2024-2025学年第二学期高一数学单元测试A卷第十章 概率（人教A版2019必修二 全国通用）

2024-2025学年第二学期高一年级单元测试A卷第十章 概率 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．对满足的非空集合、，有下列四个命题： ①“若任取，则”是必然事件；      ②“若，则”是不可能事件； ③“若任取，则”是随机事件；      ④“若，则”是必然事件. 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ） A．至少有一个黑球与都是红球 B．至少有一个红球与都是红球 C．至少有一个红球与至少有1个黑球 D．恰有1个红球与恰有2个红球 3．一袋中装有除颜色外完全相同的4个白球和5个黑球，从中有放回的摸球3次，每次摸一个球．用模拟实验的方法，让计算机产生1～9的随机数，若1～4代表白球，5～9代表黑球，每三个为一组，产生如下20组随机数：917  966  191  925  271  932  735  458  569  683  431  257  393  627  556  488  812  184  537  989，则三次摸出的球中恰好有两次是白球的概率近似为（    ） A． B． C． D． 4．年河北省将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为（    ） A． B． C． D． 5．从全体2位数的正整数中任取一个数，则此数以2为底的对数也是正整数的概率为（    ） A． B． C． D．以上全不对 6．如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（    ） A． B． C． D． 7．对于一个古典概型的样本空间和事件A、B、C、D，用表示事件中的样本点个数.若，，则（    ） A．与不互斥 B．与不对立 C．与互斥 D．与相互独立 8．某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛.决赛规则如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束.若经抽签，已知第一场甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，则（    ） A．甲获得冠军的概率最大 B．甲比乙获得冠军的概率大 C．丙获得冠军的概率最大 D．甲、乙、丙3人获得冠军的概率相等 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知事件与，且，则下列结论正确的是（    ） A．如果与互斥，那么 B．如果与相互独立，则 C．如果与相互独立，那么 D．如果与相互独立，那么 10．不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球.表示事件“第二次取出的球上标有的数字大于等于”，表示事件“两次取出的球上标有的数字之和为5”，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．事件与相互独立 D． 11．疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为1~6，然后将其放入一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为，第二次为，设，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（    ） A． B．事件与互斥 C． D．事件与对立 第II卷（非选择题） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两个数，则两个数都是奇数的概率是 . 13．甲、乙、丙三人分别独立地解一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是，则乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为 ，甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为 ． 14．甲、乙两人参加玩游戏活动，每轮游戏活动由甲、乙各玩一盘，已知甲每盘获胜的概率为，乙每盘获胜的概率为.在每轮游戏活动中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．“中国人均读书本（包括网络文学和教科书），比韩国的本、法国的本、日本的本、犹太人的本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天名读书者进行调查，将他们的年龄分成段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图. (1)估计在名读书者中年龄分布在的人数； (2)求名读书者年龄的平均数和中位数； (3)若从年龄在的读书者中任取名，求这两名读书者年龄恰有人在的概率. 16．年级教师元旦晚会时，“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”参加一项趣味问答活动．该活动共有两个问题，如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一枝“黑玫瑰”奖品．已知在第一个问题中“玲儿姐”回答正确的概率为，“玲儿姐”和“关关姐”两人都回答错误的概率为，“关关姐”和“页楼哥”两人都回答正确的概率为；在第二个问题中“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率依次为．且所有的问答中回答正确与否相互之间没有任何影响． (1)在第一个问题中，分别求出“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率； (2)分别求出“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率，并求三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率． 17．某电视台举行冲关直播活动，该活动共有三关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为0.7，第二关通过率为0.5，第三关的通过率为0.3，三关全部通过可以获得一等奖（奖金为300元），通过前两关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，则奖金可以累加为500元.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动. (1)求甲最后没有得奖的概率； (2)已知甲和乙都通过了第一关，求甲和乙最后所得奖金总和为700元的概率. 18．已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲､乙､丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲､乙､丙三名考生材料初审合格的概率分别是，面试合格的概率分别是. (1)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率； (2)求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率； (3)求甲､乙､丙三名考生获得该高校综合评价录取资格的人数为1人或2人的概率. 19．有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的（即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：），数据统计如下： （1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的分位数； （2）有，两个水池，两水池之间有个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过条鱼. （ⅰ）将其中汞的含量最低的条鱼分别放入水池和水池中，若这条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率； （ⅱ）将其中汞的含量最低的条鱼都先放入水池中，若这条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由水池进入水池且不再游回水池，求这两条鱼由不同小孔进入水池的概率. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期高一年级单元测试A卷第十章 概率 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．对满足的非空集合、，有下列四个命题： ①“若任取，则”是必然事件；      ②“若，则”是不可能事件； ③“若任取，则”是随机事件；      ④“若，则”是必然事件. 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件、子集的定义逐一判断即可. 【详解】①：因为，，所以，因此“若任取，则”是必然事件，故本命题是真命题； ②：当集合是集合的真子集时，显然存在一个元素在集合中，不在集合中， 因此“若，则”是随机事件，故本命题是假命题； ③：任取，当集合是集合的真子集时，有可能成立，也可能不成立， 因此“若任取，则”是随机事件,故本命题是真命题； ④：因为，所以一定有，显然“若，则”是必然事件，故本命题是真命题． 因此①③④为真命题. 故选：B 2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ） A．至少有一个黑球与都是红球 B．至少有一个红球与都是红球 C．至少有一个红球与至少有1个黑球 D．恰有1个红球与恰有2个红球 【答案】D 【分析】A. 至少有一个黑球与都是红球,是对立关系，因此能判断A不符合要求；B. 至少有一个红球包括两球都是红球，二者不互斥，不符合要求；C. 至少有一个红球与至少有1个黑球，含有同时发生的情况，不符合要求；D. 恰有1个红球与恰有2个红球，二者符合题目要求. 【详解】A. 至少有一个黑球与都是红球,二者不会同时发生，是互斥关系，任取2个球时，这两个事件又一定会有一个发生，因此二者又是对立事件，不符合题目要求； B. 至少有一个红球包括两球都是红球，因此二者会同时发生，不是互斥关系，不符合要求； C. 至少有一个红球与至少有1个黑球，二者都含有恰有一个红球和一个黑球的情况，会有同时发生的可能，不是互斥关系，不符合要求； D. 恰有1个红球与恰有2个红球，二者不会同时发生，是互斥事件，但二者有可能都不会发生，比如取到的两球都是黑球，故二者不是对立事件，符合题目要求. 故选：D 3．一袋中装有除颜色外完全相同的4个白球和5个黑球，从中有放回的摸球3次，每次摸一个球．用模拟实验的方法，让计算机产生1～9的随机数，若1～4代表白球，5～9代表黑球，每三个为一组，产生如下20组随机数：917  966  191  925  271  932  735  458  569  683  431  257  393  627  556  488  812  184  537  989，则三次摸出的球中恰好有两次是白球的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概率公式可得选项. 【详解】20组随机数恰好有两个是的有191，271，932，393，812，184共6个，因此概率为． 故选：B． 4．年河北省将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由排列组合的思想,分别计算出总的选择方案数量以及同时选择历史和化学的方案数量,结合古典概型,即可求概率. 【详解】甲同学所有的选择方案共有种,甲同学同时选择历史和化学后 只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可,共有种选择方案 根据古典概型的概率计算公式,可得甲同学同时选择历史和化学的概率 故选:B. 【点睛】本题考查了排列组合,考查了古典概型概率的求解.求概率类问题,最常见的有古典概型的概率、几何概型的概率.根据题目的情景,选择正确的模型进行求解.在求古典概型概率时,可将所有的基本事件列举出来进行求解,但是速度较慢,合理地结合排列组合的思想会提高做题速度. 5．从全体2位数的正整数中任取一个数，则此数以2为底的对数也是正整数的概率为（    ） A． B． C． D．以上全不对 【答案】A 【分析】先得到全体2位数的正整数的个数，再根据以2为底的对数也是正整数，由得到其个数，代入古典概型的概率公式求解. 【详解】全体2位数的正整数共有99-10+1=90个， 若以2为底的对数也是正整数，则， 则有共6个， 所以此数以2为底的对数也是正整数的概率为， 故选：A 6．如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要使系统正常工作，则A、B要都正常或者C正常，D必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算. 【详解】记零件或系统能正常工作的概率为， 该系统正常工作的概率为: , 故选：C. 7．对于一个古典概型的样本空间和事件A、B、C、D，用表示事件中的样本点个数.若，，则（    ） A．与不互斥 B．与不对立 C．与互斥 D．与相互独立 【答案】D 【分析】根据互斥、对立、相互独立事件的概率公式进行判断. 【详解】由题意可得：，，，，，，. 因为，所以与互斥，故A错误； 因为，所以与对立，故B错误； 因为与对立，所以,，所以与不互斥，故C错误； 因为，所以与相互独立，故D正确. 故选：D 8．某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛.决赛规则如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束.若经抽签，已知第一场甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，则（    ） A．甲获得冠军的概率最大 B．甲比乙获得冠军的概率大 C．丙获得冠军的概率最大 D．甲、乙、丙3人获得冠军的概率相等 【答案】C 【分析】根据比赛进行的场次进行分类讨论，结合相互独立事件概率计算公式，求得甲、乙、丙三人获得冠军的概率，从而确定正确答案． 【详解】根据决赛规则，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛， （1）甲获得冠军有两种情况： ①共比赛四场结束，甲四连胜夺冠，概率为 ②共比赛五场结束，并且甲获得冠军．则甲的胜、负、轮空结果共有四种情况∶胜胜胜负胜， 胜胜负空胜，胜负空胜胜，负空胜胜胜，概率分别为，即， 因此，甲最终获得冠军的概率为； （2）乙获得冠军，与（1）同理，概率也为； （3）丙获得冠军，概率为， 由此可知丙获得冠军的概率最大，即A，B，D错误，C正确， 故选∶C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知事件与，且，则下列结论正确的是（    ） A．如果与互斥，那么 B．如果与相互独立，则 C．如果与相互独立，那么 D．如果与相互独立，那么 【答案】ABC 【分析】对A，由A与互斥得概率加法公式可求；对B，由独立事件的概率乘法公式可求；对CD，由对立事件的概率求法可解. 【详解】对A，与互斥，则，A对； 对B，与相互独立，则，B对； 对C、D，A与相互独立， ， 故C对D错； 故选：ABC 10．不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球.表示事件“第二次取出的球上标有的数字大于等于”，表示事件“两次取出的球上标有的数字之和为5”，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．事件与相互独立 D． 【答案】BC 【分析】应用列举法写出所有可能情况，根据题设事件描述及古典概型的概率求法求、、、，由独立事件的判定判断独立性. 【详解】由题意，行表示第一次取出数字，列表示第二次取出数字，如下表， 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 两次取出的可能情况有36种， 第二次取出的球上标有的数字大于等于的情况有24种，故， 两次取出的球上标有的数字之和为5的情况有，共4种，故， 满足事件的情况有，故，所以， 满足事件的情况有26种，故， 综上，A、D对，B、C错. 故选：BC 11．疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为1~6，然后将其放入一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为，第二次为，设，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（    ） A． B．事件与互斥 C． D．事件与对立 【答案】BC 【分析】根据有放回的随机取两次结果36种逐个分析判断即可解决. 【详解】由题知，从中有放回的随机取两次，结果有（记为）： 共36种， 若，此时取或 所以，故A错误； 若，则恒成立， 所以与互斥，故B正确； ，故C正确； 当时，，此时事件与均未发生， 所以事件与不对立，故D错误. 故选：BC 第II卷（非选择题） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两个数，则两个数都是奇数的概率是 . 【答案】/ 【分析】列举所有可能的情况求解即可. 【详解】由题意，任取两个数所有可能的情况有，，，，，，，，，共10种情况， 其中两个数都是奇数的情况有，，共3种情况，故两个数都是奇数的概率是. 故答案为： 13．甲、乙、丙三人分别独立地解一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是，则乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为 ，甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为 ． 【答案】 ，或，； 【分析】利用相互独立事件同时发生的乘法公式、对立事件概率公式及互斥事件至少一个发生的加法公式计算，即可求解. 【详解】设甲、乙、丙做对这道题分别为事件A、B、C，， 由题意，，所以， 解得或； 设甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的事件为D， 则，所以甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为. 故答案为：，或，；. 14．甲、乙两人参加玩游戏活动，每轮游戏活动由甲、乙各玩一盘，已知甲每盘获胜的概率为，乙每盘获胜的概率为.在每轮游戏活动中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的概率为 . 【答案】 【分析】分别求出甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、3盘的概率，再根据相互独立事件以及互斥事件的概率公式，即可求得答案. 【详解】设分别表示甲在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、2盘的事件， 设分别表示乙在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、2盘的事件， 根据相互独立事件的概率公式可得， ， 则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的事件为， 且互斥，故 ， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．“中国人均读书本（包括网络文学和教科书），比韩国的本、法国的本、日本的本、犹太人的本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天名读书者进行调查，将他们的年龄分成段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图. (1)估计在名读书者中年龄分布在的人数； (2)求名读书者年龄的平均数和中位数； (3)若从年龄在的读书者中任取名，求这两名读书者年龄恰有人在的概率. 【答案】(1) (2)平均数为；中位数为 (3) 【分析】（1）由频率分布直方图可计算出年龄在的频率，由此可得对应的频数； （2）根据频率分布直方图估计平均数和中位数的方法直接求解即可； （3）求解出年龄在和的人数，采用列举法列举出所有基本事件和满足题意的基本事件，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】（1）由频率分布直方图得：年龄分布在的频率为， 名读书者中年龄分布在的人数为. （2）由频率分布直方图得：名读书者年龄的平均数为； ，， 中位数位于，可设中位数为，则，解得：， 即名读书者年龄的中位数为. （3）由频率分布直方图知：年龄在的有人，记为；年龄在的有人，记为； 从中任取人，则有，共种情况； 其中恰有人在的情况有，共种情况； 恰有人在的概率. 16．年级教师元旦晚会时，“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”参加一项趣味问答活动．该活动共有两个问题，如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一枝“黑玫瑰”奖品．已知在第一个问题中“玲儿姐”回答正确的概率为，“玲儿姐”和“关关姐”两人都回答错误的概率为，“关关姐”和“页楼哥”两人都回答正确的概率为；在第二个问题中“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率依次为．且所有的问答中回答正确与否相互之间没有任何影响． (1)在第一个问题中，分别求出“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率； (2)分别求出“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率，并求三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率． 【答案】(1)“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率分别为； (2)“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率分别为三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式分别求解即可； （2）综合应用独立事件的乘法公式和互斥事件的概率加法公式分别求解即可. 【详解】（1）记“玲儿姐回答正确第个问题”，“关关姐回答正确第个问题”，“页楼哥回答正确第个问题”，. 根据题意得，所以； ，所以； 故在第一个问题中，“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率分别为和. （2）由题意知， “玲儿姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为； “关关姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为； “页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为； 三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为. 所以“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率分别为；三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为. 17．某电视台举行冲关直播活动，该活动共有三关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为0.7，第二关通过率为0.5，第三关的通过率为0.3，三关全部通过可以获得一等奖（奖金为300元），通过前两关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，则奖金可以累加为500元.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动. (1)求甲最后没有得奖的概率； (2)已知甲和乙都通过了第一关，求甲和乙最后所得奖金总和为700元的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）甲没中奖分为第一关没有通过，和第一关通过且第二关没有通过两种情况，分别求得两个事件的概率再求和即可； （2）根据最后奖金总和分析得甲和乙中一人获得一等奖，一人获得二等奖，根据概率乘法和加法公式即可求解． 【详解】（1）甲第一关没通过的概率为， 第一关通过且第二关没通过的概率为， 故甲没有得奖的概率． （2）记甲和乙通过了第二关且最后获得二等奖为事件， 通过了第二关且最后获得一等奖为事件， 则，， 甲和乙最后所得奖金总和为700元， 甲和乙一人得一等奖，一人得二等奖， 若甲得了一等奖，乙得了二等奖的概率为， 若乙得了一等奖，甲得了二等奖的概率为， 甲和乙最后所得奖金总和为700元的概率． 18．已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲､乙､丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲､乙､丙三名考生材料初审合格的概率分别是，面试合格的概率分别是. (1)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率； (2)求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率； (3)求甲､乙､丙三名考生获得该高校综合评价录取资格的人数为1人或2人的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）甲､乙两位考生中有且只有一位获得录取资格，求即可. （2）只需求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的对立事件的概率即可. （3）由独立事件的乘法公式即可求解. 【详解】（1）设事件A表示“甲获得该高校综合评价录取资格”， 事件表示“乙获得该高校综合评价录取资格”， 则， 甲､乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率为： . （2）设事件表示“丙获得该高校综合评价录取资格”， 则， 三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的 对立事件是三人都没有获得该高校综合评价录取资格， 三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率为： . （3）记为甲､乙､丙三名考生中获得该高校综合评价录取资格的人数， 则甲､乙､丙三名考生获得该高校综合评价录取资格的人数为1人或2人的概率， 又，. ， 所以. 19．有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的（即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：），数据统计如下： （1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的分位数； （2）有，两个水池，两水池之间有个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过条鱼. （ⅰ）将其中汞的含量最低的条鱼分别放入水池和水池中，若这条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率； （ⅱ）将其中汞的含量最低的条鱼都先放入水池中，若这条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由水池进入水池且不再游回水池，求这两条鱼由不同小孔进入水池的概率. 【答案】（1）中位数为；众数为；极差为；估计这批鱼该项数据的百分位数约为；（2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】(1)由中位数—排序后处于中间的数，如有两个数取其平均数；众数—出现频率最高的数、极差—最大数与最小数的差；百分比位数—数据集中有n个数：当np为整数时，当np不为整数时；即可求出对应值；(2) （ⅰ）记：“两鱼最终均在水池”； ：“两鱼最终均在水池”求出概率，由它们的互斥性即可求得两条鱼最终在同一水池的概率；（ⅱ）记：“两鱼同时从第n个小孔通过”且鱼的游动独立，知，而10个事件互斥，则“两鱼同时从一个小孔通过”的概率即可求，它与“两条鱼由不同小孔通过”为互斥事件，进而求得其概率 【详解】解：（1）由题意知，数据的中位数为 数据的众数为 数据的极差为 估计这批鱼该项数据的百分位数约为 （2）（ⅰ）记“两鱼最终均在水池”为事件，则 记“两鱼最终均在水池”为事件，则 ∵事件与事件互斥， ∴两条鱼最终在同一水池的概率为 （ⅱ）记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件，“两鱼同时从第二个小孔通过”为 事件，依次类推；而两鱼的游动独立 ∴ 记“两条鱼由不同小孔进入水池”为事件，则与对立，又由事件，事件，互斥 ∴ 即 【点睛】本题考查了数据特征值的概念，以及利用条件概率公式，结合互斥事件、独立事件等概念求概率；注意独立事件：多个事件的发生互不相关，且可以同时发生；互斥事件：一个事件发生则另一个事件必不发生，即不能同时发生 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$