2025年中考数学高频考点突破——二次函数与最值

2025年中考数学高频考点突破——二次函数与最值

 

1．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P为抛物线对称轴l上的动点．

(1)求A，B，C三个点的坐标以及抛物线的对称轴；

(2)有无最值，如果有最值，最值是多少，并求此时点P的坐标；如果无最值，请说明理由．

2．已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，点为顶点．

(1)直接写出四个点的坐标；

(2)如图1，点为抛物线对称轴（直线）上的动点，求当点在什么位置时，取得最值？最值是多少？

(3)如图2，在第一象限内，抛物线上有一动点交于点，求的最大值．

3．如图，抛物线与轴相交于两点（点位于点的左侧），与轴相交于点，是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点的坐标为．

（1）求抛物线的解析式．

（2）已知为线段上一个动点，过点作轴于点．若的面积为．

①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

②当取得最值时，求点的坐标．

（3）在（2）的条件下，在线段上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

4．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于两点．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）若M是第一象限内线段上任意一点（不与B，C重合），轴于点H，与二次函数的图象交于点P，连接．设点M的横坐标为t，当是直角三角形时，求点M的坐标．

（3）如图，若M是直线上任意一点，N是x轴上任意一点，且．以N为旋转中心，将逆时针旋转，使M落在Q点连接，则线段的最值为_______．（直接写出答案）

5．如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且点与点的坐标分别为，，点是抛物线的顶点．

(1)求二次函数的关系式；

(2)点为线段上一个动点，过点作轴于点．若，的面积为，

①求与的函数关系式，写出自变量的取值范围．

②当取得最值时，求点的坐标；

(3)在上是否存在点，使为直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

6．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，抛物线y=ax2+bx经过点C、A．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于R、S两点，问：四边形PRSM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．

（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点Q,过点Q作x轴的垂线，垂足为H,使得以O、Q、H为顶点的三角形与∆OAB相似，如果存在，直接写出点Q的坐标，如果不存在，请说明