24.1.2 垂直于弦的直径课件2024—2025学年人教版九年级数学上册

24.1.2 垂直于弦的直径 (1)能通过折纸探究圆的对称性，能证明圆是轴对称图形； (2)能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论； (3)能利用垂径定理解决相应问题. 　将一个圆，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 探究 圆是轴对称图形， 任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 例1 求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 提示：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上. 证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C,D以外的任意一点.过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′. 在△OAA′中， ∵OA=OA′, ∴△OAA′是等腰三角形. 又AA′⊥CD， ∴AM=MA′. 即CD是AA′的垂直平分线. 你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 垂径定理： ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 条件 结论 请写出符号语言 下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？ 推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． N O A B M C D 注意 为什么强调这里的弦不是直径？ 一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直.因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立． 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备： （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任意 个条件都可以推出其他 个结论. 注意 两 三 例 如图，1400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）． 解：设赵洲桥主桥拱的半径为R. 则R2=18.52+(R-7.23)2 解得：R≈27.3 因此，赵州桥的主桥拱 半径约为27.3m. r 垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形 d + h = r d h a r 有哪些等量关系？ 在a，d，r，h 中，已知其中任意 两个量，可以求出 其它两个量． 方法规律：利用垂径定理解决问题，通常是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形后利用勾股定理解答. 小结 $$