专题02 解三角形（4大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（广西专用）

.专题02 解三角形 题型概览 题型01正、余弦定理的应用（精选17题） 题型02三角形面积公式的应用（精选11题） 题型03解三角形的实际应用（精选6题） 题型04解三角形中的最值、范围问题（精选8题） 优选提升题（精选14题） 正、余弦定理的应用题型01 一、单选题 1．（23-24高一下·广西南宁·期末）在中，，则（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广西示范性高中·期末）在中，角对边为，且，则的形状为（        ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 3．（23-24高一下·广西北海·期末）在中，内角的对边分别为 ，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广西南宁·期末）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，若点恰好在边上，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一下·广西钦州·期末）在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·广西示范性高中·期末）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则△ABC一定是锐角三角形 C．若，则△ABC一定为直角三角形 D．若，则△ABC一定是等腰三角形 7．（22-23高一下·广西北海·期末）在下列情况的三角形中，有两个解的是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一下·广西钦州·期末）已知的内角的对边分别为，已知，锐角C满足，则（    ） A．的面积为 B． C． D． 三、填空题 9．（23-24高一下·广西北海·期末）在单位圆上有三点，设 三边长分别为 ，则 . 10．（22-23高一下·广西南宁·期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知 ． 11．（22-23高一下·广西钦州·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则 .若，，则 . 12．（22-23高一下·广西北海·期末）在中，，则 . 四、解答题 13．（22-23高一下·广西来宾·期末）在中，所对的边分别为，且，，且． (1)求的值： (2)若，的面积为，求边． 14．（22-23高一下·广西南宁·期末）已知△ABC的内角的对边分别为，． (1)求A的大小； (2)若且△ABC的面积为，求的值． 15．（22-23高一下·广西南宁·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)已知，______，且为的中点，求线段的长． 在①周长为6；②面积为这两个条件中任选一个填在上面横线上，作为条件，并解决该问题． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．） 16．（23-24高一下·广西防城港·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角的大小； (2)若点在线段BC上，且AD平分，若，且，求． 17．（22-23高一下·广西南宁·期末）在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求； (2)若，且 ，求的周长． 在①的面积为，②这两个条件中任选一个，补充在上面空白处，并完成解答． 三角形面积公式的应用题型02 一、单选题 1．（23-24高一下·广西贺州·期末）在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·广西北海·期末）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，则该三角形（    ） A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 3．（23-24高一下·广西百色·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（22-23高一下·广西百色·期末）在中，内角的对边分别为，若，则 . 5．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知在中，内角的对边分别为，若，则的面积为 ． 6．（23-24高一下·广西梧州·期末）在中，，，，则的面积为 . 7．（22-23高一下·广西南宁·期末）在中，，，，则的面积为 ． 8．（22-23高一下·广西百色·期末）在中，角所对的边分别为，，角平分线交于点，，则的面积为 . 三、解答题 9．（23-24高一下·广西来宾·期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积． 10．（23-24高一下·广西南宁·期末）的内角的对边分别为，且满足. (1)证明：为等腰三角形 (2)若，求的面积. 11．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，在中，点在边上，，，. (1)求； (2)若的面积是，求. 解三角形的实际应用题型03 一、单选题 1．（23-24高一下·广西来宾·期末）如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile．此船的航速是（    ）n mile/h． A．16 B．32 C．64 D．128 2．（23-24高一下·广西百色·期末）如图1，这是雁鸣塔，位于贵州省遵义娄山关景区，塔身巍然挺拔，直指苍穹，登塔可众览娄山好风光．某数学兴趣小组成员为测量雁鸣塔的高度，在点O的同一水平面上的A，B两处进行测量，如图2．已知在A处测得塔顶P的仰角为30°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，且米，，则雁鸣塔的高度（    ） A．30米 B．米 C．米 D．米 3．（23-24高一下·广西桂林·期末）“桂林山水甲天下”，如图，为测量桂林市某公园内一山的高，选择公园内某点和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得的仰角，点的仰角以及，从点测得，已知山高，则山高（    ）． A． B． C． D． 4．（22-23高一下·广西联考·期末）如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一.小强同学学以致用，欲测量大运塔的高度.他选取与塔底在同一水平面内的两个观测点，测得，，在两观测点处测得大运塔顶部的仰角分别为，则大运塔的高为（    ）.    A． B． C． D． 二、填空题 5．（22-23高一下·广西南宁·期末）某同学为了测量天文台的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台A，A到地面的距离为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得阳台A，天文台顶的仰角分别是15°和60°，在阳台处测得天文台顶的仰角为30°，假设，和点在同一平面内，则该同学可测得学校天文台的高度为 .    6．（22-23高一下·广西百色·期末）如图，某山的高度BC＝300m，一架无人机在Q处观测到山顶C的仰角为15°，地面上A处的俯角为45°，若∠BAC＝60°，则此无人机距离地面的高度PQ为 m． 解三角形中的最值、范围问题题型04 一、单选题 1．（23-24高一下·广西桂林·期末）已知圆心角为的扇形的半径为1，点是上的一点，点是线段上的一点，点、是线段上的两点，且四边形为矩形，则该矩形的最大面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高一下·广西百色·期末）在中，内角所对的边分别为，其中，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．面积的最大值为 C．若为边的中点，则的最大值为3 D．若为锐角三角形，则其周长的取值范围为 三、填空题 3．（23-24高一下·广西示范性高中·期末）在中，内角的对边分别为为锐角，的面积为2，则的周长的最小值为 . 四、解答题 4．（23-24高一下·广西柳州·期末）如图，的内角，，的对边分别为，，，已知，为线段上一点，且. (1)求角； (2)若，求面积的最大值； 5．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知中，角所对的边分别是，其中，． (1)求的外接圆半径； (2)求周长的最大值． 6．（23-24高一下·广西南宁·期末）在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)点是上的一点，，且，求周长的最小值. 7．（22-23高一下·广西南宁·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角C的大小； (2)若，求周长的取值范围． 8．（22-23高一下·广西南宁·期末）请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）. (1)求角C的大小； (2)若，D为的外接圆上的点，，求四边形ABCD面积的最大值. 一、单选题 1．（22-23高一下·广西南宁·期末）△ABD、△BCE、△CAF是3个全等的三角形，用这3个三角形拼成如图所示的2个等边三角形△ABC、△DEF，若，.，则DF＝（    ）      A．1 B． C．2 D． 2．（22-23高一下·广西钦州·期末）武当山，位于湖北省西北部十堰市境内，其自然风光，以雄为主，兼有险、奇、幽、秀等多重特色.主峰天柱峰犹如金铸玉瑑的宝柱雄峙苍穹，屹立于群峰之巅.环绕其周围的群山，从四面八方向主峰倾斜，形成独特的“七十二峰朝大顶，二十四涧水长流”的天然奇观，被誉为“自古无双胜境，天下第一仙山”.如图，若点为主峰天柱峰的最高点，为观测点，且在同一水平面上的投影分别为，，，由点测得点的仰角为，米，由点测得点的仰角为且，则两点到水平面的高度差约为（    ）（参考数据：）    A．684米 B．732米 C．746米 D．750米 3．（22-23高一下·广西百色·期末）若，且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 二、多选题 4．（22-23高一下·广西联考·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且、、，下面说法错误的是（    ） A． B．是锐角三角形 C．的最大内角是最小内角的倍 D．内切圆半径为 三、填空题 5．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点D是AB的中点．若且，，则 ． 6．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，在中，为斜边的中点，点分别在边上（不包括端点），，若，则 ． 7．（22-23高一下·广西南宁·期末）已知，， ，AD平分交BC于点D，则 ． 四、解答题 8．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，在平面四边形中，，，，. (1)证明：； (2)求面积的最大值； (3)设为线段的中点，求的最大值. 9．（23-24高一下·广西梧州·期末）在中，角A，，所对的边分别为，，，，，且． (1)若，，求的周长； (2)若，，求的最大值． 10．（22-23高一下·广西北海·期末）如图，某地计划在一海滩处建造一个养殖场，射线为海岸线，，现用长度为2千米的网依托海岸线围成一个的养殖场（海岸钱不用围）.    (1)已知，求的长度； (2)请问如何选取点，才能使得养殖场的面积最大？并求其最大面积. 11．（22-23高一下·广西钦州·期末）在中，角所对的边分别为，__________． 在①；②这两个条件中任选一个，补充在上面横线上，并加以解答． (1)求角； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分． 12．（22-23高一下·广西百色·期末）从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若___________. (1)求角В的大小； (2)若为锐角三角形，с=1，求a的取值范围. 注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分. 13．（22-23高一下·广西南宁·期末）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝，(，)． （1）当cos＝时，求小路AC的长度； （2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度． 14．（23-24高一下·广西崇左·期末）是直线外一点，点在直线上（点与两点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记 (1)若在正方体的棱的延长线上，且，由对施以视角运算，求的值； (2)若在正方体的棱上，且，由对施以视角运算，得到，求的值； (3)若是边的等分点，由对施以视角运算，证明：. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ .专题02 解三角形 题型概览 题型01正、余弦定理的应用（精选17题） 题型02三角形面积公式的应用（精选11题） 题型03解三角形的实际应用（精选6题） 题型04解三角形中的最值、范围问题（精选8题） 优选提升题（精选14题） 正、余弦定理的应用题型01 一、单选题 1．（23-24高一下·广西南宁·期末）在中，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理及余弦定理求解. 【详解】由正弦定理可知，， 设， 则. 故选：B 2．（23-24高一下·广西示范性高中·期末）在中，角对边为，且，则的形状为（        ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】先根据二倍角公式化简，根据余弦定理化简得到即可得到答案. 【详解】因为， 所以，即， 所以， 在中，由余弦定理：， 代入得，，即， 所以. 所以直角三角形. 故选：B 3．（23-24高一下·广西北海·期末）在中，内角的对边分别为 ，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数的基本关系结合正弦定理求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 由正弦定理得，所以，故A正确. 故选：. 4．（23-24高一下·广西南宁·期末）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，若点恰好在边上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理可得，即可由同角关系可得，进而由正弦定理即可求解. 【详解】由题意，在中，由余弦定理，； 因为，所以， 在中，由正弦定理， 所以，解得， 故选：C 二、多选题 5．（23-24高一下·广西钦州·期末）在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由，求得，正弦定理求出，可得的值. 【详解】因为，且，所以. 由正弦定理可得，则， 又，有，故或. 故选：AD 6．（23-24高一下·广西示范性高中·期末）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则△ABC一定是锐角三角形 C．若，则△ABC一定为直角三角形 D．若，则△ABC一定是等腰三角形 【答案】AC 【分析】根据正弦定理结合已知可得，即可得出A；B根据余弦定理只能得出C为锐角，无法判断A、B的情况；根据余弦定理角化边，结合已知整理，即可判断C、D项. 【详解】对于A项，由正弦定理可得，，所以，所以，故A项正确； 对于B项，由余弦定理可得，所以为锐角，但无法判断角，故B项错误； 对于C项，由余弦定理以及，代入已知整理可得，，所以△ABC一定为直角三角形，故C项正确； 对于D项，由余弦定理以及，代入已知整理可得，，所以或，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故D项错误. 故选：AC. 7．（22-23高一下·广西北海·期末）在下列情况的三角形中，有两个解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用正弦定理，逐项判断计算作答 【详解】对于A，，则有两解，A是； 对于B，，且，则为锐角，只有一解，B不是； 对于C，，则为锐角，只有一解，C不是； 对于D，，则有两解，D是. 故选：AD 8．（22-23高一下·广西钦州·期末）已知的内角的对边分别为，已知，锐角C满足，则（    ） A．的面积为 B． C． D． 【答案】BC 【分析】由三角形的面积公式，可判定A错误；由三角函数的基本关系式，可判定B正确，由余弦定理，可判定C正确，D错误. 【详解】在中，因为，且， 由三角形的面积公式，可得，所以A错误； 由为锐角，且，可得，所以B正确； 由余弦定理得，可得，所以C正确； 由余弦定理得，所以D不正确. 故选：BC. 三、填空题 9．（23-24高一下·广西北海·期末）在单位圆上有三点，设 三边长分别为 ，则 . 【答案】 【分析】根据合分比定理结合正弦定理求解. 【详解】单位圆的半径为，故的外接圆直径为 ， 根据正弦定理，， 根据合分比定理，. 故答案为： 10．（22-23高一下·广西南宁·期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知 ． 【答案】 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理， 即，即，解得或（舍去）. 故答案为： 11．（22-23高一下·广西钦州·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则 .若，，则 . 【答案】 【分析】设的外接圆半径为，由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值；利用二倍角的余弦公式求出的值，利用余弦定理可求得的值. 【详解】设的外接圆半径为，则 ， 由二倍角的余弦公式可得， 由余弦定理可得，故. 故答案为：；. 12．（22-23高一下·广西北海·期末）在中，，则 . 【答案】 【分析】先利用正弦定理化角为边求出边，再利用余弦定理即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 由余弦定理. 故答案为：. 四、解答题 13．（22-23高一下·广西来宾·期末）在中，所对的边分别为，且，，且． (1)求的值： (2)若，的面积为，求边． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将利用向量数量积公式转化即可； （2）根据余弦定理结合三角形面积公式求解即可； 【详解】（1）， 所以：． （2）由于，， 所以： 在中，，由于的面积为， 所以：，即解得：， 故：， 解得： 14．（22-23高一下·广西南宁·期末）已知△ABC的内角的对边分别为，． (1)求A的大小； (2)若且△ABC的面积为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角化，结合正弦的和差角公式即可求解， （2）由面积公式可得，由余弦定理可得，进而根据正弦定理即可求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理及，得，即有，， 整理得，而，因此， 又，所以． （2）因为，由（1）知，则， 由余弦定理得，即，于是 由正弦定理得，，，所以． 15．（22-23高一下·广西南宁·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)已知，______，且为的中点，求线段的长． 在①周长为6；②面积为这两个条件中任选一个填在上面横线上，作为条件，并解决该问题． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）若选①，可得，由余弦定理求出、，再根据及数量积的运算律计算可得；若选②，由面积公式求出，由余弦定理求出，再根据及数量积的运算律计算可得； 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 又，所以， 代入上式得，因为，所以， 又，所以． （2）选择①：因为周长为6，又，所以． 由余弦定理，且，， 由余弦定理得， 则，． 因为，所以 ，即， 所以． 选择② 因为面积为，则，解得． 由余弦定理，且，，解得， 因为，所以 ，即， 所以． 16．（23-24高一下·广西防城港·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角的大小； (2)若点在线段BC上，且AD平分，若，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式可得，结合利用两角和的正弦展开式化简，再结合角的范围可求结果； （2）由，利用三角形的面积公式化简可得，再结合角平分线定理可得，然后用余弦定理可求结果； 【详解】（1）由正弦定理可得， 所以， 即， 可得， 整理可得， 因为在中，， 所以，又， 所以； （2）因为，AD平分， 所以， 由得， 即，整理可得，① 因为为角平分线，所以， 在中由正弦定理可得， 在中由正弦定理可得， 又，所以， 所以，② 由①②可得， 在中，由余弦定理可得 ， 解得. 17．（22-23高一下·广西南宁·期末）在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求； (2)若，且 ，求的周长． 在①的面积为，②这两个条件中任选一个，补充在上面空白处，并完成解答． 【答案】(1) (2)条件选择见解析，的周长为 【分析】（1）利用余弦定理、切化弦以及正弦定理化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）选①，利用三角形的面积公式可求得，结合余弦定理可求得的值，即可得出的周长； 选②，求出、的值，利用正弦定理可求得、的值，即可得出的周长. 【详解】（1）解：由余弦定理可得，则， 同理可得， 因为，即， 由题意，且，所以，，所以，， 因为，则，所以，，故. （2）解：若选①：，可得， 由余弦定理可得 ， 所以，，解得， 因此，的周长为； 若选②：因为，则为锐角，则， 由正弦定理可得，所以，， ， 由正弦定理可得，得， 因此，的周长为. 三角形面积公式的应用题型02 一、单选题 1．（23-24高一下·广西贺州·期末）在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先利用同角三角函数的基本关系求，再运用三角形面积公式计算即得结果. 【详解】因为，，故， 所以的面积为. 故选：A. 2．（22-23高一下·广西北海·期末）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，则该三角形（    ） A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角形面积表示边长，再利用余弦定理计算判断作答. 【详解】设的内角的对边分别是，且边上的高分别为， 则，令，则， 故，故为直角，故该三角形为直角三角形. 故选：B 3．（23-24高一下·广西百色·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由给定条件，利用正弦定理边化角求出，再利用余弦定理求出即可求出三角形面积. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 而，则，由及余弦定理得，， 因此，，则， 所以的面积为. 故选：B 二、填空题 4．（22-23高一下·广西百色·期末）在中，内角的对边分别为，若，则 . 【答案】/ 【分析】利用余弦定理列出方程求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】因为， 由余弦定理得，解得， 所以. 故答案为：. 5．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知在中，内角的对边分别为，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】利用余弦定理解得，结合面积公式运算求解. 【详解】由余弦定理可得，即， 整理可得，解得（舍负），则， 所以的面积为． 故答案为：. 6．（23-24高一下·广西梧州·期末）在中，，，，则的面积为 . 【答案】/ 【分析】利用余弦定理求出，再求，即可由面积公式求解.． 【详解】中，，，， 由余弦定理得 , 由于，所以， 所以的面积 故答案为： 7．（22-23高一下·广西南宁·期末）在中，，，，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】由已知和内角和定理得到与的关系式及的范围，利用二倍角的余弦可得的值，根据正弦定理求出，利用诱导公式可得，根据面积公式求出即可． 【详解】由，和， 得，所以． 故，即，可得，． 又由正弦定理，得，可得， 由，， ， ． 故答案为： 8．（22-23高一下·广西百色·期末）在中，角所对的边分别为，，角平分线交于点，，则的面积为 . 【答案】 【分析】由余弦定理解得AD，由正弦定理解得∠ABD，从而得∠ABC，根据三角形内角和得∠C，再正弦定理解得BC即可求得面积. 【详解】   中，由余弦定理可得， 即，解得AD=2， 再由正弦定理得，显然是锐角， 则， ∴， 又是锐角，所以， 故， 由正弦定理得， 所以， 故答案为： 三、解答题 9．（23-24高一下·广西来宾·期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由余弦定理可得答案； （2）由正弦定理得，结合求出，再由三角形的面积公式可得答案. 【详解】（1）由， ， 由，； （2），由正弦定理得①， 又②， 联立①②解得，， ． 10．（23-24高一下·广西南宁·期末）的内角的对边分别为，且满足. (1)证明：为等腰三角形 (2)若，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再利用两角差的正弦公式即可； （2）利用余弦定理即可得到，再求出，最后利用三角形面积公式即可. 【详解】（1）因为，结合正弦定理边角关系， 所以，则. 又，所以， 故，即，则为等腰三角形. （2）由，则， ，即， 因为，则， 所以. 11．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，在中，点在边上，，，. (1)求； (2)若的面积是，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件，在中，使用余弦定理得可求，可得是等边三角形，进而可求； （2）由（1）可求，结合三角形的面积公式可求，在中，利用余弦定理可求. 【详解】（1）解：在中，因为，， 由余弦定理得， 即， 整理得，解得． 因为，所以， 所以是等边三角形，所以. （2）解：因为，所以． 因为的面积是， 所以，所以， 在中，， 所以. 解三角形的实际应用题型03 一、单选题 1．（23-24高一下·广西来宾·期末）如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile．此船的航速是（    ）n mile/h． A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】B 【分析】运用正弦定理进行求解即可. 【详解】解析：设航速为v n mile/h，在△ABS中，AB＝v，BS＝ n mile，∠BSA＝45°， 由正弦定理，得＝，∴ v＝32 n mile/h． 故选：B 2．（23-24高一下·广西百色·期末）如图1，这是雁鸣塔，位于贵州省遵义娄山关景区，塔身巍然挺拔，直指苍穹，登塔可众览娄山好风光．某数学兴趣小组成员为测量雁鸣塔的高度，在点O的同一水平面上的A，B两处进行测量，如图2．已知在A处测得塔顶P的仰角为30°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，且米，，则雁鸣塔的高度（    ） A．30米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】设，用表示，再利用余弦定理列式计算即得. 【详解】设，依题意，，， 在中，由余弦定理得， 即，整理得，解得， 所以雁鸣塔的高度为30米. 故选：A 3．（23-24高一下·广西桂林·期末）“桂林山水甲天下”，如图，为测量桂林市某公园内一山的高，选择公园内某点和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得的仰角，点的仰角以及，从点测得，已知山高，则山高（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由条件求得长，再利用正弦定理求得长，最后在中求得. 【详解】在中，由可得； 在中，由正弦定理，,即得， 在中，,则. 故选：B. 4．（22-23高一下·广西联考·期末）如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一.小强同学学以致用，欲测量大运塔的高度.他选取与塔底在同一水平面内的两个观测点，测得，，在两观测点处测得大运塔顶部的仰角分别为，则大运塔的高为（    ）.    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据仰角分别得出,，在中由余弦定理即可求出. 【详解】由题意得，在直角中，，所以， 在直角，，所以，即， 在中，，， 由余弦定理得， 即，因为，所以解得. 即大运塔的高为. 故选：B 二、填空题 5．（22-23高一下·广西南宁·期末）某同学为了测量天文台的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台A，A到地面的距离为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得阳台A，天文台顶的仰角分别是15°和60°，在阳台处测得天文台顶的仰角为30°，假设，和点在同一平面内，则该同学可测得学校天文台的高度为 .    【答案】30 【分析】由已知求出AM，在三角形ACM中，运用正弦定理可得CM，再解直角三角形CDM，计算可得天文台的高度. 【详解】在中，有， 在中，，，， 由正弦定理得，， 故， 在中，， 又， 则. 故答案为：30. 6．（22-23高一下·广西百色·期末）如图，某山的高度BC＝300m，一架无人机在Q处观测到山顶C的仰角为15°，地面上A处的俯角为45°，若∠BAC＝60°，则此无人机距离地面的高度PQ为 m． 【答案】200 【分析】在直角三角形中求出，在△ACQ中利用正弦定理求出，在Rt△APQ中求PQ即可. 【详解】根据题意，在RtABC中，∠BAC＝60°，BC＝300m， 所以m， 在ACQ中，∠AQC＝45°＋15°＝60°，∠QAC＝180°－45°－60°＝75°， 所以∠QCA＝180°－∠AQC－∠QAC＝45°， 由正弦定理，得，即m， 在RtAPQ中，PQ＝AQsin45°＝m． 故答案为：200 解三角形中的最值、范围问题题型04 一、单选题 1．（23-24高一下·广西桂林·期末）已知圆心角为的扇形的半径为1，点是上的一点，点是线段上的一点，点、是线段上的两点，且四边形为矩形，则该矩形的最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，设，将，用的三角函数式表示，利用三角恒等变换将矩形面积化成，利用的范围，结合正弦函数的图象特点即可求得其最大值. 【详解】如图，设，则，， 由正弦定理，，解得， 故矩形的面积为： ， 因，则得， 故当时，即时，. 故选：C. 二、多选题 2．（23-24高一下·广西百色·期末）在中，内角所对的边分别为，其中，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．面积的最大值为 C．若为边的中点，则的最大值为3 D．若为锐角三角形，则其周长的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A,用余弦定理可解；对于B，用面积公式，结合基本不等式可解；对于C，用两次余弦定理，互补角余弦值互为相反数来构造方程可解；对于D，周长问题，边化角，用三角函数解题． 【详解】对于A,由题意可知，利用余弦定理得，，因为，所以，故A正确； 对于B，由上述可知，的面积，且易知，解出，当且仅当时取等号，此时，故B错误； 对于C，在和中，对和利用余弦定理，，化简后有，由B知，的最大值为12，因此最大为3，故C正确； 对于D，利用正弦定理，，则，于是的周长， 由于是锐角三角形，因此即解出， 则则，则，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 3．（23-24高一下·广西示范性高中·期末）在中，内角的对边分别为为锐角，的面积为2，则的周长的最小值为 . 【答案】 【分析】由题设可得，根据三角形内角的性质可知是的直角三角形，即有其周长为，利用基本不等式即可求出最小值，注意等号成立的条件. 【详解】由知：，而， ∴， ∴是的直角三角形，故，即，而， ∴的周长，当且仅当等号成立. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换及三角形内角的性质判断三角形的形状，再由三角形周长公式、基本不等式求周长的最小值即可. 四、解答题 4．（23-24高一下·广西柳州·期末）如图，的内角，，的对边分别为，，，已知，为线段上一点，且. (1)求角； (2)若，求面积的最大值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，结合三角恒等变换化简可得解； （2）根据向量的线性运算及向量数量积与模长公式，结合基本不等式可得，进而可得面积的最值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即， 所以 所以， 又，所以，所以， 即， 又，，所以，则； （2）因为，所以， 所以 即， 解得，当且仅当即，时等号成立， 故，当且仅当即，等号成立. 所以面积的最大值为. 5．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知中，角所对的边分别是，其中，． (1)求的外接圆半径； (2)求周长的最大值． 【答案】(1)3 (2)． 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系及正弦定理即可求解； （2）根据（1）的结论及余弦定理，再利用基本不等式及三角形的周长公式即可求解. 【详解】（1）依题意，解得， 故的外接圆半径． （2）由（1）知，， 由余弦定理，， 因为，则， 则， 当且仅当时，等号成立， 故， 所以周长的最大值为． 6．（23-24高一下·广西南宁·期末）在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)点是上的一点，，且，求周长的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由二倍角公式及正弦定理化简计算可得角B; （2）应用正弦定理，再结合周长化简得出周长结合函数的单调性求出最小值即可. 【详解】（1）由二倍角公式得， 故由正弦定理得，而， 故， 则； （2）设，设，则， 在中，，即 在中，，即 周长. 令，则 . 即周长最小值为. 7．（22-23高一下·广西南宁·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角C的大小； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，由正弦定理边角关系得，由余弦定理求，进而可得答案. （2）由正弦定理可得，推出，，借助辅助角公式及三角函数性质得周长的取值范围. 【详解】（1）在中，， 由正弦定理得：， 由余弦定理得：， 因为为的内角，则，所以. （2）由正弦定理得：， 所以，， 所以的周长为： ， 因为，所以，则， 所以，则， 所以周长的取值范围为. 8．（22-23高一下·广西南宁·期末）请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）. (1)求角C的大小； (2)若，D为的外接圆上的点，，求四边形ABCD面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选①，通过二倍角公式的化简求解；选②，通过余弦定理求解即可；选③，通过边角互化求解即可； （2）将条件转化为，然后结合基本不等式求取四边形面积的最大值； 【详解】（1）选①：，根据二倍角公式化简得： 即 因为 解得：或（舍去）， 所以； 选②，根据正弦定理得： 根据余弦定理得： 又因为，所以； 选③，根据正弦定理得： 因为， 解得：，所以； （2），根据数量积定义可知： 所以，则有：，    如图所示：, 根据正弦定理得： ， 因为 根据基本不等式解得：，当且仅当时，等号成立， 即， 代入， 解得：， 综上四边形ABCD面积的最大值为. 一、单选题 1．（22-23高一下·广西南宁·期末）△ABD、△BCE、△CAF是3个全等的三角形，用这3个三角形拼成如图所示的2个等边三角形△ABC、△DEF，若，.，则DF＝（    ）      A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据正三角形面积公式可得，再根据正余弦定理分别计算即可. 【详解】由题意，等边中，解得. 等边，故，则. 又为锐角，故， 由正弦定理，即，解得，由全等可得. 由余弦定理有即， 即，故. 故. 故选：C 2．（22-23高一下·广西钦州·期末）武当山，位于湖北省西北部十堰市境内，其自然风光，以雄为主，兼有险、奇、幽、秀等多重特色.主峰天柱峰犹如金铸玉瑑的宝柱雄峙苍穹，屹立于群峰之巅.环绕其周围的群山，从四面八方向主峰倾斜，形成独特的“七十二峰朝大顶，二十四涧水长流”的天然奇观，被誉为“自古无双胜境，天下第一仙山”.如图，若点为主峰天柱峰的最高点，为观测点，且在同一水平面上的投影分别为，，，由点测得点的仰角为，米，由点测得点的仰角为且，则两点到水平面的高度差约为（    ）（参考数据：）    A．684米 B．732米 C．746米 D．750米 【答案】C 【分析】结合图示首先过作交于，过作交于，然后结合题目中距离和角度，通过正弦定理 ，求得的长，从而算出两点到平面的高度差. 【详解】    如图，过作交于，过作交于， 如图所示，因为，所以，又， 则，， 则， 又，所以， 由正弦定理，得，， 即， 又，所以， 所以， 则两点到平面的高度差为米. 故选：C. 3．（22-23高一下·广西百色·期末）若，且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由，利用余弦定理得到，再由，利用正弦定理结合商数关系得到判断. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 又因为，所以， 即，所以， 故是等边三角形， 故选：D. 二、多选题 4．（22-23高一下·广西联考·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且、、，下面说法错误的是（    ） A． B．是锐角三角形 C．的最大内角是最小内角的倍 D．内切圆半径为 【答案】BCD 【分析】A选项，由正弦定理判断；B选项，根据，得到中最大角为角，再利用余弦定理判断；C选项，假设，由求解判断；D选项，设的内切圆半径为，由求解判断. 【详解】A选项，∵，、、，∴，对， B选项，由于，则中最大角为角， ∵，∴，∴是钝角三角形，错， C选项，假设的最大内角是最小内角的倍，则， 即， 又，即，，不符合题意，错， D选项，∵，∴， ∴， 设的内切圆半径为，则， ∴，错， 故选：BCD. 三、填空题 5．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点D是AB的中点．若且，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换，求得，再由，列出方程求得，结合余弦定理，即可求解. 【详解】根据题意，，由，即为， 由正弦定理得， 又因为， 所以， 因为，可得，所以 又因为为的一条中线，可得， 所以， 即，解得或（舍）. 由余弦定理得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：发现，从而可变为，利用正弦定理可进行边化角. 6．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，在中，为斜边的中点，点分别在边上（不包括端点），，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据找到的关系，再找到角的关系，利用两个三角形的正弦定理即可求解. 【详解】因为，若，所以,所以，即， 又因为为斜边的中点，， 所以,, 所以 所以在中，,即, 整理得， 在中，,即, 整理得，， 联立得，， 即， 因为， ， 所以，解得， 因为，所以， 所以. 故答案为： 7．（22-23高一下·广西南宁·期末）已知，， ，AD平分交BC于点D，则 ． 【答案】 【分析】先根据余弦定理求出,再根据角平分线定理结合面积求值即可. 【详解】因为中，， ， 所以， 整理得，解得,（舍负）． AD平分，则， 由，得， 即， 整理得，所以． 故答案为：． 四、解答题 8．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，在平面四边形中，，，，. (1)证明：； (2)求面积的最大值； (3)设为线段的中点，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）在中，利用正弦定理求出的值，进而可求出的值，即可证得结论成立； （2）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合三角形的面积公式可求得面积的最大值； （3）设，利用正弦定理可得出，，再利用余弦定理可得出，结合余弦型函数的基本性质可得出的取值范围. 【详解】（1）解：由题知，在中，由正弦定理得， 因为，所以，所以， 所以，所以. （2）解：在中，， 由余弦定理知：， 所以，所以， 解得，等号当仅当时取等号， 所以，. （3）解：在中，设，则，则， 由正弦定理知：， 所以，， 在中，由余弦定理知， 所以 ， 所以，等号当仅当时，即当时取等号，所以的最大值等于. 9．（23-24高一下·广西梧州·期末）在中，角A，，所对的边分别为，，，，，且． (1)若，，求的周长； (2)若，，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理及三角恒等变换化简得，再由余弦定理求即可得三角形周长； （2）利用正弦定理、辅助角公式及三角函数的性质计算即可. 【详解】（1）因为，故， 由正弦定理得，． 又，则， 即， 而，故，故． 由余弦定理得，又， 代入得， 整理得， 解得或（舍去），， 故的周长为． （2）    设，则． 由正弦定理得，， 即， 故，， 所以， 其中，， 则当时，取得最大值． 10．（22-23高一下·广西北海·期末）如图，某地计划在一海滩处建造一个养殖场，射线为海岸线，，现用长度为2千米的网依托海岸线围成一个的养殖场（海岸钱不用围）.    (1)已知，求的长度； (2)请问如何选取点，才能使得养殖场的面积最大？并求其最大面积. 【答案】(1)； (2)当千米时，的面积最大；最大面积为平方千米. 【分析】（1）根据正弦定理即可求解； （2）根据余弦定理和基本不等式求解即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理可得， 代入数据得，解得（千米）； （2）在中，由余弦定理得. 令，得，所以， 当且仅当时等号成立. 所以（平方千米），当且仅当时等号成立. 故当千米时，的面积最大；最大面积为平方千米. 11．（22-23高一下·广西钦州·期末）在中，角所对的边分别为，__________． 在①；②这两个条件中任选一个，补充在上面横线上，并加以解答． (1)求角； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分． 【答案】(1); (2). 【分析】（1）选择条件①：由正弦定理、两角和的正弦公式及诱导公式可求出的值，从而可求角； 选择条件②：由正弦定理可得，根据两角差的正弦公式，结合角的范围即可求解； （2）由余弦定理可得，根据正弦定理求出的取值范围即可. 【详解】（1）若选择条件①． 由正弦定理，得， 即， 因为，所以，所以， 则． 若选择条件②． 因为，由正弦定理可得， 即， 所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以． （2）由余弦定理，可得，则， 所以，则， 由正弦定理，得， 因为， 所以， 所以， 即的取值范围为． 12．（22-23高一下·广西百色·期末）从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若___________. (1)求角В的大小； (2)若为锐角三角形，с=1，求a的取值范围. 注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若选①，正弦定理边化角得，根据角A的范围及辅助角公式，即可得答案. 若选②，正弦定理边化角得，根据两角和的正弦公式，化简整理，即可得答案. 若选③，正弦定理角化边可得，根据余弦定理，即可得答案. （2）根据正弦定理，可得，根据题干条件，代入化简整理，根据锐角三角形，可得角C的范围，即可得答案. 【详解】（1）若选① 由正弦定理得，即 因为，所以， 所以，所以， 又因为，所以. 若选② 因为， 由正弦定理得， 即， 所以， 由，得， 所以，即， 因为，所以. 若选③ 由，化简得. 由正弦定理得：，即，所以. 因为，所以. （2）在中，由正弦定理，得， 由（1）知：，又с=1代入上式得：. 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，所以. 13．（22-23高一下·广西南宁·期末）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝，(，)． （1）当cos＝时，求小路AC的长度； （2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）在△ABD中，由余弦定理可求BD的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinθ，根据正弦定理可求sin∠ADB，进而可求cos∠ADC的值，在△ACD中，利用余弦定理可求AC的值． （2）由（1）得：BD2＝14﹣6cosθ，根据三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求．SABCD＝7sin（θ﹣φ），结合题意当θ﹣φ时，四边形ABCD的面积最大，即θ＝φ，此时cosφ，sinφ，从而可求BD的值． 【详解】（1）在中，由， 得，又，∴． ∵   ∴ 由得：，解得：， ∵是以为直角顶点的等腰直角三角形  ∴且 ∴ 在中， ， 解得： （2）由（1）得：， ，此时，，且 当时，四边形的面积最大，即，此时， ∴，即 答：当时，小路的长度为百米；草坪的面积最大时，小路的长度为百米． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 14．（23-24高一下·广西崇左·期末）是直线外一点，点在直线上（点与两点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记 (1)若在正方体的棱的延长线上，且，由对施以视角运算，求的值； (2)若在正方体的棱上，且，由对施以视角运算，得到，求的值； (3)若是边的等分点，由对施以视角运算，证明：. 【答案】(1)3 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，结合和差角公式可得，即可代入公式求解， （2）根据的计算公式，代入即可求解， （3）由正弦定理可得，即可结合对施以视角运算，即可求证. 【详解】（1）解：如图1， 因为，所以. 由正方体的定义可知，则， 故 . 因为，所以， 则. （2）解：如图2，设， 则. 因为， 所以 则，解得， 故. （3）证明：如图3， 因为是的等分点，所以 . 在中，由正弦定理可得， 则. 在中，同理可得. 因为，所以， 则. 同理可得. 故. 【点睛】方法点睛：对于新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好定义的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的定义的性质的一些因素. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$