2025年中考九年级数学考前专题复习：求最短路径（勾股定理的应用）

2025年中考九年级数学考前专题复习：

求最短路径（勾股定理的应用）

 

 

1．如图，A，B个村在河的同侧，且， A，B两村到河的距离分别为，．现要在河边上建一水厂分别向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需3000元．请你在河岸上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W（元）．

 

2．已知圆锥的底面半径为，高，现有一只蚂蚁从底边上一点A出发，在侧面上爬行一周后又回到A点．

(1)求圆锥的全面积；

(2)求蚂蚁爬行的最短距离．

3．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，母线（）长为．

(1)求圆锥形纸杯的侧面积．

(2)若在母线上的点A处有一块爆米花残渣，且，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，求此蚂蚁爬行的最短距离．

4．如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，，分别是两底面的直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，求小虫爬行的最短路线的长度（结果保留根号）．

5．如图：某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为，现要为喷泉铺设供水管道和，供水点M在小路上，供水点 M 到的距离的长为，的长为．

(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；

(2)求喷泉B到小路的最短距离．

6．如图，长方体的底面边长分别为4cm和8cm，高为10cm，若一只蚂蚁从点开始经过4个侧面爬行一圈到达点，若蚂蚁的爬行速度为内蚂蚁能否爬到点？

7．勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．

(1)定理证明：图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理；

(2)问题解决：如图2，圆柱的高为，底面半径为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路径是多少厘米？（结果可保留）

8．2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得：

(1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？

(2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离．

9．如图，要在河边修一个水泵站，分别向A、B两村送水，已知A、B两村到江边的距离分别为和，且A、B两村相距．

(1)水泵站应修建在何处，可使所用水管最短，请在图中设计出水泵站P的位置；

(2)若铺设水管的费用为每千米4000元，为了使铺设水管费用最节省，请求出最节省铺设水管的费用为多少元？

10．如图，一只蚂蚁在底面半径为，高为的圆柱下底面的点处，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，求蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

  

11．已知菱形的四个顶点分别为，，且．

  

(1)若直线经过点A，D，求点C的坐标；

(2)已知点，连接，求点D与点E的最短距离．

12．如图，在平面直角坐标系中，，，．

    

(1)在图中作出关于轴的对称图形；

(2)写出点，，的坐标；

(3)在轴上找出点，使得的值最小，并写出最小值．

13．在中，，，．