精品解析：河北省沧州市运河区沧州工贸学校2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

2025年23级对口升学班第二次月考 数学试卷 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间90分钟. 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题纸交回，本试卷由考生自行保存. 一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列角是第四象限角的是（ ）． A. B. C. D. 2. 是第（ ）象限角． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3. 若扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）． A. B. C. D. 4. 若角的终边上一点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 6. 不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 7. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 8. 函数经过点，则的值为（ ）． A. B. 1 C. D. 9. 函数在上（ ）． A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先增后减 D. 先减后增 10. 函数在上是（ ）． A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 11. 函数的图象可看作由的图象经过（ ）得到的． A. 平移 B. 对称 C. 翻折 D. 旋转 12. 函数在（ ）时取最小值． A. 6 B. C. D. 3 13. 若函数的定义域是，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 14. 若函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 15. 若集合，集合，则的真子集有（ ）个． A. B. C. D. 二、填空题：本题共15小题，每小题2分，共30分. 16. 用列举法表示小于3的自然数所组成的集合__________． 17. 若集合，，则_______（用区间表示）. 18. “”是“且”的_______条件. 19. 不等式组的解集为_____（用区间表示）. 20. 不等式的解集为______（用集合表示）. 21. 某商店出售一种商品，定价为10元/件，假设所有商品都能售出，则至少进货_____件，能使总销售额不低于135元. 22. 函数在上的值域为_______（用区间表示）. 23. 已知，则_______. 24. 函数在上______（填“单调递增”或“单调递减”）. 25. 已知在上为奇函数，在上为偶函数，，则_____. 26. 函数的图像不经过第_____象限. 27. 已知偶函数经过点，则_______. 28. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_______（用区间表示）. 29. 已知函数，则函数___. 30. 若方程有两个根，则的取值范围为______. 三、解答题：共45分.解答应作出文字说明、证明过程或验算步骤. 31. 设集合，，求，. 32. 证明函数在上是增函数. 33. 判断函数的奇偶性，并给出证明过程. 34. 已知二次函数的图像与轴交点的横坐标为和，且经过点，求的函数解析式. 35. 某农场计划使用可以做出30米栅栏的材料，在靠墙（墙足够长）的位置围出一块矩形的菜园（如图），则与墙平行栅栏的长为多少时，围成的菜园面积最大？最大面积是多少？ 36. 某出版社出版一种书，固定成本是50000元，每本的变动成本是0.5元，售价为4元，出版社要盈利不少于10000元，则应该至少发行多少本这种书？ 37. 某景区游客船租赁公司有小型客船只，经过一段时间的经营发现，每只客船每天的租金为元时，恰好全部租出.在此基础上，每只客船的日租金每提高元，就少租出一只客船，且没租出的客船每只每天需支出维护费元.求该公司的日收益（元）与每只客船的日租金（元）之间的函数关系式，并求出当为何值时，该公司的日收益最大，最大收益为多少元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年23级对口升学班第二次月考 数学试卷 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间90分钟. 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题纸交回，本试卷由考生自行保存. 一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列角是第四象限角的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限角的范围即可解得. 【详解】选项A：，故为第一象限角，错误. 选项B：，故为第二象限角，错误. 选项C：，故为第三象限角，错误. 选项D：，故为第四象限角，正确. 故选：D 2. 是第（ ）象限角． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】B 【解析】 【分析】根据象限角的概念和弧度制的表示可判断结果. 【详解】因为， 所以是第二象限角． 故选：B 3. 若扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先将圆心角化为弧度制，再根据扇形的面积公式求值即可. 【详解】已知，且扇形的半径为2， 所以该扇形的面积为， 故选：B. 4. 若角的终边上一点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义求值即可. 【详解】已知角的终边上一点的坐标为， 则，， 所以， 故选：B. 5. 不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意知， 化简得， 解得， 故不等式的解集为. 故选：D. 6. 不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据含绝对值的不等式的解法即可求解. 【详解】由不等式解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 7. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶次根式的被开方数为非负数，列不等式可求解. 【详解】要使函数有意义，则需满足， 所以函数的定义域为. 故选：A 8. 函数经过点，则的值为（ ）． A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，将点代入函数解析式，即可求解. 【详解】因为函数经过点， 所以，解得. 故选：B. 9. 函数在上（ ）． A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先增后减 D. 先减后增 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质和定义法证明函数单调性即可解得. 【详解】设，， 则， 故， 故， 即函数在上单调递增. 故选：A 10. 函数在上是（ ）． A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】已知函数的定义域为关于原点对称， 且， 所以函数在上是偶函数， 故选：B. 11. 函数的图象可看作由的图象经过（ ）得到的． A. 平移 B. 对称 C. 翻折 D. 旋转 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的图像的变换与解析式之间的关系即可解答. 【详解】根据平移规律“上加下减”， 可得函数的图象可看作， 由的图象向上平移个单位得到， 故选：A. 12. 函数在（ ）时取最小值． A. 6 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合二次函数的图像和性质，利用配方法，即可求解. 【详解】因为， 所以函数图像开口向上，对称轴为， 所以当时，函数取得最小值，即. 故选：C. 13. 若函数的定义域是，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数定义域的定义将问题转化为在上恒成立，从而得解. 【详解】因为的定义域是， 所以在上恒成立， 当时，不等式可化为，显然在上不恒成立； 当时，则，解得； 综上，，即. 故选：D. 14. 若函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】因为， 所以对称轴，图像为开口向上的抛物线， 又因为函数在区间上是减函数， 所以， 解得，所以实数的取值范围， 故选：B. 15. 若集合，集合，则的真子集有（ ）个． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出中的元素个数，再由真子集的定义及计算公式即可求解. 【详解】因为方程的， 所以，联立可得， 因为方程的， 所以函数与函数有2个交点， 即中有个元素，则的真子集有个． 故选：C. 二、填空题：本题共15小题，每小题2分，共30分. 16. 用列举法表示小于3的自然数所组成的集合__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的列举法即可求解. 【详解】解:根据题意得,小于3的自然数所组成的集合为 故答案为: 17. 若集合，，则_______（用区间表示）. 【答案】 【解析】 【分析】利用集合的交集运算求得，再用区间表示即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 18. “”是“且”的_______条件. 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】根据题意结合充分性与必要性的定义即可得解. 【详解】当时，或即可，例如，满足，所以推不出且，故充分性不成立； 当且时，，故必要性成立， 所以“”是“且”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分. 19. 不等式组的解集为_____（用区间表示）. 【答案】 【解析】 【分析】由一元一次不等式的解法即可求解. 【详解】解不等式可得，解不等式可得， 所以不等式组的解集为. 故答案为：. 20. 不等式的解集为______（用集合表示）. 【答案】或 【解析】 【分析】根据绝对值的几何意义，解含绝对值的不等式即可. 【详解】不等式可化为或， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或 21. 某商店出售一种商品，定价为10元/件，假设所有商品都能售出，则至少进货_____件，能使总销售额不低于135元. 【答案】14 【解析】 【分析】根据题意，结合一次不等式的应用，即可列式求解. 