专题03 复数（4大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（广西专用）

专题03 复数 题型概览 题型01复数的概念与几何意义（精选7题） 题型02复数的模（精选10题） 题型03复数的四则运算（精选6题） 题型04复数范围内方程的根（精选4题） 复数的概念与几何意义题型01 一、单选题 1．（22-23高一下·广西桂林·期末）已知复数z满足，则z的虚部为（    ） A． B．2 C． D．3 2．（23-24高一下·广西桂林·期末）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（23-24高一下·广西河池·期末）欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式．它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、多选题 4．（23-24高一下·广西贺州·期末）已知复数，为的共轭复数，则下列各选项正确的是（    ） A．是虚数 B．的虚部为 C． D． 三、填空题 5．（23-24高一下·广西崇左·期末）点对应的复数是，点对应的复数是，则线段的中点对应的复数是 . 四、解答题 6．（22-23高一下·广西玉林·期末）已知复数，其中为虚数单位. (1)当实数取何值时，复数是纯虚数； (2)若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围. 7．（22-23高一下·广西联考·期末）已知复数z＝（2+i）m2﹣3m（1+i）﹣2（1﹣i）.当实数m取什么值时，复数z是： （1）虚数； （2）纯虚数； （3）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数. 复数的模题型02 一、单选题 1．（23-24高一下·广西南宁·期末）若复数，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广西南宁·期末）设，则 A． B． C． D． 3．（22-23高一下·广西南宁·期末）已知复数z满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 二、多选题 4．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知复数，则下列说法正确的是（    ） A． B．对应的点在复平面的第三象限 C．为纯虚数 D． 5．（23-24高一下·广西来宾·期末）设是的共轭复数，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．是实数 6．（22-23高一下·广西百色·期末）实数满足，设，则下列说法正确的是（    ） A．z在复平面内对应的点在第一象限 B． C．z的虚部是 D．z的实部是1 三、填空题 7．（22-23高一下·广西联考·期末）已知复数满足，的虚部为－2，所对应的点在第二象限，则 ． 8．（23-24高一下·广西防城港·期末）设是复数且，则的最小值为 . 四、解答题 9．（23-24高一下·广西北海·期末）（1）已知，复数是纯虚数，求的值； （2）已知，设是虚数单位），求. 10．（23-24高一下·广西崇左·期末）已知复数满足，的虚部为2，在复平面上所对应的点在第一象限. (1)求； (2)若，在复平面上的对应点分别为，，求. 复数的四则运算题型03 一、单选题 1．（23-24高一下·广西防城港·期末）复数的共轭复数为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广西贺州·期末）已知是虚数单位，则复数（    ） A． B．1 C． D． 3．（23-24高一下·广西崇左·期末）复数与（其中，为虚数单位）的积是实数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·广西南宁·期末）已知a为实数，若复数为纯虚数，则（    ） A．i B． C．1 D． 二、多选题 5．（23-24高一下·广西河池·期末）已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．若是实数，则与的虚部互为相反数 B．若且，则在复平面内对应的点关于实轴对称 C．若，则 D．若，则 三、填空题 6．（22-23高一下·广西南宁·期末）设复数z＝6+26i2023，z的共轭复数，则对应的点为 ． 复数范围内方程的根题型04 一、单选题 1．（21-22高一下·广西南宁·期末）已知复数，是关于x的方程的两个根，则（    ） A．9 B．81 C． D．82 二、多选题 2．（23-24高一下·广西柳州·期末）下列说法正确的是（    ） A．复数的虚部为 B．方程的复数根为 C．若，则复平面内对应的点位于第二象限 D．复平面内，实轴上的点对应的复数是实数 三、填空题 3．（22-23高一下·广西百色·期末）由数学王子高斯证明出的代数基本定理的内容可知一元次多项式方程有个复数根，且对于一元二次方程，其两个复数根互为共轭复数．若复数是一元二次方程的一个根，则 ． 4．（23-24高一下·广西南宁·期末）是关于的方程的一个根，则实数 . 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 复数 题型概览 题型01复数的概念与几何意义（精选7题） 题型02复数的模（精选10题） 题型03复数的四则运算（精选6题） 题型04复数范围内方程的根（精选4题） 复数的概念与几何意义题型01 一、单选题 1．（22-23高一下·广西桂林·期末）已知复数z满足，则z的虚部为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据复数的概念即可求出结果. 【详解】因为，所以复数的虚部为， 故选：B. 2．（23-24高一下·广西桂林·期末）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由坐标判断象限即可. 