2025年浙江省数学中考冲刺满分计划一：四大必拿分题型

2025年浙江省数学中考冲刺满分计划：四大必拿分题型 题型 考查重点 必考程度 一次函数的实际应用 结合图象的行程问题 结合图象的经济问题 反比例函数图象及其性质 反比例函数图象性质的参数讨论 反比例函数图象上对几何图形的探究 解直角三角形 用锐角三角函数求解三角形 解直角三角形的应用 作图与图形实践 网格图 尺规作图探究 折叠探究 一、一次函数的实际应用 1.结合图象的行程问题 1．（2025•温州一模）周末，小瓯骑自行车从家里向雁荡山（离家路程4500米）出发．10分钟后，她开始休息，休息时发现学生证放家里忘带，于是打电话联系爸爸．接到电话后爸爸立即开摩托车送过去，拿到学生证后小瓯以原速继续骑行，爸爸则不着急慢慢返回．两人离家的路程y（米）随时间t（分钟）变化的图象如图所示．已知爸爸到达小瓯休息地前，他离家的路程y关于t的函数表达式为y＝kt﹣6000． （1）求k与a的值． （2）爸爸到家后马上打电话给小瓯，得知她还没到达景区．问：小瓯此时离景区还有多远？ 2．（2025•清江浦区一模）某科技公司在机器人展厅内的展台上举办了甲、乙两款机器人的表演、慢跑展示活动，展台的总长度是70米，如图1所示．甲机器人先从起点出发，匀速慢跑，到达指定的表演点后开始表演，表演结束后，立刻按原来速度继续向前慢跑，直到终点结束；乙机器人的起点在甲机器人起点前7米处，与甲机器人同时开始慢跑，一直前行，直到终点结束．已知甲、乙两款机器人距离甲机器人起点的距离y（米）与时间x（秒）之间的函数关系如图2所示． （1）求甲、乙两款机器人各自的慢跑速度及甲机器人表演的时长． （2）求当甲、乙两款机器人相遇时，相遇点离展示台终点的距离． 3．（2025•庆元县一模）如图，小丽和小庆去某风景区游览，其主要景点位于同一条公路边，其中古刹到塔林的路程为10km，塔林到草甸的路程为25km，草甸到飞瀑的路程为10km．小丽骑电动自行车从“古刹”出发，沿景区公路匀速去“草甸”，车速为20km/h．同一时刻，小庆乘电动汽车从“飞瀑”出发，沿景区公路匀速前往“古刹”．设两人相距的路程为s km，时间为t h，s关于t的部分函数图象如图所示． （1）求小庆乘电动汽车的速度； （2）求图中a的值； （3）何时两人相距的路程等于5km？ 4．（2025•河西区一模）无人机表演队在进行表演训练，甲无人机以一定的速度从地面起飞，匀速上升6s时，到达训练计划指定的高度停止上升，保持此高度并开始第一次表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度96m时，进行了第二次表演，表演完成后以一定的速度返回地面．下面给出的图象反映了这个过程中甲无人机距离地面的高度y m与它飞行的时间x s之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （Ⅰ）①填表： 甲无人机飞行的时间/s 1 6 30 39 所在的位置距离地面的高度/m 　　 48 　　 　　 ②填空：甲无人机返回地面时的速度为 　 　 m/s； ③当0≤x≤19时，请直接写出y关于x的函数解析式． （Ⅱ）现有新的训练计划（甲无人机保持原训练计划不变），在甲无人机开始第一次表演5秒后，有乙无人机从距离地面48米高的楼顶起飞，匀速上升并和甲无人机同时到达距离地面96米的高度，并开始与甲无人机进行联合表演，表演结束后，两机都以相同的速度同时返回地面．问乙无人机出发多久时，甲无人机和乙无人机距离地面的高度差为10米？（直接写出结果即可） 5．（2025•绍兴一模）区间测速是指在高速公路某一路段的起点与终点设置监控点，根据车辆通过两监控点的时间，计算车辆在该路段上的平均速度，若平均速度超过该路段限速，则判定为超速． 某地有一段区间测速路段，长为50千米，限速为120千米/小时．甲车以105千米/小时的速度从起点驶入该区间测速路段，匀速行驶；乙车比甲车晚小时，同方向从起点驶入该区间测速路段，以135千米/小时匀速行驶了小时后，降低车速，以a千米/小时匀速行驶完剩余路段（减速时间忽略不计），当甲车行驶了小时时，行驶路程为m千米，此时乙车在甲车前方4千米处．已知在此区间测速路段，两车行驶的路程s（千米）与甲车在此路段行驶的时间t（小时）之间的函数图象如图所示． （1）求m的值； （2）求a的值； （3）通过计算判断乙车在该区间测速路段是否超速． 2.结合图象的经济问题 6．（2025•汝南县二模）某校九年级决定购买学习用具对本学期数学表现优秀的同学进行奖励，计划购买甲、乙两款圆规套装，已知甲款圆规套装所需费用y（元）与购买数量x（套）之间的函数关系如图所示，乙款圆规套装单价为每套8元． （1）求出y与x的函数关系式； （2）若甲、乙两款圆规套装共需65套，且甲款圆规套装的数量不少于乙款圆规套装的数量，设购买总费用为w元，如何设计购买方案，使总费用最低？最低总费用是多少元？ 7．（2025•石家庄一模）某物流公司推行环保运输政策，通过分段计价引导客户集约化运输，并制定如下计价规则． 计价规则 货物质量不超过10kg时，单价为6元/kg； 货物质量超过10kg但不超过20kg时，超过10kg部分单价为5元/kg； 货物质量超出20kg时，超出20kg的部分单价为4元/kg，并一次性额外收取30元的碳排放附加费． 设货物质量为x（kg），运费为y（元）． （1）若货物A质量为8kg，货物B质量为15kg，分别计算两个货物的运费； （2）当x＞20时，求y与x的函数解析式； （3）若某货物的运费为170元，求该货物质量为多少？ 8．（2025•济宁一模）某公司今年如果用原线下销售方式销售某一产品，每月的销售额可达80万元．为增加该产品销量，公司计划于5月份开始实行线上线下同时销售，这样，预计今年每月的销售额y（万元）与月份x（月）之间的函数关系的图象如图1中的点状图所示（7月及以后每月的销售额都相同），而产品销售成本m（万元）与销售额y（万元）之间函数关系的图象如图2中线段AB所示（80≤y≤180）． （1）求产品销售成本m（万元）与销售额y（万元）之间的函数关系式； （2）分别求该公司5月，6月的利润； （3）把5月作为第一个月开始往后算，最早到第几个月止，该公司改用线上线下同时销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出150万元？（利润＝销售额﹣经销成本） 二、反比例函数图象及其性质 1.反比例函数图象性质的参数讨论 1．（2025•包头一模）在反比例函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则k的取值范围是（　　） A．k＜0 B．k＞0 C．k＜6 D．k＞6 2．（2025•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，若点A（2，y1），B（﹣1，y2）在反比例函数的图象上，则y1+y2的值（　　） A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定等于0 D．是正数、负数或0都有可能，与k的取值有关 3．（2025•滨江区一模）函数图象上有P（x1，t），Q（x2，t+4）两点．（　　） A．若t＞0，则0＜x2＜x1 B．若t＞﹣4，则x2＜0＜x1 C．若t＜0，则x2＜0＜x1 D．若t＜﹣4，则0＜x1＜x2 4．（2025•拱墅区一模）反比例函数的图象上有A（x1，m），B（x2，2m），C（x3，3m）三点，（　　） A．若x1＞0，则x1﹣x2＞x2﹣x3 B．若x1＜0，则x1﹣x2＞x2﹣x3 C．若x1＞0，则|x1﹣x2|＜|x2﹣x3| D．若x1＜0，则|x1﹣x2|＜|x2﹣x3| 2.反比例函数图象上对几何图形的探究 5．（2025•瑶海区模拟）如图，正方形OABC和矩形BDEF的面积相等，反比例函数在第一象限的图象经过B、E两点，则DE的长为（　　） A．16 B．8 C． D． 6．（2025•溧阳市一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的边AO落在x轴上，边BO落在y轴上，点C是AO的中点，将△ABO沿AC的中垂线翻折，得到△CDE，反比例函数y经过点D，且S△AFC，则k的值是（　　） A．6 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣12 7．（2025•汕头模拟）如图，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，，OB与AC交于点D，若反比例函数经过点D，则k＝　 　 ． 8．（2025•锡山区二模）“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合思想的典型体现．如图，将弦图放置在以O为原点的平面直角坐标系中，C、A分别是x、y轴正半轴上的动点，正方形OABC中有如图四个全等的Rt△HAO、Rt△EBA、Rt△FCB、Rt△GOC，若E是AH中点，连结OE并延长交AB于点D，连结HF并延长交AB于M，点D是反比例函数0）图象上一点． （1）若k＝1，则D坐标为 　 　 ． （2）若M坐标为，则k＝　 　 ． 三、解直角三角形 1.用锐角三角函数求解三角形 1．（2025•广东模拟）如题图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE分别交BC，AB于D，E两点．若，求DE的长． 2．（2025•龙港市二模）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，若AB＝13，BD＝12，． （1）求CD的长． （2）求tan∠AED的值． 3．（2025•闵行区二模）如图，在△ABC中，BE为中线，AD平分∠BAC，且AD⊥BE，分别交BE、BC于点H、D，EF⊥BE，交BC于点F，AB＝5，tan∠ABE． （1）求BE的长； （2）求tan∠EBC的值． 4．（2025•南陵县一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABO是直角三角形，∠A＝90°，点B在x轴上，AO＝5，cosα． （1）求点A的坐标； （2）求∠ABO的正切值； （3）延长BA，交y轴于点C，求点C的坐标． 2.解直角三角形的应用 5．（2025•萧山区一模）小区内开车必须遵守限速5m/s安全规范．如图，在某小区拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，经过2秒直行到B处刚好观察到C处的儿童（此时B，O，C三点共线）．已知CM＝3m，OC＝5m，OD＝3m，∠OAD＝20°，试问该汽车是否遵守行车安全规范？ （参考数据：cos20°≈0.94，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36） 6．（2025•成都校级模拟）为保护“低头族”的视力与颈椎，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得面板DE长为24cm，CD为6cm（厚度忽略不计）．当面板DE绕点C转动时，面板与桌面即水平方向的夹角α满足30°≤α≤70°时，保护视力的效果较好．当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了多少？（结果精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） 7．（2025•交口县一模）膜结构车棚是近年来比较流行的一种棚型，它不仅具有功能性，而且具有观赏性，它以建筑造型美观、跨度空间大、抗震性强，透光性良好等特点赢得了良好的市场．图1是某小区新建的斜拉杆车棚，图2是其示意图，已知立柱AB与地面垂直，AD＝OD；测得立柱OB段的长为2.0m，横支撑杆OC＝0.7m，∠ACO＝∠AOD＝75°，∠AOC＝90°，求： （1）棚顶末端D到地面的距离DF的长． （2）车棚的最大停车长度FB的长． （结果精确到0.1m．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73） 8．（2025•西湖区一模）综合与实践． 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法． 【实践活动】如图1，小明、小亮分别在点B，C处同时测得热气球A的仰角∠ABD＝45°，∠ACD＝53°，BC＝15m，点B，C，D在地面的同一条直线上，AD⊥BD于点D．（测角仪的高度忽略不计） 【问题解决】（1）计算热气球离地面的高度AD． （参考数据：sin53°，cos53°，tan53°） 【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中的测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案． 爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高．根据他的想法与思路，完成以下填空： （2）如图2，在锐角三角形ABC中，设∠ABC＝α，∠ACB＝β，BC＝m，AD⊥BC于点D，用含α，β和m的代数式表示AD． 解：设AD＝x，因为tanα， 所以BD． 同理，因为tanβ， 所以CD＝①　 　 ． 因为BC＝BD+CD＝m， 解得x＝②　 　 ． 即可求得AD的长． 9．（2025•湖州一模）纵观古今，解码测量背后的数学智慧． （1）【古】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．意思是把“矩（曲尺）”仰立放，可测物体的高度．如图，点B，D，E在同一水平线上，∠ABE＝∠CDE＝90°，AE与CD交于点F．测得DF＝0.35米，DE＝0.55米，BE＝22米，求树AB的高度． （2）【今】某综合实践活动小组，尝试通过利用无人机（无人机限高120米）测算某山体的海拔高度，设计了如下两种方案．请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（AB的长）．（精确到1米） 测量示意图 方案说明 方案一 无人机位于海拔高度为60米的C处，测得与山顶A处的仰角α为45°，与山脚D处的俯角β为65°．（参考数据：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 方案二 当无人机位于海拔高度为60米的C处时，测得与山顶A处的仰角γ为45°；当无人机垂直上升到海拔高度为113米的G处时，测得与山顶处A的仰角θ为25°．（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.90，tan25°≈0.47） 四、作图与图形实践 1.网格图 1．（2025•武汉模拟）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B是格点，C是网格线上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问题，每问的画线不得超过四条． （1）在图（1）中，先在AC上画点D，使∠ADB＝∠A；再在BC上画点E，使∠CDE＝∠A． （2）在图（2）中，先在BC上画点F，使；再画△ABC的高CG． 2．（2025•钱塘区二模）如图，平行四边形ABCD的顶点均在格点上，找到格点P，使BP平分∠ABC． 画法1：在AD边上找到格点P，使AP＝AB． 画法2：在BC边上找到格点E，使BE＝AB，连结AE，找到格点P． （1）请根据上述画法分别在图1和图2中标出格点P，连结BP． （2）从两种画法中选择一种证明BP平分∠ABC． 3．（2025•浙江一模）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点在格点上，分别按要求画出图形： （1）在图1中画出两个以AB为斜边的直角三角形ABC，且点C在格点上； （2）在图2中画出一个以AB为对角线的菱形ADBE，且D，E在格点上． 4．（2025•长春一模）如图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均是格点，△ABC外接圆的圆心记为点O．