精品解析：湖南省常德市中等职业学校对口升学2024-2025学年高三下学期第二次联考数学试题

2025年常德市中等职业学校对口升学联考 数学试卷 本试卷共3道大题，21道小题，共4页．时量150分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号写在答题卡和本试卷上，并认真核对答题卡条形码上的姓名､准考证号和科目． 2．选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．考生在答题卡上按如下要求答题： （1）选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； （2）非选择题部分请按题号用0．5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； （3）请勿折叠答题卡．保持字体工整､笔迹清晰､卡面清洁． 3．本试卷共4页．如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合 ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据并集的概念运算即可． 【分析】集合A为，B为， 则 故选：A 2. 命题p：；命题q： ，则p成立是q成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式，再根据包含关系以及充分性、必要性的判断，即可求解. 【详解】由题意知命题p：， 解得p：， 因为命题q： ， 所以q的解集是p 的解集的真子集， 所以p成立是q成立的必要不充分条件. 故选：B. 3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦函数的奇偶性、余弦函数的奇偶性和函数的奇偶性的定义依次判断即可求解. 【详解】对于A选项，设，定义域为，关于原点对称， 且，所以既不是奇函数也不是偶函数，故A选项正确； 对于B选项，设，定义域为，关于原点对称， 且，所以是奇函数，故B选项错误； 对于C选项，设，定义域为，关于原点对称， 且，所以是偶函数，故C选项错误； 对于D选项，设，定义域为，关于原点对称， 且，所以是偶函数，故D选项错误. 故选：A. 4. 已知且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据同角三角函数的平方关系和商数关系列方程组求出，再由诱导公式求值即可. 【分析】已知， 则，即， 因为，且， 所以为第三象限角， 解得，， 又因为，故. 故选：D． 5. 若为数列的前n项和，且，则等于（ ） A. B. C. D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合即可得解. 【详解】，故 故选：. 6. 已知平面向量的夹角为，且，则等于（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合向量内积的定义，及向量的模的计算，即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以，即， 所以. 故选：B. 7. 设为平面，为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（ ） A. 若，则． B. 若，则 C. 若则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【详解】根据线面平行、线面垂直的性质即可解得． 【分析】选项A：平行于同一平面的两直线可能平行、相交或异面，错误. 选项B：垂直于同一平面的两条直线必平行，正确. 选项C：若，则或，错误. 选项D：若，则可能，与相交或平行，错误. 故选：B 8. 已知椭圆的长轴在轴上，且焦距为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的性质即可得解． 【详解】因为椭圆的长轴在轴上，所以， 解得，又焦距为，所以，解得. 故选：A． 9. 某公司由三个部门组成，总职工人数是1000名，其中部门（一）有职工 200 人，部门（二）的职工人数只有总职工人数的四分之一，现用分层随机抽样的方法在全公司抽取 100名职工，则在部门（三）中应抽取的职工人数是（ ） A. 20 B. 25 C. 55 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样的概念计算可得结果. 【详解】由题可知，部门（二）人数：，部门（三）人数：， 所以门（三）中应抽取的职工人数：. 故选：C 10. 已知点在直线上，则的最小值是（ ） A. 8 B. C. D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据的几何意义以及点到直线的距离求解即可. 【详解】表示直线上的点到原点的距离的平方. 原点到直线的距离为， 所以的最小值是. 故选：A． 二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 函数最大值等于_______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意，结合余弦函数的值域，即可求解. 【详解】因为， 又， 所以当时，函数取得最大值，即. 故答案为：8． 12. 若，则不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】已知， 所以，由， 可得， 因为当时，， 所以不等式的解为 或， 故答案为：． 13. 现有8名学生排成一排，其中3名男生5名女生，若3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有种____．（用数字表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据捆绑法结合排列数进行计算即可. 【详解】已知有8名学生排成一排，其中3名男生5名女生， 3名男生相邻排在一起，则将3名男生排列有种排列方法， 再将3名男生视为整体，和5名女生一起共6个元素， 共有. 故答案为：． 14. 若展开式的常数项为60，则实数m的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求解. 【详解】由题意知二项式为， 则展开式通项为， 当时，即， 所以常数项为，即， 解得． 故答案为：． 15. 已知，且，求_______． 【答案】4046 【解析】 【分析】根据题目条件，得到，进而求解即可. 【详解】根据，. 所以. 故答案为：4046． 三､解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 设函数 （1）画出的图像. （2）若，求x的取值范围. 【答案】（1）答案见解析. （2）. 【解析】 【分析】（）根据函数解析式结合二次函数，对数函数的性质作出图像即可得解. （）分类讨论和的情况即可得解. 【小问1详解】 当时，， 这是一个开口向上的抛物线，对称轴为， 端点， 当时，， 对数函数在上为增函数，的值域为，图像如图所示. 【小问2详解】 ， 当时，， 解得，结合定义域得， 当时，对数函数在上为增函数，， 结合定义域得， 所以x的取值范围． 17. 已知等差数列的公差，，且成等比数列 （1）求的通项公式; （2）设，求数列的前n项和， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比中项及等差数列的通项公式，列方程组可得，据此可求解； （2）由（1）可得数列为等比数列，采用分组求和法可得结果. 【小问1详解】 因为成等比数列， 所以，即. 化简得：．由于，故． 所以，所以. 所以通项公式为：． 【小问2详解】 由（1）知，， 因为，所以数列是以首项，公比的等比数列. 所以数列的前n项和为： ， 即． 18. 如图，棱锥的底面ABCD是边长为a的正方形，平面ABCD，点E是线段PA上靠近点A的三等分点． （1）求证:平面PAC平面BDE; （2）若，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合线面垂直的定义及性质求出平面，利用面面垂直的判定即可得解. （）根据题意结合棱锥体积公式即可得解. 【小问1详解】 底面是正方形，则． 平面，平面，因此， ，平面，所以平面， 因为平面BDE，所以平面PAC平面BDE. 【小问2详解】 已知，点E是线段上靠近点A的三等分点，则， 底面是边长为a的正方形，则， 因为平面，所以. 19. 小李参加一种红包接龙游戏:他在红包里塞了18元，然后发给朋友 A，如果 A猜中，A将获得红包里的所有金额;如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友B，如果B猜中，A，B平分红包里的金额:如果B未猜中，B将当前的红包转发给朋友C，如果C猜中，A，B和C平分红包里的金额;如果C未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设A，B，C猜中的概率分别为且A，B，C是否猜中互不影响． （1）设A获得的金额为X元，求X的分布列和数学期望; （2）求A获得的金额不少于6元的概率. 【答案】（1）分布列见解析，期望7.5. （2）． 【解析】 【分析】（）根据题意求出的可能取值，分别算出概率列出分布列，代入期望公式即可得解. （）根据分布列即可得解. 【小问1详解】 根据题意可知，的可能取值为， A，B，C猜中的概率分别为；则A，B，C没猜中的概率分别为 当（A猜中），； 当（A未中，B猜中），； 当（未中，C猜中），； 当（均未中），概率， 分布列： 数学期望：元 【小问2详解】 由分布列可知，金额不少于6元的概率为： . 20. 已知抛物线的焦点为，抛物线与直线的一个交点的横坐标为 ． （1）求抛物线的方程； （2）抛物线的焦点为，准线为，是抛物线位于第一象限内的一点，过点作的垂线，垂足为，若直线 的倾斜角为，求线段的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线与直线的交点坐标求参数，进而得到抛物线的方程. （2）通过准线性质确定点的坐标，结合直线斜率与倾斜角的关系求出点的坐标，最后利用抛物线定义可得的长度. 【小问1详解】 直线与抛物线联立，得，解得或． 由题意，故，所以抛物线方程为. 【小问2详解】 由（1）知抛物线的焦点，准线方程为． 设，垂足．直线的斜率为， 计算得：， 代入抛物线方程计算可得，即． 根据抛物线定义可得． 四、选做题（请考生在第 21题、22题中选择一题作答，如果两题都做，则按所做的第21题计分.作答时，请写清题号.） 21. 在中，角的对边分别为，． （1）若，求a和的值； （2）若，且的面积，求a和b的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求出的值，再由正弦定理即可求出的值. （2）根据正弦定理进行边角互换，化简得出，再由三角形面积公式得出，联立方程组求解即可. 【小问1详解】 已知， 根据余弦定理可知， ， 则， 由正弦定理， 得，即， 则，所以. 【小问2详解】 已知， 由正弦定理， 可得， 代入条件， 得，， 因为，所以， 同时，面积，由面积公式， 得，，即， 联立方程组，即， 整理得，解得. 22. 下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素A，维生素B的含量及其成本: 项目 甲 乙 丙 维生素A含量/（单位/千克） 400 600 400 维生素B含量/（单位/千克） 800 200 400 成本/（元/千克） 7 6 5 某营养师想购买这三种食物共 10 千克，使之所含维生素A不少于 4400 单位，维生素B不少于 4800单位，问:三种食物各购买多少千克时，成本最低?最低成本是多少元? 