【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为，在第二象限. 故选：B 3．（23-24高一下·广西河池·期末）欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式．它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据欧拉公式 ，再分析复数的实部和虚部的符号即可. 【详解】由题意得，又， 所以， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限． 故选：B． 二、多选题 4．（23-24高一下·广西贺州·期末）已知复数，为的共轭复数，则下列各选项正确的是（    ） A．是虚数 B．的虚部为 C． D． 【答案】AD 【分析】结合复数及共轭复数的概念，复数模的公式，复数的几何意义，即可求解. 【详解】因为，所以， A选项中，由于虚部不为0，所以是虚数，A正确； B选项中，的虚部为1，B错误； C选项中，当复数的虚部不为零时，不能比大小，C错误； D选项中，，，，D正确． 故选：AD． 三、填空题 5．（23-24高一下·广西崇左·期末）点对应的复数是，点对应的复数是，则线段的中点对应的复数是 . 【答案】 【分析】利用复数的几何意义结合中点坐标公式可求得结果. 【详解】解：由题意可得，，， 则线段的中点为， 则线段的中点对应的复数是. 故答案为： 四、解答题 6．（22-23高一下·广西玉林·期末）已知复数，其中为虚数单位. (1)当实数取何值时，复数是纯虚数； (2)若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的概念，结合题意列出方程组，即可求解； （2）根据复数的几何意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由复数 因为复数是纯虚数，则满足，解得， 故当实数时，复数是纯虚数. （2）解：因为复数在复平面上对应的点位于第二象限， 则满足，解得， 故实数的取值范围为. 7．（22-23高一下·广西联考·期末）已知复数z＝（2+i）m2﹣3m（1+i）﹣2（1﹣i）.当实数m取什么值时，复数z是： （1）虚数； （2）纯虚数； （3）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】先把z化简，再根据复数的基本概念对（1）、（2）、（3）分别求出m的范围： （1）若z是虚数，需虚部不等于0； （2）若z是纯虚数，需实部为0，虚部不为0； （3）若z复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数，需实部与虚部和为0. 【详解】z＝（2+i）m2﹣3m（1+i）﹣2（1﹣i）＝（2m2﹣3m﹣2）+（m2﹣3m+2）i. （1）若z是虚数，则m2﹣3m+2≠0，解得：m≠1且m≠2， 所以m的范围为. （2）若z是纯虚数；则，解得，所以m的范围为. （3）若复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数， 则2m2﹣3m﹣2+m2﹣3m+2＝0，即3m2﹣6m＝0，得m＝0或2. 所以m的范围为 【点睛】由复数z参数m的范围： （1）若z是虚数，需虚部不等于0； （2）若z是纯虚数，需实部为0，虚部不为0； （3）若z复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数，需实部与虚部和为0. 复数的模题型02 一、单选题 1．（23-24高一下·广西南宁·期末）若复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】整理可得，结合复数的模长公式运算求解. 【详解】由题意可得：， 所以． 故选：C． 2．（23-24高一下·广西南宁·期末）设，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模. 详解： ， 则，故选c. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3．（22-23高一下·广西南宁·期末）已知复数z满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】由复数的除法法则计算得到，从而求出模长. 【详解】由，即，所以． 故选：B． 二、多选题 4．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知复数，则下列说法正确的是（    ） A． B．对应的点在复平面的第三象限 C．为纯虚数 D． 【答案】BCD 【分析】根据复数模的计算判断A；根据复数的几何意义判断B；根据复数的乘除法判断CD. 【详解】A.，错误 B.，对应的点在复平面的第三象限，正确 C.，为纯虚数，正确 D.，正确 故选：BCD 5．（23-24高一下·广西来宾·期末）设是的共轭复数，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．是实数 【答案】ABD 【分析】根据复数的四则运算、复数的模、共轭复数以及复数的定义加以计算判断. 【详解】对于A，令，则， 于是，所以A正确； 对于B，令，则，因为， ，所以B正确； 对于C，令，满足， 而，，所以C错误； 对于D，令，则， 而是实数，所以D正确. 故选：ABD. 6．（22-23高一下·广西百色·期末）实数满足，设，则下列说法正确的是（    ） A．z在复平面内对应的点在第一象限 B． C．z的虚部是 D．z的实部是1 【答案】ABD 【分析】由条件结合复数相等的定义列方程求，由此可得，进而根据复数的概念和几何意义求得答案. 【详解】实数满足， 可化为， 所以，解得， 所以， 对于A，z在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，故A正确. 对于B，|z|=，故B正确. 对于C，z的虚部是1，故C错误. 对于D，z的实部是1，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 7．（22-23高一下·广西联考·期末）已知复数满足，的虚部为－2，所对应的点在第二象限，则 ． 【答案】/ 【分析】设复数，根据题干中的条件列方程组求解的值即可. 【详解】解：设复数，则，所以， 又，且的虚部为-2，则， 因为所对应的点在第二象限，即点在第二象限，所以， 故，解得，故. 故答案为：. 8．（23-24高一下·广西防城港·期末）设是复数且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解. 【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离， 由图可知，. 故答案为：. 四、解答题 9．（23-24高一下·广西北海·期末）（1）已知，复数是纯虚数，求的值； （2）已知，设是虚数单位），求. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由纯虚数的概念列出方程组，求解即可； （2）根据复数相等求出的值，再求模. 【详解】（1）因为复数是纯虚数， 所以 ， 解得 ； （2） 因为 ， 所以 ， 所以 ，解得 ， 所以 . 10．（23-24高一下·广西崇左·期末）已知复数满足，的虚部为2，在复平面上所对应的点在第一象限. (1)求； (2)若，在复平面上的对应点分别为，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则可得，，，，从而可求出，进而可求出； （2）先求出，，然后可求出，的坐标，从而可求出，再利用向量的夹角公式可求得结果. 【详解】（1）设， 因为，所以， 因为，的虚部为2， 所以，得， 因为在复平面上所对应的点在第一象限， 所以，， 所以解得， 所以. （2）因为，所以， 所以，， 因为， 所以，， 所以. 复数的四则运算题型03 一、单选题 1．（23-24高一下·广西防城港·期末）复数的共轭复数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用复数的除法法则得到，根据共轭复数的概念得到答案. 【详解】，所以共轭复数为. 故选：A. 2．（23-24高一下·广西贺州·期末）已知是虚数单位，则复数（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】运用完全平方和公式展开，再4次方即可求出. 【详解】因为，所以. 故选：B. 3．（23-24高一下·广西崇左·期末）复数与（其中，为虚数单位）的积是实数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算，得到即得解. 【详解】解：是实数， 所以. 反过来，也成立. 所以充要条件是. 故选：D 4．（22-23高一下·广西南宁·期末）已知a为实数，若复数为纯虚数，则（    ） A．i B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由给定复数为纯虚数求出，再利用复数的乘方运算及除法运算求解作答. 【详解】因为复数为纯虚数，则，解得， 所以. 故选：B 二、多选题 5．（23-24高一下·广西河池·期末）已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．若是实数，则与的虚部互为相反数 B．若且，则在复平面内对应的点关于实轴对称 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】A.利用复数的运算求解；B.利用复数相等求解；C.由复数不能比较大小求解；D.取判断. 【详解】设，所以，所以，所以，故A正确； 因为，所以，故B正确； 取，此时，满足，但与不能比较大小，故C错误； 若，满足，但是，故D错误． 故选：AB． 三、填空题 6．（22-23高一下·广西南宁·期末）设复数z＝6+26i2023，z的共轭复数，则对应的点为 ． 【答案】 【分析】先进行化简，后根据共轭复数概念求出即可． 【详解】，z的共轭复数，则对应的点为． 故答案为：． 复数范围内方程的根题型04 一、单选题 1．（21-22高一下·广西南宁·期末）已知复数，是关于x的方程的两个根，则（    ） A．9 B．81 C． D．82 【答案】C 【分析】利用求根公式和复数的模求解. 【详解】解：因为复数，是关于x的方程的两个根， 所以， 所以或． 故选：C 二、多选题 2．（23-24高一下·广西柳州·期末）下列说法正确的是（    ） A．复数的虚部为 B．方程的复数根为 C．若，则复平面内对应的点位于第二象限 D．复平面内，实轴上的点对应的复数是实数 【答案】BD 【分析】化简即可判断A项；根据韦达定理，即可得出B项；化简得出，求出共轭复数，根据复数的几何意义，即可判断C项；根据复数的几何意义，即可得出D项. 【详解】对于A，，虚部为3，A错误； 对于B，，，B正确； 对于C，，则，复平面内对应的点在y轴负半轴上，C不正确； 对于D，复平面内，实轴上的点对应的复数是实数，D正确. 故选：BD. 三、填空题 3．（22-23高一下·广西百色·期末）由数学王子高斯证明出的代数基本定理的内容可知一元次多项式方程有个复数根，且对于一元二次方程，其两个复数根互为共轭复数．若复数是一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】64 【分析】根据题意得到是一元二次方程的根，然后利用韦达定理列方程，解方程求解即可. 【详解】由题意可得是一元二次方程的另一个根， 故由一元二次方程的韦达定理可得， 故. 故答案为：64. 4．（23-24高一下·广西南宁·期末）是关于的方程的一个根，则实数 . 【答案】10 【分析】由方程的两个根为共轭复数，利用韦达定理求的值. 【详解】若一元二次方程存在虚数根，则该方程的两个根为共轭复数， 即为该方程的两根，由韦达定理，. 故答案为：10. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$