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． （1）在图①中，标出点O； （2）在图②中，过点B作⊙O的切线PB，点P为格点； （3）在图②中，过点P作⊙O的另一条切线PD，点D为切点． 2.尺规作图探究 5．（2025•长沙二模）如图1，点E是▱ABCD边AD上一点（不与点A，D重合），连接CE．用尺规作AF∥CE，点F在边BC上． 作法①：以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE． 作法②：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE． 以上两种作法中，一定正确的是作法 　 　 （填序号），并利用图2写出证明过程． 6．（2025•罗庄区一模）如图1，AC＝2AB，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N．分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠BAC内交于点E．作射线AE，过点C作CD∥AB，交AE于点D． （1）求证：△ACD是等腰三角形； （2）如图2，若∠BAC＝60°，连接BD，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q．作直线PQ，交AB的延长线于点F．连接CF，交BD于点G．求的值． 7．（2025•鹿城区二模）如图，△ABC内接于⊙O（AC＜BC），直径AB＝4，点P在上． （1）请用无刻度的直尺和圆规在⊙O上找一点D，使得∠CPD＝2∠B． （2）在（1）的条件下，连接CD，已知CD＝3，为了求sin∠CPD，小明和小丽提出了各自的研究思路．请选择一种研究思路，求sin∠CPD． 小明的研究思路 小丽的研究思路 连接DO并延长交⊙O于点F，连接CF，求出sin∠CFD即可． 记CD交AB于点E，连接OC，求出sin∠AOC即可． 3.折叠探究 8．（2025•临安区一模）我们常常把一张A4纸通过折叠的方式得到它的对角线，如图1．折纸活动中，通过点与点重合或边与边重合，才能得到精准的折叠．现有一张A4纸张（矩形ABCD），如图2，设折叠后B'C边与AD边重叠的点为E． （1）请用尺规作图的方式在图2中画出点E． （2）根据以上折纸活动的提示，描述折出A4纸（矩形ABCD）对角线的两个步骤． 9．（2025•定兴县一模）“综合与实践”课上，老师让同学们以“矩形的翻折”为主题开展数学活动． 第1步：有一张矩形纸片ABCD，在AD边上取一点P沿BP翻折，使点A落在矩形内部A′处； 第2步：再次翻折矩形，使PD与PA′所在直线重合，点D落在直线PA'上的点D'处，折痕为PE． 翻折后的纸片如图所示． （1）求∠BPE的度数； （2）若AD＝32cm，AB＝24cm，求DE的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年浙江省数学中考冲刺满分计划：四大必拿分题型 题型 考查重点 必考程度 一次函数的实际应用 结合图象的行程问题 结合图象的经济问题 反比例函数图象及其性质 反比例函数图象性质的参数讨论 反比例函数图象上对几何图形的探究 解直角三角形 用锐角三角函数求解三角形 解直角三角形的应用 作图与图形实践 网格图 尺规作图探究 折叠探究 一、一次函数的实际应用 1.结合图象的行程问题 1．（2025•温州一模）周末，小瓯骑自行车从家里向雁荡山（离家路程4500米）出发．10分钟后，她开始休息，休息时发现学生证放家里忘带，于是打电话联系爸爸．接到电话后爸爸立即开摩托车送过去，拿到学生证后小瓯以原速继续骑行，爸爸则不着急慢慢返回．两人离家的路程y（米）随时间t（分钟）变化的图象如图所示．已知爸爸到达小瓯休息地前，他离家的路程y关于t的函数表达式为y＝kt﹣6000． （1）求k与a的值． （2）爸爸到家后马上打电话给小瓯，得知她还没到达景区．问：小瓯此时离景区还有多远？ 【答案】（1）500，16； （2）1500米． 【分析】（1）将坐标（12，0）和（a，2000）分别代入y＝kt﹣6000，得到关于k和a的二元一次方程组并求解即可； （2）根据速度＝路程÷时间求出爸爸回家的速度，再由时间＝路程÷速度求出爸爸回到家所用时间，从而得到爸爸到家时对应t的值，求出此时小瓯离家的距离，由小瓯此时离景区的距离＝家到景区的距离﹣此时小瓯离家的距离计算小瓯此时离景区还有多远即可． 【解答】解：（1）将坐标（12，0）和（a，2000）分别代入y＝kt﹣6000， 得， 解得， ∴k的值为500，a的值为16． （2）爸爸回家的速度为（2000﹣1200）÷（18﹣16）＝400（米/分钟）， 则爸爸回到家所用时间为2000÷400＝5（分钟）， 16+5＝21（分钟）， ∴当t＝21时，爸爸回到家中， 小瓯的速度为2000÷10＝200（米/分钟）， ∴当t＝21时，小瓯离家的距离为2000+200×（21﹣16）＝3000（米）， 4500﹣3000＝1500（米）． 答：小瓯此时离景区还有1500米． 2．（2025•清江浦区一模）某科技公司在机器人展厅内的展台上举办了甲、乙两款机器人的表演、慢跑展示活动，展台的总长度是70米，如图1所示．甲机器人先从起点出发，匀速慢跑，到达指定的表演点后开始表演，表演结束后，立刻按原来速度继续向前慢跑，直到终点结束；乙机器人的起点在甲机器人起点前7米处，与甲机器人同时开始慢跑，一直前行，直到终点结束．已知甲、乙两款机器人距离甲机器人起点的距离y（米）与时间x（秒）之间的函数关系如图2所示． （1）求甲、乙两款机器人各自的慢跑速度及甲机器人表演的时长． （2）求当甲、乙两款机器人相遇时，相遇点离展示台终点的距离． 【答案】（1）5米/秒，3.5米/秒，4秒； （2）米或40米或0米． 【分析】（1）根据速度＝路程÷时间分别计算甲、乙两款机器人各自的慢跑速度，由甲机器人表演的时长＝甲机器人到达终点所用的时间﹣甲机器人到达终点通过的路程÷甲款机器人慢跑的速度计算甲机器人表演的时长即可； （2）分别写出甲款机器人y与x之间的函数关系式（0≤x≤6）、乙款机器人y与x之间的函数关系式，分别计算两机器人相遇时对应y的值，从而求出相遇点离展示台终点的距离即可． 【解答】解：（1）甲款机器人慢跑的速度为30÷6＝5（米/秒）， 乙款机器人慢跑的速度为（70﹣7）÷18＝3.5（米/秒）， 甲款机器人表演的时长为18﹣70÷5＝4（秒）． 答：甲款机器人慢跑的速度为5米/秒，乙款机器人慢跑的速度为3.5米/秒，甲款机器人表演的时长为4秒． （2）当0≤x≤6时，甲款机器人y与x之间的函数关系式为y＝5x， 乙款机器人y与x之间的函数关系式为y＝3.5x+7． 当0≤x≤6时，当甲、乙两款机器人相遇时，得， 解得， 此时相遇点离展示台终点的距离为70（米）； 当6＜x≤10时，当甲、乙两款机器人相遇时，y＝30， 此时相遇点离展示台终点的距离为70﹣30＝40（米）； 当甲、乙两款机器人同时到达终点时，y＝70， 此时相遇点离展示台终点的距离为70﹣70＝0（米）． 答：当甲、乙两款机器人相遇时，相遇点离展示台终点的距离为米或40米或0米． 3．（2025•庆元县一模）如图，小丽和小庆去某风景区游览，其主要景点位于同一条公路边，其中古刹到塔林的路程为10km，塔林到草甸的路程为25km，草甸到飞瀑的路程为10km．小丽骑电动自行车从“古刹”出发，沿景区公路匀速去“草甸”，车速为20km/h．同一时刻，小庆乘电动汽车从“飞瀑”出发，沿景区公路匀速前往“古刹”．设两人相距的路程为s km，时间为t h，s关于t的部分函数图象如图所示． （1）求小庆乘电动汽车的速度； （2）求图中a的值； （3）何时两人相距的路程等于5km？ 【答案】（1）30km/h； （2）1.5； （3）两人出发后0.8h或1h． 【分析】（1）根据“（出发时二之间的距离﹣二人相遇时小丽行驶的路程）÷相遇时间”计算小庆乘电动汽车的速度即可； （2）根据“相遇后二人行驶的路程之和等于30km”列关于a的方程并求解即可； （3）分别计算二人相遇前后两种情况下相距的路程等于5km时对应的时间即可． 【解答】解：（1）（45﹣20×0.9）÷0.9＝30（km/h）． 答：小庆乘电动汽车的速度为30km/h． （2）根据图象，得（20+30）（a﹣0.9）＝30， 解得a＝1.5． （3）相遇前，当两人相距的路程等于5km时，（45﹣5）÷（20+30）＝0.8（h）， 相遇后，当两人相距的路程等于5km时，0.9+5÷（20+30）＝1（h）， ∴两人出发后0.8h或1h相距的路程等于5km． 4．（2025•河西区一模）无人机表演队在进行表演训练，甲无人机以一定的速度从地面起飞，匀速上升6s时，到达训练计划指定的高度停止上升，保持此高度并开始第一次表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度96m时，进行了第二次表演，表演完成后以一定的速度返回地面．下面给出的图象反映了这个过程中甲无人机距离地面的高度y m与它飞行的时间x s之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （Ⅰ）①填表： 甲无人机飞行的时间/s 1 6 30 39 所在的位置距离地面的高度/m 　　 48 　　 　　 ②填空：甲无人机返回地面时的速度为 　 　 m/s； ③当0≤x≤19时，请直接写出y关于x的函数解析式． （Ⅱ）现有新的训练计划（甲无人机保持原训练计划不变），在甲无人机开始第一次表演5秒后，有乙无人机从距离地面48米高的楼顶起飞，匀速上升并和甲无人机同时到达距离地面96米的高度，并开始与甲无人机进行联合表演，表演结束后，两机都以相同的速度同时返回地面．问乙无人机出发多久时，甲无人机和乙无人机距离地面的高度差为10米？（直接写出结果即可） 【答案】（Ⅰ）①8，96，96；②12；③y； （Ⅱ）s或3s． 【分析】（Ⅰ）①根据图象及速度＝路程÷时间、路程＝速度×时间计算即可； ②根据速度＝路程÷时间计算即可； ③根据路程＝速度×时间计算，最后的结果写成分段函数的形式即可； （Ⅱ）写出乙无人机距离地面的高度y m与甲无人机飞行的时间x s之间的函数关系式，根据x不同的取值范围，当甲无人机和乙无人机距离地面的高度差为10米时列关于x的方程并求解，再换算成乙无人机出发的时间即可． 【解答】解：（Ⅰ）①前6s甲无人机的速度为48÷6＝8（m/s）， 当x＝1时，y＝8×1＝8， 当x＝30时，y＝96， 当x＝39时，y＝96． 故答案为：8，96，96． ②甲无人机返回地面时的速度为96÷（47﹣39）＝12（m/s）． 故答案为：12． ③当0≤x≤6时，y＝8x， 当6＜x≤13时，y＝48， 当13＜x≤19时，y＝48+8（x﹣13）＝8x﹣56， ∴当0≤x≤19时，y关于x的函数解析式为y． （Ⅱ）6+5＝11（s）， 乙无人机的速度为（96﹣48）÷（19﹣11）＝6（m/s）， 则当11≤x≤19时，乙无人机距离地面的高度y m与甲无人机飞行的时间x s之间的函数关系式为y＝48+6（x﹣11）＝6x﹣18， 当11≤x≤13时，得6x﹣18﹣48＝10， 解得x， 11（s）， 当13＜x≤19时，得6x﹣18﹣（8x﹣56）＝10， 解得x＝14， 14﹣11＝3（s）． 答：乙无人机出发s或3s时，甲无人机和乙无人机距离地面的高度差为10米． 5．（2025•绍兴一模）区间测速是指在高速公路某一路段的起点与终点设置监控点，根据车辆通过两监控点的时间，计算车辆在该路段上的平均速度，若平均速度超过该路段限速，则判定为超速． 某地有一段区间测速路段，长为50千米，限速为120千米/小时．甲车以105千米/小时的速度从起点驶入该区间测速路段，匀速行驶；乙车比甲车晚小时，同方向从起点驶入该区间测速路段，以135千米/小时匀速行驶了小时后，降低车速，以a千米/小时匀速行驶完剩余路段（减速时间忽略不计），当甲车行驶了小时时，行驶路程为m千米，此时乙车在甲车前方4千米处．已知在此区间测速路段，两车行驶的路程s（千米）与甲车在此路段行驶的时间t（小时）之间的函数图象如图所示． （1）求m的值； （2）求a的值； （3）通过计算判断乙车在该区间测速路段是否超速． 【答案】（1）42； （2）100； （3）是． 【分析】（1）根据路程＝速度×时间求出甲车小时行驶的路程即可； （2）求出点C的坐标，根据当t时乙车行驶的路程列关于a的方程并求解即可； （3）根据时间＝路程÷速度求出乙在CD行驶的时间，再根据平均速度＝总路程÷总时间求出乙车在该路段行驶的平均速度并与限速比较大小即可． 【解答】解：（1）小时甲车行驶的路程为10542（千米）， ∴m＝42． （2）点C的横坐标为，点C的纵坐标为13536， ∴C（，36）， 根据图象，得36+（）a＝42+4， 解得a＝100． （3）乙车在CD段行驶的时间为（50﹣36）÷100（小时）， 则乙车在该路段行驶的平均速度为50÷（）（千米/小时）， ∵120， ∴乙车在该区间测速路段超速． 2.结合图象的经济问题 6．（2025•汝南县二模）某校九年级决定购买学习用具对本学期数学表现优秀的同学进行奖励，计划购买甲、乙两款圆规套装，已知甲款圆规套装所需费用y（元）与购买数量x（套）之间的函数关系如图所示，乙款圆规套装单价为每套8元． （1）求出y与x的函数关系式； （2）若甲、乙两款圆规套装共需65套，且甲款圆规套装的数量不少于乙款圆规套装的数量，设购买总费用为w元，如何设计购买方案，使总费用最低？最低总费用是多少元？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得y与x的函数关系式； （2）根据（1）中的函数关系式和题意，可以求得费用的最小值和所对应的购买方案． 【解答】解：（1）当0≤x≤30时，设y与x的函数关系式为y＝k1x， 30k1＝360， 解得，k1＝12， 即当0≤x≤30时，y与x的函数关系式为y＝12x， 当x＞30时，设y与x的函数关系式是y＝k2x+b， ， 解得， 即当x＞30时，y与x的函数关系式是y＝10x+60， 综上可知：y与x的函数关系式为y； （2）设购买甲款圆规套装的数量x套，则购买乙款圆规套装的数量是（65﹣x）套， 由题意得：， 解得32.5≤x≤65， ∵x为整数， ∴33≤x≤65， ∵总费用为w元， 当x＞30时，y与x的函数关系式是y＝10x+60， ∴w＝8（65﹣x）+（10x+60）＝2x+580， 以为k＝2＞0，所以w随x的增大而增大， 故当x＝33时，w取得最小值，此时w＝646，65﹣33＝32， 答：当购买甲款圆规套装33套，B种乙款圆规套装32套时总费用最低，最低费用是646元． 7．（2025•石家庄一模）某物流公司推行环保运输政策，通过分段计价引导客户集约化运输，并制定如下计价规则． 计价规则 货物质量不超过10kg时，单价为6元/kg； 货物质量超过10kg但不超过20kg时，超过10kg部分单价为5元/kg； 货物质量超出20kg时，超出20kg的部分单价为4元/kg，并一次性额外收取30元的碳排放附加费． 设货物质量为x（kg），运费为y（元）． （1）若货物A质量为8kg，货物B质量为15kg，分别计算两个货物的运费； （2）当x＞20时，求y与x的函数解析式； （3）若某货物的运费为170元，求该货物质量为多少？ 【答案】（1）48元，85元； （2）y＝4x+60； （3）27.5kg． 【分析】（1）根据计价规则分别计算即可； （2）根据计价规则写出y与x的函数解析式即可； （3）将y＝170代入（2）中求得的函数解析式，求出对应x的值即可． 【解答】解：（1）货物A的运费为6×8＝48（元）， 货物B的运费为6×10+5×（15﹣10）＝85（元）． （2）y＝6×10+5×（20﹣10）+4×（x﹣20）+30＝4x+60， ∴当x＞20时，y与x的函数解析式为y＝4x+60． （3）当y＝170时，得4x+60＝170， 解得x＝27.5． 答：该货物质量为27.5kg． 8．（2025•济宁一模）某公司今年如果用原线下销售方式销售某一产品，每月的销售额可达80万元．