专题01 运动和力(考点串讲ppt)-- 2024-2025学年八年级物理下学期期末考点大串讲(北师大版·2024)

2025-05-17
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资源信息

学段 初中
学科 物理
教材版本 初中物理北师大版八年级下册
年级 八年级
章节 第七章 运动和力
类型 课件
知识点 -
使用场景 同步教学-期末
学年 2025-2026
地区(省份) 全国
地区(市) -
地区(区县) -
文件格式 PPTX
文件大小 6.03 MB
发布时间 2025-05-17
更新时间 2025-05-17
作者 飞哥物理研究站
品牌系列 上好课·考点大串讲
审核时间 2025-05-17
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内容正文:

GREEN BUSINESS 专题01 力与运动 物理 初二期末大串讲·北师大版(2024) 目录 04 01 02 03 考向动态·押题预测 知识导图·思维引航 核心精讲·知识必备 考点突破·考法探究 01 知识导图·思维引航 知识串联明关联,思维导图巧记忆, 特殊标注知重点 知识导图·思维引航 02 核心精讲·题型突破 精准划分题型以把握命题规律,深入掌握考试动态与趋势 5 考点一  力 核心精讲·题型突破 核心精讲 知识点一 力 力的概念 力是物体对物体的作用,用符号“F”表示 力的作用效果 力可以改变物体的形状,使物体发生 。 力可以改变物体的 (运动状态的改变包括由静止到运动,由运动到静止,速度大小或运动方向发生变化) 力的三要素 、 、 。 力的相互作用 物体间力的作用是 的。一个物体对另一个物体施力时,另一个物体也同时对它施加力的作用 形变 运动状态 大小 方向 作用点 相互 6 核心精讲·题型突破 核心精讲 知识点一 力 1.力的示意图 (1)用一条带箭头的线段表示力。在受力物体上沿着力的方向画一条线段,在线段的末端画一个箭头表示力的方向,在线段的起点(或终点)表示力的作用点 (2)画力的示意图:①先确定受力物体;②在受力物体上找出力的作用点;③最后沿力的方向画一条带箭头的线段,标出力的符号、数值和单位。 (3)力的作用点可以在线段的起点,也可以在线段的终点;同一图中,力越大,表示该力的线段越长;线段要用实线;线段末端标出力的符号,有时还需用数值和单位标出力的大小。 考点一  力 7 考点二   弹力和重力 核心精讲·题型突破 核心精讲 知识点二 弹力 弹簧测力计 测量力的大小的工具叫做测力计。其中利用弹簧受到的拉力越大,弹簧的 就越长的原理制成的测力计叫做弹簧测力计 弹簧测力计的使用方法 使用前:(1)观察 、 和 ,检查指针是否指在零刻度线上。若没有,需要 ;(2)沿弹簧轴线方向轻轻来回拉动几次挂钩,放手后观察指针是否能回到零刻度线处,以防止弹簧卡壳 使用时:(1)测量:要使弹簧测力计的弹簧轴线方向跟所测力的方向在一条直线上,弹簧不要靠在刻度盘上;(2)读数:应让视线垂直于刻度盘读数;(3)记录:在记录数据时要带上单位;(4)待测的力(物体)一定要在弹簧测力计的挂钩一端 测量范围 分度值 零刻度线 调零 伸长量 8 核心精讲·题型突破 核心精讲 知识点三 重力 重力的产生 由于地球的吸引而使物体受到的力叫做重力,通常用字母G表示 重力的大小 物体所受重力跟它的质量成 。公式: ,G表示重力,m表示质量,g表示重力与质量的比值 重力的方向 (1)重力的方向总是 ,而不是垂直向下。 (2)重力的方向不受其他作用力的影响,与物体的运动状态及位置无关; (3)重力方向的应用:铅垂线、水平仪 重心 (1)外形规则、质量分布均匀的物体重心在它的 上。 (2)物体的重心 在物体上。 (5)为了研究问题方便,在受力物体上画力的示意图时,常把力的作用点画在重心上。 