2025年九年级中考数学复习-几何模型之旋转模型

2025年九年级中考数学复习

几何模型之旋转模型

 

 

1．【初步探索】

（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．

小明同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，则他的结论应是______．

【灵活运用】

（2）如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

【拓展延伸】

（3）如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，且仍然满足，请直接写出与的数量关系．

2．（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明）

（2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

（3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

3．定义：如图1，点把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点．

(1)已知点M，N是线段的勾股分割点，若，求的长．

(2)如图2，在等腰直角中， ，点为边上两点，满足，求证：点是线段的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把绕点逆时针旋转试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程．

4．在内有一点D，过点D分别作，垂足分别为B，C．且，点E，F分别在边和上．

(1)如图1，若，请说明；

(2)如图2，若，猜想具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．

5．如图，和中，，，，点在边上．

  

(1)如图1，连接，若，，求的长度；

(2)如图2，将绕点逆时针旋转，旋转角为，旋转过程中，直线分别与直线，交于点，，当是等腰三角形时，求旋转角的度数；

(3)如图3，将绕点顺时针旋转，使得点，，在同一条直线上，点为的中点，连接，猜想，和之间的数量关系并说明理由．

6．如图1，等边中，分别交、于点D、E．

(1)求证：是等边三角形；

(2)将绕点C顺时针旋转（），设直线与直线相交于点F．

①如图2，当时，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；

②若，，当B，D，E三点共线时，求的长．

7．如图①，，，，相交于点M，连接．

  

(1)求证：；

(2)用含的式子表示的度数；

(3)当时，的中点分别为点P，Q，连接，如图②，判断的形状，并证明．

8．等腰中，，．

    

(1)如图1，，是等腰斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转后，得到，连接．

①求证：．

②当，时，求的长；

(2)如图2，点是等腰斜边所在直线上的一动点，连接，以点为直角顶点作等腰，当，时，则的长 __________．（直接给出答案）．

9．已知点C为线段上一点，分别以为边在线段AB同侧作和，且．，，直线与交于点F．

  

(1)如图1，可得___________；若，则___________．

(2)如图2，若，则___________．（用含a的式子表示）

(3)设，将图2中的绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在中的一条线段上），如图3．试探究与a的数量关系，并予以说明．

10．四边形是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点．

（1）当、都在线段上时（如图1），请证明：；