【详解】由题意，可设进货x件，总销售额为W元，则，， 所以，又， 所以至少进货14件，能使总销售额不低于135元. 故答案为：14. 22. 函数在上的值域为_______（用区间表示）. 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数的一次项系数为， 所以函数在上单调递增， 所以，， 所以函数的值域为. 故答案为： 23. 已知，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的定义域，代入，即可求解. 【详解】由题意知， 所以. 故答案为：. 24. 函数在上______（填“单调递增”或“单调递减”）. 【答案】单调递减 【解析】 【分析】根据函数单调性的定义即可得解. 【详解】取且， ，则， 所以函数在上单调递减， 故答案为：单调递减. 25. 已知在上为奇函数，在上为偶函数，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义即可解得. 【详解】由题，为上奇函数，为上偶函数， 又知，则，， 故. 故答案为： 26. 函数的图像不经过第_____象限. 【答案】二 【解析】 【分析】根据一次函数的单调性和与的交点即可解答. 【详解】已知函数为一次函数， 其中，所以在上单调递增， 函数图像经过一，三象限， 当时，，与轴交于负半轴， 所以函数的图像经过一，四，三象限， 所以函数的图像不经过第二象限， 故答案为：二. 27. 已知偶函数经过点，则_______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，以及偶函数经过点，即可求解. 【详解】因为函数为偶函数， 所以，即， 解得， 又因为偶函数经过点， 所以， 所以. 故答案为：4. 28. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_______（用区间表示）. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的定义域的概念即可解得. 【详解】由题，函数的定义域为， 则时，， 即的定义域为， 故函数中有， 解得，即函数的定义域为. 故答案为： 29. 已知函数，则函数___. 【答案】 【解析】 【分析】令，将代入解析式中化简即可解答. 【详解】已知函数， 令，则， 所以， 即， 故答案为：. 30. 若方程有两个根，则的取值范围为______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意作出函数的图像，分析图像即可得解. 【详解】 方程有两个根， 则函数的图像由两个交点， 根据题意作出函数的图像， 由图像可知当或时，函数的图像有两个交点， 此时方程有两个解， 故答案为：或. 三、解答题：共45分.解答应作出文字说明、证明过程或验算步骤. 31. 设集合，，求，. 【答案】， 【解析】 【分析】根据交集和并集的概念运算即可. 【详解】已知集合， ， 则， . 32. 证明函数在上是增函数. 【答案】见详解 【解析】 【分析】由增函数的定义即可得解. 【详解】任取且. . 所以. 所以函数在上为增函数. 33. 判断函数的奇偶性，并给出证明过程. 【答案】偶函数，证明见详解 【解析】 【分析】根据题意，结合偶函数的定义，即可求解. 【详解】函数是偶函数，证明如下： 因为函数， 所以，即，故函数的定义域是，关于原点对称， 又， 所以函数是偶函数. 34. 已知二次函数的图像与轴交点的横坐标为和，且经过点，求的函数解析式. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可设出函数解析式，将已知点的坐标代入，求出参数a的值，即可求解. 【详解】由题意，可设二次函数的解析式为， 将点代入得，解得. 所以函数解析式为. 35. 某农场计划使用可以做出30米栅栏的材料，在靠墙（墙足够长）的位置围出一块矩形的菜园（如图），则与墙平行栅栏的长为多少时，围成的菜园面积最大？最大面积是多少？ 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】根据题意假设与墙平行的栅栏的长度为米，从而得到围成的菜园面积与的关系式，再利用配方法即可得解. 【详解】设与墙平行的栅栏的长度为米，则另一边为米， 则面积， 所以当时，， 故当与墙平行的栅栏的长度为米时，围成的菜园面积最大，最大面积是平方米. 36. 某出版社出版一种书，固定成本是50000元，每本的变动成本是0.5元，售价为4元，出版社要盈利不少于10000元，则应该至少发行多少本这种书？ 【答案】至少发行17143本这种书 【解析】 【分析】根据题意，列一元一次不等式，即可求解. 【详解】由题意知，设至少发行x本这种书， 所以， 解得， 因为书的数量是整数，且向上取整，故. 所以至少发行17143本这种书. 37. 某景区游客船租赁公司有小型客船只，经过一段时间的经营发现，每只客船每天的租金为元时，恰好全部租出.在此基础上，每只客船的日租金每提高元，就少租出一只客船，且没租出的客船每只每天需支出维护费元.求该公司的日收益（元）与每只客船的日租金（元）之间的函数关系式，并求出当为何值时，该公司的日收益最大，最大收益为多少元. 【答案】；当时，该公司的日收益最大，最大收益为元. 【解析】 【分析】由题意列出关于的函数关系式，求函数的最大值即可. 【详解】由题意得，每天租出的客船有只， 没租出的客船每天的管理费为元， 所以 ， 所以当时，有最大值1076. 即日租金为元时，该公司的日收益最大，最大收益为元. 答：当日租金元时，该公司的日收益最大，最大收益为元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $