精品解析：河北省职教高考研究联合体2024-2025学年高三下学期第五次联合考试数学试题

2024-2025学年河北省职教高考研究联合体第五次联合考试 数学试题 说明： 1、本试卷共4页，包括三道大题30个小题，共120分.考试时间120分钟.其中第一道大题（20个小题）为选择题. 2、答题前请仔细阅读答题纸上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题在答题纸上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题纸非题号对应的答题区域的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题纸上做任何标记. 3、做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案. 4、考试结束后，将本试卷与答题纸一并交回. 一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 若集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的概念及运算可求解. 【详解】由题可得 . 故选：D 2. 下列不等式与等价的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举反例排除ABC；利用立方差公式，结合配方法与等价的定义判断D，从而得解. 【详解】对于ABC，当，满足，但，故ABC错误； 对于D，， 因为，当且仅当时，等号成立， 当时，，则，故； 当时，，则，故，即， 所以与等价. 故选：D. 3. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数乘法的运算法则计算即可. 【详解】， 故选：A. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念结合正弦函数的性质进行分析即可. 【详解】若， 则或， 则“”不能推出“”，故充分性不成立， 若，则，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 5. 已知向量，则向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 6. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数单调性比较指数式大小即可. 【详解】因为底数在之间的指数函数为减函数， 则， 又因为底数大于的指数函数为增函数， 则， 则，即； 故选：C. 7. 在的二项展开式中，常数项为（ ） A. B. 4 C. 14 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求解. 【详解】由题意知二项式为， 则展开式的通项公式为， 当时，即，则常数项为. 故选：A. 8. 已知角的终边经过点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的定义即可得解. 【详解】因为角的终边经过点， 所以. 故选：C. 9. 函数（且）与在同一直角坐标系中的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数和指数函数的性质可判断结果. 【详解】因为一次函数的，所以函数单调递减，故排除选项C和D； 由于中，即图像与y轴交点坐标为， 对A选项，由一次函数图像可知，所以指数函数单调递增，符合要求，故正确； 对B选项，由一次函数图像可知，所以指数函数单调递减，不符合要求，故错误. 故选：A 10. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式得到，再根据两角差的正弦公式，即可求解. 【详解】因为， 所以 . 故选：D. 11. 已知离散型随机变量X的分布列如下表所示． X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其数学期望等于（ ） A. 1 B. 0.6 C. D. 2.4 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据分布列的性质求出，再根据期望的公式求解即可. 【详解】因为，解得. 所以. 故选：D. 12. 要得到函数的图像，只需要将函数的图像（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦型函数的平移规则求解即可. 【详解】因为， 所以要得到的图像， 只需要将的图像向左平移个单位就可以. 故选：A. 13. 已知函数是偶函数，且在上单调递减，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法比较 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性求解即可. 【详解】根据函数是偶函数以及在上单调递减，所以， 故选：A. 14. 已知等差数列中，是方程的两根，则的前21项和为（ ） A. 6 B. 30 C. 63 D. 126 【答案】C 【解析】 【分析】利用韦达定理得到的值，再利用等差数列的性质与求和公式即可得解. 【详解】因为是方程的两根， 所以， 则的前21项和为. 故选：C. 15. 已知椭圆的右顶点为，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断椭圆的焦点位置，再利用右顶点坐标求得，进而根据题意得到椭圆经过点，从而得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上， 又因为其右顶点为，所以， 因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1， 不妨设所过焦点为上焦点，所以椭圆过点， 则，即，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故选：A. 16. 已知某圆锥的母线与底面所成的角为，底面圆的半径为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的结构特征，体积公式即可求解. 【详解】设圆锥的高为，因为圆锥的母线与底面所成的角为，底面圆的半径为， 所以圆锥的高为， 则圆锥的体积为. 故选：B. 17. 已知甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和．若两人同时参加听力测试，则其中有且只有一人能通过的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件的独立性、互斥性，即可求解. 【详解】设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测试”， 根据题意，知事件A和B相互独立，且，， 记“有且只有一人通过听力测试”为事件C， 则，且和互斥， 所以， ， 所以有且只有一人能通过的概率是. 故选：C. 18. 过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于两点，若的中点M的横坐标为2，则线段的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据焦半径公式可知，再由抛物线方程确定的值，并由中点坐标公式求出的值即可解答. 【详解】已知抛物线，对称轴为轴，开口向右， 其中，且焦点F的直线l交抛物线于两点， 设， 则由焦半径公式可知， 由的中点M的横坐标为2，可得， 即，所以， 故选：C. 19. 在某市第一次全民体检中，某中学安排了8名青年教师参与志愿者活动，分别派往2个检测点，每个检测点需4名志愿者，其中志愿者甲与乙要求在同一组，志愿者丙与丁也要求在同一组，则这8名志愿者不同的派遣方法种数为（ ） A. 20 B. 14 C. 12 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分类讨论甲乙丙丁在同一组和甲乙在一组，丙丁在一组时，结合排列与组合的定义即可得解. 【详解】甲与乙要求在同一组，志愿者丙与丁也要求在同一组， 则当甲乙丙丁在同一组时，剩下四人自动为一组，向两个检测点分配，有种方法； 当甲乙在一组，丙丁在一组时，从剩下人选两人和甲乙一组，剩下人自动和丙丁一组，再向两个检测点分配，有种， 综上所述，共有种， 故选：. 20. 某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系.已知小孙的工作时间x（单位：小时）与工资y（单位：元）之间的关系如下表所示. x 2 4 5 6 8 y 30 40 50 60 70 若y与x的经验回归方程为，则当工作时间为9小时时，小孙的工资大约为（ ） A. 75元 B. 76元 C. 77元 D. 78元 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得样本中心，再利用样本中心在回归方程上可求得，进而将代入回归直线即可得解. 【详解】由表格数据知：，， 所以， 则线性回归方程为， 所以当当工作时间为小时时，工资大约为元. 故选：B. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 21. 设，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用的解析式，结合对数与指数的运算，从内而外依次求得与即可得解. 【详解】因为， 所以， 则. 故答案为：. 22. 如图所示，在三棱锥中，平面，，则直线与平面所成角的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面，得出为直线与平面所成的角即可解答. 【详解】平面， 为直线在平面内的射影， 即为直线与平面所成的角， 又平面，平面， ，即，且， 所以，即直线与平面所成角的度数为， 故答案为：. 23. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，结合直线的倾斜角与斜率的关系，先求出直线的斜率，继而求得直线的方程，将圆的一般式方程化为标准方程，求得圆心坐标和半径，结合点到直线的距离求得弦心距，结合圆的半径、弦心距、弦长的一半之间的关系，即可求解. 【详解】由题意，倾斜角为的直线的斜率为， 所以该直线方程为，即， 又圆的方程为，即， 所以圆心坐标为，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以弦长. 故答案为：2. 24. 已知数列是等比数列，，则公比_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的定义求解即可. 【详解】数列是等比数列，，则，解得. 故答案为：. 25. 已知是两条不同的直线，是平面，直线不在平面内，则下列结论中错误的是_________.（请将错误结论的序号填在横线上） ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则. 【答案】④ 【解析】 【分析】根据线线平行与垂直、线面平行与垂直的相关知识，逐一分析判断各选项，从而得解. 【详解】对于①，由于，所以存在直线且， 由于，所以，所以，故①正确； 对于②，垂直于同一个平面的两条直线平行，故②正确； 对于③，若，，则存在，， 由于，所以，故③正确； 对于④，若，，则可能与平行，故④错误. 故答案为：④. 三、解答题（本大题共5小题，共45分.要写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤） 26. 已知二次函数，满足． （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上是单调函数，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的表达式以及题目条件代入求解即可. （2）根据二次函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 二次函数，满足. ， 所以，. 【小问2详解】 ，对称轴为. 因为函数在区间上是单调函数， 所以或，解得或. 所以实数m的取值范围为. 27. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角C的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理的边角变换得到，进而得到角C的正切值，从而得解； （2）利用三角形面积公式及角C可得，再利用余弦定理与整体法求得，从而得解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可得，， ，，则， ， 又，. 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，得， 又，， 所以，解得（负值舍去）， 所以的周长为. 28. 移动支付是指允许用户使用移动终端（通常是手机）对所消费的产品或服务进行支付的一种服务方式某金融机构为了解移动支付在大众中的熟知度，对15~65岁的人群随机进行抽样调查，调查的问题是“您会使用移动支付吗？”，其中回答“会”的共有100人，把这100人按照年龄分成5组，然后根据频数分布表得到如图所示的频率分布直方图. 组数 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 频数 20 36 30 10 4 （1）求x的值； （2）用分层抽样的方法在第1，3，4组中共抽取6人，求第1，3，4组分别抽取的人数； （3）在（2）抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一组的概率. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用频数分布表和频率分布直方图即可求得的值； （2）求出抽取的比例，根据分层抽样的定义即可得解； （3）利用组合的相关知识求得所需基本事件的件数，再利用古典概型的概率公式即可求解. 【小问1详解】 由题意可知为第三组的频率与组距的比， 所以. 【小问2详解】 第，，组共有人，故抽取的比例为， 所以从第组抽取的人数为：人， 从第组抽取的人数为：人， 从第组抽取的人数为：人. 【小问3详解】 从6人中随机抽取2人，有种基本事件， 其中这2人都来自同一组有种基本事件， 所以所抽取的人来自同一个组的概率为. 29. 如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是，的中点． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成的角为．求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直和面面垂直的判定定理即可证得. （2）根据线面垂直找出直线与平面所成的角，再由三棱锥体积公式即可解得. 【小问1详解】 证明：由题，三棱柱为直三棱柱， 故，又为中点，则， 又面，，故面， 又知面，故平面平面. 