2025年中考二轮数学专题训练-几何模型之倍长中线

2025年中考二轮数学专题训练-几何模型之倍长中线

 

1．已知中，

(1)如图1，点E为的中点，连接并延长到点F，使，则与的数量关系是 　　．

(2)如图2，若，点E为边上一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：．

(3)如图3，点D在内部，且满足，点M在的延长线上，连接交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：．

2．已知，在正方形中，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，连接并取其中点G，连接、．

(1)如图1，若的顶点E在线段上，则和的关系______；

(2)如图2，若的顶点E在线段上时，则（1）中的结论是否还成立?请说明理由；

(3)若的顶点E在内，如图3位置所示，则（1）中的结论是否还成立?请说明理由．

3．已知和都是等腰直角三角形，，连接，点F为中点．

  

(1)如图1，求证：；

(2)将绕C点旋转到如图2所示的位置，连接，过C点作于M点．

①探究和的关系，并说明理由；

②连接，求证：F，C，M三点共线．

4．如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝．

（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝，求OB的长；

（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．

5．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．

【探究与发现】

如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：△ABC≌△EDC．

【理解与应用】

如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．

（1）求证：AC＝BD；

（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．

6．如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．

（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．

①请证明△CED≌△ABD；

②中线BD的取值范围是 　 　．

（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．

7．如图，为中边上的中线．

（1）求证：；

（2）若，，求的取值范围．

8．如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，．

 

（1）求证；

（2）如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值．

9．将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起，，连接．

（1）如图1,若三点在同一条直线上，则与的关系是 ；

  

（2）如图2，若三点不在同一条直线上,与相交于点，连接,猜想之间的数量关系，并给予证明；

（3）如图3，在(2)的条件下作的中点,连接，直接写出与之间的关系．

10．如图1，，都是等腰直角三角形，，，，且，点在上，连接，．

（1）如果；

①求的值；

②若，是关于的方程的两根，求；

（2）如图2，将绕点逆时针旋转．

①在上方，与、、同一平面内找一点，使四边形的面积四边形与四边形的面积四边形相等，并简要说明寻找点的作法；