2025年九年级中考数学中考必考知识点专题特训-几何最值问题综合训练

2025年九年级中考数学中考必考知识点专题特训-几何最值问题综合训练

1．如图，四边形和均为正方形，将绕点旋转；

(1)如图①，连接，判断直线的位置关系并说明理由；

(2)如图②，连接，若，探索并证明线段的数量关系；

(3)如图③，若正方形、边长分别为，绕点旋转一周，直线与相交于点，直接写线段的最小值及点运动轨迹的长度．

2．已知等腰，，点为三角形内一点，连，，．

(1)如图，若为等边三角形，且，，求的度数以及边长；

(2)如图，若，，求的最小值．

3．在等边中，点D是边上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，则，连接交于点F，交于点H．

(1)如图1，当点为中点时，且，求点到直线的距离；

(2)如图2，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；

(3)如图3，在内部有一个动点P，连接，，，若等边的高等于6，当的值最小时，直接写出此时线段的长．

4．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E．

①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；

②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．

5．定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“标准三角形”．如：在，于点，，则为标准三角形．

  

(1)【概念感知】判断：对的打“√”，错的打“×”．

①等腰直角三角形是标准三角形．（    ）

②顶角为的等腰三角形是标准三角形．（    ）

(2)【概念理解】若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为______．

(3)【概念应用】如图，若为标准三角形，于点，，求的最小值．

(4)若一个标准三角形的其中一边是另一边的倍，求最小角的正弦值．

6．在中，，CA＝2CB．将线段CA绕点C旋转得到线段CD．

(1)如图1，当点D落在AB的延长线上时，过点D作交AC的延长线于点E，若BC＝2，求DE的长；

(2)如图2，当点D落在CB的延长线上时，连接AD，过点C作CF⊥AB于点F，延长CF交AD于点E，连接BE，求证：；

(3)如图3，在（2）的条件下，将沿AC翻折得到，M为直线AD上一个动点．连接BM，将沿BM翻折得到．当最小时，直接写出的值．

7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°