1.2 有理数及其大小比较讲义 2024-2025学年人教版数学七年级上册

专题1.2 有理数及其大小比较 课节学习目标 1. 掌握有理数的概念.会对有理数按一定的标准进行分类； 2. 掌握数轴的概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系；会正确地画出数轴，会用数轴上的点表示给定的有理数； 3. 借助数轴理解相反数的概念，并能求给定数的相反数；了解一对相反数在数轴上的位置关系； 4. 掌握双重符号的化简；通过从数和形两个方面理解相反数，初步体会数形结合的思想方法； 5. 理解绝对值的概念及其几何意义，通过从数、形两个方面理解绝对值的意义，初步了解数形结合的思想方法； 6. 会求一个数的绝对值，知道一个数的绝对值，会求这个数； 7．掌握有理数大小的比较法则；会比较有理数的大小，并能正确地使用“>”或“<”号连接. 课节知识点解读 知识点1. 有理数的概念 1.自然数：0和正整数统称为自然数。 2.整数：正整数、零和负整数统称整数。 3.分数：正分数和负分数统称分数。 4.有理数：整数和分数统称为有理数。 理解：只有能化成分数的数才是有理数。 （1）是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。 （2）有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 知识点2. 有理数的分类 注意 ：①分类的标准不同，结果也不同； ②分类的结果应无遗漏、无重复； ③零是整数，但零既不是正数，也不是负数. 1.有理数按符号（正、负）分类如下： 2.有理数按定义分类如下： 【注意】 1.整数中除了正整数和负整数，还有0. 2.两个整数的比，如 2/3,-1/2 等、有限小数(如0.2，－3.14等)、无限循环小数等都是分数； 3.小数除有限小数、无限循环小数外，还有一类无限不循环小数(无理数)，不在有理数的学习范围.所以，我们不能说小数都是有理数. 4.能约分成整数的数不能算做分数，如15/3。 知识点3. 数轴的概念 1.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴. 在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。数轴要满足以下要求： （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个长度取一个点，依次表示1，2,3,4...；从原点向左，每隔一个长度取一个点，依次表示-1，-2,-3,-4...。分数或者小数也可以用数轴上的点表示。 2.数轴的画法. 画一条水平直线，在直线上取一点表示0，并把这个点叫作原点，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴. 数轴的画法： （1）画一条水平直线，定原点(如图)，原点表示0. （2）规定从原点向右为正方向，那么相反的方向(从原点向左)则为负方向. （3）选择适当的长度为单位长度. 画数轴注意事项： (1)原点、单位长度和正方向三要素缺一不可； (2)直线一般画水平的； (3)正方向用箭头表示，一般取从左到右； (4)取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀。 3.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0是正负数的分界限. 【方法总结】 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度． 知识点4. 相反数的概念 1.相反数的概念 （1）定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数. （2）一般地，a和-a互为相反数. （3）特别地，0的相反数是0. 2.相反数的几何意义 （1）互为相反数的两个数分别位于原点的两侧（0除外）； （2）互为相反数的两个数到原点的距离相等. （3）一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点的两侧，表示a和-a，这两点关于原点对称. 【方法总结】1. 一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有2个，它们分别在原点的左右，表示-a和 a，我们说这两点关于原点对称. 2.a 的相反数是－a ， a可表示任意有理数. 3.求一个数的相反数方法：在这个数前加一个“－”号． 4.化简多重符号时，只需数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负. 知识点5. 绝对值的概念 概念：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记做|a| 性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即（1）如果a＞0，那么|a| =a （2）如果a=0，那么|a| =0 （3）如果a＜0，那么|a| =-a 【知识总结】 1.任何一个有理数的绝对值都是非负数，|a|≥0 2.相反数、绝对值的联系是什么？ （1）互为相反数的两个数的绝对值相等. （2）绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. 3.几个非负数的和为0，则这几个数都为0. 4.注意绝对值等于某个正数的数有两个，他们互为相反数，解题时不要遗漏负值. 知识点5. 有理数大小比较的法则 （1）正数的绝对值越大，这个数越大； （2）正数永远比0大，负数永远比0小； （3）正数大于一切负数； （4）两个负数比大小，绝对值大的反而小； （5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； （6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 【方法总结】比较有理数大小的方法. 方法①：数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大． 方法②：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小． 常用方法：数轴比较法、差值比较法、商值比较法、绝对值比较法等。 课节知识点例题讲析 【例题1】下列各数是有理数的是（ ）A. B. C. D. 0 【例题2】把下列各数分别填在相应的集合内： ﹣11、5%、﹣2.3、、3.1415926、0、﹣、、2014、﹣9 分数集： ． 负数集： ． 有理数集： ． 【例题3】图中所画的数轴，正确的是（　　） A． B． C． D． 【例题4】下列说法正确的是（ ） A.－5是5的相反数; B.相反数等于它本身的数只有0； C.符号不同的两个数互为相反数; D.只有符号不同的两个数才能叫做互为相反数. 【例题5】如果a与1互为相反数，则|a+2|等于（ ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【例题6】一批食品，标准质量为每袋454g．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 【例题7】在、0、1、﹣2这四个数中，最小的数是（　　） A． B．0 C．1 D．﹣2 【例题8】如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ） A. B. C. D. 深化对课节知识点理解的试题专炼 1. 指出下列各数中的整数和分数： -12，+5，-0.6, 0，﹣ 2.在，，1.62，0四个数中，有理数的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 3.在下列实数：、、、、、﹣0.0010001中，有理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．在数轴上到原点距离等于2的点所标示的数是（　　） A.﹣2 B.2 C.±2 D.不能确定 5．如图，数轴上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．4 6．﹣3的相反数是（ ） A． B． C． D． 7．﹣3的绝对值是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣ D． 8．已知，是2的相反数，则的值为(　　) A．-3 B．-1 C．-1或-3 D．1或-3 9. 在数轴上表示数-3,-5,4,0，并比较它们的大小，将它们按从小到大的顺序用“＜”号连接. 10．在2.5，﹣2.5，0，3这四个数种，最小的数是（　　） A． 2.5 B．﹣2.5 C． 0 D．3 11.完成下列填空 （1）既是分数又是负数的数是_______； （2）非负数包括________和_______； （3）非正数包括________和_______； （4）非负整数包括________和_______；又称为________； （5）非负分数包括________和_______； （6）非正分数包括________和_______. 12. 若-（-a）=3，则-a= 。 13．|﹣6.18|=　 　． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 有理数及其大小比较 课节学习目标 1. 掌握有理数的概念.会对有理数按一定的标准进行分类； 2. 掌握数轴的概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系；会正确地画出数轴，会用数轴上的点表示给定的有理数； 3. 借助数轴理解相反数的概念，并能求给定数的相反数；了解一对相反数在数轴上的位置关系； 4. 掌握双重符号的化简；通过从数和形两个方面理解相反数，初步体会数形结合的思想方法； 5. 理解绝对值的概念及其几何意义，通过从数、形两个方面理解绝对值的意义，初步了解数形结合的思想方法； 6. 会求一个数的绝对值，知道一个数的绝对值，会求这个数； 7．掌握有理数大小的比较法则；会比较有理数的大小，并能正确地使用“>”或“<”号连接. 课节知识点解读 知识点1. 有理数的概念 1.自然数：0和正整数统称为自然数。 2.整数：正整数、零和负整数统称整数。 3.分数：正分数和负分数统称分数。 4.有理数：整数和分数统称为有理数。 理解：只有能化成分数的数才是有理数。 （1）是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。 （2）有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 知识点2. 有理数的分类 注意 ：①分类的标准不同，结果也不同； ②分类的结果应无遗漏、无重复； ③零是整数，但零既不是正数，也不是负数. 1.有理数按符号（正、负）分类如下： 2.有理数按定义分类如下： 【注意】 1.整数中除了正整数和负整数，还有0. 2.两个整数的比，如 2/3,-1/2 等、有限小数(如0.2，－3.14等)、无限循环小数等都是分数； 3.小数除有限小数、无限循环小数外，还有一类无限不循环小数(无理数)，不在有理数的学习范围.所以，我们不能说小数都是有理数. 4.能约分成整数的数不能算做分数，如15/3。 知识点3. 数轴的概念 1.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴. 在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。数轴要满足以下要求： （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个长度取一个点，依次表示1，2,3,4...；从原点向左，每隔一个长度取一个点，依次表示-1，-2,-3,-4...。分数或者小数也可以用数轴上的点表示。 2.数轴的画法. 画一条水平直线，在直线上取一点表示0，并把这个点叫作原点，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴. 数轴的画法： （1）画一条水平直线，定原点(如图)，原点表示0. （2）规定从原点向右为正方向，那么相反的方向(从原点向左)则为负方向. （3）选择适当的长度为单位长度. 画数轴注意事项： (1)原点、单位长度和正方向三要素缺一不可； (2)直线一般画水平的； (3)正方向用箭头表示，一般取从左到右； (4)取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀。 3.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0是正负数的分界限. 【方法总结】 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度． 知识点4. 相反数的概念 1.相反数的概念 （1）定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数. （2）一般地，a和-a互为相反数. （3）特别地，0的相反数是0. 2.相反数的几何意义 （1）互为相反数的两个数分别位于原点的两侧（0除外）； （2）互为相反数的两个数到原点的距离相等. （3）一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点的两侧，表示a和 -a，这两点关于原点对称. 【方法总结】1. 一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有2个，它们分别在原点的左右，表示-a和 a，我们说这两点关于原点对称. 2.a 的相反数是－a ， a可表示任意有理数. 3.求一个数的相反数方法：在这个数前加一个“－”号． 4.化简多重符号时，只需数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负. 知识点5. 绝对值的概念 概念：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记做|a| 性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即（1）如果a＞0，那么|a| =a （2）如果a=0，那么|a| =0 （3）如果a＜0，那么|a| =-a 【知识总结】 1.任何一个有理数的绝对值都是非负数，|a|≥0 2.相反数、绝对值的联系是什么？ （1）互为相反数的两个数的绝对值相等. （2）绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. 3.几个非负数的和为0，则这几个数都为0. 4.注意绝对值等于某个正数的数有两个，他们互为相反数，解题时不要遗漏负值. 知识点5. 有理数大小比较的法则 （1）正数的绝对值越大，这个数越大； （2）正数永远比0大，负数永远比0小； （3）正数大于一切负数； （4）两个负数比大小，绝对值大的反而小； （5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； （6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 【方法总结】比较有理数大小的方法. 方法①：数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大． 方法②：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小． 常用方法：数轴比较法、差值比较法、商值比较法、绝对值比较法等。 课节知识点例题讲析 【例题1】下列各数是有理数的是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】根据有理数的定义，可得答案．0是有理数．本题考查了实数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限不循环小数． 【例题2】把下列各数分别填在相应的集合内： ﹣11、5%、﹣2.3、、3.1415926、0、﹣、、2014、﹣9 分数集： ． 负数集： ． 有理数集： ． 【答案】见解析． 【解析】按照有理数的分类填写： 有理数． 分数集：5%、﹣2.3、、3.1415926、﹣、； 负数集：﹣11、﹣2.3、﹣、﹣9； 有理数集：﹣11、5%、﹣2.3、、3.1415926、0、﹣、、2014、﹣9； 故答案为：5%、﹣2.3、、3.1415926、﹣、；﹣11、﹣2.3、﹣、﹣9；﹣11、5%、﹣2.3、、3.1415926、0、﹣、、2014、﹣9． 【点评】本题考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 【例题3】图中所画的数轴，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．缺一不可． A.没有正方向，故错误； B.没有原点，故错误； C.单位长度不统一，故错误； D.正确． 【例题4】下列说法正确的是（ ） A.－5是5的相反数; B.相反数等于它本身的数只有0； C.符号不同的两个数互为相反数; D.只有符号不同的两个数才能叫做互为相反数. 【答案】ABD 【解析】0的相反数是0. 一个正数的相反数是一个负数。 一个负数的相反数是一个正数。 一个数的相反数是它本身的数是0 ． 符号不同的两个数，比如5和-6不是互为相反数。5和-5，符号不同，但在数轴上表示这两个数的点，到原点的距离相等，我们说5和-5是互为相反数。 【例题5】如果a与1互为相反数，则|a+2|等于（ ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【答案】C 【解析】由相反数的定义得出a的值，再带入代数式中即可求解. 由a与1互为相反数，得a+1=0,即a=-1， 故|a+2|=|-1+2|=1. 【例题6】一批食品，标准质量为每袋454g．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋． 【详解】∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示． ∴ ∴最接近标准质量的是 故选：C． 【例题7】在、0、1、﹣2这四个数中，最小的数是（　　） A． B．0 C．1 D．﹣2 【答案】D． 【解析】在有理数、0、1、﹣2中， 最大的是1，只有﹣2是负数， ∴最小的是﹣2． 【例题8】如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键． 由五日气温得到，，，则气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降． 【详解】由五日气温为得到，， ∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降． 故选：A． 深化对课节知识点理解的试题专炼 1. 指出下列各数中的整数和分数： -12，+5，-0.6, 0，﹣ 【答案】-12，+5， 0为整数；﹣为分数。 【解析】正整数、0、负整数统称为整数，所以-12，+5， 0为整数；正分数、负分数统称为分数，所以﹣为分数。 2.在，，1.62，0四个数中，有理数的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】根据有理数的定义，即可解答． 在，，1.62，0四个数中，有理数为，1.62，0，共3个，故选：B． 3.在下列实数：、、、、、﹣0.0010001中，有理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】由题意根据有理数的定义：整数与分数统称有理数，进行提示即可判断． ∵＝3，＝4， ∴，，，﹣0.0010001是有理数，其它的是无理数． 有理数有4个. 4．在数轴上到原点距离等于2的点所标示的数是（　　） A.﹣2 B.2 C.±2 D.不能确定 【答案】C 【解析】在数轴上到原点距离等于2的点如图所示： 点A、B即为所求的点，即在数轴上到原点距离等于2的点所标示的数是﹣2和2。 5．如图，数轴上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．4 【答案】C 【解析】关键：是找出原点位置．理解相反数在数轴上的几何意义，即两数分布在原点的左右两侧，一正一负，且等距．点A到点B之间共六格，所以原点在点A右边的第3格（也可以说是在点B左边第3格）． 因为点A，点B表示的数互为相反数，所以原点在线段AB中间，即在点A右边的第3格，得出点C在原点的右边第1格，所以点C对应的数是1． 6．﹣3的相反数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 根据相反数的定义可得：－3的相反数是3.故选D. 7．﹣3的绝对值是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣ D． 【答案】B 【解析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号． 解：|﹣3|＝3． 故﹣3的绝对值是3． 8．已知，是2的相反数，则的值为(　　) A．-3 B．-1 C．-1或-3 D．1或-3 【答案】C 【解析】先分别求出a、b的值，然后代入a+b计算即可. ∵，是2的相反数， ∴或，， 当时，； 当时，； 综上，的值为-1或-3。 9. 在数轴上表示数-3,-5,4,0，并比较它们的大小，将它们按从小到大的顺序用“＜”号连接. 【答案】－5<－3<0<4 【解析】将-3,-5,4,0在数轴上表示如图： 将它们按从小到大的顺序排列为：－5<－3<0<4 10．在2.5，﹣2.5，0，3这四个数种，最小的数是（　　） A． 2.5 B．﹣2.5 C． 0 D．3 【答案】B． 【解析】∵﹣2.5＜0＜2.5＜3， ∴最小的数是﹣2.5 11.完成下列填空 （1）既是分数又是负数的数是_______； （2）非负数包括________和_______； （3）非正数包括________和_______； （4）非负整数包括________和_______；又称为________； （5）非负分数包括________和_______； （6）非正分数包括________和_______. 【答案】（1）负分数 （2）正数 0 （3）负数 0 （4）正整数 0 自然数 （5）整数 正分数 （6）整数 负分数。 【解析】（1）负分数既是分数又是负数； （2）正数和0统称为非负数； （3）负数和0统称为非正数包括； （4）正整数和0统称为非负整数，正整数和0又称为自然数； （5）整数和正分数为非负分数； （6）整数和负分数为非正分数. 12. 若-（-a）=3，则-a= 。 【答案】-3 【解析】-（-a）的相反数是-a。 -（-a）=3，则-a=-3。 13．|﹣6.18|=　 　． 【答案】6.18． 【解析】一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．一个负数的绝对值是它的相反数． ﹣6.18的绝对值是6.18． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$