【答案】最低成本为58元，对应购买甲3千克、乙2千克、丙5千克 【解析】 【分析】根据题意，可设购买甲、乙、丙分别为千克，成本为W元，可列出线性约束条件和目标函数，结合，可简化线性约束条件为，目标函数为，继而作出可行域，即可求得最优解，继而求得目标函数的最小值. 【详解】由题意，可设购买甲、乙、丙分别为千克，成本为W元，则 线性约束条件为，且目标函数， 所以，代入以上线性约束条件得， 即，目标函数可化为，即， 根据线性约束条件可作出可行域，及与目标函数图像平行的直线，如下图所示： 将直线向可行域方向移动，当直线过点A时，直线在轴的纵截距取得最小值，此时W取得最小值， 又，解得，即, 所以， 所以， 即当购买甲3千克、乙2千克、丙5千克时，成本最低，最低成本是58元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年常德市中等职业学校对口升学联考 数学试卷 本试卷共3道大题，21道小题，共4页．时量150分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号写在答题卡和本试卷上，并认真核对答题卡条形码上的姓名､准考证号和科目． 2．选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．考生在答题卡上按如下要求答题： （1）选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； （2）非选择题部分请按题号用0．5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； （3）请勿折叠答题卡．保持字体工整､笔迹清晰､卡面清洁． 3．本试卷共4页．如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合 ，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题p：；命题q： ，则p成立是q成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知且，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 若为数列的前n项和，且，则等于（ ） A. B. C. D. 15 6. 已知平面向量的夹角为，且，则等于（ ） A. B. C. 4 D. 2 7. 设为平面，为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（ ） A. 若，则． B. 若，则 C. 若则 D. 若，则 8. 已知椭圆的长轴在轴上，且焦距为，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 某公司由三个部门组成，总职工人数是1000名，其中部门（一）有职工 200 人，部门（二）的职工人数只有总职工人数的四分之一，现用分层随机抽样的方法在全公司抽取 100名职工，则在部门（三）中应抽取的职工人数是（ ） A. 20 B. 25 C. 55 D. 60 10. 已知点在直线上，则的最小值是（ ） A. 8 B. C. D. 16 二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 函数最大值等于_______． 12. 若，则不等式的解集是__________． 13. 现有8名学生排成一排，其中3名男生5名女生，若3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有种____．（用数字表示） 14. 若展开式的常数项为60，则实数m的值为__________． 15. 已知，且，求_______． 三､解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 设函数 （1）画出的图像. （2）若，求x的取值范围. 17. 已知等差数列的公差，，且成等比数列 （1）求的通项公式; （2）设，求数列的前n项和， 18. 如图，棱锥的底面ABCD是边长为a的正方形，平面ABCD，点E是线段PA上靠近点A的三等分点． （1）求证:平面PAC平面BDE; （2）若，求三棱锥的体积. 19. 小李参加一种红包接龙游戏:他在红包里塞了18元，然后发给朋友 A，如果 A猜中，A将获得红包里的所有金额;如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友B，如果B猜中，A，B平分红包里的金额:如果B未猜中，B将当前的红包转发给朋友C，如果C猜中，A，B和C平分红包里的金额;如果C未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设A，B，C猜中的概率分别为且A，B，C是否猜中互不影响． （1）设A获得的金额为X元，求X的分布列和数学期望; （2）求A获得的金额不少于6元的概率. 20. 已知抛物线的焦点为，抛物线与直线的一个交点的横坐标为 ． （1）求抛物线的方程； （2）抛物线的焦点为，准线为，是抛物线位于第一象限内的一点，过点作的垂线，垂足为，若直线 的倾斜角为，求线段的长度． 四、选做题（请考生在第 21题、22题中选择一题作答，如果两题都做，则按所做的第21题计分.作答时，请写清题号.） 21. 在中，角的对边分别为，． （1）若，求a和的值； （2）若，且的面积，求a和b的值． 22. 下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素A，维生素B的含量及其成本: 项目 甲 乙 丙 维生素A含量/（单位/千克） 400 600 400 维生素B含量/（单位/千克） 800 200 400 成本/（元/千克） 7 6 5 某营养师想购买这三种食物共 10 千克，使之所含维生素A不少于 4400 单位，维生素B不少于 4800单位，问:三种食物各购买多少千克时，成本最低?最低成本是多少元? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $