方法突破08 模型法：费马胡不归，短时马赫锥 讲义 -2025届高考物理二轮复习备考

2025届物理总复习·二轮·方法突破 方法08 模型法：费马胡不归，短时马赫锥 （一）从两道物理题说起 ▲以下两道关于运动时间最短的物理题，对于大多数学生甚至老师来说，都有很大难度 【例1】（2024年湖南卷）如图所示，光滑水平面内建立直角坐标系xOy。 A、B两小球同时从O点出发，A球速度大小为v1，方向沿x轴正方向；B球速 度大小为v2＝2m/s，方向与x轴正方向夹角为θ。坐标系第一象限中有一个挡板 L，与x轴夹角为α。B球与挡板L发生碰撞，碰后B球速度大小变为1m/s，碰 撞前后B球的速度方向与挡板L法线的夹角相同，且分别位于法线两侧。不计 碰撞时间和空气阻力，若A、B两小球能相遇，下列说法正确的是（ ） A．若θ＝15°，则v1的最大值为m/s，且α＝15° B．若θ＝15°，则v1的最大值为m/s，且α＝0° C．若θ＝30°，则v1的最大值为m/s，且α＝0° D．若θ＝30°，则v1的最大值为m/s，且α＝15° 【答案】AC 【解析】 解法1：函数法 从网上搜到的解答如下，用的是函数极值法，看起来简单没什么问题。但据正弦定理得到那个比例式后，如何继续得到下面两种情况的结论，对大多数学生来说具有非常大的难度，所给的解析根本就没有任何作用，纯属糊弄人！这道题的难点就在这里。 ( ？？ ) ▲将v1表示成角度α的函数式之后，求v1的极值可用基本不等式性质法，或求导法 下面用基本不等式的性质解决上面提到的难点问题。但这种方法对数学要求很高，大部分学生（包括大部分老师）没这个处理能力。即使能分析出来，也需要耗费大量时间，对于高考解一道选择题来说，太不合算了！ ( P O L v 2 v 2 ′ v 1 )【解析】两球在x轴上的P点相遇，运动轨迹如图，根据正弦定理有 即 （1） 对上式的第1、2两项用等比定理得 由上式的第1、3两项得 （2） 令，则 且时取得最大值 的最大值 AB：若θ＝15°，的最大值 此时，故A正确、B错误； CD：若θ＝30°，的最大值 此时，故C正确、D错误。 【感悟】本题解题过程中有三大难点： 难点1：作出两球从出发到相遇的运动轨迹后，可能很难想到用正弦定理列出表达式（1） 难点2：对于表达式（1），无法进行简化处理，推导出计算v1的函数表达式（2） 难点3：得出v1的函数表达式（2）之后，无法求极值及确定极值条件 这才是本题的最大难点，难在数学，可能极少有学生甚至老师能进行正确的数学推导得出结论 【例2】（2025年5月8日金太阳联考题）中国国产隐身战斗机歼-20是一款具备高隐身性、高态势感知、高机动性等能力的隐形第五代制空战斗机。某次试飞过程中，歼-20飞机以2.6马赫（声音在空气中传播速度的2.6倍）的速度沿水平方向匀速飞行，已知飞机距地面的高度为4080m，声音在空气中传播的速度为340m/s，则当飞机运动轨迹正下方的人最先听到飞机声音时，飞机与人之间的距离为（ ） A．8160m B．9792m C．10608m D．11366m 【答案】C 【解析】 解法1：命题人给出的解答如下。（假设推理法） ▲这种分析法的难点，就在于怎么能想到取一个点B，使得。 这类与极值相关的问题，比较容易想到的是函数法。但这种函数法，数学上难度比较大。 ( v 2 v 1 v 1 t 2 v 2 t 1 人 v 2 t 2 h d O A B C t 时间 t 1 时间 t 2 0 - t 1 t 时间 t 时刻 → )解法2：函数法 声速设为v1，飞机速度v2＝2.6v1，h＝4080m 如图所示 取飞机经过人位置C的正上方O点时作为0时刻 设飞机从A点飞到O点所用时间为t1 设飞机从A点发出的声音传到人耳所用时间为t2 声音传到人耳时设飞机到达了B点 则人听到声音的时刻 将t视为关于变量t1的函数，人耳最先听到声音，就是函数t取得最小值 即t对t1的导数为0，也就是： 则： （飞机从A到B的时间t2，等于声波从A到C的时间t2，速度为2.6倍，所以位移也为2.6倍） （人最先听到声音时，人与飞机间的距离），C正确 （二）费马原理与光的传播 涉及运动时间最短问题，容易想到光学中的费马原理 1．费马原理（最早提出的是：最短时间原理） （1）费马原理（Fermat principle）最早由法国科学家皮埃尔·德·费马在1662年提出。 （2）内容：光传播的路径是光程取极值的路径。 （3）理解：这个极值可能是最大值、最小值，甚至是函数的拐点。 费马原理比较难懂，讲的不一定是光的传播时间最短。 费马原理最初提出时，称为“最短时间原理”：光线传播的路径是需时最少的路径。 但事实上光的传播时间不一定是最短的，所以后来改了名称（称为“平稳时间原理”）。 不过作为中学物理，我们需要用到的，一般是时间最短（在反射中，时间最长的情况也要知道）。 （4）最短光时线：光线沿一条路径传播，如果传播时间最短，这条路径就称为“最短光时线” 可能在A、B两点间传播的光线，最短光时线可以只有一条，也可以有多条。 2．费马原理与光的传播三条规律 费马原理是几何光学的基本定理。从费马原理可以导出几何光学的以下三条定律： （1）光的直线传播规律：光线在真空中沿直线传播。（光在同一种均匀介质中沿直线传播） （两点之间，直线段最短，传播时间最短）（最短光时线，只有一条） （2）光的反射定律：光线在界面上发生反射，入射角必须等于出射角。 ①平面镜：任意两点间的反射路径（只存在一条光线）光程最小。（为最短光时线，且只有一条） ②半椭圆形镜子：两个焦点间的反射路径有无数条（从一个焦点经椭圆面反射到达另一个焦点，任意一条光线都存在），且光程都一样，既是最大值，也是最小值。（既是最短光时线，也是最长光时线，且有无数条） ( A B θ 1 θ 2 分界面 Ⅰ Ⅱ v 1 v 2 n 1 n 2 )③半圆形镜子：其两个端点间的反射路径光程是最大值。 （最长光时线，且只有一条） （3）光的折射定律（斯涅尔定律）：（略） （最短光时线，只有一条） 3．费马原理在光的平面折射现象中的证明 ( A B θ 1 θ 2 分界面 Ⅰ Ⅱ v 1 v 2 n 1 n 2 d 1 d 2 x l-x A ′ B ′ P θ 1 θ 2 )（1）证明：光线从A点经P点折射后传播到B点，时间 若t取得最小值，则 （相对折射率） 即满足时光的传播时间最短，其实这就是光的折射定律 而光线实际就是按光的折射定律传播的，所以实际光线是按照时间最短的规律传播的 ( A B P C 介质 Ⅰ 介质 Ⅱ v 1 v 2 分界面 折射法线 )（2）应用难点：受数学知识所限，P点的具体位置很难确定 即方程难以解得x 为降低难度，中学物理命题时，一般会选择一类比较简单的情况 即，（全反射临界角）（临界折射） （三）将军饮马与光的反射 1．故事 ( 河流 A B P ) 唐代李颀《古从军行》中有一句诗：“白日登山望烽火，黄昏饮马 傍交河”，由此引申出一系列有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 “将军饮马”就是一个路程（时间）最短的问题。诗中说，将军 在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边P点处饮马后再到B 点宿营，动点P在何处才能使总的路程最短。 2．数学模型：直线外的两定点，到直线上一动点的距离之和最短 （1）内容：“将军饮马”问题，是指一个动点P在定直线上运动时，存在一个位置，使得从这个位置到直线外的两定点A、B距离之和最短，即AP+PB最小。 （2）方法：分析这类问题，往往通过对称进行等量代换，转化成分析两定点之间的距离。 （3）原理：解决这类问题的基本知识点：“两点之间线段最短”。 3．物理模型： （1）光的平面反射问题 （2）相等速率折线运动问题 当直线外的两定点，与直线上的一动点连线遵循光的反射定律时，距离之和最短（或运动时间最短） （四）胡不归模型与光的折射 ( 沙地 家 驿道 A B P )1．故事 有一则小故事，说的是身在他乡的小伙，得知父亲病危的消息后， 日夜赶路回家。因心情急切，他选择了全在沙砾地带的直线路径，他 认为走直线最省时。其实他可以选择先走一段驿路（走驿路比走沙路 更快），到合适位置再走沙路回家。当他回到父亲面前时，老人刚刚 咽气。在弥留之际，老人还在不断地念叨：胡不归？胡不归？（怎么 还不回来？） 2．数学模型：有系数的将军饮马 （1）内容：“胡不归”模型，是指一个动点P在定射线AP上运动时，存在一个位置，使得从这个位置到A点及射线外的定点B之间的距离满足k·AP+PB最小（k＞0，且k≠1）。 （2）方法：根据k＞1和k＜1，分两种情况将前面系数小的线段缩短，再看点到直线的最短距离 ( （胡不归 速度归一思路 ） A B P A ′ θ （ 1 ） k ＜1 A B P B ′ θ （ 2 ） k ＞1 )①若k＜1（如）：以AP为斜边向B点的异侧作角度θ构造Rt△， 使，将AP缩短为θ所对的直角边A′P（A′P＝AP·AP） 从B点向θ角的另一边作垂线段BA′，则BA′的长即为所求的最小值 ：θ＝30°，最小值AP+PB＝A′B ②若k＞1（如）：以BP为斜边向A点的异侧作角度θ构造Rt△， 使，将BP缩短为θ所对的直角边B′P（B′P＝BPBP） 从A点向θ角的另一边作垂线段AB′，则AB′的长的k倍即为所求最小值 ：θ＝30°，最小值2AP+PB＝2AB′ （3）原理：解决这类问题的基本知识点：点到直线“垂线段最短”。 3．