:6 4．（22-23高一下·广西百色·期末）金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体，如图，某金刚石的表面积为，现将它雕刻成一个球形装饰物，则可雕刻成的最大球体积是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·广西百色·期末）已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面是边长为3的等边三角形．若三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（23-24高一下·广西北海·期末）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是线段上的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A．正方体的内切球的表面积为 B． C．三棱锥的体积随着的变化而变化 D．存在点，使得平面 7．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，直四棱柱中，底面是，的矩形，直四棱柱的高为4，E，F分别为棱AB，的中点，则下列说法中正确的有（    ）    A．直线与CF相交 B．异面直线与CE所成角为 C．二面角的平面角为 D．平面CEF截该长方体所得的截面为五边形 8．（23-24高一下·广西桂林·期末）如图，向透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，水是定量的（定体积为）．固定容器底面一边于地面上，，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是（    ） A．水面所在四边形的面积为定值 B．没有水的部分始终呈棱柱形 C．棱一定与平面平行 D．当容器倾斜如图所示时，（定值） 9．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，在正方体中，是上底面的中心，分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．直线与平面所成角的正切值为 C．平面与平面的夹角为 D．异面直线与所成角的余弦值为 10．（23-24高一下·广西柳州·期末）如图，矩形中，为的中点，为的中点，交于点，将沿直线翻折到，连接为的中点，则在翻折过程中，下列合题中正确的是（    ） A．翻折过程中，始终有平面平面 B．翻折过程中，的长是定值 C．若，则 D．存在某个位置，使得 11．（23-24高一下·广西防城港·期末）已知圆锥的顶点为，为底面圆心，母线与互相垂直，的面积为2，与圆锥底面所成的角为，则下列说法正确的是（    ） A．圆锥的高为1 B．圆锥的体积为 C．圆锥侧面展开图的圆心角为 D．二面角的大小为 12．（23-24高一下·广西贺州·期末）已知圆锥的母线长为为底面圆的一条直径，.用一平行于底面的平面截圆锥，得到截面圆的圆心为.设圆的半径为，点为圆上的一个动点，则（    ） A．圆锥的体积为 B．的最小值为 C．若，则圆锥与圆台的体积之比为1:8 D．若为圆台的外接球球心，则圆的面积为 13．（22-23高一下·广西百色·期末）在三棱锥中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，，与底面所成的角的余弦值为，则以下正确的是（    ） A．三棱锥的外接球体积为 B．面面 C． D．三棱锥的外接球表面积是其表面积的2倍 14．（22-23高一下·广西河池·期末）如图，正方体的棱长为2，动点M在侧面内运动（含边界），且，则（    ）    A．点M的轨迹长度为 B．三棱锥的体积不为定值 C．的最小值为 D．取最小值时三棱锥的体积为 15．（22-23高一下·广西南宁·期末）如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是（    ） A．平面截正方体所得截面面积为 B．点F的轨迹长度为 C．存在点F，使得 D．平面与平面所成二面角的正弦值为 16．（22-23高一下·广西南宁·期末）（多选）已知矩形，平面，分别是中点，，记直线与平面所成角为，异面直线与所成角为，二面角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 17．（23-24高一下·广西河池·期末）某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体挖去一个四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，那么该模型的表面积为 ． 18．（23-24高一下·广西南宁·期末）在三棱锥中，平面，设三棱锥外接球体积为，则 . 19．（22-23高一下·广西玉林·期末）如图，四边形为菱形，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为 .    20．（22-23高一下·广西南宁·期末）已知正方形中，，E是边的中点，现以为折痕将折起，当三棱锥的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为 ． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 立体几何初步选填题 题型概览 题型01简单几何体的表面积与体积（精选13题） 题型02斜二测画法（精选7题） 题型03点、线、面位置关系的判断（精选13题） 题型04球的切接问题（精选11题） 优选提升题（精选20题） 简单几何体的表面积与体积题型01 一、单选题 1．（22-23高一下·广西钦州·期末）已知一个底面半径为2，高为的圆锥，被一个过该圆锥高的中点且平行于该圆锥底面的平面所截，则截得的圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆台体积公式求解. 【详解】根据题意可得圆台的下底面半径为2，上底面半径为1，高为， 故该圆台的体积. 故选：A. 2．（23-24高一下·广西北海·期末）已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为6，则该圆锥的体积是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合等腰直角三角形的性质与圆锥的母线长可计算得到圆锥的高与底面半径，结合体积公式计算即可得解. 【详解】设该圆锥底面圆的半径为，则， 解得，所以该圆锥的高， 所以该圆锥的体积. 故选： 3．（23-24高一下·广西河池·期末）已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设该圆锥的底面圆半径为，由弧长公式求出，即可求出圆锥的高，再由锥体的体积公式计算可得. 【详解】设该圆锥的底面圆半径为，所以，解得， 所以该圆锥的高， 所以该圆锥的体积． 故选：B． 4．（22-23高一下·广西南宁·期末）圆台的上、下底面半径分别是，且圆台的高为4，则该圆台的体积是（    ） A．30π B．28π C．25π D．24π 【答案】B 【分析】由圆台的体积公式即可得到答案. 【详解】因为圆台的上、下底面半径分别是，，高为， , 所以圆台的体积为． 故选：B． 5．（22-23高一下·广西北海·期末）若圆台的高是，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面所成角的大小为，则这个圆台的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，作该圆台的轴截面，求得上下底面半径和母线长，根据侧面积计算公式，可得答案. 【详解】由题意，可作该圆台的轴截面，如图所示：    则圆台的高， 上底面半径，下底面半径，即， 母线，即， 在中，， 易知在正方形中，， 则，即， 综上所述，， 所以圆台的侧面积. 故选：A. 6．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知球O的半径，球O的内接圆锥的高h与底面半径r的比为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由球的定义结合勾股定理求出，，进而得出圆锥的体积. 【详解】依题意，所以， 即，两边平方整理得，，解得（舍去）或，则． 所以该圆锥的体积为． 故选：C． 7．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积. 详解：根据题意，可得截面是边长为的正方形， 结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为， 所以其表面积为，故选B. 点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和. 8．（22-23高一下·广西百色·期末）已知直角三角形三边分别是3，4，5，对其三边进行旋转得到三个几何体，其中最大的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算以直角边和斜边为轴旋转得到的几何体体积，然后比较大小； 【详解】当以斜边为轴旋转时，所得的几何体是由两个同底的圆锥拼接而成，如图所示，      在直角三角形中，所以 解得： 故圆锥底面面积为： 所以几何体的体积为 以为轴旋转时， 当以为轴旋转时， 综上所述，当以为轴旋转时，体积最大为. 故选：B 二、多选题 9．（23-24高一下·广西崇左·期末）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小 【答案】ABC 【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算可得； 【详解】解：依题意球的表面积为， 圆柱的侧面积为，所以AC选项正确． 圆锥的侧面积为，所以B选项正确． 圆锥的表面积为， 圆柱的表面积为，所以D选项不正确． 故选：ABC 10．（22-23高一下·广西钦州·期末）已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则（    ） A．该圆锥的底面半径为2 B．该圆锥的高为 C．该圆锥的表面积为 D．能制作的零件体积的最大值为 【答案】BCD 【分析】根据侧面展开图和圆锥的关系可求得圆锥底面圆的半径以及圆锥的高，进而可求圆锥的表面积，再根据圆锥内切球的半径与轴截面内切圆的半径相等即可求能制作的零件体积的最大值. 【详解】由题意得该圆锥的母线长为4， 设圆锥的底面半径为，高为， 由，得，A错误； 则，B正确； 所以该圆锥的表面积为，C正确；    如图，圆锥内切球的半径等于(轴截面)内切圆的半径， 设的内切圆为圆，其半径为， 由， 得，得， 故能制作的零件体积的最大值为，D正确； 故选:BCD. 三、填空题 11．（23-24高一下·广西崇左·期末）正方体的棱长扩大到原来的倍，则其表面积扩大到原来的 倍，体积扩大到原来的 倍. 【答案】 【分析】设原来正方体的棱长为1，然后求出正方体的表面积和体积，再求出扩大后有表面积和体积，比较可得答案. 【详解】解：由题意，设原来正方体的棱长为1，其表面积为，体积为， 则棱长扩大到原来的倍后，正方体的棱长为，则其表面积为， 体积为，即表面积扩大到原来的倍，体积扩大到原来的倍. 故答案为：， 12．（22-23高一下·广西百色·期末）圆台的上、下底面半径分别是10和20，体积是，则圆台的母线长为 . 【答案】20 【分析】结合图形，利用圆台的体积公式以及勾股定理进行求解. 【详解】如图，圆台的上、下底面半径分别是10和20，所以， 设圆台上底面面积为，下底面面积为,高为，母线长为， 所以，， 根据圆台的体积公式， 解得，在中，由勾股定理有：， 解得.则圆台的母线长为20. 故答案为：20. 【点睛】 13．（23-24高一下·广西北海·期末）如图，三棱台的上、下底边长之比为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则 . 【答案】 【分析】利用锥体体积公式与棱台体积公式计算出三棱锥与三棱台的体积之比，再结合割补法即可得解. 【详解】由三棱台的上、下底边长之比为，可得上、下底面的面积比为， 设三棱台的高为，则点到平面的距离也为， 设上底面面积为，则下底面面积为， 则，， 所以， 所以. 