2025年数学中考必考知识点专题特训-图形面积最值问题

2025年数学中考必考知识点专题特训-图形面积最值问题

1．在中，，，点D为平面内一点．

(1)如图1，若点D在线段上，且，求；

(2)如图2，若点D为内部一点，且，连接，点E为的中点，连接，用等式表示线段，，的数量关系，并证明：

(3)若点D满足，当时，请直接写出的最值．

2．如图，抛物线（），与x轴交于、O两点，为抛物线的顶点．

  

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点E为的中点，以点E为圆心、以1为半径作，交x轴于B、C两点

①射线交抛物线于点P，若，求点P的坐标；

②如图2，连接，取的中点N，则线段的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出的最值，请说明理由．

3．通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．

  

【探究发现】

（1）如图1，，垂足分别为C、D，点E 是的中点，连接，已知，．

①分别求出线段、的长（用含 a、b的代数式表示）；

②比较大小：______（填“<”、“>”），用含 a、b的代数式表示该大小关系为_______．

【类比应用】

（2）如图2，在平面直角坐标系 中，点 M、N在反比例函数 的图象上，横坐标分别为 m、n．设记．

①当，时，_______；当，时，_______；

②通过归纳猜想，可得 l的最小值是_______．

4．通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．

  

（1）如图1，，，垂足分别为C、D，E是的中点，连接，已知，．

①分别求线段、的长（用含a、b的代数式表示）；

②比较大小：______（填“”、“”或“”），用含a、b的代数式表示该大小关系为______．

【应用】

（2）如图2，在平面直角坐标系中，点M、N反比例函数的图象上，横坐标分别为m、n．设，，记．

①当，时， ______；当，时，______；

②通过归纳猜想，可得l的最小值是______．

5．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．

(1)连接AD，交y轴于点E，P是抛物线上的一个动点．

①如图一，点P是第一象限的抛物线上的一点，连接PD交x轴于F，连接，若，求点P的坐标．

②如图二，点P在第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点G，若，则w有最大值还是最小值？w的最值是多少？

(2)如图三，点P是第四象限抛物线上的一点，过A、B、P三点作圆N，过点作轴，垂足为I，交圆N于点M，点在运动过程中，线段是否变化？若有变化，求出MI的取值范围；若不变，求出其定值．

(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，连接OQ、AQ，设AOQ外接圆圆心为H，当的值最大时，请直接写出点H的坐标．

6．已知△AOB 的三边OA=，OB=6，AB=，以顶点O为原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒，过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB于点M，N，当点M与N重合时，点P停止运动．