物理模型： ( A B P A ′ θ =C C 介质 Ⅰ 介质 Ⅱ v 1 v 2 分界面 法线 )（1）入射角等于90°、折射角等于临界角C的光的平面折射问题 将线段视为光线，将物体的运动视为光的传播。 设想光线在介质Ⅰ中从A点贴着两种介质的分界面传播到P点，再折射 进介质Ⅱ传播到B点，光的传播时间（物体的运动时间）最短。 过P点作分界面的法线，易得折射角就等于θ，且 ( A B P C 介质 Ⅰ 介质 Ⅱ v 1 v 2 分界面 折射法线 （胡不归 临界折射思路 ） ) 所以，胡不归模型可以视为光的折射问题，对应于入射角为90°、折射 角为临界角的特殊折射现象（从光疏媒质进入光密媒质，即从速度大变为速 度小）（若从光密媒质进入光疏媒质，则用逆向法分析） 用胡不归模型分析问题，可直接用入射角为90°、折射角为临界角作图 ▲用胡不归模型分析光的折射，或物体的运动，以上的分析方法，实际 涉及到胡不归问题的两条分析思路： ①速度归一思路：将两段不同的速度，转化为相同大小的速度，便于直接从线段长短看时间 ( A B v 1 v 2 P i C Ⅰ Ⅱ 法线 分界线 )②临界折射思路：设想为一种特殊的折射现象（仍为最短时间），简化分析与作图 （2）不等速率折线运动问题 两种介质的分界线为直线（或分界面为平面），物体在两种介质中的 运动速度大小不同（在介质Ⅰ设为v1、在介质Ⅱ中设为v2，且v1＞v2）， 先在介质Ⅰ中贴着分界线运动，然后折入介质Ⅱ中，当满足光的折射定律 时，运动时间最短（入射角为90°、折射角为临界角C）。 ▲用胡不归模型解【例1】 ( y x O v 1 v 2 v 2 ′ 30 ° 15 ° α N M P L v 2 → v 2 ′ )【解析】 解法2：速度归一法（设想将大的速度变成和小的速度相同，位移相应缩短） 构造一个角度α： 将B球的运动轨迹OP向逆时针方向转30°作射线OM 过碰撞点P作OM的垂线，垂足为M，与x轴交于N点 则N点即为v1取得最大值时两球的相遇点 AB：θ＝15°时，∠OPM＝60°，挡板L沿角平分线方向，易得α＝15° ( O y x M N P v 1 v 2 v 2 ′ 30 ° 30 ° L v 2 → v 2 ′ )此时 A正确B错误 CD：θ＝30°时，∠OPM＝60°，挡板L沿角平分线方向，易得α＝0 此时 C正确D错误 解法3：临界折射法（设想光线原来贴着介质表面传播，然后以临界角折射进入另一介质） ( y x O v 1 v 2 v 2 ′ 15 ° α N P L OP 的垂线 （折射法线） C O y x N P v 1 v 2 v 2 ′ L 30 ° OP 的垂线 （折射法线） C ) 临界角C： 过P点作OP的垂线（折射法线），作折射角等于临界角（C＝30°），确定B球碰撞后的轨迹PN（以下略） 【体会】显然，这比函数极值法简便多了 ▲用胡不归模型解【例2】（解法3） ( v 2 v 1 h d C （人） A B θ α v 2 地面 h )【解析】 如图所示，设飞机经A处发出的声音最先被人听到 声音从A传到C时，飞机从A飞到B，设时间为t，则 （α＝θ） 则飞机与人的距离 4．胡不归模型，为费马原理在入射角为90°，折射角为临界角时的特例 （五）最短时间线（最短光时线）与波面同时线 ( 沙地 家 驿道 A B P )1．最短时间线（最短光时线） 在一般情况下，波动总是沿一条运行时间最短的路径传播，这条 路径正是垂直于波前包络面的路径，即射线路径。（也有时间最长的 情况，但我们这里只讨论最短） 如右图，从A点运动到B点，沿A→P→B路径运动时间最短， A→P→B就是最短时间线（如果是光传播，就称为最短光时线）。 2．波面同时线 波在传播过程中，有波存在的空间范围的最外面（即波在某时刻到达的最远处），可把它称为波面。 （1）匀速波源“同时线” ( M N A B C D a b c v 波 v 波 v 波 v 物 v 物 v 物 同时线 aD )波源沿直线MN匀速运动，经A、B、C、D各点时依次发 出某种波匀速向周围传播 当波源运动到D点时，若从A点发出的波同时传到a点 连接aD，作Aa的平行线Bb、Cc、… 则从A、B、C、…各点发出的波沿这些平行线同时传到直线aD上 即A→a，A→B→b，A→C→c，…，A→D的时间都相等 证明： 因图形相似，则： 同理得： 即： 也就是说，不同时刻发出的波同时到达直线aD上，aD为一条“同时线” （注意：“同时线”在波的传播方式上有要求，一定要平行传播） ( M N A B C D a b c v 波 v 波 v 波 v 物 v 物 v 物 a ′ )（2）匀速波源“最先同时线” 在“同时线”的基础上进一步分析 当波源从A点运动到D点时，从A点发出的波同 时传到图中的虚线圆上 从D点向圆引切线，切于a′点， 则a′D为满足上述规律的“同时线”， 比较Aa′与Aa可见，A→a′时间最短，波最先到达 即圆的切线为“最先同时线” （各个时刻发出的波，都是最先且同时到达这一条线上） ( 以相同大小不同方向的速度斜向上的射击线 注意：包络线不是最高点的连线 包络线 )（六）包络线与马赫锥 1．包络线（包络面） 包络线是与一族平面曲线（或直线）中的每一条都相切的 曲线（或直线）。 在物理问题中，包络线就是众多运动轨迹的最外围（或众多 波到达的最外围）所围成的线（如果围成的是面，就是包络面）。 ▲重要结论：波的传播方向与包络线（包络面）垂直 2．三种基本形态的包络面 ( （ 1） v 物 ＜ v 波 包络面为球面 （ 2 ） v 物 ＝ v 波 包络面为球面 （ 3 ） v 物 ＞ v 波 包络面前方为圆锥面（ 马赫锥 ） 后方为球面的一部分 包络面 最先形成的波面 )波源做匀速直线运动，在不同位置发出的波在空间中向各个 方向传播，三种情况下形成的包络面形状（若发出的波在同一平 面内传播，则形成的是包络线） ( v 波 v 物 θ θ )3．马赫锥 （1）马赫锥：由奥地利物理学家E·马赫于1887年提出 若波源做匀速直线运动的速度大于波的传播速度，则波 前（前方的波面）在空间中形成的包络面为一个开口向后的 圆锥面，称为“马赫锥”。 （2）马赫角：马赫锥轴截面顶角的一半。 （3）马赫数：物体速度与声速的比值（倍数） （4）马赫波（冲击波）：马赫锥的锥角保持不变，锥面 （波阵面）随声源向前传播，称为马赫波（冲击波） （5）艏波：船体前部（船艏）在水中运动时，因速度超 过水波的传播速度，从而形成V形波系（相当于马赫锥） ( x y O 15 ° 30 ° P α θ O y x P B A 包络线 30 ° O x y P 30 ° )▲用包络线（马赫锥）解【例1】（解法4） 分析可知，因图形相似，结论与碰撞位置无关 设想B球运动中可以在不同位置与挡板相碰而反弹再与A球在x轴上相遇 不同位置碰撞后反弹的B球，在同一时刻所到达的位置形成的包络线，马赫角α满足 B球反弹后的运动方向垂直于包络线到达x轴，总的运动时间最短，对应的A球速度v1取得最大值（以下略） ( 地面 α 人 h 包络线 飞机 声波 d 人刚听到声音时飞机位置 ) ▲用包络线（马赫锥）解【例2】（解法4） 人最先听到声音，就是声波的包络线与地面交于人所在处 马赫角α： 则人最先听一飞机的声音时，飞机与人的距离，C正确 （七）其他方法例解 ▲给【例1】再提供两种简单的解法 解法5：微元法 ( D x O y C M N P )假设两球在x轴上的相遇点D点位置是确定的，我们总可以通过调整挡板的位置和角度，使得B球从O点到D点的时间最短，从而使得v1取得最大值 如图，假设C为碰撞点时，B球从O到C再到D与A球相遇，v1最大 则C点前后不远处必然存在两个碰撞点M与N，使得B球从O运动到D的 时间相等 以D为圆心、DN为半径画弧，交DM于P点 则B球以速度v2从M到N的时间，等于B球以速度v2′从M到P的时间 因v2＝2v2′，则MN＝2MP 由于MN很短，弧NP可看成直线段，易得∠MNP＝30° 因而∠OCD＝120°（将弧NP视为直线段，与CD垂直）（以下略） ▲给【例2】再提供两种简单的解法： 解法 ( v 2 v 1 v 1 t 2 人 v 2 t 2 h d O A B C v 2 θ θ )5：临界条件分析法 飞机飞行轨迹上必然存在一个位置A， 飞机经A点时，速度v2沿PC方向的 分量等于声速v1， 而这个分量会使声波传给人的时间提前， 但飞机继续飞行发出声波的时间又要滞后， 而v2沿PC方向的分量等于声速v1， 因而提前和滞后的效果正好抵消， 因而A点就是声波最先传到人耳的临界点， 此时图中 △ABC与过A点的速度矢量三角形中，，则两个三角形相似， 所以，C正确 ( - v 2 v 1 人 h d A B C θ θ v 2 - v 2 飞机 声波 v 相 )解法6：换参法 取飞机飞经图中A点时发出的声波分析 以飞机为参考系，声波因飞机运动具有速度-v2 同时因自身传播具有速度v1 将-v2与v1按图中方式合成得声波对飞机的相对速度v相 人对飞机也具有速度-v2 也就是人相对于飞机以速度-v2沿地面运动 当人与声波相遇于B点时，人听到声音。 人最先听到声音，则声波传到地面相对于飞机传播的路 程AB应最短，即图中θ角应最大 所以v相应与虚线圆相切， 则，C正确 【作业】 班次 座次 姓名 1．蜻蜓在水画上“点水”飞行。若蜻蜓沿x轴正向飞行，其水平飞行速度恰好与水波的传播速度相等，且每次“点水”只形成一个向外扩展的圆形水波波纹，则蜻蜓连续三次“点水”后某时刻水波图样（俯视）可能是（ ） ( A B C D ) 【答案】A 2．“蜻蜓点水”是常见的自然现象，蜻蜓点水后在水面上会激起波纹。某同学在研 究蜻蜓运动的过程中获得一张蜻蜓点水的俯视照片，该照片记录了蜻蜓连续三次点水过 程中激起的波纹，其形状如图所示。由图分析可知（ ） A．蜻蜓第一次点水处为A点 B．蜻蜓第一次点水处为B点 C．蜻蜓飞行的速度大于水波传播的速度 D．蜻蜓飞行的速度小于水波传播的速度 【答案】C ( 图1 图2 )3．如图1所示为“蜻蜓点水”时的情景蜻蜓在平静水面匀速飞行过程中两次点水后在水面上激起的波纹A、B（俯视图、刚好相切）如图2所示，由图可知（ ） A．A、B两波纹左端的间距会越来越大 B．A、B两波纹右端此后不再相切，且间距先变大后变小 C．蜻蜓的飞行速度与水波的传播速度相等 D．蜻蜓的飞行速度比水波的传播速度大 【答案】C 【解析】 AB：不同时刻激起的水波传播速度相等 故A、B两波纹的左端在以后相等的时间内向左传播的距离相等，故左端的间距不变，A错误 同理，两波纹的右端在以后相等的时间内向右传播的距离也相等，故右端总是相切的，B错误 CD：A、B两波纹右端相切，说明蜻蜓从O1点飞到O2点时，A波纹也从O1点产生传到了O2点 此后两波纹同样从O2点传到右边相切处，这说明蜻蜓飞机速度与水波传播速度相等，C正确D错误 4．法国科学家皮埃尔·德·费马在1662年提出，光线传播的路径是所需时间最少的路径，即费马原理，光的折射即遵从这一原理，实际生活中，下述现象也可类比折射定律来理解。如图所示，地面上甲同学在距笔直的河岸10m处的A点，发现落水的乙同学位于水面上距河岸50m处的B点。甲前去营救乙，在地面上奔跑的速度大小v1＝5m/s，在水中游泳的速度大小为v2，奔跑、游泳均视为匀速直线运动。而此次营救中，甲在地面上的速度与河岸夹角为30°，在水中的速度与河岸夹角为60°将最省时。由题中信息和所学物理知识可知（ ） A．甲在水中游泳的速度大小为 B．甲在水中游泳的速度大小为 C．甲到达乙处的最短时间为12s D．甲到达乙处的最短时间约为16s ( 30 ° 60 ° i r d 1 d 2 )【答案】A 【解析】如图，d1＝10m，d2＝50m，i＝60°，r＝30° AB：前去营救所用时间最短，则 ，A正确，B错误； CD：最短时间，C错误，D错误。 ( 60 ° )5．当船只在水中航行时，船头前方会在水面激起水波向外传播，称为艏波。若船速大于 水波波速，水波会在水面扩散成一个V形波浪区，类似于声波的马赫锥。现有一条小船在平 静的湖上匀速行驶，形成的V形波浪区顶角约为60°（如图所示）。已知湖面上水波传播速度 为1.8m/s，则船的航行速度约为（ ） A．1.5m/s B．1.8m/s C．3.1m/s D．3.6m/s ( 3 0 ° O A B x 船 x 波 )【答案】D 【解析】 如图所示，船经O点激起的水波传到包络线B处时，船行驶到锥尖A处，则 所以D正确 6．子弹在人耳上方5m处以680m/s的速度水平飞过，当人刚开始听到子弹的呼啸声时，子弹离人耳多远？（设声波速度为340m/s） ( v 声 v 弹 θ θ h d )【答案】10m 【解析】马赫角设为θ，则 人刚听到声音时，距离 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届物理总复习·二轮·方法突破 方法08 模型法：费马胡不归，短时马赫锥 目 录 与 提 纲 （一）从两道物理题说起 （二）费马原理与光的传播 1．费马原理（最早提出的是：最短时间原理） 2．费马原理与光的传播三条规律 （1）光的直线传播规律 （2）光的反射定律 （3）光的折射定律（斯涅尔定律） 3．费马原理在光的平面折射现象中的证明 （三）将军饮马与光的反射 1．故事 2．数学模型：直线外的两定点，到直线上一动点的距离之和最短 3．物理模型： （1）光的平面反射问题 （2）相等速率折线运动问题 （四）胡不归模型与光的折射 1．故事 2．数学模型：有系数的将军饮马 3．物理模型： （1）入射角等于90°、折射角等于临界角C的光的平面折射问题 ①速度归一思路 ②临界折射思路 （2）不等速率折线运动问题 4．胡不归模型，为费马原理在入射角为90°，折射角为临界角时的特例 （五）最短时间线（最短光时线）与波面同时线 1．最短时间线（最短光时线） 2．波面同时线 （六）包络线与马赫锥 1．包络线（包络面） 2．三种基本形态的包络面 3．马赫锥 （1）马赫锥；（2）马赫角；（3）马赫数；（4）马赫波（冲击波）；（5）艏波 （七）其他方法例解 【作业】 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届物理总复习·二轮·方法突破 方法08 模型法：费马胡不归，短时马赫锥 （一）从两道物理题说起 ▲以下两道关于运动时间最短的物理题，对于大多数学生甚至老师来说，都有很大难度 【例1】（2024年湖南卷）如图所示，光滑水平面内建立直角坐标系xOy。 A、B两小球同时从O点出发，A球速度大小为v1，方向沿x轴正方向；B球速 度大小为v2＝2m/s，方向与x轴正方向夹角为θ。坐标系第一象限中有一个挡板 L，与x轴夹角为α。B球与挡板L发生碰撞，碰后B球速度大小变为1m/s，碰 撞前后B球的速度方向与挡板L法线的夹角相同，且分别位于法线两侧。不计 碰撞时间和空气阻力，若A、B两小球能相遇，下列说法正确的是（ ） A．若θ＝15°，则v1的最大值为m/s，且α＝15° B．若θ＝15°，则v1的最大值为m/s，且α＝0° C．若θ＝30°，则v1的最大值为m/s，且α＝0° D．若θ＝30°，则v1的最大值为m/s，且α＝15° 【例2】（2025年5月8日金太阳联考题）中国国产隐身战斗机歼-20是一款具备高隐身性、高态势感知、高机动性等能力的隐形第五代制空战斗机。某次试飞过程中，歼-20飞机以2.6马赫（声音在空气中传播速度的2.6倍）的速度沿水平方向匀速飞行，已知飞机距地面的高度为4080m，声音在空气中传播的速度为340m/s，则当飞机运动轨迹正下方的人最先听到飞机声音时，飞机与人之间的距离为（ ） A．8160m B．9792m C．10608m D．11366m （二）费马原理与光的传播 涉及运动时间最短问题，容易想到光学中的费马原理 1．费马原理（最早提出的是：最短时间原理） （1）费马原理（Fermat principle）最早由法国科学家皮埃尔·德·费马在1662年提出。 （2）内容：光传播的路径是光程取极值的路径。 （3）理解：这个极值可能是最大值、最小值，甚至是函数的拐点。 费马原理比较难懂，讲的不一定是光的传播时间最短。 费马原理最初提出时，称为“最短时间原理”：光线传播的路径是需时最少的路径。 但事实上光的传播时间不一定是最短的，所以后来改了名称（称为“平稳时间原理”）。 不过作为中学物理，我们需要用到的，一般是时间最短（在反射中，时间最长的情况也要知道）。 （4）最短光时线：光线沿一条路径传播，如果传播时间最短，这条路径就称为“最短光时线” 可能在A、B两点间传播的光线，最短光时线可以只有一条，也可以有多条。 2．费马原理与光的传播三条规律 费马原理是几何光学的基本定理。从费马原理可以导出几何光学的以下三条定律： （1）光的直线传播规律：光线在真空中沿直线传播。（光在同一种均匀介质中沿直线传播） （两点之间，直线段最短，传播时间最短）（最短光时线，只有一条） （2）光的反射定律：光线在界面上发生反射，入射角必须等于出射角。 ①平面镜：任意两点间的反射路径（只存在一条光线）光程最小。（为最短光时线，且只有一条） ②半椭圆形镜子：两个焦点间的反射路径有无数条（从一个焦点经椭圆面反射到达另一个焦点，任意一条光线都存在），且光程都一样，既是最大值，也是最小值。（既是最短光时线，也是最长光时线，且有无数条） ③半圆形镜子：其两个端点间的反射路径光程是最大值。（最长光时线，且只有一条） ( A B θ 1 θ 2 分界面 Ⅰ Ⅱ v 1 v 2 n 1 n 2 )（3）光的折射定律（斯涅尔定律）：（略） （最短光时线，只有一条） 3．费马原理在光的平面折射现象中的证明 ( A B θ 1 θ 2 分界面 Ⅰ Ⅱ v 1 v 2 n 1 n 2 d 1 d 2 x l-x A ′ B ′ P θ 1 θ 2 )（1）证明：光线从A点经P点折射后传播到B点，时间 若t取得最小值，则 （相对折射率） 即满足时光的传播时间最短，其实这就是光的折射定律 而光线实际就是按光的折射定律传播的，所以实际光线是按照时间最短的规律传播的 ( A B P C 介质 Ⅰ 介质 Ⅱ v 1 v 2 分界面 折射法线 )（2）应用难点：受数学知识所限，P点的具体位置很难确定 即方程难以解得x 为降低难度，中学物理命题时，一般会选择一类比较简单的情况 即，（全反射临界角）（临界折射） （三）将军饮马与光的反射 1．故事 ( 河流 A B P ) 唐代李颀《古从军行》中有一句诗：“白日登山望烽火，黄昏饮马 傍交河”，由此引申出一系列有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 “将军饮马”就是一个路程（时间）最短的问题。诗中说，将军 在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边P点处饮马后再到B 点宿营，动点P在何处才能使总的路程最短。 2．数学模型：直线外的两定点，到直线上一动点的距离之和最短 （1）内容：“将军饮马”问题，是指一个动点P在定直线上运动时，存在一个位置，使得从这个位置到直线外的两定点A、B距离之和最短，即AP+PB最小。 （2）方法：分析这类问题，往往通过对称进行等量代换，转化成分析两定点之间的距离。 （3）原理：解决这类问题的基本知识点：“两点之间线段最短”。 3．物理模型： （1）光的平面反射问题 （2）相等速率折线运动问题 当直线外的两定点，与直线上的一动点连线遵循光的反射定律时，距离之和最短（或运动时间最短） （四）胡不归模型与光的折射 ( 沙地 家 驿道 A B P )1．故事 有一则小故事，说的是身在他乡的小伙，得知父亲病危的消息后， 日夜赶路回家。因心情急切，他选择了全在沙砾地带的直线路径，他 认为走直线最省时。其实他可以选择先走一段驿路（走驿路比走沙路 更快），到合适位置再走沙路回家。当他回到父亲面前时，老人刚刚 咽气。在弥留之际，老人还在不断地念叨：胡不归？胡不归？（怎么 还不回来？） 2．数学模型：有系数的将军饮马 （1）内容：“胡不归”模型，是指一个动点P在定射线AP上运动时，存在一个位置，使得从这个位置到A点及射线外的定点B之间的距离满足k·AP+PB最小（k＞0，且k≠1）。 （2）方法：根据k＞1和k＜1，分两种情况将前面系数小的线段缩短，再看点到直线的最短距离 ( （胡不归 速度归一思路 ） A B P A ′ θ （ 1 ） k ＜1 A B P B ′ θ （ 2 ） k ＞1 )①若k＜1（如）：以AP为斜边向B点的异侧作角度θ构造Rt△， 使，将AP缩短为θ所对的直角边A′P（A′P＝AP·AP） 从B点向θ角的另一边作垂线段BA′，则BA′的长即为所求的最小值 ：θ＝30°，最小值AP+PB＝A′B ②若k＞1（如）：以BP为斜边向A点的异侧作角度θ构造Rt△， 使，将BP缩短为θ所对的直角边B′P（B′P＝BPBP） 从A点向θ角的另一边作垂线段AB′，则AB′的长的k倍即为所求最小值 ：θ＝30°，最小值2AP+PB＝2AB′ （3）原理：解决这类问题的基本知识点：点到直线“垂线段最短”。 3．物理模型： ( A B P A ′ θ =C C 介质 Ⅰ 介质 Ⅱ v 1 v 2 分界面 法线 )（1）入射角等于90°、折射角等于临界角C的光的平面折射问题 将线段视为光线，将物体的运动视为光的传播。 设想光线在介质Ⅰ中从A点贴着两种介质的分界面传播到P点，再折射 进介质Ⅱ传播到B点，光的传播时间（物体的运动时间）最短。 过P点作分界面的法线，易得折射角就等于θ，且 ( A B P C 介质 Ⅰ 介质 Ⅱ v 1 v 2 分界面 折射法线 （胡不归 临界折射思路 ） ) 所以，胡不归模型可以视为光的折射问题，对应于入射角为90°、折射 角为临界角的特殊折射现象（从光疏媒质进入光密媒质，即从速度大变为速 度小）（若从光密媒质进入光疏媒质，则用逆向法分析） 用胡不归模型分析问题，可直接用入射角为90°、折射角为临界角作图 ▲用胡不归模型分析光的折射，或物体的运动，以上的分析方法，实际 涉及到胡不归问题的两条分析思路： ①速度归一思路：将两段不同的速度，转化为相同大小的速度，便于直接从线段长短看时间 ( A B v 1 v 2 P i C Ⅰ Ⅱ 法线 分界线 )②临界折射思路：设想为一种特殊的折射现象（仍为最短时间），简化分析与作图 （2）不等速率折线运动问题 两种介质的分界线为直线（或分界面为平面），物体在两种介质中的 运动速度大小不同（在介质Ⅰ设为v1、在介质Ⅱ中设为v2，且v1＞v2）， 先在介质Ⅰ中贴着分界线运动，然后折入介质Ⅱ中，当满足光的折射定律 时，运动时间最短（入射角为90°、折射角为临界角C）。 ▲用胡不归模型解【例1】 ▲用胡不归模型解【例2】（解法3） 4．胡不归模型，为费马原理在入射角为90°，折射角为临界角时的特例 （五）最短时间线（最短光时线）与波面同时线 ( 沙地 家 驿道 A B P )1．最短时间线（最短光时线） 在一般情况下，波动总是沿一条运行时间最短的路径传播，这条 路径正是垂直于波前包络面的路径，即射线路径。（也有时间最长的 情况，但我们这里只讨论最短） 如右图，从A点运动到B点，沿A→P→B路径运动时间最短， A→P→B就是最短时间线（如果是光传播，就称为最短光时线）。 2．波面同时线 波在传播过程中，有波存在的空间范围的最外面（即波在某时刻到达的最远处），可把它称为波面。 （1）匀速波源“同时线” ( M N A B C D a b c v 波 v 波 v 波 v 物 v 物 v 物 同时线 aD )波源沿直线MN匀速运动，经A、B、C、D各点时依次发 出某种波匀速向周围传播 当波源运动到D点时，若从A点发出的波同时传到a点 连接aD，作Aa的平行线Bb、Cc、… 则从A、B、C、…各点发出的波沿这些平行线同时传到直线aD上 即A→a，A→B→b，A→C→c，…，A→D的时间都相等 证明： 因图形相似，则： 同理得： 即： 也就是说，不同时刻发出的波同时到达直线aD上，aD为一条“同时线” （注意：“同时线”在波的传播方式上有要求，一定要平行传播） ( M N A B C D a b c v 波 v 波 v 波 v 物 v 物 v 物 a ′ )（2）匀速波源“最先同时线” 在“同时线”的基础上进一步分析 当波源从A点运动到D点时，从A点发出的波同 时传到图中的虚线圆上 从D点向圆引切线，切于a′点， 则a′D为满足上述规律的“同时线”， 比较Aa′与Aa可见，A→a′时间最短，波最先到达 即圆的切线为“最先同时线” （各个时刻发出的波，都是最先且同时到达这一条线上） ( 以相同大小不同方向的速度斜向上的射击线 注意：包络线不是最高点的连线 包络线 )（六）包络线与马赫锥 1．包络线（包络面） 包络线是与一族平面曲线（或直线）中的每一条都相切的 曲线（或直线）。 在物理问题中，包络线就是众多运动轨迹的最外围（或众多 波到达的最外围）所围成的线（如果围成的是面，就是包络面）。 ▲重要结论：波的传播方向与包络线（包络面）垂直 2．三种基本形态的包络面 ( （ 1） v 物 ＜ v 波 包络面为球面 （ 2 ） v 物 ＝ v 波 包络面为球面 （ 3 ） v 物 ＞ v 波 包络面前方为圆锥面（ 马赫锥 ） 后方为球面的一部分 包络面 最先形成的波面 )波源做匀速直线运动，在不同位置发出的波在空间中向各个 方向传播，三种情况下形成的包络面形状（若发出的波在同一平 面内传播，则形成的是包络线） ( v 波 v 物 θ θ ) 3．马赫锥 （1）马赫锥：由奥地利物理学家E·马赫于1887年提出 若波源做匀速直线运动的速度大于波的传播速度，则波 前（前方的波面）在空间中形成的包络面为一个开口向后的 圆锥面，称为“马赫锥”。 （2）马赫角：马赫锥轴截面顶角的一半。 （3）马赫数：物体速度与声速的比值（倍数） （4）马赫波（冲击波）：马赫锥的锥角保持不变，锥面 （波阵面）随声源向前传播，称为马赫波（冲击波） （5）艏波：船体前部（船艏）在水中运动时，因速度超 过水波的传播速度，从而形成V形波系（相当于马赫锥） ▲用包络线（马赫锥）解【例1】（解法4） ▲用包络线（马赫锥）解【例2】（解法4） （七）其他方法例解 【作业】 班次 座次 姓名 1．蜻蜓在水画上“点水”飞行。若蜻蜓沿x轴正向飞行，其水平飞行速度恰好与水波的传播速度相等，且每次“点水”只形成一个向外扩展的圆形水波波纹，则蜻蜓连续三次“点水”后某时刻水波图样（俯视）可能是（ ） ( A B C D ) 2．“蜻蜓点水”是常见的自然现象，蜻蜓点水后在水面上会激起波纹。某同学在研 究蜻蜓运动的过程中获得一张蜻蜓点水的俯视照片，该照片记录了蜻蜓连续三次点水过 程中激起的波纹，其形状如图所示。由图分析可知（ ） A．蜻蜓第一次点水处为A点 B．蜻蜓第一次点水处为B点 C．蜻蜓飞行的速度大于水波传播的速度 D．蜻蜓飞行的速度小于水波传播的速度 ( 图1 图2 )3．如图1所示为“蜻蜓点水”时的情景蜻蜓在平静水面匀速飞行过程中两次点水后在水面上激起的波纹A、B（俯视图、刚好相切）如图2所示，由图可知（ ） A．A、B两波纹左端的间距会越来越大 B．A、B两波纹右端此后不再相切，且间距先变大后变小 C．蜻蜓的飞行速度与水波的传播速度相等 D．蜻蜓的飞行速度比水波的传播速度大 4．法国科学家皮埃尔·德·费马在1662年提出，光线传播的路径是所需时间最少的路径，即费马原理，光的折射即遵从这一原理，实际生活中，下述现象也可类比折射定律来理解。如图所示，地面上甲同学在距笔直的河岸10m处的A点，发现落水的乙同学位于水面上距河岸50m处的B点。甲前去营救乙，在地面上奔跑的速度大小v1＝5m/s，在水中游泳的速度大小为v2，奔跑、游泳均视为匀速直线运动。而此次营救中，甲在地面上的速度与河岸夹角为30°，在水中的速度与河岸夹角为60°将最省时。由题中信息和所学物理知识可知（ ） A．甲在水中游泳的速度大小为 B．甲在水中游泳的速度大小为 C．甲到达乙处的最短时间为12s D．甲到达乙处的最短时间约为16s ( 60 ° )5．当船只在水中航行时，船头前方会在水面激起水波向外传播，称为艏波。若船速大于 水波波速，水波会在水面扩散成一个V形波浪区，类似于声波的马赫锥。现有一条小船在平 静的湖上匀速行驶，形成的V形波浪区顶角约为60°（如图所示）。已知湖面上水波传播速度 为1.8m/s，则船的航行速度约为（ ） A．1.5m/s B．1.8m/s C．3.1m/s D．3.6m/s 6．子弹在人耳上方5m处以680m/s的速度水平飞过，当人刚开始听到子弹的呼啸声时，子弹离人耳多远？（设声波速度为340m/s） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$