2025年九年级中考数学复习-几何模型之倍长中线

2025年九年级中考数学复习-几何模型之倍长中线

1．如图1，在等边中，点，分别是，上的点，，与交于点.

    

(1)求证：；

(2)如图2，以为边作等边，与相等吗？并说明理由；

(3)如图3，若点是的中点，连接，，判断与有什么数量关系？并说明理由.

2．老师在某节数学课上提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：

①延长中线至点Q，使得；

②连接，把集中在中；

③利用三角形的三边关系，可得．

请根据该小组的方法思考，回答下列问题：

(1)直接写出的取值范围是___________；

(2)解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．

如图2，是的中线，，，，用等式表示和的数量关系并证明．

3．【问题情境】如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值

范围．

（1）【问题解决】延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断出中线AD的取值范围是　 　．

【反思感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑构造以该中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同个三角形中，从而解决问题．

（2）【尝试应用】如图②，△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，试猜想线段AB，AC，AD之间的数量关系，并说明理由．

（3）【拓展延伸】如图③，△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，DM⊥DN，DM交AB于点M，DN交AC于点N，连接MN．当BM＝4，MN＝5，AC＝6时，请直接写出中线AD的取值范围．(温馨提示:如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达三边关系,a2+b2＝c2)

4．（1）如图①，在四边形中，是的中点．若是的平分线，试判断之间的等量关系．

解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证，得到，从而把转化在一个三角形中，即可判断．

之间的等量关系为___________；

（2）问题探究：如图②，在四边形中，与的延长线交于点是的中点．若是的平分线，试探究之间的等量关系，并证明你的结论．

5．如图，四边形ABCD是正方形，连接AC，将绕点A逆时针旋转α得，连接CF，O为CF的中点，连接OE，OD．

（1）如图1，当时，请直接写出OE与OD的关系（不用证明）．

（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．

（3）当时，若，请直接写出点O经过的路径长．

6．如图, AB=CB, BD=BE, ∠ABC=∠DBE=α.

(1)当α=60°, 如图则，∠DPE的度数______________

(2)若△BDE绕点B旋转一定角度，如图所示，求∠DPE（用α表示）

(3)当α=90°，其他条件不变，F为AD的中点，求证 ：EC ⊥ BF

7．如图，在矩形中，点为上一点，连接、，．