为增加该产品销量，公司计划于5月份开始实行线上线下同时销售，这样，预计今年每月的销售额y（万元）与月份x（月）之间的函数关系的图象如图1中的点状图所示（7月及以后每月的销售额都相同），而产品销售成本m（万元）与销售额y（万元）之间函数关系的图象如图2中线段AB所示（80≤y≤180）． （1）求产品销售成本m（万元）与销售额y（万元）之间的函数关系式； （2）分别求该公司5月，6月的利润； （3）把5月作为第一个月开始往后算，最早到第几个月止，该公司改用线上线下同时销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出150万元？（利润＝销售额﹣经销成本） 【答案】（1）； （2）42万元，60万元； （3）最早到第5个月止，该公司改用线上销售后，所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出150万元． 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）通过求函数的值即可求解； （3）最早到第x个月止，该公司改用线上线下销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出150万元，然后列出不等式42+60+78（x﹣2）﹣（80﹣50）x≥150，然后求解即可． 【解答】解：（1）设m＝ky+b，由图2，得， 解得， ∴， 所以产品销售成本m（万元）与销售额y（万元）之间的函数关系式为； （2）∵y＝100时，m＝58， ∴五月份利润为100﹣58＝42（万元）， ∵y＝130时，m＝70， ∴六月份的利润为130﹣70＝60（万元）， 答：五月份的利润为42万元，六月份的利润为60万元； （3）设最早到第x个月止，该公司改用线上线下销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出150万元， 由题意可知，7月份以后的每月利润为78万元， ∴42+60+78（x﹣2）﹣（80﹣50）x≥150， 解得x≥4.25， ∴最早到第5个月止，该公司改用线上销售后，所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出150万元． 二、反比例函数图象及其性质 1.反比例函数图象性质的参数讨论 1．（2025•包头一模）在反比例函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则k的取值范围是（　　） A．k＜0 B．k＞0 C．k＜6 D．k＞6 【答案】C 【分析】首先根据当x1＜0＜x2时，有y1＜y2则判断函数图象所在象限，再根据所在象限判断6﹣k的取值范围． 【解答】解：由条件可知反比例函数图象在第一，三象限， ∴6﹣k＞0， 解得：k＜6． 故选：C． 2．（2025•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，若点A（2，y1），B（﹣1，y2）在反比例函数的图象上，则y1+y2的值（　　） A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定等于0 D．是正数、负数或0都有可能，与k的取值有关 【答案】B 【分析】根据图象上点的坐标特征求得y1，y2k，得到y1+y2k0，即可判断． 【解答】解：∵点A（2，y1），B（﹣1，y2）在反比例函数的图象上， ∴y1，y2k， ∴y1+y2k， ∵k＞0， ∴0， ∴y1+y2的值一定是负数， 故选：B． 3．（2025•滨江区一模）函数图象上有P（x1，t），Q（x2，t+4）两点．（　　） A．若t＞0，则0＜x2＜x1 B．若t＞﹣4，则x2＜0＜x1 C．若t＜0，则x2＜0＜x1 D．若t＜﹣4，则0＜x1＜x2 【答案】D 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：∵反比例函数中，k＝﹣4＜0， ∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， A、若t＞0，则P（x1，t），Q（x2，t+4）在第二象限，且t＜t+4， ∵t＜t+4， ∴x1＜x2＜0，故错误，不符合题意； B、若t＞﹣4，则P（x1，t），Q（x2，t+4）有可能都在第四象限，故错误，不符合题意； C、若t＜0，则P（x1，t），Q（x2，t+4）有可能都在第二象限，故错误，不符合题意； D、若t＜﹣4，t+4＜0， ∴P（x1，t），Q（x2，t+4）在第四象限， ∵t＜t+4， ∴0＜x1＜x2，正确，符合题意． 故选：D． 4．（2025•拱墅区一模）反比例函数的图象上有A（x1，m），B（x2，2m），C（x3，3m）三点，（　　） A．若x1＞0，则x1﹣x2＞x2﹣x3 B．若x1＜0，则x1﹣x2＞x2﹣x3 C．若x1＞0，则|x1﹣x2|＜|x2﹣x3| D．若x1＜0，则|x1﹣x2|＜|x2﹣x3| 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：分别将点A（x1，m），B（x2，2m），C（x3，3m）坐标代入解析式得： x1，x2，x3， ∴x1﹣x2，x2﹣x3， 若x1＞0，则0， ∴x1﹣x2＞x2﹣x3＞0， ∴|x1﹣x2|＞|x2﹣x3|， ∴A正确，C错误； 若x1＜0，则0， ∴x1﹣x2＜x2﹣x3＜0， ∴|x1﹣x2|＞|x2﹣x3|， ∴B，D均错误． 故选：A． 2.反比例函数图象上对几何图形的探究 5．（2025•瑶海区模拟）如图，正方形OABC和矩形BDEF的面积相等，反比例函数在第一象限的图象经过B、E两点，则DE的长为（　　） A．16 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质结合反比例函数的解析式，求出B点坐标，设DE＝a，根据两个图形的面积相等，求出E点坐标，代入反比例函数解析式，求出a的值即可． 【解答】解：由条件可得S四边形OABC＝16， ∴OA＝AB＝4， ∴B（4，4）， 设DE＝a， ∵正方形OABC和矩形BDEF的面积相等， ∴DE•BD＝16， ∴， ∴， ∴， 由条件可得， 解得：或（舍去）； 经检验是原方程的解； ∴． 故选：C． 6．（2025•溧阳市一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的边AO落在x轴上，边BO落在y轴上，点C是AO的中点，将△ABO沿AC的中垂线翻折，得到△CDE，反比例函数y经过点D，且S△AFC，则k的值是（　　） A．6 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣12 【答案】D 【分析】设A（m，0），B（0，n），根据题意求得ACm，OEm，即可得出D（m，n），通过证得△AFG∽△ABO，求得FGn，根据S△AFC，求得mn＝﹣8，把D的坐标代入y即可求得k的值． 【解答】解：设A（m，0），B（0，n）， ∵点C是AO的中点， ∴ACOA，C（，0）， ∵将△ABO沿AC的中垂线翻折，得到△CDE， ∴FG⊥AC，FG平分AC， ∴AG， ∴AGOA， ∵FG∥y轴， ∴△AFG∽△ABO， ∴， ∴FGOBn， ∵A（m，0），C（，0）， ∴OC＝ACm， ∵S△AFC， ∴AC•FG，即， ∴mn＝﹣8， ∵EC＝OA＝﹣m，OC，DE＝OB＝n， ∴OEm， ∴D（m，n）， ∵反比例函数y经过点D， ∴km•n12． 故选：D． 7．（2025•汕头模拟）如图，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，，OB与AC交于点D，若反比例函数经过点D，则k＝　 　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】过A作AM⊥x轴于M，得出OM＝AM＝a，则根据菱形的性质得出是AC的中点，求得A，C的坐标，进而求得D的坐标，由反比例函数的图象经过点D即可求出k的值． 【解答】解：过A作AM⊥x轴于M， ∵∠AOC＝45°， 则OM＝AM， 设OM＝AM＝a， 则OAa， 由条件可知是AC的中点， ∵， ∴a＝2， ∴， ∴D点的坐标是， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， 故答案为：． 8．