故答案为：. 斜二测画法题型02 一、单选题 1．（23-24高一下·广西河池·期末）矩形的直观图是（    ） A．正方形 B．矩形 C．三角形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】根据直观图定义以及矩形的结构特征即可得解. 【详解】由直观图定义可知直观图不改变原图形的平行关系，也不改变平行于x轴的线段的长度， 直观图会改变原图形的夹角以及平行于y轴的线段的长度， 故矩形的直观图是平行四边形． 故选：D. 2．（22-23高一下·广西南宁·期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是平行四边形，且，，，则平面图形的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据斜二测画法得到平面图形，即可得解； 【详解】根据斜二测画法的规则可知该平面图形是矩形，如下图所示，且长，宽. 故平面图形的面积为. 故选：B 3．（22-23高一下·广西来宾·期末）已知正方形的边长为2，它的水平放置的一个平面图形的直观图为（在轴上），则图形的面积是（    ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】根据题意，由斜二测画法分析直观图为平行四边形，求出其相邻边长，结合三角形的面积公式计算可得答案． 【详解】根据题意，平行四边形的底边长为2，另一边长为1，夹角为， 所以图形的面积为． 故选：C． 4．（23-24高一下·广西防城港·期末）对某平面图形使用斜二测画法后得到的直观图是边长为1的正方形（如图），则原图形的面积是 A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】根据斜二测画法作图规则，作出原图，再求其面积. 【详解】根据斜二测画法可得原图为： 其中四边形为平行四边形，且，， 所以原图形的面积， 故选：C. 5．（23-24高一下·广西示范性高中·期末）如图，的斜二测画法的直观图是腰长为的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】先将直角坐标系中的原图作出，再比对直观图与原图直接求出即可. 【详解】 由题意得的原图如图所示，其中D为的中点，且， ， 所以，故. 故选：D. 二、填空题 6．（22-23高一下·广西百色·期末）已知等边的边长为2，则它的直观图的面积为 . 【答案】 【分析】已知等边的边长为2，作交于点，得出，根据斜二测画法，作出等边的直观图，从而可知，，，即可求出直观图的面积. 【详解】解：已知等边的边长为2，则， 作交于点，并分别以为轴，建立平面直角坐标系， 如下图1，可得， 根据斜二测画法，作出等边的直观图，如下图2， 可知，，， 过作，则， 故该等边三角形的直观图的面积为. 故答案为：.     7．（22-23高一下·广西百色·期末）水平放置的的直观图如图所示，已知， ，则边上的中线的实际长度为 ． 【答案】 【分析】由已知中直观图中线段的长，可分析出实际为一个直角边长分别为、的直角三角形，进而根据勾股定理求出斜边，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】根据斜二测画法的原则,由直观图知，原平面图形为直角三角形，且，, 所以， 所以， 故边上中线长为. 故答案为：2.5. 点、线、面位置关系的判断题型03 一、单选题 1．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将平移到与相交，求所成的角，即异面直线所成的角. 【详解】正方体中，，所以与所成的角即异面直线与所成的角， 因为为正三角形，所以与所成的角为， 所以异面直线与所成的角为. 故选：C. 2．（23-24高一下·广西钦州·期末）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一进行判断即可. 【详解】若，，则或，故A错误. 若，，则或，相交，故B错误. 若，，则或或，故C错误. 若，，则，故D正确. 故选：D. 3．（22-23高一下·广西钦州·期末）已知为平面外一点，则下列判断错误的是（    ） A．过点只能作一个平面与平行 B．过点可以作无数条直线与平行 C．过点只能作一个平面与垂直 D．过点只能作一条直线与垂直 【答案】C 【分析】利用空间中线与面的平行关系与垂直关系进行判断即可. 【详解】过平面外一点只能作一个平面与平行，故A正确； 平面外一点可以作无数条直线与平行，故B正确； 平面外一点只能作一条直线与垂直，故D正确； 平面外一点可以作无数个平面与垂直，故C错误. 故选：C. 4．（22-23高一下·广西北海·期末）已知互不重合的直线，，互不重合的平面，，，下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用面面平行具有传递性的性质，可判断A 选项；利用面面平行与垂直的性质，可判断B选项；利用面面平行的性质定理可判断C、D选项； 【详解】对于选项，，则，故A正确； 对于B选项，，则，故B正确； 对于选项，，则或，故C错误； 对于D选项，，根据面面平行，可证得线面平行，即，故正确. 故选：C. 5．（23-24高一下·广西南宁·期末）在正方体中，分别为、、、的中点，则异面直线与所成的角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，异面直线与所成的角是或其补角，由正方体性质即可得结论. 【详解】如图，连接， 由题意， 所以异面直线与所成的角是或其补角， 由正方体性质知是等边三角形，， 所以异面直线与所成的角是. 故选：B. 6．（23-24高一下·广西南宁·期末）设为不重合的两平面，为不重合的两直线，则下列说法正确的是（    ） A．，且，则 B．，则 C．，则 D．，则与不垂直 【答案】D 【分析】根据空间的点、线、面的位置关系可依次判断各选项. 【详解】对于A，缺少条件，错误； 对于B，与夹角不固定，错误； 对于C，可能会出现，错误； 对于D，若，又，所以，这矛盾，故与不垂直，正确. 故选：D 7．（22-23高一下·广西示范性高中·期末）已知、m、n表示三条不同的直线，、、表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若、m、n两两相交且不共点，则、m、n共面；②若，则与内的任意一条直线平行；③若，，则；④若，，则.其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】对①，根据三个不共线的点确定一平面判断即可；对②③，根据举反例判断即可；对④，根据面面垂直的判定判断即可. 【详解】对①，由、m、n两两相交且不共点，可得分别分别相交于3点，且三点不共线，故该3点能确定一平面，即所在的平面，故①正确； 对②，在正方体中，但与不平行，故②错误；      对③，在正方体中平面平面，平面平面，且平面平面，故③错误； 对④，由线面垂直的性质可得④正确； 综上有①④正确. 故选：C 8．（22-23高一下·广西百色·期末）如图是正方体的平面展开图，在原正方体中： ①与所在直线平行； ②与所在直线异面； ③与所在直线互相垂直； ④与所在直线成角是． 以上四个命题中，正确命题的序号是（    ）    A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】首先还原正方体，再根据线线的位置关系，判断选项. 【详解】如图，直线与是异面直线，故①错误； 直线与是异面直线，故②正确； 直线，故③错误； 如图，，所以异面直线与所成角为，而三角形是等边三角形，所以，故④正确.          故选：B 9．（23-24高一下·广西防城港·期末）如图，在正方体中，E，F分别为棱BC，的中点，过点A，E，F作一截面，该截面将正方体分成上、下两部分，则分成的上、下两部分几何体的体积比为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析可得过点A，E，F的截面即为截面，截面将正方体分成上、下两部分，其中下部分为三棱台，结合台体的体积公式分析运算. 【详解】如图，连接，， ∵E，F分别为棱BC，的中点，则， 又∵，且，则为平行四边形， ∴， 可得， 故则过点A，E，F的截面即为截面，截面将正方体分成上、下两部分，其中下部分为三棱台，且三棱台的高为． 设正方体的棱长为2，则， 可得正方体的体积， 三棱台的体积， 故分成的上、下两部分几何体的体积比为． 故选：C． 二、多选题 10．（23-24高一下·广西南宁·期末）在空间中，设是不同的直线，表示不同的平面，则下列命题错误的是（   ） A．若，则. B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据线面关系基本定理举反例判断A；根据线面关系基本定理举反例判断B；根据线面关系基本定理举反例判断C；根据线面关系基本定理判断D． 【详解】对于A，，，可能，不一定，所以A错； 对于B，，，可能有，不一定，所以B错； 对于C，，，可能有或等，未必有，所以C错； 对于D，设，取不在、、、上点，过作交于，作交于， ，，，设与确定的平面交于点，连，，，， ，，为二面角的平面角， 四点、、、共圆； ，所以D对． 故选：ABC． 11．（23-24高一下·广西示范性高中·期末）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ）    A．四点共面 B． C．三线不共点 D． 【答案】AB 【分析】连接，证得且，可得判定A正确、B正确；延长相交于点，结合平面的性质，可判定C不正确；由和时，得到，可判定D错误． 【详解】对于A、B中，如图所示，连接， 因为是的中位线，所以，且， 又因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，且，所以为梯形， 所以四点共面，所以A、B正确； 对于C中，如图所示，延长相交于点， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 因为平面平面，所以， 所以三线共点，所以C不正确； 对于D中，因为，当时，， 又，则，所以D错误． 故选：AB    三、填空题 12．（22-23高一下·广西玉林·期末）设与的两边分别平行，若，则 . 【答案】或 【分析】根据等角定理即可得到答案． 【详解】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补． 所求角为或. 故答案为：或. 13．（23-24高一下·广西来宾·期末）三条不同的直线a、b、c，若，c与a、b都相交，则a、b、c三条直线能确定的平面的个数是 个． 【答案】 【分析】根据平面的基本性质，即可得到a、b、c三条直线能确定唯一的平面，即可得到答案. 【详解】由直线，可得直线可以唯一确定一个平面，设该平面为， 设，可得， 因为，所以，所以a、b、c三条直线能确定的平面的个数是个. 故答案为：. 球的切接问题题型04 一、单选题 1．（22-23高一下·广西联考·期末）棱长为4的正方体的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由正方体的内切球直径为正方体棱长，直接求解. 【详解】由球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径， 得，，故表面积为， 故选：C. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 2．（22-23高一下·广西北海·期末）著名的古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理：把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和侧面相切（该球也被称为圆柱的内切球），那么此时圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为定值，则该定值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件可得，结合圆柱与球的体积公式计算即可. 【详解】设圆柱的母线长为l，内切球的半径为r，如图所示，     则其轴截面如图所示， 则， 所以圆柱的内切球体积为，圆柱体积为， 所以圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为. 故选：D. 3．（22-23高一下·广西河池·期末）将半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥（接缝处忽略不计），则该圆锥的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先算出扇形的弧长，从而可得圆锥底面的半径，故可求轴截面内切圆的半径即为圆锥内切球的半径，最后根据公式可求体积. 【详解】     设圆锥的母线长为，底面半径为，由题意可得，由，所以． 因为，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形， 该等边三角形（如图）的内切圆半径为圆锥内切球半径， 而等边三角形的边长为4，故，故． 故选：C． 4．（23-24高一下·广西桂林·期末）已知圆锥的高为8，底面圆的半径为4，顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由条件可得球的半径，再由球的表面积公式，即可得到结果. 【详解】设球的半径为，则，解得， 所以球的表面积为， 故选：A. 5．（23-24高一下·广西来宾·期末）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，，为球的直径，，则这个三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得为直角三角形，则斜边的中点为的外接圆的圆心，连接，结合已知可证得平面，从而可求出三棱锥的体积 【详解】解：如图所示，由条件为直角三角形，则斜边的中点为的外接圆的圆心， 连接得平面，， ，， 平面， 三棱锥的体积为． 故选：C． 6．（22-23高一下·广西南宁·期末）已知正三棱柱底面边长为，侧棱长为1，则该正三棱柱外接球体积为（    ） A．3π B． C． D． 【答案】B 【分析】求出底面外接圆的半径后可求外接球半径，从而可求外接球的体积. 【详解】因为正三棱柱的底面边长为， 所以底面所在平面截其外接球所成的圆的半径满足即， 又由正三棱柱的高为1，则球心到圆的距离为， 故外接球半径，∴外接球的体积． 故选：B． 7．（22-23高一下·广西南宁·期末）在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正三棱锥的特征，由勾股定理即可求解半径，进而由体积公式求解. 【详解】由已知可得是正三棱锥，设PH是正三棱锥的高， 易知外接球求心O在PH上，且H为底面正的中心． 如图，设外接球的半径为R，由题可知， 则．由得，解得， 所以外接球的体积为． 故选：C．    8．（22-23高一下·广西来宾·期末）已知三棱锥是球的内接三棱锥，其中是等腰直角三角形，平面，，，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，，，再将三棱锥补成长方体，利用三棱锥的外接球就是长方体的外接球求解即可. 【详解】因为平面，平面，平面， 所以，， 又因为是等腰直角三角形，，所以， 所以可将三棱锥补成长方体，如图： 则三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 长方体外接球的直径等于长方体的对角线， 即， 所以外接球的表面积为， 故选：A.    二、多选题 9．（23-24高一下·广西钦州·期末）已知三棱锥的底面是直角三角形，平面，，则（    ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．三棱锥外接球的表面积为 C．三棱锥内切球的半径为 D．三棱锥内切球的半径为 【答案】AC 【分析】根据三棱锥特征构造长方体求出外接球半径，求得表面积，再由等体积法求出内切球半径. 【详解】由题意可知，，两两垂直， 则三棱锥外接球的半径满足， 从而三棱锥外接球的表面积为， 故A正确，B错误. 由题意可得三棱锥的体积， 三棱锥的表面积. 设三棱锥内切球的半径为， 因为， 所以，则C正确，D错误.故选：AC 三、填空题 10．（22-23高一下·广西南宁·期末）已知长方体的底面是边长为的正方形，若，则该长方体的外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合长方体的结果特征求外接球的半径，进而可得结果. 【详解】设长方体的外接球的半径为， 因为平面，平面，所以， 又因为，在中，， 可得，即， 所以长方体的外接球的表面积．故答案为：.    11．（22-23高一下·广西百色·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，，已知动点从点出发，沿外表面经过棱上一点到点的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为 . 【答案】 【分析】将沿翻折到与共面得到平面四边形如图1所示，设，利用余弦定理求出，将三棱锥补成长方体如图2所示，该棱锥的外接球即为长方体的外接球，求出外接球的半径，即可求出其体积. 【详解】解：将沿翻折到与共面得到平面四边形如图1所示， 设，即，由题意得， 在中，由余弦定理得 即 即，解得或（舍去）， 将三棱锥补成长方体如图2所示， 该棱锥的外接球即为长方体的外接球， 则外接球的半径，所以外接球的体积. 故答案为： 一、单选题 1．（23-24高一下·广西百色·期末）足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长，清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味.如右图几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中，，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体Ω，则Ω的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知几何体为正四棱台，根据正四棱台以及球的结构特称求出外接球的半径，进而可得表面积. 【详解】依题意，几何体为正四棱台，其底面边长分别为2，4，侧棱长为2， 正四棱台高为， 设上、下底面中心分别为，外接球的球心为，半径为，， 圆的半径分别为，显然， 则，即球心在正四棱台外， 于是，解得， 所以的外接球的表面积为. 故选：D 【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键. 2．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，是的中点，，侧面与底面所成的二面角的大小（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，取的中点，连接，由二面角的定义可得为侧面与底面所成的二面角的平面角，然后代入计算，即可求解. 【详解】取的中点，连接，    因为为正四棱锥，为底面正方形的中心，所以底面， 平面，所以，， 又底面为正方形，为中点， 所以，且，平面， 所以平面，又平面，所以， 则为侧面与底面所成的二面角的平面角， 又，， 所以，且为锐角， 所以，即侧面与底面所成的二面角为. 故选：D 3．（23-24高一下·广西崇左·期末）中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式，例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解．右图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图．对应的是正四棱台中间位置的长方体，、、、对应四个三棱柱，、、、对应四个四棱锥．若这四个三棱柱的体积之和等于长方体的体积，则四棱锥与三棱柱的体积之比为（   ） A．3:1 B．1:3 C．2:3 D．1:6 【答案】B 【分析】令四棱锥的底面边长为，高为，三棱柱的高为，写出三棱柱、长方体和三棱柱的体积列式求解即可. 【详解】 如图，令四棱锥的底面边长为，高为，三棱柱的高为， 所以三棱柱的体积为， 长方体的体积为，因为四个三棱柱的体积之和等于长方体的体积， 所以，所以， 因为四棱锥的体积为， 所以四棱锥与三棱柱的体积之比为. 故选：B. 4．（22-23高一下·广西百色·期末）金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体，如图，某金刚石的表面积为，现将它雕刻成一个球形装饰物，则可雕刻成的最大球体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定雕刻的体积最大的球为正八面题的内切球，并确定球心和切点的位置，再根据等面积公式求内切球的半径，即可求解球的体积. 【详解】如图，设底面中心为，，中点分别为，，连接，，，，，， 设金刚石的边长为，则由题知，，所以， 在等边中，边上的高， 在中，， 由题可知，最大球即为金刚石的内切球，由对称性易知球心在点，与面的切点在线段上， 球的半径即为截面内切圆的半径，设内切圆半径为， 由等面积法可知：，解得，所以内切球的半径为 则内切球体积为 故选：D． 5．（22-23高一下·广西百色·期末）已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面是边长为3的等边三角形．若三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设球O的半径为R，的外心为，由题意，可得外接圆的半径及面积，即可得，代入体积公式，结合题意，可求得R值，代入球的表面积公式，即可得答案. 【详解】设球O的半径为R，的外心为， 由题意得外接圆半径为，面积为， 所以， 所以最大值， 所以，即，解得， 所以球O的表面积为. 故选:A.    二、多选题 6．（23-24高一下·广西北海·期末）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是线段上的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A．正方体的内切球的表面积为 B． C．三棱锥的体积随着的变化而变化 D．存在点，使得平面 【答案】ABD 【分析】根据内切球的半径为判断A；证明平面，即可判断B；证明平面，即可判断C；当点是线段的中点可证平面，即可判断D. 【详解】棱长为的正方体 内切球的半径为， 所以正方体内切球的表面积，故A正确； 在正方体中，平面，又平面， 所以 ，又 平面， 所以平面，又平面，所以，故B正确； 因为，且平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 故三棱锥的体积为定值，故C错误； 当点是线段的中点时，则点也是线段的中点，又是棱的中点， 所以，又，平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以，同理可证， 又，平面， 所以平面，所以平面，故D正确. 故选：ABD. 7．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，直四棱柱中，底面是，的矩形，直四棱柱的高为4，E，F分别为棱AB，的中点，则下列说法中正确的有（    ）    A．直线与CF相交 B．异面直线与CE所成角为 C．二面角的平面角为 D．平面CEF截该长方体所得的截面为五边形 【答案】AD 【分析】证明四边形为梯形，可判定A正确；结合三垂线定理即可判定可得与不垂直，B不正确；证明为二面角的平面角，求解判断C错误；确定截面共有五边形，可判定D正确. 【详解】因为且，可得四边形为梯形， 所以与必相交，所以A正确； 由题意，在长方体中，因为平面， 平面，所以， 假设异面直线与所成角是，即， 平面，， 可得平面，而平面， 则， 在长方形中，因为， 取中点，可知正方形中，    可得与不垂直，矛盾， 所以异面直线与所成角不是，所以B错误； 由上图可知，又，即，则， 又平面，平面，所以， 平面，所以平面， 平面，则，则为二面角的平面角， 又，所以不等于，C错误；    点是棱上一点，且，取的中点，连接， 因为分别是和的中点，所以， 由四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，所以为平面与平面的交线， 为截面的边，截面又与平面及相交， 可得截面的两条边，所以截面共有五边形，所以D正确. 故选：AD.    【点睛】关键点点睛：利用面面平行的性质定理找到平面与平面的交线，从而确定截面图形. 8．（23-24高一下·广西桂林·期末）如图，向透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，水是定量的（定体积为）．固定容器底面一边于地面上，，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是（    ） A．水面所在四边形的面积为定值 B．没有水的部分始终呈棱柱形 C．棱一定与平面平行 D．当容器倾斜如图所示时，（定值） 【答案】BCD 【分析】画出随着倾斜度得到的图形，根据线面平行的性质及棱柱的定义判断A，B，C，再根据柱体的体积公式判断D. 【详解】依题意将容器倾斜，随着倾斜度的不同可得如下三种情形， 对于A：水面是矩形，线段的长一定，从图1到图2，再到图3的过程中，线段长逐渐增大， 则水面所在四边形的面积逐渐增大，故A错误； 对于B：依题意，水面，而平面平面，平面，则， 同理，而，，又平面，平面平面， 因此有水的部分的几何体是直棱柱，长方体去掉有水部分的棱柱，没有水的部分始终呈棱柱形，故B正确； 对于C：因为，平面，平面，因此平面， 即棱一定与平面平行，故C正确； 对于D ：当容器倾斜如图3所示时，有水部分的几何体是直三棱柱，其高为，体积为， 又，，所以，故D正确. 故选：BCD 9．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，在正方体中，是上底面的中心，分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．直线与平面所成角的正切值为 C．平面与平面的夹角为 D．异面直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】利用线面垂直的判定定理和性质定理求解，利用线面角的定义，求解直线与平面所成角的正切值，先做出平面与平面的夹角的夹角，在利用解三角形的知识求解，利用异面直线的夹角的定义求解异面直线与所成角的余弦值. 【详解】选项A：因为在正方体中，是上底面的中心，分别为的中点，所以 面面所以又面 所以面，面，所以，正确； 选项B：连结交于,连结则为直线与平面所成角， 设正方体边长为，则正切值为正确. 选项C：延长交于其中连结取中点设为则面， 因为面和面所以为面和面的交线， 则过作连结则为平面与平面的夹角的平面角. 在中，设正方体边长为则 在中，由余弦定理得 则错误. 选项D：取的中点设为Q,连结则为异面直线和的夹角， 在中 ，正确. 故选：ABD. 10．（23-24高一下·广西柳州·期末）如图，矩形中，为的中点，为的中点，交于点，将沿直线翻折到，连接为的中点，则在翻折过程中，下列合题中正确的是（    ） A．翻折过程中，始终有平面平面 B．翻折过程中，的长是定值 C．若，则 D．存在某个位置，使得 【答案】ABC 【分析】对于A，易知为的中点，则，，再利用面面平行的判定定理，即可判断；对于B，利用等角定理得到以及（定值），（定值），在中由余弦定理可知的长是定值，即可判断；对于C，由，利用直角三角形中线定理可得，即可判断；对于D，由等角定理，根据，得到，即，即可判断. 【详解】因为E，F为中点，则，所以四边形CEFD是平行四边形， 所以是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 同理平面， 又，所以平面平面，故A正确； 因为（定值），（定值），（定值）， 在中由余弦定理可知的长是定值，故B正确； 若，则，所以，所以，故C正确； 因为，所以，所以， 因为在同一平面内，所以不可能垂直于， 因为，所以不可能垂直于，故D错误. 故选：ABC. 11．（23-24高一下·广西防城港·期末）已知圆锥的顶点为，为底面圆心，母线与互相垂直，的面积为2，与圆锥底面所成的角为，则下列说法正确的是（    ） A．圆锥的高为1 B．圆锥的体积为 C．圆锥侧面展开图的圆心角为 D．二面角的大小为 【答案】ACD 【分析】利用三角形的面积公式求出圆锥的母线长，结合线面角的定义可判断A选项；利用圆锥的体积公式可判断B选项；利用扇形的弧长公式可判断C选项；利用二面角的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为与底面垂直，为底面圆的一条半径，则， 所以与圆锥底面所成的角为， 又，所以的面积为，解得， 所以该圆锥的高为，故A正确； 对于B选项，该圆锥的底面半径为， 故该圆锥的体积为，故B错误； 对于C选项，设该圆锥侧面展开图的圆心角为， 底面圆周长为，则，故C正确； 对于D选项，取的中点，连接， 因为，为的中点，则，由垂径定理可得， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，，则为等腰直角三角形， 则，所以， 所以，， 因为，故，即二面角的大小为，故D正确. 故选：ACD. 12．（23-24高一下·广西贺州·期末）已知圆锥的母线长为为底面圆的一条直径，.用一平行于底面的平面截圆锥，得到截面圆的圆心为.设圆的半径为，点为圆上的一个动点，则（    ） A．圆锥的体积为 B．的最小值为 C．若，则圆锥与圆台的体积之比为1:8 D．若为圆台的外接球球心，则圆的面积为 【答案】ABD 【分析】根据圆锥的几何性质，求得其高，结合圆锥的体积公式、勾股定理、球的性质，可得答案. 【详解】由题意可作图如下：    由圆锥的母线长为，底面圆的半径为2，则，， 可得圆锥的高. 对于A：，A选项正确； 对于B：已知，设点在底面的投影为，如下图所示：    则，所以，B选项正确； 对于C：由题意可作图如下：    当时，，所以， 又，所以，C选项错误； 对于D：由题意可作图如下：    若点是圆台的外接球球心，则由， 解得，所以，D选项正确. 故选：ABD. 13．（22-23高一下·广西百色·期末）在三棱锥中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，，与底面所成的角的余弦值为，则以下正确的是（    ） A．三棱锥的外接球体积为 B．面面 C． D．三棱锥的外接球表面积是其表面积的2倍 【答案】AC 【分析】取中点，连接，，即可证明平面平面，则为与底面所成线面角（或其补角），利用余弦定理求出，即可判断C，取中点，连接，即可证明平面，即可判断B，且，所以为外接球的球心，根据球的体积公式即可判断A，再求出球的表面积与锥体的表面积，即可判断D. 【详解】取中点，连接，，因为，，    所以，，，，平面， 所以平面，又因为平面，所以平面平面， 所以为与底面所成线面角（或其补角），即（或）， 因为，所以，， 令， 若，则，解得或（舍去）， 若，则，解得（舍去）或， 因为，所以，即，即，选项C正确； 取中点，连接，， 即，因为，所以， 又平面平面，平面， ∴平面，平面，所以平面平面， 显然平面与平面不垂直，故B错误； 因为平面，平面，所以， 所以， 所以，所以为外接球的球心，半径为， 所以外接球的体积，∴选项A正确； 又，， 所以，， 所以， 又，， 所以三棱锥的表面积， 又三棱锥的外接球表面积，故D错误； 故选：AC 14．（22-23高一下·广西河池·期末）如图，正方体的棱长为2，动点M在侧面内运动（含边界），且，则（    ）    A．点M的轨迹长度为 B．三棱锥的体积不为定值 C．的最小值为 D．取最小值时三棱锥的体积为 【答案】ACD 【分析】根据平面，得点的轨迹为， 可得点的轨迹长度可判断A ；将平面翻折到与平面重合， 可得，，三点共线，取得最小值，分别求出、可判断C；利用锥体的体积公式求出三棱锥的体积可判断D． 【详解】如图，因为平面，平面，所以，    因为，，平面， 所以平面，平面，所以， 若，则点M的轨迹为，因为正方体的棱长为2， 所以点的轨迹长度为，故A正确； 三棱锥就是三棱锥，底面积和高都不变，因此体积不变，故B错误； 将平面翻折到与平面重合，如图，    此时A，M，三点共线，取得最小值A，是边长为的等边三角形， 是边长为2的等腰直角三角形，且M是的中点， 所以，，取得最小值为，故C正确. 设M到平面ABCD的距离为h，由三角形面积相等，有，则， ，于是，故D正确. 故选：ACD. 15．（22-23高一下·广西南宁·期末）如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是（    ） A．平面截正方体所得截面面积为 B．点F的轨迹长度为 C．存在点F，使得 D．平面与平面所成二面角的正弦值为 【答案】AC 【分析】取CD中点G，连接BG、EG，计算截面的面积后判断A的正误，取中点M，中点N，则点F的运动轨迹为线段MN，故可判断B的正误，取MN的中点F，则可判断，故可判断C的正误，而即为平面与平面所成二面角，计算其正弦值后可判断D的正误. 【详解】 取CD中点G，连接BG、EG，则等腰梯形为截面， 而，， 故梯形面积为，A正确； 取中点M，中点N，连接， 则，故四边形为平行四边形， 则得，而平面，平面， 故平面，同理平面， 而，平面，故平面平面， ∴点F的运动轨迹为线段MN，其长度为，B错误； 取MN的中点F，则， ∴，∵，∴，C正确； 因为平面平面且，， ∴即为平面与平面所成二面角，，D错误． 故选：AC. 16．（22-23高一下·广西南宁·期末）（多选）已知矩形，平面，分别是中点，，记直线与平面所成角为，异面直线与所成角为，二面角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】通过空间直线、平面的位置关系作出相应角，结合锐角三角函数得出对应三个角的三角函数值，根据选项所求化简一一判定即可. 【详解】由知，四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，所以就是直线与平面所成角，即， 因为，所以就是异面直线与所成角， 而，所以，即， 因为，所以二面角就是二面角， 因为平面，， 所以由三垂线定理知，， 所以就是二面角的平面角，即， 设， 则，，， 所以，，，，， 选项，，即选项正确； 选项，，即选项正确； 选项，，，所以，即选项错误； 选项，，， 所以，即选项正确． 故选：ABD． 三、填空题 17．（23-24高一下·广西河池·期末）某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体挖去一个四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，那么该模型的表面积为 ． 【答案】 【分析】先求解得，，进而得到的面积，再根据全等性质与表面积的计算公式求解即可. 【详解】由题意可得，， 所以， 故该模型的表面积为． 故答案为： 18．（23-24高一下·广西南宁·期末）在三棱锥中，平面，设三棱锥外接球体积为，则 . 【答案】 【分析】根据长方体外接球得半径公式求出半径，再求出外接球体积及三棱锥体积，最后求出比列即可. 【详解】由于，故. 将三棱锥补形为边长分别为的长方体， 则其外接球半径， 故. 故答案为：. 19．（22-23高一下·广西玉林·期末）如图，四边形为菱形，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为 .    【答案】 【分析】由已知得三棱锥是棱长为正四面体，其内切球的半径为，其外接球的半径为，利用等体积法求得；又正四面体的棱长可看成是正方体的面对角线，外接球的直径即为体对角线的长，可求得，再结合球的表面积公式即可求解. 【详解】由已知得三棱锥是棱长为正四面体，其内切球的半径为，其外接球的半径为， 由内切球的球心与正四面体的表面构成四个三棱锥，由体积分割可得，解得； 又正四面体的棱长可看成是正方体的面对角线，外接球的直径即为体对角线的长，即有，即，则， 则三棱锥的内切球与外接球表面积的比为：. 故答案为：. 20．（22-23高一下·广西南宁·期末）已知正方形中，，E是边的中点，现以为折痕将折起，当三棱锥的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】// 【分析】由是边的中点，可得为定值，当平面平面时，高最大值，此时体积最大，求得三角形外接圆的半径，即可求得球的表面积． 【详解】由题意，当平面平面时，三棱锥的高有最大值，此时体积最大． 是直角三角形，取斜边的中点，则为直角三角形的外心， 设等腰三角形的外心为，连接，则平面， 则，即为三棱锥的外接球的球心， 在中，，， 则，得， 外接球半径， 三棱锥外接球的表面积为． 故答案为： 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$