2024-2025学年高一下学期数学第三次月考阶段测试练习卷（测试内容：北师大版（2019）必修第二册 第一章～第五章）

必修第二册·阶段测试卷 测试内容：第一章～第五章 建议用时：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．已知点是角终边上的一点，则（    ） A． B．1 C． D． 2．若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则＝（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知，用，表示，则等于（   ） A． B． C． D． 5．在中，角的对边分别是，且，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定的 6．已知函数的部分图像如图所示则（   ） A． B． C． D．0 7．若，，则（ ） A． B． C． D． 8．在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（   ） A．若P为的重心，则 B．若P为的外心，则 C．若P为的垂心，则 D．若P为的内心，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知点，向量，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 10．设，为复数，下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 11．在中，，，分别是角，，的对边，其外接圆半径为，内切圆半径为，满足，的面积，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知是两个不共线的向量，且向量与共线，则 ． 13．三角测量法是在地面上选定一系列的点，并构成相互连接的三角形，由已知的点观察各方向的水平角，再测定起始边长，以此边长为基线，即可推算各点坐标的一种测量方法．在实际测量中遇到障碍，无法得到平距的测量都需要用到三角测量法．如图，为测量横截面为直角三角形的某模型的平面图，其中角ACB为直角，由于实际情况，它的边和角无法测量，以下为可测量数据：①；②；③．根据以上数据可以求出的面积为 ． 14．已知函数和的图象相邻的两个交点为，，若，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15．（13分）已知向量，满足，，且． (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值． 16．（15分）已知角，满足，，且，. (1)求的值； (2)求的大小. 17．（15分）已知函数的最大值为，两条相邻对称轴之间的距离为，对，. (1)求函数的解析式及单调递增区间； (2)在平面直角坐标系中用五点法画出函数在的图象； (3)当时，方程只有一个解，求实数的取值范围. 18．（17分）设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角C的大小； (2)若，的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围． 19．（17分）1637年，法国数学家笛卡尔发表了《几何学》，在这本书中，笛卡尔提出了著名的笛卡尔坐标系统.笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜坐标系的统称，相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系.如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系，两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系，如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. 试卷第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 必修第二册·阶段测试卷 测试内容：第一章～第五章 建议用时：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．已知点是角终边上的一点，则（    ） A． B．1 C． D． 2．若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则＝（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知，用，表示，则等于（   ） A． B． C． D． 5．在中，角的对边分别是，且，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定的 6．已知函数的部分图像如图所示则（   ） A． B． C． D．0 7．若，，则（ ） A． B． C． D． 8．在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（   ） A．若P为的重心，则 B．若P为的外心，则 C．若P为的垂心，则 D．若P为的内心，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知点，向量，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 10．设，为复数，下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 11．在中，，，分别是角，，的对边，其外接圆半径为，内切圆半径为，满足，的面积，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知是两个不共线的向量，且向量与共线，则 ． 13．三角测量法是在地面上选定一系列的点，并构成相互连接的三角形，由已知的点观察各方向的水平角，再测定起始边长，以此边长为基线，即可推算各点坐标的一种测量方法．在实际测量中遇到障碍，无法得到平距的测量都需要用到三角测量法．如图，为测量横截面为直角三角形的某模型的平面图，其中角ACB为直角，由于实际情况，它的边和角无法测量，以下为可测量数据：①；②；③．根据以上数据可以求出的面积为 ． 14．已知函数和的图象相邻的两个交点为，，若，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15．（13分）已知向量，满足，，且． (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值． 16．（15分）已知角，满足，，且，. (1)求的值； (2)求的大小. 17．（15分）已知函数的最大值为，两条相邻对称轴之间的距离为，对，. (1)求函数的解析式及单调递增区间； (2)在平面直角坐标系中用五点法画出函数在的图象； (3)当时，方程只有一个解，求实数的取值范围. 18．（17分）设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角C的大小； (2)若，的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围． 19．（17分）1637年，法国数学家笛卡尔发表了《几何学》，在这本书中，笛卡尔提出了著名的笛卡尔坐标系统.笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜坐标系的统称，相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系.如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系，两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系，如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. 试卷第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 必修第二册·阶段测试卷 测试内容：第一章～第五章 建议用时：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．已知点是角终边上的一点，则（    ） A． B．1 C． D． 2．若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则＝（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知，用，表示，则等于（   ） A． B． C． D． 5．在中，角的对边分别是，且，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定 6．已知函数的部分图像如图所示则（   ） A． B． C． D．0 7．若，，则（ ） A． B． C． D． 8．在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（   ） A．若P为的重心，则 B．若P为的外心，则 C．若P为的垂心，则 D．若P为的内心，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知点，向量，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 10．设，为复数，下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 11．在中，，，分别是角，，的对边，其外接圆半径为，内切圆半径为，满足，的面积，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知是两个不共线的向量，且向量与共线，则 ． 13．三角测量法是在地面上选定一系列的点，并构成相互连接的三角形，由已知的点观察各方向的水平角，再测定起始边长，以此边长为基线，即可推算各点坐标的一种测量方法．在实际测量中遇到障碍，无法得到平距的测量都需要用到三角测量法．如图，为测量横截面为直角三角形的某模型的平面图，其中角ACB为直角，由于实际情况，它的边和角无法测量，以下为可测量数据：①；②；③．根据以上数据可以求出的面积为 ． 14．已知函数和的图象相邻的两个交点为，，若，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15．（13分）已知向量，满足，，且． (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值． 16．（15分）已知角，满足，，且，. (1)求的值； (2)求的大小. 17．（15分）已知函数的最大值为，两条相邻对称轴之间的距离为，对，. (1)求函数的解析式及单调递增区间； (2)在平面直角坐标系中用五点法画出函数在的图象； (3)当时，方程只有一个解，求实数的取值范围. 18．（17分）设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角C的大小； (2)若，的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围． 19．（17分）1637年，法国数学家笛卡尔发表了《几何学》，在这本书中，笛卡尔提出了著名的笛卡尔坐标系统.笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜坐标系的统称，相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系.如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系，两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系，如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 必修第二册·阶段测试卷 测试内容：第一章～第五章 参考答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B C C A C A C AB BC ABD 1．D 【解析】由题意可得，， 则. 故选：D. 2．B 【解析】由，得， 解得，∴. 故选：B. 3．C 【解析】∵，∴， 故选：C. 4．C 【解析】∵， ∴. 故选：C. 5．A 【解析】在中，由余弦定理得， ∵，可得， 代入上式，整理得，即，∴， ∴，∴为等腰三角形. 故选：A. 6．C 【解析】由图知，则， ∴，则，，又，故， ∴. 故选：C 7．A 【解析】∵，① ∴，即， ∴． ∵，且，∴，， ∴，②． ①②变形得， ∴． 故选：A． 8．C 【解析】如图建立平面直角坐标系，， 对于A：若为的重心，则， ∴ 若，则，解得，∴，A不正确；    对于B：若为的外心，其必在直线上， ∴，B错误； 对于C：若为的垂心，其必在上，设， 则，解得， 此时， 若，则，解得，∴，C正确； 对于D：若为的内心，设内切圆半径为， 则，得，则， 此时， 若，则，解得，∴，D不正确； 故选：C. 9．AB 【解析】由题意有或， 当时，得，∴，故A正确； 当时，得，∴，故B正确. 故选：AB. 10．BC 【解析】设，，，，，， 对于选项A，例如，则，，两者不相等，故A错误； 对于选项B，∵， ， 又，，则，即，故B正确； 对于选项C，若，则，， ∴，故C正确； 对于选项D，令，，则，， ∴，此时，故D错误． 故选：BC. 11．ABD 【解析】∵在中，内切圆半径为，， 故，A项正确； 又， 由正弦定理得， 整理得：，故B项正确； ∴， 即， 又，， 故, 则， 故，故， 又 故，，D项正确. ∵，，由正弦定理的 故，故C项错误，. 故选：ABD. 12． 【解析】向量与共线， ∴， ∴，解得， 故答案为： 13． 【解析】在中，由正弦定理得：， ∴，故， ∵，， ∴， 故 14． 【解析】作出两个函数的图象如图所示， 则由对称性设，且，即为等腰三角形，，且， 取的中点，连接，则，， 由，得， 得，得，得， 则， 即点纵坐标为1，， ∵，∴， 解得，即，解得， ∴的取值范围为. 故答案为：. 15．【解析】（1）解：由向量，满足，，且． 可得，可得， 设向量与的夹角为，可得， ∵，∴，即向量与的夹角为. （2）解：∵，可得， 即，解得或. 16．【解析】（1）∵，，∴； ∵，，∴ ∴，， ∴； （2）∵，，∴， ∵，，∴，， ，得，， ，∵ ∴. 17．【解析】（1）由题可得：，，又，∴， 又当时，取得最大值，∴，. 得到，，∵， ∴，故， 令，； 解得，； ∴的单调递增区间为； （2）五点法作图列表如下： ∴函数在的图象如图， （3）方程只有一解，转化为函数与图象在上只有一个交点， 由（2）知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，，由（2）中图象可得或. 18．【解析】（1）在中，由及正弦定理得： ， 则，而， 因此，而，∴. （2）由（1）知，，由的面积为，得， 解得，由余弦定理得， 解得，∴的周长为. （3）在锐角中，，则，， 由正弦定理得， 的面积， ∴的面积的取值范围. 19．【解析】（1）由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， ∵，则， 则， ∴. （2）由，，得，， 且， ∴，， ， 则， ， ∵与的夹角为，则，解得. 又，，∴； （3）依题意，设、（，），且，，， ∵为的中点， 则， ∵为中点，同理可得， ∴， 由题意知，， 则， 在中，依据余弦定理得，∴， 代入上式得，. 在中，由正弦定理， 设，则，且， ∴，， ，为锐角，且， ∵，则， 故当时，取最大值， 则. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 必修第二册·阶段测试卷 高一数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$