2025年中考数学三轮复习备考新定义函数综合题重点题型预测练

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新定义函数综合题重点题型预测练

 

 

1．定义：若以函数图象上的点与平面内两个点，为顶点构成的三角形是等边三角形，则称是上关于，的“等边点”．在平面直角坐标系中，已知，，．

(1)正比例函数上存在关于，的“等边点”，直接写出正比例函数的解析式；

(2)点是轴正半轴上一点，点是反比例函数上关于，的“等边点”，且轴，求反比例函数的解析式；

(3)①二次函数过点，，，则的解析式为______；

②若点是二次函数的对称轴上一动点，若点是上关于，的等边点，直接写出点的横坐标．

2．在平面直角坐标系中，对于点和正方形，给出如下定义：若点关于轴的对称点到正方形的边所在直线的最大距离是最小距离的2倍，则称点是正方形的“最佳距离点”．

已知：点．

(1)当时，

①点的坐标是___________；

②在三个点中，___________是正方形的“最佳距离点”；

(2)当时，点（其中）是正方形的“最佳距离点”，直接写出的取值范围；

(3)点，若线段上存在正方形的“最佳距离点”，直接写出的取值范围．

3．我们定义【a，b，c】为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是【1，，3】，函数的“特征数”是【0，2，】，函数的“特征数”是【0，，0】．

(1)若一个函数的特征数是【1，，2】，将此函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是__________；

(2)将“特征数”是【0，，】的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是

__________；

(3)当“特征数”是【1，，】的函数在直线和直线之间的部分（包括边界点）的最低点的纵坐标为4时，求的值．

(4)当特征数【1，b，c】满足时，函数的图象与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．已知点B的坐标为，若在x轴上有一点P，使，请直接写出点P的坐标．

4．定义：象限内到两坐标轴距离相等的点，我们称为“等距点”.比如：，， 都是“等距点”.

(1)求反比例函数. 图象上的“等距点”坐标；

(2) A、B是一次函数 图象上的“等距点”，O为坐标原点，若 的面积为3，求一次函数的解析式；

(3)二次函数 (a、b、c为常数,) 的图象经过点 且其图象上有且仅有三个“等距点”，它们的横坐标依次记为 求 的值或取值范围.

5．定义：函数图象上，到两坐标轴距离相等的点，我们称为这个函数的“等距点”．如图1，图象上的点就是这个函数的“等距点”．

(1)求函数的“等距点”；

(2)如图2，点，都是函数（是常数）的“等距点”，

①点的坐标为 ；

②点的坐标是，连接，求的面积；

(3)若二次函数只有一个“等距点”，请直接写出的值．

6．新定义：若二次函数为（，，，是常数），则称为的“关联”二次函数，称这两个函数为互为“关联”二次函数．

(1)写出的“关联”二次函数的表达式，并写出该互为“关联”二次函数的图象的一个性质；

(2)若（1）中的互为“关联”二次函数的图象与正比例函数的图象只有两个交点，求的值；

(3)如图，二次函数与互为“关联”二次函数，，分别是互为“关联”的两个二次函数与的图象的顶点，是的图象与轴正半轴的交点，连接，，，若点为，且为直角三角形，求点的坐标．

7．定义：函数图象上到一个定点的距离相等的不同的点称为此函数图象上的这个定点的“共圆点”，即函数图象上的某个定点的“共圆点”都在以这个定点为圆心的同一个圆上．

(1)如图1．在平面直角坐标系中，函数与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，请判断点是否为直线上的点的“共圆点”？并说明理由：

(2)如图2，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，请直接写出点的坐标；

(3)抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点为点，点在抛物线的对称轴上，且在点的上方，点在对称轴右侧的抛物线上，轴，点与点是抛物线上的点的“共圆点”，

①求点的坐标；

②将抛物线平移，使其顶点落在原点，这时点落在点的位置，点在轴上，当的周长最小时，求点的坐标．

8．新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”．

(1)若抛物线与轴只有一个公共点，且是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式．

(2)已知抛物线（，为常数，且）．

①求证：该抛物线为“定点抛物线”；

②若，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点，，当时，求的取值范围．

9．【定义】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．

【背景】已知二次函数（为常数），

(1)若记“三倍点”的横坐标为，则点的坐标可表示为 ；（用的代数式表示）

(2)若该函数经过点；

①求出该函数图象上的“三倍点”坐标；

②在范围中，记二次函数的最大值为，最小值为，求的值．

10．记二次函数和的图像分别为抛物线G和．给出如下定义：若抛物线的顶点在抛物线G上，则称是G的伴随抛物线．

(1)若抛物线和抛物线都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ；