2025年中考数学高频考点突破——二次函数与最值

 中考数学高频考点突破——二次函数与最值

1．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．

（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求三角形ACE面积的最大值；

（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3）．

（1）求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；

（2）当2≤x≤4，求y的最大值；

（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，写出所有满足条件的点P的坐标．

3．如图1，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在y轴上，点B在x轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得∠ABP＝90°，求出点P的坐标；

（3）如图2，将直线AB沿y轴向下平移4个单位长度得到直线l，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线l上是否存在点N，使得AM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．

4．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与直线AB交于点M．

（1）当四边形CODM是菱形时，求点D的坐标；

（2）若点P为直线OD上一动点，求△APB的面积；′

（3）作点B关于直线MD的对称点B'，以点M为圆心，MD为半径作⊙M，点Q是⊙M上一动点，求QB'+QB的最小值．

5．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，4），在x轴上有一动点D（m，0）（0＜m＜4），过点D作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，

（1）直接写出抛物线和直线AB的函数表达式．

（2）当点C是DE的中点时，求出m的值，并判定四边形ODEB的形状（不要求证明）．

（3）在（2）的条件下，将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜a＜90°），连接D′A、D′B，求D′A+D′B的最小值．

6．如图，直线y＝x﹣4与x轴，y轴交于点B，C，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，抛物线经过B，C，与x轴交于另一点A．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位的速度向B点运动，同时点F从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点将停止运动．设△EBF的面积为S，点E运动的时间为t．

①求S与t的函数关系式，并求出S有最大值时点F的坐标；

②点E，F在运动过程中，若△EBF为直角三角形，求t的值．