2025年中考数学必考知识点专题特训二次函数与新定义的综合

2025年中考数学必考知识点专题特训二次函数与新定义的综合

 

1．定义：如图1，点P为平分线上一点，的两边分别与射线交于M，N两点，若绕点P旋转时始终满足，则称是的“梦之角”．

(1)如图1，已知，点P为平分线上一点，的两边分别与射线交于M，N两点，且．求证：是的“梦之角”；

(2)如图2，已知，，若是的“梦之角”，连接，用含的式子分别表示的度数和的面积；

(3)如图3，C是函数图象上的一个动点，过点C的直线分别交x轴和y轴于点A，B两点，且满足，的“梦之角”为，请直接写出的长及相应点P的坐标．

2．对某一个函数给出如下定义：对于任意的函数值y，都满足，且在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上边界值；对于任意的函数值y．都满足，且在所有满足条件的N中，其最大值称为这个函数的下边界值；若一个函数既有上边界值又有下边界值，则称这个函数是有界函数，其上边界与下边界的差称为边界差．例如，图中的函数上边界值是，下边界值是．所以这个函数是“有界函数”，边界差为．

(1)在下列关于x的函数中，是“有界函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“有界函数”的打“×”．

①（_________）；② （___________）；③（_________）

(2)若函数（m，n为常数，且），当时，求这个函数的边界差；

(3)若关于x的函数（k为常数）经过点，当时，其边界差为0.5，求t的值．

3．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，直线与抛物线交于点(点在点的左侧)．

（1）求点坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段及抛物线在两点之间的部分围成的封闭区域(不含边界)记为．

①当时，结合函数图象，直接写出区域内的整点个数；

②如果区域内有2个整点，请求出的取值范围．

4．定义：对于已知的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：正比例函数，它的相关函数为.

（1）已知点在一次函数的相关函数的图像上，求的值；

（2）已知二次函数.

①当点在这个函数的相关函数的图像上时，求的值；

②当时，求函数的相关函数的最大值和最小值.

（3）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，连结.直接写出线段与二次函数的相关函数的图像有两个公共点时的取值范围.

5．我们定义：把叫做函数的伴随函数．比如：就是的伴随函数．数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数（的常数），若点在函数的图像上，则点（，）也在其图像上，即从数的角度可以知道它的图像关于轴对称．解答下列问题：

   　  

（1）的图像关于 轴对称；