12.4 复数的三角形式 同步练习-2024-2025学年高一下学期数学苏教版(2019)必修第二册

苏教版高一下册数学必修第二册-12.4 复数的三角形式同步练习

[A　基础达标]

1．下列表示复数1＋i的三角形式中，

①；②；

③；④；正确的个数是(　　)

A．1　 B．2

C．3 D．4

2．设z1，z2是复数，arg z1＝α，arg z2＝β，则arg(z1z2)有可能是下列情况中的哪些？(　　)

①α＋β；②α＋β－2π；③2π－(α＋β)；④π＋α＋β.

A．① B．①②

C．①②③ D．①②④

3. 设z1＝1－2i，z2＝1＋i，z3＝－1＋3i，则arg z1＋arg z2＋arg z3＝(　　)

A． B．

C． D．

4．设z为复数，且z的辐角主值为，z－2的辐角主值为，则复数z为(　　)

A．－2＋i B．2－＋i

C．－1＋i D．1＋i

5．已知|z|＝1，且非零复数ω＝(z＋i)2的辐角主值是，则这样的z共有(　　)

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

6．若复数z满足||＝，arg()＝，则z＝________．

7．若动点P对应的复数为z，且满足|z－4i|＝2，则z的辐角主值的范围为

________，|z|取得最大值时，z＝________．

8. 的三角形式为________．

9．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，已知z1·z的对应点在虚轴的负半轴上且arg z2∈(0，π)，求z2的代数形式．

10．已知z＝－2i，z1－·z2＝0，arg z2＝，若z1，z2在复平面上分别对应点A，B，且|AB|＝，求z1的立方根．

 

 

 

[B　能力测试]

11．在复平面内有五个点与方程x5＝－1＋i的五个根相对应，则这五个点中有两个点在(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

12．设复数2－i和3－i的辐角主值分别为α，β，则α＋β＝(　　)

A．135° B．315°

C．675° D．585°

13．若一个复数z的模为2，辐角为，则＝(　　)

A．1＋i B．1－i

C．－i D．＋i

 

[C　拓展探究]

14．(多选)任何一个复数z＝a＋bi(其中a，b∈R，i为虚数单位)都可以表示成z＝r的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：zn＝n＝rn(cos nθ＋isin nθ)(n∈N＋)，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是(　　)

A．＝2

B．当r＝1，θ＝时，z3＝1

C．当r＝1，θ＝时，＝－i

D．当r＝1，θ＝时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数

15．已知|z＋1|＝，arg(z－3)＝，求复数z.

 

 

 

 

 

参考答案

[A　基础达标]

1．解析：选B．因为r＝＝，cos θ＝，sin θ＝，所以辐角主值为，所以1＋i＝＝，

故①③的表示是正确的，②④的表示不正确，

故选B．

2．解析：选B．α，β均为锐角时，z1z2的辐角主值为α＋β，辐角主值均为钝角时，z1z2的辐角主值为α＋β，若α，β均大于π时，z1z2的辐角主值为α＋β－2π.

3. 解析：选C．z1＝1－2i在第四象限，设辐角主值为α，z3＝－1＋3i在第二象限设辐角主值为β，则tan α＝－2，tan β＝－3, 所以tan (α＋β)＝1，所以α＋β＝，z2＝1＋i的辐角主值为，所以arg z1＋arg z2＋arg z3＝.

4．解析：选D．设z的辐角为α，因为z的辐角主值为，所以z位于第一象限且tan α＝，故选D．