探究与发现：牛顿法求高次方程近似解 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

选择性必修第二册★★探究与发现★★ 牛顿法求高次方程的近似解 1 问题引入 挪威数学家阿贝尔（1802-1829） 我证明了五次及以上一般方程没有根式解 法国数学家伽罗瓦（1811-1832） 我利用群论的想法系统阐述 了为什么四次以上方程没有 代数解 例题 求 的近似解 二分法 零点存在定理： 如果函数 在区间 上的图象是一条 连续不断的曲线，且有 ,那么函数 在区间 内至少存在一个零点，即存在 ,使得 ,这个 就是 的解。 数形结合：画出 的草图，确定零点所在大致区间。 在R上单调递增 在 内存在零点 问题1：若要求近似解的精确度为0.01，则方程的近似解在哪个区间？近似值可以为？ 问题2 函数在区间 的图象有怎样的特点？ 发现：在极小的区间范围内 函数图象几乎是一条直线 思考：能否用直线代替曲线， 求解零点的近似值？ “以直代曲”重要数学思想 在图象上任取一点作切线，如下图所示 观察与思考 ：切点附近曲线与切线有什么关系？ 结论：曲线与切线几乎重合 问题3：函数的零点和切线方程与x轴交点横坐标有何关系？ 结论：非常接近 问题4 怎么作切线才能逼近零点？ 1、给定一个初始值，例如 2、求函数在 处的切线方程 3、求出切线方程与x轴交点横坐标 4、求函数在 处的切线方程 5、求出切线方程与x轴交点横坐标 … 如此往复，直到逼近函数的零点 没错这就是我 提出的牛顿法 牛顿 （小组讨论） 问题5 对比牛顿法和二分法求方程近似解，你有什么发现？ 通过牛顿法得到 原方程的近似解 为1.36888 结论：达到相同的精确度要求下，牛顿法逼近零点的速度更快 问题6 切线方程与x轴的交点横坐标 、 … 之间有何关系？ 若将其看成一个数列 ，你能否写出 与 满足的递推关系式？ 求出函数在 处的切线方程 令 ，求出 要注意的是，当 时，牛顿法失效 问题7 满足什么条件时，才能作为方程的近似解呢？ 若函数的零点为r，则 可代表近似值与实际值的绝对误差， 但是显然我们无法知道r的值，所以无法用绝对误差来评价近似程度 数学家们想到了用相对误差 来评价近似解的近似程度 实战操作 相对误差 0 4 1 2 3 4 5 6 相对误差 0 4 1 2.432432 30.549819 37.479912 0.391892 2 1.617334 5.635450 24.316643 0.335096 3 1.385581 0.355569 21.301830 0.143293 4 1.368889 0.001711 21.097130 0.012047 5 1.368808 0.000000 21.096139 0.000059 利用信息技术工具得到的计算结果，如下表所示 牛顿法matlab代码 问题8 不同人选择的初始值是不同的，这对近似值的求解有影响吗？ 初始值x0 近似值 迭代次数 20 1.368808 10 10 1.368808 8 1 1.368808 5 2 1.368808 5 -4 1.368808 6 结论：离零点越近的初始值所需要的迭代次数越少，所以用牛顿法求方程近似解对于初始值的选取比较重要 问题9 你能利用牛顿法的思想计算 的近似值吗？ 构造 ，原问题等价于求 零点的近似值 牛顿法递推公式 设初始值为2，经过1次迭代可得到近似值为1.75 利用计算工具，经过5次迭代，得到近似值为1.709976 1次迭代计算后所得到的近似值与实际值误差小于0.05，作为粗略的估计 已经够用 在掌握了牛顿法求三次多项式方程的近似解之后，我们可以将次数往更高次推广， 以及求解一些超越方程的近似解。 例如求方程 的近似解 初始值 近似值 相对误差 3 2.209710 -4 -2.586235 0 -0.637571 在掌握了牛顿法求三次多项式方程的近似解之后，我们可以将次数往更高次推广， 以及求解一些超越方程的近似解。 例如求方程 的近似解 初始值 近似值 相对误差 2 1.745528 课堂讨论 再思考、再归纳、再总结 （1）如何用牛顿法来求解方程解的近似值？ （2）不同的起始点对牛顿法求解方程近似解有怎样的影响？ （3）你认为二分法和牛顿法求解方程近似解各有什么优点和缺点？ 通过讨论达成共识 1、用牛顿法求解近似解的步骤 第一步：给定起始点 和精确度 第二步：计算 第三步：若精确度 则 即为所求，否则令 回到第二步 通过讨论达成共识 2、初始值的选取对近似解有怎样的影响？ （1）初始值离零点越近越好，在使用牛顿法时可以提前先对零点进行大致估计 （2）如果解不唯一，那么初始值的选取不同可能得到不同的解 （3）若出现 的情况重新选取初始值即可解决 通过讨论达成共识 3、二分法与牛顿法的优缺点对比 （1）二分法计算比较简单，但求解近似解的速度较慢 （2）牛顿法求解速度快，但受制于初始值的选取所以 可以将两者相结合，达到珠联璧合的效果 课后实践 （1）感兴趣的同学可以自学matlab或者其它计算机语言，检验做题结果是否正确 （2）查阅高次代数解的史学资料，了解牛顿、阿贝尔、伽罗瓦等数学家的探索过程 （3）除了二分法、牛顿法，还有很多求解高次方程近似解的方法，请参考本堂课的 研究过程，自行开展研究型学习，探究更多方法。 $$