（2025•锡山区二模）“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合思想的典型体现．如图，将弦图放置在以O为原点的平面直角坐标系中，C、A分别是x、y轴正半轴上的动点，正方形OABC中有如图四个全等的Rt△HAO、Rt△EBA、Rt△FCB、Rt△GOC，若E是AH中点，连结OE并延长交AB于点D，连结HF并延长交AB于M，点D是反比例函数0）图象上一点． （1）若k＝1，则D坐标为 　 　 ． （2）若M坐标为，则k＝　 　 ． 【答案】（1）（，）． （2）． 【分析】（1）由题意证得四边形EFGH是正方形，进一步证得OD∥MH，根据平行线分线段成比例定理得到ADABOA，设D（a，3a），则a•3a＝k＝1，求得a（负数舍去），即可求得点D的坐标； （2）由（1）可知，AMABOA，由M坐标为可知m＝1，即可得到D（，1），代入0）即可求得k的值． 【解答】解：（1）由题意可知AE＝OH＝CG＝BF，BE＝AH＝OG＝CF， ∴EH＝HG＝FG＝EF， ∴四边形EFGH是正方形， ∵E是AH的中点， ∴AE＝EH， ∴OH＝EH， ∴∠OEH＝45°， ∵∠EHF＝45°， ∴∠OEH＝∠EHF， ∴OD∥MH， ∵AE＝EH， ∴AD＝DM， ∵BF＝EF， ∴DM＝BM， ∴ADABOA， ∴设D（a，3a）， ∵点D是反比例函数0）图象上， ∴a•3a＝k＝1， ∴a（负数舍去）， ∴D（，）． 故答案为：（，）． （2）由（1）可知，AMABOA， ∵M坐标为， ∴m， ∴m＝1， ∴OA＝AB＝1， ∴D（，1）， ∵点D是反比例函数0）图象上， ∴k． 故答案为：． 三、解直角三角形 1.用锐角三角函数求解三角形 1．（2025•广东模拟）如题图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE分别交BC，AB于D，E两点．若，求DE的长． 【答案】． 【分析】利用正弦值求边长，勾股定理，利用垂直平分线的性质得出AD＝5，进一步求出CD＝3，再利用勾股定理求出AB，AC，再利用正弦函数建立等式求解即可． 【解答】解：∵AB的垂直平分线DE分别交BC，AB于D，E两点， ∴BD＝AD，AC＝18，BC＝12，∠DEB＝90°， ∵BD＝5， ∴AD＝5， ∵， ∴CD＝ADsin∠DAC＝3， ∴， ． ∵，即， ∴． 2．（2025•龙港市二模）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，若AB＝13，BD＝12，． （1）求CD的长． （2）求tan∠AED的值． 【答案】（1）CD＝5； （2）． 【分析】（1）利用勾股定理求得AD，再解直角三角形即可； （2）利用AE是BC边上的中线求得DE，再求tan∠AED． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴， ∵， ∴， ∴CD＝5； （2）由中线性质可得， ∴， ∴． 3．（2025•闵行区二模）如图，在△ABC中，BE为中线，AD平分∠BAC，且AD⊥BE，分别交BE、BC于点H、D，EF⊥BE，交BC于点F，AB＝5，tan∠ABE． （1）求BE的长； （2）求tan∠EBC的值． 【答案】（1）8； （2）． 【分析】（1）先根据∠ABE的正切及AB的长求出BH的长，再结合AD⊥BE及AD平分∠ABC即可解决问题． （2）根据题意，分别得出DH和EF为△BEF和△CAD的中位线，据此求出DH的长，最后在Rt△DHB中根据正切的定义即可解决问题． 【解答】解：（1）∵AD⊥BE， ∴在Rt△ABH中， tan∠ABE． 又∵AB＝5，∠ABE， ∴AH＝3，BH＝4． 又∵AD平分∠ABC， ∴BE＝2BH＝8． （2）∵EF⊥BE，AD⊥BE， ∴AD∥EF． 又∵BH＝EH， ∴DH是△BEF的中位线， ∴EF＝2DH． 同理可得，AD＝2EF， ∴AD＝4DH， 即3+DH＝4DH， ∴DH＝1． 在Rt△BDH中， tan∠EBC． 4．（2025•南陵县一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABO是直角三角形，∠A＝90°，点B在x轴上，AO＝5，cosα． （1）求点A的坐标； （2）求∠ABO的正切值； （3）延长BA，交y轴于点C，求点C的坐标． 【答案】（1）点A的坐标为：（3，4）； （2）tan∠ABO； （3）点C（0，）． 【分析】（1）由cosα，则ON＝3，即可求解； （2）由（1）知，tanα，而∠AOB+∠B＝90°，即可求解； （3）由tan∠ABO，即可求解． 【解答】解：（1）过点A作AN⊥OB于点N， 则cosα， 则ON＝3， 则AN4， 则点A的坐标为：（3，4）； （2）由（1）知，tanα， ∵∠AOB+∠B＝90°， 则tan∠ABO； （3）如图，延长BC交y轴于点C， 由（2）知，tan∠ABO， 在Rt△OAB中，cosα， 则OB， 则tan∠ABO， 解得：OC， 即点C（0，）． 2.解直角三角形的应用 5．（2025•萧山区一模）小区内开车必须遵守限速5m/s安全规范．如图，在某小区拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，经过2秒直行到B处刚好观察到C处的儿童（此时B，O，C三点共线）．已知CM＝3m，OC＝5m，OD＝3m，∠OAD＝20°，试问该汽车是否遵守行车安全规范？ （参考数据：cos20°≈0.94，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36） 【答案】小车行驶符合安全规范． 【分析】在Rt△OCM中，由勾股定理得到OM长，利用Rt△OCM∽Rt△OBD，求出BD，在Rt△ODA中，求出AD，从而得到AB，求出小车行驶的速度，即可得到结果． 【解答】解：∵在Rt△OCM中，∠M＝90°，CM＝3m，OC＝5m， ∴（m）， ∵∠COM＝∠BOD，∠M＝∠D＝90°， ∴Rt△OCM∽Rt△OBD， ∴， ∵CM＝3m，OD＝3m， ∴（m）， ∵在Rt△ODA中，∠D＝90°，， ∴（m）， ∴AB＝AD﹣BD＝8.33﹣2.25＝6.08（m）， ∴小车行驶的速度为6.08÷2＝3.04（m/s）， ∵3.04＜5， ∴小车行驶符合安全规范． 6．（2025•成都校级模拟）为保护“低头族”的视力与颈椎，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得面板DE长为24cm，CD为6cm（厚度忽略不计）．当面板DE绕点C转动时，面板与桌面即水平方向的夹角α满足30°≤α≤70°时，保护视力的效果较好．当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了多少？（结果精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） 【答案】7.9cm． 【分析】过点C作CN∥l，过点E作EH⊥CN于点H，利用直角三角形的函数比求解即可． 【解答】解：过点C作CN∥l，过点E作EH⊥CN于点H， ∴∠EHC＝90°． ∵DE＝24cm，CD＝6cm， ∴CE＝18cm． 当∠ECH＝30°时，； 当∠ECH＝70°时，EH＝CE•sin70°≈18×0.94＝16.92（cm）； ∴16.92﹣9＝7.92≈7.9（cm） ∴增加了约7.9cm． 7．（2025•交口县一模）膜结构车棚是近年来比较流行的一种棚型，它不仅具有功能性，而且具有观赏性，它以建筑造型美观、跨度空间大、抗震性强，透光性良好等特点赢得了良好的市场．图1是某小区新建的斜拉杆车棚，图2是其示意图，已知立柱AB与地面垂直，AD＝OD；测得立柱OB段的长为2.0m，横支撑杆OC＝0.7m，∠ACO＝∠AOD＝75°，∠AOC＝90°，求： （1）棚顶末端D到地面的距离DF的长． （2）车棚的最大停车长度FB的长． （结果精确到0.1m．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73） 【答案】（1）3.3米；（2）4.8米． 【分析】（1）过点D作DG⊥AO于点G，根据AD＝OD求出AG＝OG，根据AB⊥BF，DF⊥BF可得四边形DFBG是矩形，进而得出DF＝BG，在Rt△AOC中求出AO即可解答； （2）在Rt△ODG中，根据OG和tan∠DOG求出DG即可解答． 【解答】解：（1）过点D作DG⊥AO于点G， ∵AD＝OD， ∴AG＝OG， 由题意知AB⊥BF，DF⊥BF， ∴四边形DFBG是矩形， ∴DF＝BG， 在Rt△AOC中，tan∠ACO， ∴AO＝tan75°•OC≈3.73×0.7≈2.6（米）， ∴AG＝OG＝1.3米， ∴DF＝BG＝OB+OG＝2+1.3＝3.3（米）， 答：棚顶末端D到地面的距离DF的长为3.3米； （2）在Rt△ODG中，tan∠DOG， ∴DG＝tan75°•OG≈3.73×1.3≈4.8（米）， 答：车棚的最大停车长度FB的长为4.8米． 8．（2025•西湖区一模）综合与实践． 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法． 【实践活动】如图1，小明、小亮分别在点B，C处同时测得热气球A的仰角∠ABD＝45°，∠ACD＝53°，BC＝15m，点B，C，D在地面的同一条直线上，AD⊥BD于点D．（测角仪的高度忽略不计） 【问题解决】（1）计算热气球离地面的高度AD． （参考数据：sin53°，cos53°，tan53°） 【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中的测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案． 爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高．根据他的想法与思路，完成以下填空： （2）如图2，在锐角三角形ABC中，设∠ABC＝α，∠ACB＝β，BC＝m，AD⊥BC于点D，用含α，β和m的代数式表示AD． 解：设AD＝x，因为tanα， 所以BD． 同理，因为tanβ， 所以CD＝①　 　 ． 因为BC＝BD+CD＝m， 解得x＝②　 　 ． 即可求得AD的长． 【答案】（1）60m； （2），． 【分析】（1）根据正切的定义，在Rt△ACD中得到CDAD，在Rt△ABD中BD＝AD，再利用BD﹣CD＝BC得到ADAD＝15，然后解方程求出AD即可； （2）设AD＝x，利用正切的定义得到BD．CD．再利用BC＝BD+CD＝m得到关于x的方程，然后解方程即可． 【解答】解：（1）如图， 在Rt△ACD中，∵tan∠ACD， ∴CDAD， 在Rt△ABD中，∵tan∠B， ∴BDAD， ∵BD﹣CD＝BC， ∴ADAD＝15， 解得AD＝60（m）． 答：热气球离地面的高度AD为60m； （2）设AD＝x，因为tanα， 所以BD． 同理，因为tanβ， 所以CD． 因为BC＝BD+CD＝m， 解得x 即可求得AD的长． 故答案为：，． 9．（2025•湖州一模）纵观古今，解码测量背后的数学智慧． （1）【古】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．意思是把“矩（曲尺）”仰立放，可测物体的高度．如图，点B，D，E在同一水平线上，∠ABE＝∠CDE＝90°，AE与CD交于点F．测得DF＝0.35米，DE＝0.55米，BE＝22米，求树AB的高度． （2）【今】某综合实践活动小组，尝试通过利用无人机（无人机限高120米）测算某山体的海拔高度，设计了如下两种方案．请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（AB的长）．（精确到1米） 测量示意图 方案说明 方案一 无人机位于海拔高度为60米的C处，测得与山顶A处的仰角α为45°，与山脚D处的俯角β为65°．（参考数据：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 方案二 当无人机位于海拔高度为60米的C处时，测得与山顶A处的仰角γ为45°；当无人机垂直上升到海拔高度为113米的G处时，测得与山顶处A的仰角θ为25°．（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.90，tan25°≈0.47） 【答案】（1）树AB的高度为14米； （2）山体高度约为160米． 【分析】（1）根据已知条件，可得到△ABE∽△FDE，可得到对应边成比例，即，从而得到结果； （2）根据题意，方案一不可行，选择方案二，得到△ACE是等腰直角三角形，在Rt△AGH中，求出AE，从而得到结果． 【解答】解：（1）∵∠ABE＝∠CDE＝90°，∠AEB＝∠FED， ∴△ABE∽△FDE， ∴， ∵DF＝0.35米，DE＝0.55米，BE＝22米， ∴， ∴AB＝14， 答：树AB的高度为14米； （2）选择方案二进行问题解决： ∵∠ACE＝γ＝45°，∠AEC＝90°， ∴AE＝CE， ∵∠AGH＝θ＝25°，∠AHG＝90°， ∴， 可得， ∴（米）， ∴AB＝AE+EB＝CE+CF＝160（米）， ∴山体高度约为160米． 四、作图与图形实践 1.网格图 1．（2025•武汉模拟）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B是格点，C是网格线上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问题，每问的画线不得超过四条． （1）在图（1）中，先在AC上画点D，使∠ADB＝∠A；再在BC上画点E，使∠CDE＝∠A． （2）在图（2）中，先在BC上画点F，使；再画△ABC的高CG． 【答案】见解析． 【分析】（1）取格点D，连接BD即可，取格点R，连接DR交BC于点E，点D，点E即为所求； （2）取格点W，连接BW，取BW的中点J，连接AJ交CB于点F，线段CG，点F即为所求；取格点T，连接CT延长CT交AB于点G． 【解答】解：（1）如图1中，点D，点E即为所求； （2）如图2中，点F，线段CG即为所求． 2．（2025•钱塘区二模）如图，平行四边形ABCD的顶点均在格点上，找到格点P，使BP平分∠ABC． 画法1：在AD边上找到格点P，使AP＝AB． 画法2：在BC边上找到格点E，使BE＝AB，连结AE，找到格点P． （1）请根据上述画法分别在图1和图2中标出格点P，连结BP． （2）从两种画法中选择一种证明BP平分∠ABC． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）如图1中，在AD上取点P，使得AB＝AP，连接BP，点P即为所求．如图2中，作等腰△ABE，AB＝AE，取AE的中点P，作射线BP，点P即为所求． （2）①由画图可知，推出∠ABP＝∠APB，再根据AD∥BC，证明∠APB＝∠PBC，可得∠ABP＝∠PBC，则点P即为所求；②由画图可知，AB＝BE，点P为AE的中点，由三线合一定理可得BP平分∠ABC，则点P即为所求． 【解答】（1）解：如图1，点P即为所求作；如图2所示，点P即为所求作； （2）证明：如图1， 由题意可知， ∴∠ABP＝∠APB， ∵AD∥BC， ∴∠APB＝∠CBP， ∴∠ABP＝∠CBP， 则点P即为所求； ②如图2， 由题意可知， 点P为AE的中点， 由三线合一定理可得BP平分∠ABC， 则点P即为所求． 3．（2025•浙江一模）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点在格点上，分别按要求画出图形： （1）在图1中画出两个以AB为斜边的直角三角形ABC，且点C在格点上； （2）在图2中画出一个以AB为对角线的菱形ADBE，且D，E在格点上． 【答案】（1）见解答； （2）见解答． 【分析】（1）根据等边三角形的性质及直角三角形的性质作图； （2）根据等边三角形的性质及菱形的性质作图． 【解答】解：（1）点C、C′即为所求； （2）菱形ADBE即为所求． 4．（2025•长春一模）如图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均是格点，△ABC外接圆的圆心记为点O．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． （1）在图①中，标出点O； （2）在图②中，过点B作⊙O的切线PB，点P为格点； （3）在图②中，过点P作⊙O的另一条切线PD，点D为切点． 【答案】（1）见解答． （2）见解答． （3）见解答． 【分析】（1）结合圆周角定理可知AB为圆O的直径，取AB的中点O即可． （2）过点B作AB的垂线即可． （3）结合切线的判定与性质，以OP1为直径画圆，交圆O于点D1，作直线D1P1，以OP2为直径画圆，交圆O于点D2，作直线D2P2，则直线D1P1、直线D2P2均满足题意． 【解答】解：（1）由图可知，∠ACB＝90°， ∴AB为圆O的直径． 如图①，取AB的中点O， 则点O即为所求． （2）如图②，过点B作AB的垂线，所经过的格点分别记为P1，P2， 则直线P1P2即为所求． （3）如图②，以OP1为直径画圆，交圆O于点D1，作直线D1P1，以OP2为直径画圆，交圆O于点D2，作直线D2P2， 则直线D1P1、直线D2P2均满足题意． 2.尺规作图探究 5．（2025•长沙二模）如图1，点E是▱ABCD边AD上一点（不与点A，D重合），连接CE．用尺规作AF∥CE，点F在边BC上． 作法①：以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE． 作法②：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE． 以上两种作法中，一定正确的是作法 　 　 （填序号），并利用图2写出证明过程． 【答案】①正确，见解析． 【分析】作法①正确证明四边形AECF是平行四边形可得结论． 【解答】解：作法①正确，方法二点F有两个位置如图2，AF不一定平行CE； 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥CF， ∵AE＝CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF∥CE． 故答案为：①． 6．（2025•罗庄区一模）如图1，AC＝2AB，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N．分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠BAC内交于点E．作射线AE，过点C作CD∥AB，交AE于点D． （1）求证：△ACD是等腰三角形； （2）如图2，若∠BAC＝60°，连接BD，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q．作直线PQ，交AB的延长线于点F．连接CF，交BD于点G．求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【分析】（1）根据角平分线和平行线证明DC＝AC即可； （2）先证明△AFC是等边三角形，设AB＝m，然后求出BF的长，再证△BEG∽△DCG即可求出的值． 【解答】（1）证明：由作图可知，AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵CD∥AB，交AE于点D． ∴∠ADC＝∠BAD， ∴∠ADC＝∠CAD， ∴CA＝CD， ∴△ACD是等腰三角形； （2）解：由作图方法可知：PQ是线段AC的垂直平分线， ∴FA＝FC， ∵AC＝2AB，∠BAC＝60°， ∴△ACF为等边三角形， ∴AF＝AC， 设AB＝m， ∴AF＝AC＝CF＝2m， ∴BF＝AF﹣AB＝m， 由（1）知，CD＝CA＝2m，CD∥AB， ∴∠BFG＝∠DCG，∠FBG＝∠CDG， ∴△BFG∽△DCG， ∴． 7．（2025•鹿城区二模）如图，△ABC内接于⊙O（AC＜BC），直径AB＝4，点P在上． （1）请用无刻度的直尺和圆规在⊙O上找一点D，使得∠CPD＝2∠B． （2）在（1）的条件下，连接CD，已知CD＝3，为了求sin∠CPD，小明和小丽提出了各自的研究思路．请选择一种研究思路，求sin∠CPD． 小明的研究思路 小丽的研究思路 连接DO并延长交⊙O于点F，连接CF，求出sin∠CFD即可． 记CD交AB于点E，连接OC，求出sin∠AOC即可． 【答案】（1）见解答； （2）． 【分析】（1）以A点为圆心，AC为半径画弧交⊙O于点D，则根据圆周角定理可得∠CPD＝2∠B； （2）小明的思路：如图1，连接DO并延长交⊙O于点F，连接CF，根据圆周角定理得到∠DCF＝90°，∠DFC＝∠CFD，再根据正弦的定义，在Rt△DCF中得到sin∠DFC，从而得到sin∠CFD的值； 小丽的思路：如图2，记CD交AB于点E，连接OC，根据垂径定理得到AB⊥CD，CE＝DE，再利用圆周角定理证明∠AOC＝∠CPD，再根据正弦的定义，在Rt△OCE中得到sin∠COE，从而得到sin∠CPD的值． 【解答】解：（1）如图，点D为所作； （2）小明的思路： 如图1，连接DO并延长交⊙O于点F，连接CF， ∵DF为直径， ∴∠DCF＝90°， 在Rt△DCF中，sin∠DFC， ∵∠DFC＝∠CFD， ∴sin∠CFD； 小丽的思路： 如图2，记CD交AB于点E，连接OC， ∵， ∴AB⊥CD， ∴CE＝DECD， ∵∠AOC＝2∠B，∠CPD＝2∠B， ∴∠AOC＝∠CPD， 在Rt△OCE中，sin∠COE， ∴sin∠CPD． 3.折叠探究 8．（2025•临安区一模）我们常常把一张A4纸通过折叠的方式得到它的对角线，如图1．折纸活动中，通过点与点重合或边与边重合，才能得到精准的折叠．现有一张A4纸张（矩形ABCD），如图2，设折叠后B'C边与AD边重叠的点为E． （1）请用尺规作图的方式在图2中画出点E． （2）根据以上折纸活动的提示，描述折出A4纸（矩形ABCD）对角线的两个步骤． 【答案】（1）见解析； （2）步骤一：点A，点C两点重合，得到折痕EE′； 步骤二：点E，点E′重合可以折出A4纸（矩形ABCD）对角线AC． 【分析】（1）分别以A，C为圆心，AB，BC为半径作弧，两弧交于点B′，连接AB′，CB′，CB′交AD于点E； （2）步骤一：点A，点C两点重合，得到折痕EE′； 步骤二：点E，点E′重合可以折出A4纸（矩形ABCD）对角线AC． 【解答】解：（1）如图2中，点E即为所求； （2）如图3中，步骤一：点A，点C两点重合，得到折痕EE′； 步骤二：点E，点E′重合可以折出A4纸（矩形ABCD）对角线AC． 9．（2025•定兴县一模）“综合与实践”课上，老师让同学们以“矩形的翻折”为主题开展数学活动． 第1步：有一张矩形纸片ABCD，在AD边上取一点P沿BP翻折，使点A落在矩形内部A′处； 第2步：再次翻折矩形，使PD与PA′所在直线重合，点D落在直线PA'上的点D'处，折痕为PE． 翻折后的纸片如图所示． （1）求∠BPE的度数； （2）若AD＝32cm，AB＝24cm，求DE的最大值． 【答案】（1）90°；（2）． 【分析】（1）利用折叠的性质和平角的意义解答即可； （2）设PD＝x，DE＝y，则AP＝AD﹣AP＝32﹣x，利用相似三角形的判定与性质求得y与x的函数关系式，再利用二次函数的想解答即可得出结论． 【解答】解：（1）由题意得：∠APB＝∠A′PB，∠DPE＝D′PE， ∵∠APB+∠A′PB+∠DPE+D′PE＝180°， ∴2（∠A′PB+∠D′PE）＝180°， ∴∠A′PB+∠D′PE＝90°， ∴∠BPE＝90°． 故答案为：90°； （2）设PD＝x，DE＝y，则AP＝AD﹣AP＝32﹣x． 由（1）知：∠BPE＝90°， ∴∠APB+∠DPE＝90°． ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠D＝∠A＝90°， ∴∠ABP+∠APB＝90°， ∴∠ABP＝∠DPE． ∵∠A＝∠D＝90°， ∴△ABP∽△DPE， ∴， ∴， ∴yx（32﹣x）（x﹣16）2． ∵0， ∴当x＝16时，y有最大值为． ∴DE的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$