2025年中考数学临考冲刺专题：二次函数与特殊几何图形压轴题专题训练

2025年中考数学临考冲刺专题：二次函数与特殊几何图形压轴题专题训练

1．定义：三角形的三个顶点都在二次函数的图象上，若该三角形的重心恰好在x轴上，则称此三角形为“平稳三角形”．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，A是二次函数图象上的一点，且点A在第三象限．

(1)求二次函数的表达式；

(2)若为“平稳三角形”，中线AD交x轴于点G，求的面积．

2．【问题背景】如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点．且在实数范围内与都有意义．

(1)【知识技能】请直接写出：的值是___________，点坐标___________，点坐标___________

(2)【构建联系】是直线上方的抛物线上一点，过点作轴的垂线交直线于点，求线段的最大值：

(3)【深入探究】在抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由．

3．如图，抛物线（）与x轴交于、两点，与y轴交于点

，其中a、b分别是一元二次方程的两个根（）．连接，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作轴于点D，交于点E．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，作于点P，使，以，为邻边作矩形，设矩形的面积为S，求S的最大值，并求S取得最大值时点P的坐标；

(3)如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线上，若以点Q、A、C为顶点的三角形是锐角三角形，请求出点Q纵坐标n的取值范围．

4．综合与探究

如图1，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，与直线交于点，，已知，，且．

(1)求点的坐标及直线的函数表达式．

(2)是直线下方抛物线上的一个动点，连接，，若点的横坐标为，试用含的代数式表示的面积，并求出当为何值时，的面积最大，最大面积为多少．

(3)如图2，设抛物线的对称轴为，在直线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，已知抛物线过点，与轴交于点，点在轴上，，点是抛物线的顶点，点是直线上方抛物线上一点．

(1)求抛物线的解析式和点坐标；

(2)若点关于直线的对称点在轴上，求点的坐标；

(3)点是抛物线对称轴上的一动点（点不与点、重合），过点作直线的垂线交于点，交轴于点，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．

6．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，．

(1)求抛物线的表达式；

(2)若将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的点；若将点向右平移个单位，则到达图象上的点，求点坐标．

(3)动点在直线上方的二次函数图像上，连接，相交于点，的面积为，的面积为，求的最大值及此时点的坐标．

7．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