2025年中考数学高频考点突破——二次函数与最值

2025年中考数学高频考点突破

二次函数与最值

 

 

1．在二次函数中．

(1)若它的图象与轴只有一个交点，求的值和顶点坐标；

(2)当时，的最小值为，求出的值；

(3)如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围．

2．平面直角坐标系中，抛物线经过点，点．

(1)若轴，求抛物线的对称轴；

(2)点为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有．

①求a的取值范围；

②若，点，在抛物线上，当时，都有，求a的值．

3．已知二次函数（m为常数）．

(1)若该二次函数的图象经过点，求该二次函数的解析式．

(2)若当时，在该范围内的函数值y先增大后减小，最大值为p，最小值为q，且，求m的值以及此时函数在处的函数值．

4．已知抛物线经过点，点是抛物线上的任意一点，则点在抛物线上．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点在抛物线上，点在抛物线上．

①已知，，求的值；

②已知，求的最大值．

5．如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题：

(1)写出方程的解为___________，___________；

(2)当时，直接写出的取值范围为___________；

(3)当时，直接写出的取值范围是___________．

6．如图，二次函数的图象交y轴于点A，且当时，y有最大值．

(1)b=________，点A的坐标为________，顶点坐标为________；

(2)点B是该图象上一动点，且点B的横坐标为a，点C的坐标为．

①当点B到x轴距离是到y轴距离的2倍时，求a的值；

②过点B作轴于点D，过点C作轴交直线于点E．在点B的运动过程中，若处在矩形内的二次函数的图象是y随x的增大而增大，请直接写出a的取值范围．

7．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，已知，两点的横坐标分别为．

(1)当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值；

(2)设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．

（ⅰ）当时，若，求的值；

（ⅱ）当时，设，求的取值范围．

8．已知抛物线．

(1)当抛物线经过坐标原点时，求抛物线的解析式；

(2)若抛物线在这一段位于x轴下方，在这一段位于x轴上方，求a的值；

(3)当时，若、是抛物线上两点，记抛物线在A、B之间的部分为图象M（包含A、B两点），若图象M上最高点与最低点的纵坐标之差为3，求m的值．

9．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，点B在x轴上，点A在y轴上．C是直线上方抛物线上一点，过点C分别作z轴、y 轴的平行线，交直线于点D，E

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图①，求周长的最大值；

(3)如图②，若将沿直线翻折，点C的对应点F恰好落在y轴上，求点C的坐标

10．某个体商户购进某种电子产品的进价是元个，根据市场调研发现售价是元个时，每周可卖出个.

若销售单价每个降低元，则每周可多卖出个.设销售价格每个降低元，每周销售量为个．

(1)求出销售量个与降价元之间的函数关系式；

(2)设商户每周获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元?

11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于A，两点，交y轴于点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，当线段的长取得最大值时，求点的坐标．

12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，直线与x轴相交于点B，连接，二次函数图象从点O沿方向平移，与直线交于点P，顶点M到A点时停止移动．

(1)求线段所在直线的函数解析式；

(2)设二次函数顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段最短，并求出二次函数的表达式；

(3)当线段最短时，二次函数的图象能否过点？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．

13．二次函数（、为实数）的图象经过点，点．

(1)求该二次函数的表达式及顶点坐标．

(2)当时，求该二次函数的最大值与最小值．

14．如图，若b是正数，直线与y轴交于点A；直线与y轴交于点B；抛物线的顶点为C，且L与x轴右交点为D．