正比 G=mg 竖直向下 几何中心 不一定 考点二   弹力和重力 9 考点三  运动和力 核心精讲·题型突破 核心精讲 知识点一 牛顿第一定律 1. 牛顿覅一定律 (1)阻力对物体运动的影响 在水平面上运动的物体受到的阻力越 ,运动的距离越大;如果运动的物体不受阻力,将一直保持 状态。 小 匀速直线运动 10 核心精讲·题型突破 核心精讲 知识点一 牛顿第一定律 (2)牛顿第一定律 牛顿第一定律 一切物体在没有受到 的作用时,总保持 状态或 状态 (1)“一切”表明定律对所有物体都是适用的;(2)“没有受到力的作用”包含两层意思:一是理想情况,物体没有受到任何力的作用;二是物体受到的各个力相互抵消,相当于不受力。这是定律成立的条件;(3)“总保持”表明物体不受力时只有两种状态,要改变这两种状态物体必须受到力的作用;(4)“或”即两种状态居其一,不能同时存在 力 静止 匀速直线运动 考点三  运动和力 11 核心精讲·题型突破 核心精讲 知识点一 牛顿第一定律 (2)牛顿第一定律 对牛顿第一定律的理解 一切物体都有保持运动状态不变的性质,说明物体的运动 力来维持,不受任何力的作用时,原来运动的物体,将保持匀速直线运动状态,原来静止的物体将保持静止 牛顿第一定律不是实验定律,而是在大量经验事实的基础上,通过进一步的 而概括出来的。由于从牛顿第一定律得出的一切推论都经受住了实践的检验,因此它已经成为公认的物理学基本定律之一 不需要 推理 考点三  运动和力 12 考点三 运动和力 核心精讲·题型突破 核心精讲 知识点二 惯性 定义 一切物体都有 原来运动状态不变的性质,我们把这种性质叫做惯性。 影响因素 惯性的大小与物体的 有关,质量越大,惯性越 ,物体的运动状态越难改变。与物体是否受力、运动快慢 。 理解 ①一切物体具有惯性; ②惯性是物体的一种属性,而不是一种力。所以不能说“受到惯性”、“惯性力”,只能说“由于惯性”或“具有惯性”。 保持 质量 大 无关 13 核心精讲·题型突破 核心精讲 知识点二 惯性 利用 ①跳远运动员的助跑;②用力可以将石头甩出很远;③利用盛水容器,泼水浇菜;④烧锅炉时,用铁锨往炉膛内添加煤;⑤撞击锤柄几下,套紧锤头;⑥使劲甩手可把手上的水甩掉;⑦拍打衣服可除去灰尘等。 防范 ①小型客车前排乘客要系安全带;②车辆行使要保持距离;③运输玻璃制品,装玻璃制品需要包装且要垫上很厚的泡沫塑料;④骑自行车的速度太快,容易发生事故;⑤当汽车超载时,汽车遇到紧急情况时,车不容易刹住等。 考点三  运动和力 14 核心精讲·题型突破 核心精讲 知识点二 二力平衡 1. 二力平衡 (1)二力平衡的条件:作用在 上的两个力,如果大小 、方向 ,并且在 上,这两个力就彼此平衡。 (2)二力平衡条件的应用 确定力的大小和方向 根据二力平衡条件,如果知道了其中一个力的大小、方向,就可确定另外一个力的大小和方向。 (1)我们在用弹簧测力计测量物体所受的重力时,利用二力平衡, 这时物体所受的重力和弹簧测力计对物体的拉力相互平衡,大小相等。 (2)我们用重锤线显示重力的方向,也利用二力平衡,这时重锤所受 的重力和绳子的拉力相互平衡:方向相反,并且在同一直线上。 同一物体 相等 相反 同一直线 考点三  运动和力 15 考点三 运动和力 核心精讲·题型突破 核心精讲 知识点二 二力平衡 受力情况 运动状态 物体不受力时 或做 运动 物体受力时 受平衡力 或做 运动 受非平衡力 运动状态 。 (2)根据物体受力情况判断物体运动状态 静止 匀速直线 静止 匀速直线 改变 16 考点三 运动和力 核心精讲·题型突破 核心精讲 知识点二 二力平衡 运动状态 受力情况 静止 受 力作用或 受力 匀速直线运动 受 力作用或 受力 运动状态改变 一定受到 力作用 根据物体物体运动状态判断物体受力情况 平衡 不 平衡 不 非平衡 17 考点三 运动和力 核心精讲·题型突破 核心精讲 相互作用力(作用力与反作用力) 平衡力 不同点 力的示意图     受力物体 (本质区别) 分别作用在 物体上 作用在 物体上 同时性 同时产生、同时消失 不一定同时产生、同时消失 力的性质 同种性质的力 不一定是同种性质的力 相同点 大小相等、方向相反,并且作用在同一直线上 二力平衡与相互作用力的比较 两个 同一 18 考点四  摩擦力 核心精讲·题型突破 核心精讲 知识点一 摩擦力 认识摩擦力 两个相互接触的物体,当它们做 (或有 )时,在接触面产生一种阻碍 (或 )的力,这种力叫做摩擦力 产生条件 (1)接触面粗糙;(2)两物体相互接触并相互挤压(产生压力);(3)两物体间发生相对运动或有相对运动趋势 作用效果 摩擦力的作用总是 物体相对运动(或相对运动趋势) 作用点 摩擦力是作用在两物体接触面上的,但为了研究方便可以把摩擦力的作用等效到一个点上 方向 总是与物体相对运动或相对运动趋势方向 。 摩擦力的分类 滑动摩擦力、滚动摩擦力和静摩擦力 相对运动 相对运动趋势 相对运动 相对运动趋势 阻碍 相反 19 考点四  摩擦力 核心精讲·题型突破 核心精讲 知识点一 摩擦力 判断摩擦力方向的三种方法 由摩擦力概念判断 摩擦力的方向与物体相对运动方向或相对运动趋势方向相反 由假设法判断 此方法通常用来判断相对静止的物体间所受静摩擦力的方向。首先假设接触面光滑、无摩擦,分析两物体的相对运动情况,然后根据摩擦力阻碍物体相对运动确定摩擦力的方向 由二力平衡条件判断 一对平衡力的方向相反,可以通过与摩擦力相互平衡的另一个力方向来判断摩擦力的方向 20 考点四  摩擦力 核心精讲·题型突破 核心精讲 知识点一 摩擦力 3.摩擦力的大小 (1)滑动摩擦力的大小与 和 有关。 ①接触面粗糙程度相同时, 越大,滑动摩擦力越大;②压力相同时,接触面越 ,滑动摩擦力越大。 (2)静摩擦力的大小与其相平衡的力有关,可用二力平衡求解。 压力大小 接触面的粗糙程度 压力 粗糙 21 考点四  摩擦力 核心精讲·题型突破 核心精讲 知识点一 摩擦力 目的 方法 实例 增大摩擦 压力 刹车时用力捏闸 接触面的粗糙程度 鞋底凹凸不平的花纹、运动员在手上涂防滑粉、在结冰的路面上撒煤渣 变滚动为滑动 急刹车时,车轮停止滚动 减小摩擦 压力 运动员做单杠回环动作时,手不能将单杠握得太紧 接触面的粗糙程度 滑梯的表面做得很光滑、冰壶运动员“刷冰” 使接触面彼此分开 磁悬浮列车、给轴承加润滑油、气垫船 变滑动为滚动 在笨重的物体上加上轮子 增大摩擦和减小摩擦的方法 增大 增大 减小 减小 22 考点四  摩擦力 核心精讲·题型突破 核心精讲 知识点二 力的示意图 1.力的示意图 (1)用一条带箭头的线段表示力。在受力物体上沿着力的方向画一条线段,在线段的末端画一个箭头表示力的方向,在线段的起点(或终点)表示力的作用点 (2)画力的示意图:①先确定受力物体;②在受力物体上找出力的作用点;③最后沿力的方向画一条带箭头的线段,标出力的符号、数值和单位。 (3)力的作用点可以在线段的起点,也可以在线段的终点;同一图中,力越大,表示该力的线段越长;线段要用实线;线段末端标出力的符号,有时还需用数值和单位标出力的大小。 23 03 考点突破·考法探究 精准划分题型以把握命题规律,深入掌握考试动态与趋势 24 施力物体和受力物体 考法01 考点一:力的概念及性质 考点突破·考法探究 真题研析 (23-24八年级下·江苏南通·期末)诗句“儿童散学归来早,忙趁东风放纸鸢”,描绘的是儿童放风筝的画面。如图所示,放风筝时,风筝受到拉力的施力物体是(  ) A.手 B.线绳 C.空气 D.地球 B 25 考点一:力的概念及性质 考点突破·考法探究 真题研析 力的三要素 考法02 C (23-24八年级上·福建福州·期末)如图所示,小明在家务劳动中,发现其他条件相同时,右手握在拖把的A处比B处拖地的效果更好。这说明力的作用效果与(  ) A.力的大小有关 B.力的方向有关 C.力的作用点有关 D.拖布的形状有关 26 (24-25八年级上·河南南阳·期末)南阳水上运动训练中心是河南省赛艇训练基地之一。如图所示是运动员训练时的照片,运动员用桨向后划水,皮划艇会向前运动,这一现象说明了力的作用是           的。推动皮划艇向前运动的力的施力物体是           。在比赛过程中,运动员握住桨上的同一部位向后划水,发现用力越大,皮划艇运动得越快,表明力的作用效果与力的           有关。 考点一:力的概念及性质 考点突破·考法探究 真题研析 力的作用是相互的 考法03 相互 水 大小 27 真题研析 弹簧测力计的使用 考法01 考点二:弹力和弹簧测力计 考点突破·考法探究 D 下图展示了几位同学使用弹簧测力计的情景,其中测量方法错误的是(   ) 28 真题研析 弹簧的工作原理 考法02 考点二:弹力和重力 考点突破·考法探究 (22-23八年级下·广东江门·期末)如图甲所示,弹簧的一端挂在墙上,一人用4N的力F拉另一端,弹簧伸长了5cm,如图乙所示,两个人分别拉该弹簧的两端,弹簧也伸长了5cm,则此时两个人的拉力大小分别为(  ) A.4N、8N B.8N、4N C.4N、4N D.8N、8N C 29 真题研析 弹簧测力计 考法03 考点二:弹力和重力 考点突破·考法探究 10 (23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习)把两个弹簧测力计A和B秤钩连接在一起(如图所示),若看到弹簧测力计A的示数为10N,则看到B的示数是         (选填“0”“10”或“20”)N。 30 真题研析 改变摩擦的方法 考法01 考点三:摩擦力 考点突破·考法探究 (24-25八年级上·山东临沂·期末)如图所示,为某中学拔河比赛时的情景。下列措施中,是通过增大压力的方法来增大摩擦力的是(      ) A.手上戴防滑手套 B.握紧绳子防止打滑 C.倾斜身子防止摔倒 D.穿鞋底粗糙的运动鞋 B 31 真题研析 摩擦力的大小和方向 考法02 考点突破·考法探究 (23-24八年级下·湖南长沙·期末)为了提升队伍综合应急救援实战能力,消防大队严密组织开展爬绳爬杆训练。消防战士沿竖直的杆匀速向上爬时,他所受到的摩擦力为f1,当他匀速滑下时,所受到的摩擦力为f2,则下列说法正确的是(  ) A.f1>f2 B.f1<f2 C.f1方向为竖直向上 D.f2方向为竖直向下 C 考点三:摩擦力 32 真题研析 物体的平衡 考法03 考点突破·考法探究 考点三:摩擦力 (23-24八年级上·重庆南岸·期末)重为20N的A物体放在水平桌面上,用大小为10N的水平拉力拉着物体匀速直线运动,则物体受到的摩擦力为 N,撤去力后,物体在继续运动的过程中受到的摩擦力将 (选填“变大”“变小”或“不变”)。 10 不变 33 (23-24八年级下·陕西西安·期末)如图所示,汽车头枕能够在以下几种情境中保护司机(    )  ①前行时突然加速;②前行时突然刹车;③前行时撞上前车;④静止时受到后车撞击;⑤静止时受到前车撞击;⑥倒车时撞到后方物体 A.①③⑤ B.②④⑥ C.①④⑥ D.②④⑤ 真题研析 惯性的防止 考法01 考点突破·考法探究 考点四:牛顿第一定律 C 34 (23-24八年级下·山东淄博·期末)细绳系住一个小球在光滑水平面桌面上做匀速圆周运动,当细绳突然断掉后,小球将(    ) A.继续做圆周运动 B.保持细绳断裂时的速度不变,永远运动下去 C.小球速度不断减小,但做直线运动 D.以上三种情况都有可能 真题研析 惯性的利用 考法02 考点突破·考法探究 考点四:牛顿第一定律 B 35 真题研析 力合成的理解 考法01 考点突破·考法探究 考点五:力的合成 A (23-24八年级下·山东烟台·期末)同学们学了“同一直线上二力的合成”后开展讨论,下面说法中正确的是(  ) A.同一直线上两个力的合力可能小于其中任何一个力 B.同一直线上两个力的合力一定大于其中任何一个力 C.同一直线上两个力的合力一定小于其中任何一个力 D.同一直线上两个力的合力一定不为零 36 (23-24八年级下·山东临沂·期末)如图所示,用6N的水平拉力拉着木块在水平桌面上做匀速直线运动,若让拉力增大到10N,木块受到的滑动摩擦力为(    ) A.10N B.6N C.4N D.0N 真题研析 同一直线上力的合成 考法02 考点突破·考法探究 考点五:力的合成 B 37 (23-24八年级下·江苏扬州·期末)如图是人驾驶电动平衡车在水平路面上匀速直线运动的情景,下列说法正确的是(  )  A.人受到的重力和人对平衡车的压力是平衡力 B.平衡车受到的压力和平衡车对人的支持力是相互作用力 C.平衡车受到的重力与地面对平衡车的支持力是相互作用力 D.平衡车受到的重力与地面对平衡车的支持力是一对平衡力 真题研析 平衡力与相互作用力 考法02 考点突破·考法探究 考点五:力的合成 C 38 (23-24八年级下·江苏苏州·期末)如图所示,A、B两个物体叠放在水平面上,同时有F=2N的两个水平力分别作用于A、B两物体上,使A、B两个物体处于静止状态,则A对B的摩擦力为 N,方向 ;地面给B的摩擦力为 N。 真题研析 平衡力 考法03 考点突破·考法探究 考点五:力的合成 2 水平向左 0 39 如图所示,放在水平地面上的物体,受到方向不变的水平推力F的作用,F的大小与时间t的关系、物体的运动速度v与时间t的关系如图乙、丙所示,由图像可知t=1s、t=3s时物体所受摩擦力大小分别为(  ) 真题研析 力与图像 考法04 考点突破·考法探究 考点五:力的合成 B A.2N 6N B.2N 4N C.0N 4N D.0N 6N 40 真题研析 力与运动 考法01 考点突破·考法探究 考点六:力的作用效果 (23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末)同学们在体育课垫排球时,对排球受力分析说法正确的是(  ) A.竖直上升过程中合力方向向上 B.竖直上升过程中合力方向向下 C.下落过程中合力越来越大 D.最高点时处于静止状态,合力为零 B 41 真题研析 力与图像 考法02 考点突破·考法探究 考点六:力的作用效果 (23-24八年级下·贵州贵阳·期末)研究表明:雨滴从高空自由下落时,运动速度越大,受到的空气阻力越大。如图所示为雨滴下落过程中速度v随下落时间t变化关系的图像,若不考虑雨滴在下落过程中的质量变化,下列关于雨滴受力情况分析正确的是(  ) B 42 04 考点动向·押题猜想 精准划分题型以把握命题规律,深入掌握考试动态与趋势 43 考向动态·押题预测 命题预测 力的概念及性质 考法01 下列关于力的说法不正确的是(  ) A.“水滴石穿”说明力可以改变物体的形状 B.“孤掌难鸣”说明一个物体一定不会产生力的作用 C.“风吹草低见牛羊”,说明风对草的力改变了草的形状 D.“以卵投石”,鸡蛋碎而石头无恙,说明相互作用力可以不相等 D 44 下列运动场景中,力的作用效果与其他几项不同的是(  ) A.运动员用头将飞来的足球顶飞 B.进站的火车受阻力缓缓停下 C.运动员用力将铅球抛出 D.运动员跳水前将跳板压弯 考向动态·押题预测 命题预测 力的作用效果 考法02 D 45 考向动态·押题预测 命题预测 力的三要素 考法03 如图,水壶提水时,手提在把手的A处比较方便,倒出水壶里的水时,手提在把手的B处比较方便。这说明影响力的作用效果的因素是(  ) A.力的大小 B.力的方向 C.力的作用点 D.施力物体 D 46 考向动态·押题预测 命题预测 弹力基础 考法04 蹦床是游乐园里最为常见的娱乐设施,如图是小朋友们在蹦床上欢欣跳跃的场景,关于蹦床所生的弹力。下列说法正确的是(      ) A.小朋友与蹦床刚接触时,受到蹦床的弹力最大 B.小朋友降到最低点时,受到蹦床的弹力最大 C.小朋友被弹起过程中,所受弹力方向竖直向下 D.小朋友被蹦床弹起离开后,仍然受到蹦床弹力 B 47 小明在实验室取了一个弹簧测力计,在水平方向上调零后,用此弹簧测力计测量一个重物的重力,弹簧测力计的示数为4N,则物体的实际重力是(  ) A.大于4 N B.等于4 N C.小于4 N D.无法判断 考向动态·押题预测 命题预测 弹簧测力计 考法05 C 48 考向动态·押题预测 命题预测 弹簧测力计 考法06 在一定范围内,弹簧受到的拉力越大,它的伸长越 ;弹簧测力计就是根据弹簧的这个特性制成的。图中弹簧测力计的示数为 N;右手对弹簧测力计挂钩的拉力大小为 N。 长      3.4      3.4      49 考向动态·押题预测 命题预测 惯性 考法07 如图所示,用一根细线拴一块橡皮甩起来,让橡皮绕手做匀速圆周运动,则橡皮(    ) A.受力平衡 B.重力的大小不变 C.说明力维持运动状态的原因 D.所受的拉力一定等于它的重力 B      50 考向动态·押题预测 命题预测 静摩擦力 考法08 如图所示,小明用手握住一个厚玻璃瓶在空中静止,下列说法正确的是(  )   A.小明用力握玻璃瓶,瓶不会发生弹性形变 B.小明用力握玻璃瓶,握力越大,摩擦力越大 C.瓶子受到摩擦力的方向竖直向上 D.手给瓶子的压力与瓶子受到的重力是一对相互作用力 C      51 考向动态·押题预测 命题预测 滑动摩擦力的影响因素 考法09 自行车刹车时,要用力捏闸,力越大车停下来的就越快,说明摩擦力的大小与 有关。轮胎、脚蹬、车把上刻有花纹,这是利用 的方法增大摩擦力的。 压力的大小 增大接触面的粗糙程度 52 考向动态·押题预测 命题预测 摩擦力的大小 考法10 D     53 考向动态·押题预测 命题预测 摩擦力的方向 考法11 如图,用8N的力握住重5N的瓶子,此时瓶子受到的摩擦力大小为 N,方向为 (选填“竖直向下”或“竖直向上”)。在不断向瓶内加水的过程中,瓶子受到的摩擦力将 (选填“增大”“减小”或“不变”) 5 竖直向上 增大 54 考向动态·押题预测 命题预测 惯性 考法12 如图所示的是投掷实心球的场景(不计空气阻力),下列说法正确的是(    ) A.重力使实心球的运动状态发生改变 B.实心球运动状态不发生改变 C.实心球没受到力的作用 D.实心球离开手后仍能向前运动,是受到手的推力的作用 A      55 考向动态·押题预测 命题预测 力与运动的关系 考法13 如图所示,水平地面上的小车在拉力F的作用下做加速运动,在拉力逐渐减小至零的过程中,小车的速度将(  ) A.逐渐减小 B.先增大,后减小 C.逐渐增大 D.先减小,后增大 B 56 考向动态·押题预测 命题预测 合力与分力 考法14 小俏同学用400N的力,欲竖直向上搬起重500N的石块,则这两个力的合力为 N,石块受到的合力为 N。 100 0 57 押加是我国少数民族体育项目之一,又称大象拔河。比赛中甲、乙两人通过腿、肩等部位用“力”拖动布带互拉,以决胜负。如图所示,甲、乙两人僵持不动,若布带的重力不计,下列说法正确的是(    ) A.甲对地面的压力和甲所受的摩擦力是一对平衡力 B.甲对布带的拉力和乙对布带的拉力是一对平衡力 C.甲受到的拉力和乙受到的拉力是一对相互作用力 D.布带对甲的拉力和地面给甲的摩擦力是一对相互作用力 考向动态·押题预测 命题预测 平衡力与相互作用力 考法15 B 58 考向动态·押题预测 命题预测 力与图像的结合 考法16 C 59 GREEN BUSINESS 汇报:xxx 谢谢 聆听 $$

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