【小问2详解】 设中点为，连接， 又知为正三角形，则， 由题可知该三棱柱为直三棱柱，则， 又平面，平面，故平面， 故即为直线与平面所成的角， 由题可知，则， 故在直角三角形中， 又为中点，则， 故三棱锥体积. 30. 已知双曲线C：的离心率为，实轴长为2. （1）求双曲线C的方程； （2）若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的性质结合离心率公式和实轴长列出方程组即可解得. （2）将直线方程与双曲线进行联立，设出交点坐标，根据韦达定理和弦长公式即可解得. 【小问1详解】 双曲线的离心率为，实轴长为2. 则由题意可得， 故双曲线C： 【小问2详解】 联立 因为直线被双曲线C截得弦长为， 设直线与双曲线交于点， 则， 根据弦长公式可得，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年河北省职教高考研究联合体第五次联合考试 数学试题 说明： 1、本试卷共4页，包括三道大题30个小题，共120分.考试时间120分钟.其中第一道大题（20个小题）为选择题. 2、答题前请仔细阅读答题纸上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题在答题纸上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题纸非题号对应的答题区域的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题纸上做任何标记. 3、做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案. 4、考试结束后，将本试卷与答题纸一并交回. 一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 若集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 下列不等式与等价的是（ ） A. B. C. D. 3. 等于（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知向量，则向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 在的二项展开式中，常数项为（ ） A. B. 4 C. 14 D. 6 8. 已知角的终边经过点，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 函数（且）与在同一直角坐标系中的图像大致是（ ） A. B. C. D. 10. （ ） A. B. C. D. 11. 已知离散型随机变量X的分布列如下表所示． X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其数学期望等于（ ） A. 1 B. 0.6 C. D. 2.4 12. 要得到函数的图像，只需要将函数的图像（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 13. 已知函数是偶函数，且在上单调递减，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法比较 14. 已知等差数列中，是方程的两根，则的前21项和为（ ） A. 6 B. 30 C. 63 D. 126 15. 已知椭圆的右顶点为，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 16. 已知某圆锥的母线与底面所成的角为，底面圆的半径为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 17. 已知甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和．若两人同时参加听力测试，则其中有且只有一人能通过的概率是（ ） A. B. C. D. 1 18. 过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于两点，若的中点M的横坐标为2，则线段的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 19. 在某市第一次全民体检中，某中学安排了8名青年教师参与志愿者活动，分别派往2个检测点，每个检测点需4名志愿者，其中志愿者甲与乙要求在同一组，志愿者丙与丁也要求在同一组，则这8名志愿者不同的派遣方法种数为（ ） A. 20 B. 14 C. 12 D. 6 20. 某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系.已知小孙的工作时间x（单位：小时）与工资y（单位：元）之间的关系如下表所示. x 2 4 5 6 8 y 30 40 50 60 70 若y与x的经验回归方程为，则当工作时间为9小时时，小孙的工资大约为（ ） A. 75元 B. 76元 C. 77元 D. 78元 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 21. 设，则_________. 22. 如图所示，在三棱锥中，平面，，则直线与平面所成角的度数为_________． 23. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为_________． 24. 已知数列是等比数列，，则公比_________． 25. 已知是两条不同的直线，是平面，直线不在平面内，则下列结论中错误的是_________.（请将错误结论的序号填在横线上） ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则. 三、解答题（本大题共5小题，共45分.要写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤） 26. 已知二次函数，满足． （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上是单调函数，求实数m的取值范围． 27. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角C的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 28. 移动支付是指允许用户使用移动终端（通常是手机）对所消费的产品或服务进行支付的一种服务方式某金融机构为了解移动支付在大众中的熟知度，对15~65岁的人群随机进行抽样调查，调查的问题是“您会使用移动支付吗？”，其中回答“会”的共有100人，把这100人按照年龄分成5组，然后根据频数分布表得到如图所示的频率分布直方图. 组数 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 频数 20 36 30 10 4 （1）求x的值； （2）用分层抽样的方法在第1，3，4组中共抽取6人，求第1，3，4组分别抽取的人数； （3）在（2）抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一组的概率. 29. 如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是，的中点． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成的角为．求三棱锥的体积． 30. 已知双曲线C：的离心率为，实轴长为2. （1）求双曲线C的方程； （2）若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $