2025年中考数学高频考点突破——二次函数与相似三角形综合

 中考数学高频考点突破——二次函数与相似三角形综合

1．如图，已知点A（0，4）和点B（3，0）都在抛物线y＝mx2+2mx+n上．

（1）求m、n；

（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为D，点B的对应点为C，若四边形ABCD为菱形，求平移后抛物线的表达式；

（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AC的交点为点E，x轴上的点F，使得以点C、E、F为顶点的三角形与△ABE相似，请求出F点坐标．

2．如图，O为坐标原点，以A为顶点的抛物线y＝﹣+2与x的正半轴交于点E，直线y＝﹣2x+6经过点A，且交y轴于点B．

（1）直接写出A、B两点的坐标；

（2）设直线y＝﹣2x+6与抛物线y＝﹣x2+2x的另一个交点为C，求tan∠ACO的值；

（3）设点Q是y轴上一个动点，若以点O，C，Q为顶点的三角形与△ABO相似，请求出符合条件的所有点Q的坐标．

3．如图，二次函数y＝x2+bx的图象经过点A（﹣1，4）和点B（2，m）．

（1）填空：b＝　   　；m＝　   　；

（2）过点A作AC∥x轴，交抛物线于点C，点P是线段OC上的动点（与O、C不重合）．

①若以O、B、C为顶点的三角形和以O、B、P为顶点的三角形相似，求它们的相似比；

②设点F是BC的中点，当OP为何值时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与△CPF重叠部分的面积是△BCP的面积的？

4．如图1，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），分别以AP、BP为一边，在直线AB的同侧作等边三角形APM和BPN，求△PMN的最大面积，并写出此时点P的坐标；

（3）如图2，若抛物线的对称轴与x轴交于点D，F是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，直线FD与y轴交于点E．是否存在点F，使△DOE与△AOC相似？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣3与抛物线y＝x2+mx+n相交于两个不同的点A、B，其中点A在x轴上．

（1）则A点坐标为　   　；

（2）若点B为该抛物线的顶点，求m、n的值；

（3）在（2）条件下，设该抛物线与x轴的另一个交点为C，请你探索在平面内是否存在点D，使得△DAC与△DCO相似？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．

6．如图，二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）过点A的直线AD∥BC且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，请解答下列问题：

①在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

②动点M以每秒1个单位的速度沿线段AD从点A向点D运动，同时，动点N以每秒个单位的速度沿线段DB从点D向点B运动，问：在运动过程中，当运动时间t为何值时，△DMN的面积最大，并求出这个最大值．