第三讲 长方体和正方体（讲义+强化训练）-2024-2025学年人教版五年级下册期末复习宝典
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内容正文：
第三讲 长方体和正方体 强化训练
一．选择题（共12小题）
1．一个能容纳64升油的长方体油桶，长8分米，宽2.5分米，那么它的高为
（ ）
A．32立方分米 B．32分米 C．0.32分米 D．3.2分米
2．在一张正方形纸板的四角分别剪去一个大小相同的小正方形，便可以做成一个
无盖纸盒。按下面的方法做出来的纸盒中，体积最大的是（ ）
A． B．
C． D．
3．1毫升水用滴管来滴，不可能是（ ）
A．17滴 B．19滴 C．40滴 D．21滴
4．一个长方体的底是面积为3平方米的正方形，它的侧面展开图正好也是一个正方
形，这个长方体的侧面积是（ ）平方米。
A．18 B．36 C．48 D．54
5．小玉家新年购置了一台对开门大冰箱。说明书上给出冰箱的外观尺寸为
“900mm×750mm×1800mm”。这台冰箱的容积。最有可能是（ ）升。
A．55 B．645 C．1215 D．1325
6．在一个无盖的长方体玻璃鱼缸里摆了若干个棱长为1厘米的小正方体（如图），
这个玻璃鱼缸的表面积是（ ）平方厘米。
A．126 B．111 C．96 D．无法确定
7．一个长方体水箱的容积是400L，水箱内部的底面是边长为80cm的正方形，下面
哪个算式可以计算出水箱的高是（ ）dm。
A．（80×80）÷400 B．400÷（80×80）
C．400÷80 D．400÷（8×8）
8．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，则它的体积会扩大到原来的
（ ）倍。
A．2 B．4 C．6 D．8
9．一款长方体音箱，其长为20cm,宽为10cm,高为15cm。内部扬声器和电路板部分
占据了音箱总体积的
3
5，那么，音箱内部用于放置扬声器和电路板的体积是
（ ）
A．1200cm3 B．1800cm3 C．2400cm3 D．3000cm3
10．如图，将大正方体一个顶点处的一个小正方体去掉后表面积与原来表面积比较
（ ）
A．现在表面积大 B．原来表面积大
C．一样大 D．无法确定
11．如图是一个正方体木料，把它挖掉一个长方体后，它的（ ）
A．表面积变大，体积变小 B．表面积变小，体积变小
C．表面积变大，体积不变 D．表面积变小，体积变大
12．把一个长方体木块，切掉一个角，和原长方体比较，下列说法正确的是
（ ）
A．体积不变，表面积不变 B．体积不变，表面积变小
C．体积变小，表面积变小 D．体积变小，表面积不变
二．填空题（共5小题）
13．一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来增加
了72平方厘米。原来长方体的体积是______立方厘米。
14．长方体和正方体都有 ______个面，______条棱，______个顶点，长方体
______面积相等，正方体的所有的面 ______，所有的棱都 ______。
15．一种工艺蜡烛盒高9厘米，如图，底面和四周都是玻璃。底面是边长6厘米的正
方形。制作这样的蜡烛盒至少需玻璃 ______平方分米。
16．把一根长60分米的铁丝，剪断后焊接成一个正方体框架，在框架的外面糊上彩
纸，做成一个正方体模型。这个正方体模型的表面积是 ______平方分米，体积是
______立方分米。
17．根据《淮南万毕术》的记载，早在2000多年前中国古人就掌握了夏造冰的技
术。一块棱长
1
3厘米的正方体冰块，它的表面积是 ______平方厘米，体积是 ______
立方厘米。
三．判断题（共4小题）
18．有6瓶果汁，每瓶500mL，共30升。 ______
19．长方体和正方体的体积，都等于它的底面积乘以高．______
20．用24厘米长的铁丝可以制成一个棱长为6厘米的正方体框架。 ______
21．两个长方体的体积相等，它们的表面积也一定相等。 ______
四．计算题（共1小题）
22．计算下列图形的表面积和体积。（单位：dm）
五．应用题（共5小题）
23．欢欢家要粉刷长8米、宽5米、高3米的客厅，门窗面积为14平方米。如果要粉
刷屋顶和四面墙壁，平均每平方米用涂料250克，那么至少需要多少千克涂料？
24．工厂将一块长5米，宽3米的铁皮，从四个角剪掉边长为0.5米的正方形，然后
做成盒子，如图所示，这个盒子的容积是多少升？
25．用水泵往下面的长方体蓄水池注水，每小时注入12立方米，几小时后可以注满
水池？（池壁厚度忽略不计）
26．如图，有一个长8分米、宽5分米的长方体玻璃缸，此时玻璃缸中水面的高度是
6分米。
（I）这个玻璃鱼缸中装了多少升水？
（2）向缸中放入一个按长为4分米的正方体铁块（此时水已设正方体铁块），当放
入这个铁块后，水面的高度是多少？
27．2024年炎热夏天到来之前，有一位好心人准备捐资建一座标准化的游泳池，这
个游泳池的长是50米，宽是长的35，深度为3米。
（1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？
（2）挖成这个游泳池共挖土多少立方米？
（3）在池的侧面和池底抹一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？
第三讲 长方体和正方体 强化训练
一．选择题（共12小题）
1．一个能容纳64升油的长方体油桶，长8分米，宽2.5分米，那么它的高为（ ）
A．32立方分米
B．32分米
C．0.32分米
D．3.2分米
【答案】D
【分析】先求出长方体的底面积，再用容积÷底面积，即可求得长方体油桶的高．
【解答】解：64升=64立方分米，
64÷（8×2.5）
=64÷20，
=3.2（分米）；
故选：D．
2．在一张正方形纸板的四角分别剪去一个大小相同的小正方形，便可以做成一个无盖纸盒。按下面的方法做出来的纸盒中，体积最大的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意可知：四个角各剪去边长4厘米、3厘米、2厘米、1厘米的正方形，那么折成的纸盒都是长方体，其长、宽分别为：（12-4×2）厘米、（12-3×2）厘米、（12-2×2）厘米、（12-1×2）厘米，高分别为：4厘米、3厘米、2厘米、1厘米．根据长方体的容积公式分别求出它们的容积，然后进行比较即可。
【解答】解：A：（12-4×2）×（12-4×2）×4
=4×4×4
=64（立方厘米）
B：（12-3×2）×（12-3×2）×3
=6×6×3
=108（立方厘米）
C：（12-2×2）×（12-2×2）×2
=8×8×2
=128（立方厘米）
D：（12-1×2）×（12-1×2）×1
=10×10×1
=100（立方厘米）
128＞108＞100＞64，
答：容积最大的是四个角各剪去边长2厘米折成的长方体。
故选：C。
3．1毫升水用滴管来滴，不可能是（ ）
A．17滴
B．19滴
C．40滴
D．21滴
【答案】C
【分析】1毫升水大约有20左右滴，据此界解答。
【解答】解：1毫升水用滴管来滴，不可能是40滴。
故选：C。
4．一个长方体的底是面积为3平方米的正方形，它的侧面展开图正好也是一个正方形，这个长方体的侧面积是（ ）平方米。
A．18
B．36
C．48
D．54
【答案】C
【分析】由题意知，底面正方形的周长正好是侧面展开的正方形的边长，也就是说侧面展开的正方形的边长是底面正方形边长的4倍；根据正方形的面积公式可知，这个长方体的侧面积等于底面正方形面积的（4×4）倍，据此解答。
【解答】解：3×4×4
=12×4
=48（平方米）
答：这个长方体的侧面积是48平方米。
故选：C。
5．小玉家新年购置了一台对开门大冰箱。说明书上给出冰箱的外观尺寸为“900mm×750mm×1800mm”。这台冰箱的容积。最有可能是（ ）升。
A．55
B．645
C．1215
D．1325
【答案】C
【分析】根据长方体的体积（容积）公式：V=abh,把数据代入公式解答。
【解答】解：900×750×1800
=675000×1800
=1215000000（立方毫米）
1215立方毫米=1215升
答：这台冰箱的容积是1215升。
故选：C。
6．在一个无盖的长方体玻璃鱼缸里摆了若干个棱长为1厘米的小正方体（如图），这个玻璃鱼缸的表面积是（ ）平方厘米。
A．126
B．111
C．96
D．无法确定
【答案】C
【分析】长方体玻璃鱼缸的长等于小正方体的6条棱长和，宽等于小正方体的5条棱长和，高等于小正方体的3条棱长和，无盖的长方体玻璃鱼缸只需要计算5个表面的面积和，根据[（长×高+宽×高）×2+长×宽]计算即可。
【解答】解：长方体玻璃鱼缸的长：1×6=6（厘米）
长方体玻璃鱼缸的宽：1×5=5（厘米）
长方体玻璃鱼缸的高：1×3=3（厘米）
表面积：
（6×3+5×3）×2+6×5
=（18+15）×2+6×5
=33×2+6×5
=66+30
=96 （平方厘米）
故选：C。
7．一个长方体水箱的容积是400L，水箱内部的底面是边长为80cm的正方形，下面哪个算式可以计算出水箱的高是（ ）dm。
A．（80×80）÷400
B．400÷（80×80）
C．400÷80
D．400÷（8×8）
【答案】D
【分析】利用“长方体的体积=长×宽×高”结合题中数据计算即可。
【解答】解：80厘米即8分米，
400L即400立方分米，
水箱高：400÷（8×8）=6.25（分米）
故选：D。
8．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，则它的体积会扩大到原来的（ ）倍。
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【分析】根据长方体体积的计算方法分别求出原体积，变化后的体积，进而调查答案。
【解答】解：设长方体的长为a,宽为b,高为c,则体积为abc。
将这个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，则长为2a,宽为2b,高为2c,因此体积为2a•2b•2c=8abc。
故选：D。
9．一款长方体音箱，其长为20cm,宽为10cm,高为15cm。内部扬声器和电路板部分占据了音箱总体积的，那么，音箱内部用于放置扬声器和电路板的体积是（ ）
A．1200cm3
B．1800cm3
C．2400cm3
D．3000cm3
【答案】B
【分析】根据长方体体积=长×宽×高计算出音箱的体积，再根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算即可。
【解答】解：20×10×15×
=3000×
=1800（立方厘米）
答：音箱内部用于放置扬声器和电路板的体积是1800立方厘米。
故选：B。
10．如图，将大正方体一个顶点处的一个小正方体去掉后表面积与原来表面积比较（ ）
A．现在表面积大
B．原来表面积大
C．一样大
D．无法确定
【答案】C
【分析】通过观察图形可知，大正方体的顶点处的小正方体原来外露3个面，从顶点处挖掉一个小正方体后，又外露与原来相同的3个面，所以剩下图形的表面积与原来的表面积相等。据此解答。
【解答】解：因为大正方体的顶点处的小正方体原来外露3个面，从顶点处挖掉一个小正方体后，又外露与原来相同的3个面，所以剩下图形的表面积与原来的表面积相等。
故选：C。
11．如图是一个正方体木料，把它挖掉一个长方体后，它的（ ）
A．表面积变大，体积变小
B．表面积变小，体积变小
C．表面积变大，体积不变
D．表面积变小，体积变大
【答案】A
【分析】由图可知：挖掉一个长方体后，原来正方体的表面积减少两个以2厘米为边长的正方形的面积，增加了4个以8厘米、2厘米为边长的长方形的面积，根据题意可知，把它挖掉一个长方体后体积减少了，据此计算即可解答。
【解答】解：8×8×6-2×2×2+8×2×4
=64×6-4×2+16×4
=384-8+64
=376+64
=440（平方厘米）
8×8×6
=64×6
=384（平方厘米）
384＜440，所以挖掉一个长方体后，它的表面积比原来大了。
答：它的表面积比原来大了，体积变小了。
故选：A。
12．把一个长方体木块，切掉一个角，和原长方体比较，下列说法正确的是（ ）
A．体积不变，表面积不变
B．体积不变，表面积变小
C．体积变小，表面积变小
D．体积变小，表面积不变
【答案】D
【分析】观察可知，将长方体的一角切除后，木块整体体积显然变小。但从表面积看，原来被切去的那部分同时减少了三个长方形面积，但又新增加了切口处的三个长方形面积，这减少和增加的面积恰好相等，故总表面积保持不变。据此解答。
【解答】解：由分析得：把一个长方体木块，切掉一个角，和原长方体比较，下列说法正确的是体积变小，表面积不变。
故选：D。
二．填空题（共5小题）
13．一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来增加了72平方厘米。原来长方体的体积是______立方厘米。
【答案】108。
【分析】根据题意可知，一个长方体如果高增加3厘米，就变成了一个正方体；说明长和宽相等且比高长3厘米，因此表面积增加的72平方厘米是4个同样的长方形的面积和；由此可以求长方体的底面边长，再根据长方体的体积公式：V=abh,把数据代入公式解答。
【解答】解：底面周长；72÷3=24（厘米）
长方体的底面边长：24÷4=6（厘米）
高：6-3=3（厘米）
体积：6×6×3=108（立方厘米）
答：原来长方体的体积是108立方厘米。
故答案为：108。
14．长方体和正方体都有 ______个面，______条棱，______个顶点，长方体 ______面积相等，正方体的所有的面 ______，所有的棱都 ______。
【答案】6，12，8，相对面，相等，相等。
【分析】正方体：有8个顶点，6个面，每个面面积相等（或每个面都有正方形组成）；长方体：有8个顶点，6个面，每个面都由长方形或相对的一组正方形组成。
【解答】解：长方体和正方体都有6个面，12条棱，8个顶点，长方体相对面面积相等，正方体的所有的面相等，所有的棱都相等。
故答案为：6，12，8，相对面，相等，相等。
15．一种工艺蜡烛盒高9厘米，如图，底面和四周都是玻璃。底面是边长6厘米的正方形。制作这样的蜡烛盒至少需玻璃 ______平方分米。
【答案】2.52。
【分析】计算底面玻璃的面积已知底面是边长为6厘米的正方形，根据正方形面积公式可得底面玻璃的面积为：6×6=36（平方厘米）；
根据长方形面积公式S=a×b（其中S表示长方形面积，a表示长方形的长，b表示长方形的宽），可得一个面的面积为：9×6=54（平方厘米）那么四周玻璃的总面积为：4×54=216（平方厘米）；计算制作蜡烛盒所需玻璃的总面积将底面玻璃的面积和四周玻璃的面积相加，可得：36+216=252（平方厘米）；单位换算因为1平方分米= 100平方厘米，所以将总面积252平方厘米换算为平方分米可得：252÷100=2.52（平方分米）据此即可解答。
【解答】解：6×6=36（平方厘米）
9×6=54（平方厘米）
4×54=216（平方厘米）
36+216=252（平方厘米）
252平方厘米=2.52平方分米
答：制作这样的蜡烛盒至少需玻璃2.52平方分米。
故答案为：2.52。
16．把一根长60分米的铁丝，剪断后焊接成一个正方体框架，在框架的外面糊上彩纸，做成一个正方体模型。这个正方体模型的表面积是 ______平方分米，体积是 ______立方分米。
【答案】150，125。
【分析】根据正方体的棱长总和=棱长×12，那么棱长=棱长总和÷12，据此求出正方体的棱长，再根据正方体的表面积=棱长×棱长×6，正方体的体积=棱长×棱长×棱长，把数据代入公式解答。
【解答】解：60÷12=5（分米）
5×5×6
=25×6
=150（平方分米）
5×5×5
=25×5
=125（立方分米）
答：这个正方体模型的表面积是150平方分米，体积是125立方分米。
故答案为：150，125。
17．根据《淮南万毕术》的记载，早在2000多年前中国古人就掌握了夏造冰的技术。一块棱长厘米的正方体冰块，它的表面积是 ______平方厘米，体积是 ______立方厘米。
【答案】，。
【分析】根据正方体的表面积公式：S=6a2，正方体的体积公式：V=a3，把数据代入公式解答。
【解答】解：（）2×6
=×6
=（平方厘米）
（）3=（立方厘米）
它的表面积是平方厘米，体积是立方厘米。
故答案为：，。
三．判断题（共4小题）
18．有6瓶果汁，每瓶500mL，共30升。 ______
【答案】×。
【分析】利用乘法计算，再根据1升=1000毫升进行单位换算即可。
【解答】解：6×500=3000（毫升）
3000毫升=3升
因此有6瓶果汁，每瓶500mL，共3升。原题说法错误。
故答案为：×。
19．长方体和正方体的体积，都等于它的底面积乘以高．______
【分析】根据长方体和正方体的体积公式，长方体的长×宽=长方体的底面积；正方体的棱长×棱长=正方体的底面积；由此解答．
【解答】解：长方体的体积=底面积×高，正方体的体积=底面积×高；
因此正方体和长方体的体积都可以用底面积乘以高来进行计算，原题说法是正确的．
故答案为：√．
20．用24厘米长的铁丝可以制成一个棱长为6厘米的正方体框架。 ______
【答案】×。
【分析】正方体的特征：12条棱，每条棱长度相等，据此利用24除以12即可求出一条棱长。
【解答】解：24÷12=2（厘米）
因此用24厘米长的铁丝可以制成一个棱长为2厘米的正方体框架。原题说法错误。
故答案为：×。
21．两个长方体的体积相等，它们的表面积也一定相等。 ______
【答案】×
【分析】长方体的体积V=abh,长方体的表面积S=（ab+bh+ah）×2，可以假设出长方体的体积，进而就能确定出长、宽、高的值，求出其表面积，据此判断。
【解答】解：假设长方体的体积为24立方厘米。
则长方体的长、宽、高可以为4厘米、2厘米和3厘米，
也可以为2厘米、2厘米、6厘米，
所以其表面积分别为：
（4×2+2×3+3×4）×2
=（8+6+12）×2
=26×2
=52（平方厘米）
（2×2+2×6+×6×2）×2
=（4+12+12）×2
=28×2
=56（平方厘米）
因此它们的表面积不相等；
假如两个长方体的长、宽、高都分别相等，那么它们的体积相等、表面积也相等。
所以两个长方体的体积相等，它们的表面积可能相等也可能不相等。
因此题干中的结论是错误的。
故答案为：×。
四．计算题（共1小题）
22．计算下列图形的表面积和体积。（单位：dm）
【答案】2532dm2，6688dm3；150dm2，113dm3。
【分析】（1）通过平移，表面积=完整的大长方体表面积+小长方体前后左右4个面的面积和，长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2，小长方体4个面的面积和=（长×高+宽×高）×2；体积=大长方体体积+小长方体体积，长方体体积=长×宽×高；
（2）挖去一个长方体，减少了3个面，又出现了同样的3个面，因此表面积=完整的正方体表面积，正方体表面积=棱长×棱长×6；体积=正方体体积-长方体体积，正方体体积=棱长×棱长×棱长，长方体体积=长×宽×高，据此列式计算。
【解答】解：（1）表面积：（37×16+37×10+16×10）×2+（16×6+8×6）×2
=（592+370+160）×2+（96+48）×2
=1122×2+144×2
=2244+288
=2532（dm2）
体积：37×16×10=5920（dm3）
16×8×6=768（dm3）
5920+768=6688（dm3）
答：表面积是2532dm2，体积是5920dm3。
（2）表面积：5×5×6=150（dm2）
体积：5×5×5-2×2×3
=125-12
=113（dm3）
答：表面积是150dm2，体积是113dm3。
五．应用题（共5小题）
23．欢欢家要粉刷长8米、宽5米、高3米的客厅，门窗面积为14平方米。如果要粉刷屋顶和四面墙壁，平均每平方米用涂料250克，那么至少需要多少千克涂料？
【答案】26千克。
【分析】粉刷的面积等于长8米、宽5米的长方形的面积加上2个长8米、宽3米的长方形的面积加上2个长5米、宽3米的长方形的面积减去门窗的面积，然后计算需要涂料的重量。
【解答】解：（8×5+2×8×3+2×5×3-14）×250
=（40+48+30-14）×250
=104×250
=26000（克）
26000克=26千克
答：至少需要26千克涂料。
24．工厂将一块长5米，宽3米的铁皮，从四个角剪掉边长为0.5米的正方形，然后做成盒子，如图所示，这个盒子的容积是多少升？
【答案】4000升。
【分析】通过观察图形可知，做成的盒子的长是（5-0.5×2）米，宽是（3-0.5×2）米，高是0.5米，根据长方体的容积公式：V=abh,把数据代入公式解答。
【解答】解：（5-0.5×2）×（3-0.5×2）×0.5
=4×2×0.5
=4（立方米）
4立方米=4000升
答：这个盒子的容积是4000升。
25．用水泵往下面的长方体蓄水池注水，每小时注入12立方米，几小时后可以注满水池？（池壁厚度忽略不计）
【答案】10小时。
【分析】首先根据长方体的容积公式：V=abh,把数据代入公式求出这个蓄水池的容积，然后根据“包含”除法的意义，用蓄水池的容积除以每小时注入水的体积即可。
【解答】解：8×6×2.5÷12
=48×2.5÷12
=120÷12
=10（小时）
答：10小时后可以注满水池。
26．如图，有一个长8分米、宽5分米的长方体玻璃缸，此时玻璃缸中水面的高度是6分米。
（I）这个玻璃鱼缸中装了多少升水？
（2）向缸中放入一个按长为4分米的正方体铁块（此时水已设正方体铁块），当放入这个铁块后，水面的高度是多少？
【答案】（1）240升；7.6分米。
【分析】（1）求玻璃鱼缸内有多少升水，也就是求高为6分米的长方体容积，根据长方体的体积公式：V=abh,代入数据解答即可；
（2）因为正方体铁块完全浸入水中，先求出正方体铁块的体积，用正方体铁块的体积除以玻璃缸的底面积，得出水上升的高度，再加6分米即可。
【解答】解：（1）8×5×6
=40×6
=240（立方分米）
240立方分米=240升
答：这个玻璃鱼缸中装了240升水。
（2）4×4×4÷（8×5）+6
=64÷40+6
=1.6+6
=7.6（分米）
答：水面的高度是7.6分米。
27．2024年炎热夏天到来之前，有一位好心人准备捐资建一座标准化的游泳池，这个游泳池的长是50米，宽是长的，深度为3米。
（1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？
（2）挖成这个游泳池共挖土多少立方米？
（3）在池的侧面和池底抹一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？
【答案】（1）1500平方米；
（2）4500立方米；
（3）1980平方米。
【分析】（1）首先根据求一个数的几分之几是多少，用乘法求出宽，再根据长方形的面积公式：S=ab,把数据代入公式解答。
（2）根据长方体的体积公式：V=abh,把数据代入公式解答。
（3）根据无盖长方体的表面积公式：S=ab+2ah+2bh,把数据代入公式解答。
【解答】解：（1）50×=30（米）
50×30=1500（平方米）
答：这个游泳池的占地面积是1500平方米。
（2）50×30×3
=1500×3
=4500（立方米）
答：挖成这个游泳池共挖土4500立方米。
（3）50×30+50×3×2+30×3×2
=1500+300+180
=1980（平方米）
答：抹水泥的面积是1980平方米。
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$$第三讲 长方体和正方体
考点 1 长方体的特征................................................4
考点 2 正方体的特征................................................8
考点 3 长方体和正方体的表面积 .....................................11
考点 4 体积、容积进率及单位换算 ...................................16
考点 5 长方体和正方体的体积.......................................19
考点 6 探索某些实物体积的测量方法 .................................24
1．长方体的特征
长方体的特征：
1．长方体有 6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方
形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面
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位置
考点回顾
完全相同．
2．长方体有 12 条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组
有 4条棱．
3．长方体有 8 个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，
宽，高．
4．长方体相邻的两条棱互相垂直．
2．正方体的特征
正方体的特征：
①8个顶点．
②12条棱，每条棱长度相等．
③相邻的两条棱互相垂直．
3．长方体和正方体的表面积
长方体表面积：六个面积之和．
公式：S=2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S=6a2．（a表示棱长）
4.体积、容积进率及单位换算
体积，或称容量、容积，几何学专业术语，是物件占有多少空间的量．
体积的国际单位制是立方米．
常用的单位：立方米、立方分米、立方厘米、立方毫米．
体积单位：
1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米
1立方分米=1000立方厘米，
容积单位：
1升=1000毫升
1升=1立方分米=1000立方厘米
1毫升=1立方厘米
单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大
单位要除以它们之间的进率．
5.长方体和正方体的体积
长方体体积公式：V=abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V=a3．（a表示棱长）
6.探索某些实物体积的测量方法
1．用排水法来测量不规则物体的体积．在有刻度的量杯里装上水，记下水的
体积，把不规则的物体放入杯中，记下此时的体积，求出两次体积的差，就
求出了不规则物体的体积，最后再将容积单位换算成体积单位．
2．通过测多个相同物体的体积，然后除以数量得到每个物体的体积．
长方体表面积：六个面积之和．
公式：S=2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S=6a2．（a表示棱长）
长方体体积公式：V=abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V=a3．（a表示棱长）
方法归纳
考点 1 长方体的特征
例 1（2024秋•包河区期末）王师傅用角铁焊一个长方体置物架的框架，从同一
个顶点引出了三条棱，如图。继续焊完这个框架，还需（ ）米的角铁。
A．4 B．6 C．8
【答案】B
【分析】根据长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，继续焊完这个框架，还需 3
组长宽高长度和的角铁，把数据代入公式解答即可。
【解答】解：（0.4+0.6+1）×3
=2×3
=6（米）
答：还需 6米的角铁。
故选：B。
【点评】此题主要考查长方体的特征，牢记长方体棱长总和的公式是关键。
例 2（2024秋•海安市期末）数学课上老师从下面几种长度的小棒中，选择 12根
做了一个长方体框架。做成的长方体框架棱长总和不可能是（ ）厘米。
A．148 B．140 C．120 D．100
【答案】A
【分析】根据长方体的特征，长方体的 6个面都是长方形（特殊情况有两个相对
的面是正方形），相对面的面积相等，12条棱分为互相平行的 3组，每组 4条
棱的长度相等。由此可以选择 15厘米的 4根，10厘米的 4根或 8根，5厘米的 4
典例
根，焊接一个长方体框架模型。根据长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，把数
据代入公式解答。
【解答】解：（1）选择 15厘米的 4根，10厘米的 4根，5厘米的 4根：
（15+10+5）×4
=30×4
=120（厘米）
（2）选择 15厘米的 4根，10厘米的 8根：
15×4+10×8
=60+80
=140（厘米）
（3）选择 5厘米的 4根，10厘米的 8根：
5×4+10×8
=20+80
=100（厘米）
答：做成的长方体框架棱长总和可能是 100厘米，120厘米，140厘米；即不可
能是 148厘米。
故选：A。
【点评】此题主要考查长方体的特征，以及长方体的棱长总和公式的灵活运
用，关键是如何选择 12根铁条。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
长方体的特征：
1．长方体有 6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情
况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同．
2．长方体有 12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有 4条棱．
3．长方体有 8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高．
4．长方体相邻的两条棱互相垂直．
【变式练 1】（2024秋•吴江区期末）如图，用丝带捆扎一种礼品盒，接头处长
25cm,要捆扎这种礼品盒需准备（ ）m的丝带比较合理。
A．1.85 B．1.9 C．2.15 D．4
【变式练 2】（2024秋•垦利区期末）有一个长方体，已知第一组相对的面是长 6
米，宽 3米的长方形；第二组相对的面是长 4米，宽 3米的长方形。第三组相对
的面是（ ）的长方形。
A．长 6米，宽 3米 B．长 4米，宽 3米
C．长 6米，宽 4米 D．无法判断
【变式练 3】（2024春•和平区期末）一个长方体底面是边长 4厘米的正方形，
棱长总和是 72厘米，它的高是 ______厘米。
【变式练 4】（2024春•合阳县期中）一根 84dm长的铁丝，恰好可以围成一个长
为 9dm、高为 8dm的长方体，这个长方体的宽是 ______dm。
【变式练 5】（2025春•宁乡市期中）有两个相对面是正方形的长方体，它的其
余四个面完全相同．______．（判断对错）
【变式练 6】（2024春•合阳县期中）一根 84dm长的铁丝，恰好可以围成一个长
为 9dm、高为 8dm的长方体，这个长方体的宽是 4dm。 ______（判断对错）
考点 2 正方体的特征
例 1（2025春•武安市期中）有一根长 150cm的铁丝，用这根铁丝焊接成一个正
方体框架后，还剩 6cm,这个正方体框架的棱长是（ ）cm。（接头处忽略不
计）
A．12 B．144 C．36 D．24
【答案】A
【分析】首先用这个铁丝的长度减去剩余的 6 厘米求出正方体框架的棱长总和，
典例
然后用正方体的棱长总和除以 12即可求出棱长，据此列式解答。
【解答】解：（150-6）÷12
=144÷12
=12（厘米）
答：这个正方体框架的棱长是 12厘米。
故选：A。
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征，以及正方体棱长总和公式的
灵活运用，关键是熟记公式。
例 2（2024春•邢台期末）正方体的每个面都是（ ）
A．三角形 B．长方形 C．圆 D．正方形
【答案】D
【分析】根据正方体的特征，正方体有 6个面，每个面都是正方形，据此解答即
可。
【解答】解：正方体有 6个面，每个面都是正方形。
故选：D。
【点评】本题考查了正方体的特征，结合题意分析解答即可。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
正方体的特征：
①8个顶点．
②12条棱，每条棱长度相等．
③相邻的两条棱互相垂直．
【变式练 1】（2023春•邹城市期中）用一根 100cm长的铁丝做一个棱长 7cm的
正方体框架后，还剩下（ ）cm。
A．84 B．16 C．44 D．72
【变式练 2】（2023秋•赣榆区期中）一个正方体的棱长是 4厘米，它的棱长总
和是（ ）厘米。
A．16 B．48 C．64 D．96
【变式练 3】（2024秋•隰县期中）小华用黏土球和塑料棒搭一个正方体框架（如
图），要继续搭建，还需 ______个黏土球，______根 ______cm长的塑料棒。
【变式练 4】（2023秋•厦门期末）一个正方体盒子，每个面上有 ______个直角，
整个盒子六个面一共有 ______个直角。
【变式练 5】（2025春•陕州区期中）正方体有 6个面，12条棱，所有面的面积
相等。 ______（判断对错）
【变式练 6】（2024春•翔安区期中）正方体有 6个面，24条棱，所有棱的长度
都相等。 ______（判断对错）
考点 3 长方体和正方体的表面积
例 1（2024春•沧州期中）计算如图各图形的表面积。
（1）
（2）
【答案】（1）13.5平方厘米；（2）88平方厘米。
【分析】（1）根据证方体的表面积=棱长×棱长×6代入数据计算即可；
（2）这是一个长是 6cm、宽是 4cm、高是 2cm的长方体的展开图，根据长方体的
典例
表面积公式列式计算即可。
【解答】解：（1）1.5×1.5×6
=2.25×6
=13.5（平方厘米）
答：表面积是 13.5平方厘米。
（2）（6×4+6×2+4×2）×2
=（24+12+8）×2
=44×2
=88（平方厘米）
答：表面积是 88平方厘米。
【点评】解答此题要运用正方体和长方体的表面积公式。
例 2（2024春•宁国市期中）求这个物体的表面积（单位：厘米）
【分析】由于上面的正方体和下面的长方体粘合在一起，所以上面的正方体只求
它的 4个侧面的面积，下面的长方体求它的表面积，然后合并起来，根据正方体
的表面积公式：S=6a2，长方体的表面积公式：S=（ab+ah+bh）×2，把数据分别
代入公式解答．
【解答】解：2×2×4+（12×4+12×6+4×6）×2
=4×4+（48+72+24）×2
=16+144×2
=16+288
=304（平方厘米）
答：这个物体的表面积是 304平方厘米．
【点评】此题主要考查正方体、长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公
式．
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
长方体表面积：六个面积之和．
公式：S=2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S=6a2．（a表示棱长）
【变式练 1】（2025 春•未央区期中）一个长方体木块正好能锯成两个小正方体，
如果每个小正方体的表面积是 6dm2，那么原来长方体的表面积是（ ）dm2。
A．10 B．12 C．8
【变式练 2】（2024秋•庐江县期末）如图是从 8个相同的小正方体组成的一个
大正方体中拿走一个小正方体，剩下图形的表面积和原来大正方体的表面积比较，
（ ）
A．变大了 B．变小了 C．不变
【变式练 3】（2025春•江阳区期中）一个正方体的棱长和是 24dm,表面积是
______平方分米。
【变式练 4】（2025春•安溪县期中）一个长方体，如果长减少 2cm,就变成了一
个正方体（如图），这时体积比原来减少了 40cm3。这个正方体的表面积是
______cm2。
【变式练 5】（2023春•万源市期末）求如图图形的表面积（单位：cm）。
【变式练 6】（2023秋•邵阳县期末）求如图所示图形的表面积。
考点 4 体积、容积进率及单位换算
例 1（2024秋•淮安区期末）一个水壶的容量是 2升，往里面倒入 750毫升的水
后，还能再倒入（ ）毫升水。
A．1250毫升 B．1500毫升 C．1750毫升 D．2000毫升
【答案】A
【分析】把 2升乘进率 1000化成 2000毫升，用 20000毫升减 750毫升，再根据
计算结果作出选择。
【解答】解：2升=2000毫升
2000-750=1250（毫升）
答：还能再倒入 1250毫升水。
故选：A。
【点评】此题考查了体积（容积）的单位换算、整数减法的应用。
例 2（2024秋•长春期末）7.9立方分米=（ ）升。
A．7.9 B．7900 C．0.0079 D．0.079
【答案】A
典例
【分析】常见的体积单位有立方米、立方分米、立方厘米等，常见的容积单位有
升、毫升等。其中 1立方分米=1升，1立方厘米=1毫升，据此进行选择。
【解答】解：由分析得：
7.9立方分米=7.9升
故选：A。
【点评】此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘
单位间的进率，反之，则除以进率。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米
1立方分米=1000立方厘米，
容积单位：
1升=1000毫升
1升=1立方分米=1000立方厘米
1毫升=1立方厘米
单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要
除以它们之间的进率．
【变式练 1】（2024秋•姑苏区期中）一瓶 2升的饮料平均分给 8个小朋友，每
个小朋友分到（ ）饮料。
A．25毫升 B．4升 C．250毫升 D．400毫升
【变式练 2】（2024春•成都期末）下面数据中与其它数据不相等的是（ ）
A．702400cm3 B．7024dm3 C．7.024m3 D．7024000cm3
【变式练 3】（2024秋•瑶海区期末）乐乐有一个容量是 240毫升的水杯，4个
这样的水杯能装水 ______毫升，还差 ______毫升正好是 1升。
【变式练 4】（2025春•罗湖区期中）在横线里填上合适的数。
4500dm3= ______m3
7
8
m2= ______cm2
4
5
m3= ______L
【变式练 4】（2024秋•太原期末）小卓生病咳嗽，妈妈让他每次喝 6mL的止咳
糖浆。 ______（判断对错）
【变式练 6】（2024 秋•太原期中）1 升水，如果用容量是 240 毫升的纸杯来装，
至少需要 5个纸杯。 ______（判断对错）
考点 5 长方体和正方体的体积
例 1（2025春•罗湖区期中）冯新买了一盒牙膏，包装盒长 15cm,宽是长的1
3
，高
比宽长 1cm,这个牙膏盒的体积（ ）cm3。
A．375 B．400 C．450 D．475
【答案】C
【分析】按分数乘法的意义先算出宽，再按相差关系求出高，进而按公式求出体
积得解。
【解答】解：包装盒的宽：
15 ×
1
3
= 5（cm）
包装盒的高：
5+1=6（cm）
包装盒的体积：
15×5×6
=75×6
=450（cm3）
答：这个牙膏盒的体积 450cm3。
故选：C。
典例
【点评】本题考查了长方体体积计算的实际应用问题，解答时一定要清楚：长方
体的体积=长×宽×高。
例 2（2025春•霞山区校级期中）有一块棱长是 10厘米的实心正方体铁块，要把
它熔化后做成一个实心长方体，已知实心长方体的长是 25 厘米，宽是 10 厘米，
则这个实心长方体的高是（ ）厘米。
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根据题意，把一个实心正方体铁块熔化后做成一个实心长方体，那么铁
块的体积不变；根据正方体的体积公式 V=a3，求出铁块儿的体积；
已知实心长方体的长和宽，根据长方体的高 h=V÷a÷b,代入数据计算，即可求
出长方体的高。
【解答】解：铁块的体积：
10×10×10=1000（立方厘米）
长方体的高：
1000÷25÷10
=40÷10
=4（厘米）
答：这个实心长方体的高是 4厘米。
故选：A。
【点评】本题考查的是长方体的体积公式的应用。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
长方体体积公式：V=abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V=a3．（a表示棱长）
【变式练 1】（2025春•岳阳楼区校级期中）一个鱼缸从里面量长 50cm、宽
30cm、高 40cm,最多能装水（ ）升。
A．60 B．600 C．60000
【变式练 2】（2025春•信都区期中）如果一个长方体的长变为原来的 2倍，宽
变为原来的 3倍，高变为原来的 3倍，那么体积将变为原来的（ ）倍。
A．6 B．9 C．18 D．8
【变式练 3】（2025春•成都期中）一个长方体，若高减少 5厘米就成为一个正
方体，这时表面积减少了 100平方厘米。原长方体的体积是 ______立方厘米。
【变式练 4】（2025春•石家庄期中）把一根 2米长的长方体木料沿横截面方向
平均锯成 4段，表面积增加了 192平方厘米，这根长方体木料的体积是 ______
立方厘米。
【变式练 5】（2025春•西安期中）用如图所示的五块长方形的亚克力板可以制
作一个无盖的长方体。将这个长方体装满水，再倒一部分到一个棱长为 2dm的正
方体容器中，使得两个容器中的水面同样高，这时两个容器中的水面高度是多少
分米？（容器壁厚度忽略不计）
【变式练 6】（2025春•岳阳期中）一块长方形铁皮（如图），从四个角各剪去
边长 5cm的正方形，然后焊接成一个无盖盒子。这个盒子的容积是多少升？（原
铁皮长 30cm,宽 20cm）
考点 6 探索某些实物体积的测量方法
例1（2025春•福清市期中）一个长方体容器的底面是正方形，容器中的水面高1dm,
典例
如果放入 6个体积一样的玩具球后（玩具球完全浸没在水中且水未溢出），水面
升高 3cm,要求一个玩具球的体积，只需要知道（ ）即可。
A．6个玩具球的质量 B．长方体容器的表面积
C．长方体容器的底面周长 D．长方体容器的高
【答案】C
【分析】由题意可知，6个玩具球的体积之和等于上升的水的体积，上升的水可
看成与容器同底，高是 3cm的长方体，根据长方体的体积=长×宽×高，求水的
体积还要求长与宽，又因容器的底面积是正方形，则长与宽相等，即底面正方形
的边长，根据正方形的周长=边长×4，知道正方形的周长，用周长除以 4，即可
得边长，就可求水的体积，再用水的体积除以 6即可得一个玩具球的体积。据此
解答。
【解答】解：分析可知，要求一个玩具球的体积，只需要知道长方体容器的底面
周长即可。
故选：C。
【点评】本题考查了用“排水法”测量实物体积的方法，结合长方体的体积公式
解答即可。
例 2（2025春•任城区期中）一个装有水的长方体容器，从里面量长 15cm,宽
10cm,高 18cm,将一个土豆完全浸没在水中，水面上升了 1cm（水未溢出），这个
土豆的体积是（ ）cm3。
A．15 B．150 C．180 D．2700
【答案】B
【分析】根据用“排水法”测量实物体积的方法，这个土豆的体积等于长方体容
器内水上升的体积，结合长方体的体积公式 V=abh解答即可。
【解答】解：15×10×1
=150×1
=150（立方厘米）
答：这个土豆的体积是 150立方厘米。
故选：B。
【点评】本题考查了用“排水法”测量实物体积的方法，结合长方体的体积公式
V=abh解答即可。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
1．用排水法来测量不规则物体的体积．在有刻度的量杯里装上水，记下水的体积，把
不规则的物体放入杯中，记下此时的体积，求出两次体积的差，就求出了不规则物体
的体积，最后再将容积单位换算成体积单位．
2．通过测多个相同物体的体积，然后除以数量得到每个物体的体积．
【变式练 1】（2024春•鄄城县期中）把一个石块完全浸入一个从里面量长 10厘
米，宽 5厘米，高 8厘米的长方体容器中，水面上升了 2厘米．这个小石块的体
积是（ ）
A．50 cm3 B．100cm3 C．40 cm3
【变式练 2】（2024春•上城区期末）如图中，长方体容器的底面积是 1dm2，两
个球浸没时正好水面与容器口平，分别拿出两个球，水面变化如图，那么，小球
体积是（ ）
A．0.3dm3 B．0.5dm3 C．0.8dm3 D．3dm3
【变式练 3】（2025 春•成都期中）一个棱长为 2dm 的正方体容器中装有一些水，
放入一块体积是 2.4dm3的石块后（石块完全浸没在水中，如图），水面上升了
______dm。
【变式练 4】（2025春•罗湖区期中）科学课上，妙想设计了一个测量大铁球和
小铁球的实验，实验过程如图。则大铁球的体积是______cm3，小铁球的体积是
______cm3。
【变式练 5】（2025春•凉州区校级期中）晓玉将石块放入盛有水的长方体容器
中，利用排水法求石块的体积。已知长方体容器长 2分米，宽 1.5分米，水深 1
分米。石块完全浸入水中，水深变为 1.4分米，求石块体积。
【变式练 6】（2025春•信都区期中）小文到外地旅游时捡了一块石头回来，他
想测算一下这块石头的体积。首先找来一个长方体玻璃缸，从里面量长是 22厘
米，宽是 10厘米，高是 18厘米，然后加水，水深 15厘米。再将这块石头放入
水中（完全浸没），水面上升到 15.5厘米。这块石头的体积是多少立方厘米？
第三讲 长方体和正方体 强化训练
一．选择题（共12小题）
1．一个能容纳64升油的长方体油桶，长8分米，宽2.5分米，那么它的高为（ ）
A．32立方分米
B．32分米
C．0.32分米
D．3.2分米
2．在一张正方形纸板的四角分别剪去一个大小相同的小正方形，便可以做成一个无盖纸盒。按下面的方法做出来的纸盒中，体积最大的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．1毫升水用滴管来滴，不可能是（ ）
A．17滴
B．19滴
C．40滴
D．21滴
4．一个长方体的底是面积为3平方米的正方形，它的侧面展开图正好也是一个正方形，这个长方体的侧面积是（ ）平方米。
A．18
B．36
C．48
D．54
5．小玉家新年购置了一台对开门大冰箱。说明书上给出冰箱的外观尺寸为“900mm×750mm×1800mm”。这台冰箱的容积。最有可能是（ ）升。
A．55
B．645
C．1215
D．1325
6．在一个无盖的长方体玻璃鱼缸里摆了若干个棱长为1厘米的小正方体（如图），这个玻璃鱼缸的表面积是（ ）平方厘米。
A．126
B．111
C．96
D．无法确定
7．一个长方体水箱的容积是400L，水箱内部的底面是边长为80cm的正方形，下面哪个算式可以计算出水箱的高是（ ）dm。
A．（80×80）÷400
B．400÷（80×80）
C．400÷80
D．400÷（8×8）
8．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，则它的体积会扩大到原来的（ ）倍。
A．2
B．4
C．6
D．8
9．一款长方体音箱，其长为20cm,宽为10cm,高为15cm。内部扬声器和电路板部分占据了音箱总体积的，那么，音箱内部用于放置扬声器和电路板的体积是（ ）
A．1200cm3
B．1800cm3
C．2400cm3
D．3000cm3
10．如图，将大正方体一个顶点处的一个小正方体去掉后表面积与原来表面积比较（ ）
A．现在表面积大
B．原来表面积大
C．一样大
D．无法确定
11．如图是一个正方体木料，把它挖掉一个长方体后，它的（ ）
A．表面积变大，体积变小
B．表面积变小，体积变小
C．表面积变大，体积不变
D．表面积变小，体积变大
12．把一个长方体木块，切掉一个角，和原长方体比较，下列说法正确的是（ ）
A．体积不变，表面积不变
B．体积不变，表面积变小
C．体积变小，表面积变小
D．体积变小，表面积不变
二．填空题（共5小题）
13．一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来增加了72平方厘米。原来长方体的体积是______立方厘米。
14．长方体和正方体都有 ______个面，______条棱，______个顶点，长方体 ______面积相等，正方体的所有的面 ______，所有的棱都 ______。
15．一种工艺蜡烛盒高9厘米，如图，底面和四周都是玻璃。底面是边长6厘米的正方形。制作这样的蜡烛盒至少需玻璃 ______平方分米。
16．把一根长60分米的铁丝，剪断后焊接成一个正方体框架，在框架的外面糊上彩纸，做成一个正方体模型。这个正方体模型的表面积是 ______平方分米，体积是 ______立方分米。
17．根据《淮南万毕术》的记载，早在2000多年前中国古人就掌握了夏造冰的技术。一块棱长厘米的正方体冰块，它的表面积是 ______平方厘米，体积是 ______立方厘米。
三．判断题（共4小题）
18．有6瓶果汁，每瓶500mL，共30升。 ______
19．长方体和正方体的体积，都等于它的底面积乘以高．______
20．用24厘米长的铁丝可以制成一个棱长为6厘米的正方体框架。 ______
21．两个长方体的体积相等，它们的表面积也一定相等。 ______
四．计算题（共1小题）
22．计算下列图形的表面积和体积。（单位：dm）
五．应用题（共5小题）
23．欢欢家要粉刷长8米、宽5米、高3米的客厅，门窗面积为14平方米。如果要粉刷屋顶和四面墙壁，平均每平方米用涂料250克，那么至少需要多少千克涂料？
24．工厂将一块长5米，宽3米的铁皮，从四个角剪掉边长为0.5米的正方形，然后做成盒子，如图所示，这个盒子的容积是多少升？
25．用水泵往下面的长方体蓄水池注水，每小时注入12立方米，几小时后可以注满水池？（池壁厚度忽略不计）
26．如图，有一个长8分米、宽5分米的长方体玻璃缸，此时玻璃缸中水面的高度是6分米。
（I）这个玻璃鱼缸中装了多少升水？
（2）向缸中放入一个按长为4分米的正方体铁块（此时水已设正方体铁块），当放入这个铁块后，水面的高度是多少？
27．2024年炎热夏天到来之前，有一位好心人准备捐资建一座标准化的游泳池，这个游泳池的长是50米，宽是长的，深度为3米。
（1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？
（2）挖成这个游泳池共挖土多少立方米？
（3）在池的侧面和池底抹一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？
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第三讲 长方体和正方体
考点1 长方体的特征 4
考点2 正方体的特征 8
考点3 长方体和正方体的表面积 11
考点4 体积、容积进率及单位换算 16
考点5 长方体和正方体的体积 19
考点6 探索某些实物体积的测量方法 24
考点回顾
1．长方体的特征
长方体的特征：
1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同．
2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱．
3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高．
4．长方体相邻的两条棱互相垂直．
2．正方体的特征
正方体的特征：
①8个顶点．
②12条棱，每条棱长度相等．
③相邻的两条棱互相垂直．
3．长方体和正方体的表面积
长方体表面积：六个面积之和．
公式：S=2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S=6a2．（a表示棱长）
4.体积、容积进率及单位换算
体积，或称容量、容积，几何学专业术语，是物件占有多少空间的量．
体积的国际单位制是立方米．
常用的单位：立方米、立方分米、立方厘米、立方毫米．
体积单位：
1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米
1立方分米=1000立方厘米，
容积单位：
1升=1000毫升
1升=1立方分米=1000立方厘米
1毫升=1立方厘米
单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．
5.长方体和正方体的体积
长方体体积公式：V=abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V=a3．（a表示棱长）
6.探索某些实物体积的测量方法
1．用排水法来测量不规则物体的体积．在有刻度的量杯里装上水，记下水的体积，把不规则的物体放入杯中，记下此时的体积，求出两次体积的差，就求出了不规则物体的体积，最后再将容积单位换算成体积单位．
2．通过测多个相同物体的体积，然后除以数量得到每个物体的体积．
方法归纳
长方体表面积：六个面积之和．
公式：S=2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S=6a2．（a表示棱长）
长方体体积公式：V=abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V=a3．（a表示棱长）
考点1 长方体的特征
典例
例1（2024秋•包河区期末）王师傅用角铁焊一个长方体置物架的框架，从同一个顶点引出了三条棱，如图。继续焊完这个框架，还需（ ）米的角铁。
A．4
B．6
C．8
【答案】B
【分析】根据长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，继续焊完这个框架，还需3组长宽高长度和的角铁，把数据代入公式解答即可。
【解答】解：（0.4+0.6+1）×3
=2×3
=6（米）
答：还需6米的角铁。
故选：B。
【点评】此题主要考查长方体的特征，牢记长方体棱长总和的公式是关键。
例2（2024秋•海安市期末）数学课上老师从下面几种长度的小棒中，选择12根做了一个长方体框架。做成的长方体框架棱长总和不可能是（ ）厘米。
A．148
B．140
C．120
D．100
【答案】A
【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等，12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等。由此可以选择15厘米的4根，10厘米的4根或8根，5厘米的4根，焊接一个长方体框架模型。根据长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，把数据代入公式解答。
【解答】解：（1）选择15厘米的4根，10厘米的4根，5厘米的4根：
（15+10+5）×4
=30×4
=120（厘米）
（2）选择15厘米的4根，10厘米的8根：
15×4+10×8
=60+80
=140（厘米）
（3）选择5厘米的4根，10厘米的8根：
5×4+10×8
=20+80
=100（厘米）
答：做成的长方体框架棱长总和可能是100厘米，120厘米，140厘米；即不可能是148厘米。
故选：A。
【点评】此题主要考查长方体的特征，以及长方体的棱长总和公式的灵活运用，关键是如何选择12根铁条。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
长方体的特征：
1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同．
2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱．
3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高．
4．长方体相邻的两条棱互相垂直．
【变式练1】（2024秋•吴江区期末）如图，用丝带捆扎一种礼品盒，接头处长25cm,要捆扎这种礼品盒需准备（ ）m的丝带比较合理。
A．1.85
B．1.9
C．2.15
D．4
【答案】C
【分析】由图形可知：丝带的长度等于长方体的两条长+两条宽+4条高，然后再加上打结用的25厘米就是所需要的长度，列式解答即可。
【解答】解：30×2+25×2+20×4+25
=60+50+80+25
=215（厘米）
215厘米=2.15米
答：要捆扎这种礼品盒需准备2.15m的丝带比较合理。
故选：C。
【变式练2】（2024秋•垦利区期末）有一个长方体，已知第一组相对的面是长6米，宽3米的长方形；第二组相对的面是长4米，宽3米的长方形。第三组相对的面是（ ）的长方形。
A．长6米，宽3米
B．长4米，宽3米
C．长6米，宽4米
D．无法判断
【答案】C
【分析】读题可知：如果把长6米，宽3米的长方形看作长方体的下底面，长4米，宽3米的长方形看作长方体的右侧面，那么它朝前的侧面的长与下底面的长相等，宽与右侧面的长相等，据此作答。
【解答】解：如图。
故选：C。
【变式练3】（2024春•和平区期末）一个长方体底面是边长4厘米的正方形，棱长总和是72厘米，它的高是 ______厘米。
【答案】10。
【分析】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等，长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，已知棱长总和是52厘米，用棱长总和÷4求得长、宽、高的和，用长、宽、高的和减去长和宽就是它的高，由此列式解答。
【解答】解：72÷4-4-4
=18-8
=10（厘米）
答：它的高是10厘米。
故答案为：10。
【变式练4】（2024春•合阳县期中）一根84dm长的铁丝，恰好可以围成一个长为9dm、高为8dm的长方体，这个长方体的宽是 ______dm。
【答案】4。
【分析】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等．长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，已知用一根84dm长的铁丝，恰好可以围成一个长是9dm,高是8dm的长方体，也就是棱长总和是84分米，宽=棱长总和÷4-（长+高），由此列式解答。
【解答】解：84÷4-（9+8）
=21-17
=4（dm）
答：这个长方体的宽是4dm。
故答案为：4。
【变式练5】（2025春•宁乡市期中）有两个相对面是正方形的长方体，它的其余四个面完全相同．______．（判断对错）
【答案】见试题解答内容
【分析】假设是上、下两个面都是正方形的长方体，即长方体的长和宽相等，其它四个面的面积都等于正方形的边长×高，因为正方形的边长都相等，长方体的高不变，所以它的其余四个面完全相同，面积相等．
【解答】解：由分析知：有两个相对面是正方形的长方体，它的其余四个面完全相同，面积相等；
故答案为：√．
【变式练6】（2024春•合阳县期中）一根84dm长的铁丝，恰好可以围成一个长为9dm、高为8dm的长方体，这个长方体的宽是4dm。 ______（判断对错）
【答案】√。
【分析】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等．长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，已知用一根84dm长的铁丝，恰好可以围成一个长是9dm,高是8dm的长方体，也就是棱长总和是84分米，宽=棱长总和÷4-（长+高），由此列式解答。
【解答】解：84÷4-（9+8）
=21-17
=4（dm）
这个长方体的宽是4dm,所以原题说法正确。
故答案为：√。
考点2 正方体的特征
典例
例1（2025春•武安市期中）有一根长150cm的铁丝，用这根铁丝焊接成一个正方体框架后，还剩6cm,这个正方体框架的棱长是（ ）cm。（接头处忽略不计）
A．12
B．144
C．36
D．24
【答案】A
【分析】首先用这个铁丝的长度减去剩余的6厘米求出正方体框架的棱长总和，然后用正方体的棱长总和除以12即可求出棱长，据此列式解答。
【解答】解：（150-6）÷12
=144÷12
=12（厘米）
答：这个正方体框架的棱长是12厘米。
故选：A。
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征，以及正方体棱长总和公式的灵活运用，关键是熟记公式。
例2（2024春•邢台期末）正方体的每个面都是（ ）
A．三角形
B．长方形
C．圆
D．正方形
【答案】D
【分析】根据正方体的特征，正方体有6个面，每个面都是正方形，据此解答即可。
【解答】解：正方体有6个面，每个面都是正方形。
故选：D。
【点评】本题考查了正方体的特征，结合题意分析解答即可。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
正方体的特征：
①8个顶点．
②12条棱，每条棱长度相等．
③相邻的两条棱互相垂直．
【变式练1】（2023春•邹城市期中）用一根100cm长的铁丝做一个棱长7cm的正方体框架后，还剩下（ ）cm。
A．84
B．16
C．44
D．72
【答案】B
【分析】先根据正方体的棱长总和=棱长×12，代入相应数值计算出该正方体的棱长总和，再用铁丝的总长减去正方体的棱长总和，所得差即为还剩下的铁丝长度。
【解答】解：100-7×12
=100-84
=16（cm）
因此还剩下16cm。
故选：B。
【变式练2】（2023秋•赣榆区期中）一个正方体的棱长是4厘米，它的棱长总和是（ ）厘米。
A．16
B．48
C．64
D．96
【答案】B
【分析】根据正方体的棱的特征，它的12条棱的长度都相等，正方体的棱长总和=棱长×12；由此解答。
【解答】解：4×12=48（厘米）
答：它的棱长总和是48厘米。
故选：B。
【变式练3】（2024秋•隰县期中）小华用黏土球和塑料棒搭一个正方体框架（如图），要继续搭建，还需 ______个黏土球，______根 ______cm长的塑料棒。
【答案】4；7；4。
【分析】根据正方体的特征：正方体有8个顶点、12条棱。据此解答。
【解答】解：8-4=4（个）
12-5=7（根）
答：要继续搭建，还需4个黏土球，7根4cm长的塑料棒。
故答案为：4；7；4。
【变式练4】（2023秋•厦门期末）一个正方体盒子，每个面上有 ______个直角，整个盒子六个面一共有 ______个直角。
【答案】4，24。
【分析】一个正方体有6个面，每个面上有4个直角，一共有多少个直角，就用面的数量乘每个面上的直角的个数即可。
【解答】解：一个正方体盒子，每个面上有4个直角，整个盒子六个面一共有24个直角。
故答案为：4，24。
【变式练5】（2025春•陕州区期中）正方体有6个面，12条棱，所有面的面积相等。 ______（判断对错）
【答案】√。
【分析】根据正方体的特征解答即可。
【解答】解：正方体有6个面，12条棱，所有面的面积相等，原题说法正确。
故答案为：√。
【变式练6】（2024春•翔安区期中）正方体有6个面，24条棱，所有棱的长度都相等。 ______（判断对错）
【答案】×。
【分析】根据正方体的特征可知，正方体有6个面，12条棱，6个面完全相同，12条棱长度都相等，据此判断即可。
【解答】解：正方体有6个面，12条棱，所有棱的长度都相等。所以原说法错误。
故答案为：×。
考点3 长方体和正方体的表面积
例1（2024春•沧州期中）计算如图各图形的表面积。
（1）
（2）典例
【答案】（1）13.5平方厘米；（2）88平方厘米。
【分析】（1）根据证方体的表面积=棱长×棱长×6代入数据计算即可；
（2）这是一个长是6cm、宽是4cm、高是2cm的长方体的展开图，根据长方体的表面积公式列式计算即可。
【解答】解：（1）1.5×1.5×6
=2.25×6
=13.5（平方厘米）
答：表面积是13.5平方厘米。
（2）（6×4+6×2+4×2）×2
=（24+12+8）×2
=44×2
=88（平方厘米）
答：表面积是88平方厘米。
【点评】解答此题要运用正方体和长方体的表面积公式。
例2（2024春•宁国市期中）求这个物体的表面积（单位：厘米）
【分析】由于上面的正方体和下面的长方体粘合在一起，所以上面的正方体只求它的4个侧面的面积，下面的长方体求它的表面积，然后合并起来，根据正方体的表面积公式：S=6a2，长方体的表面积公式：S=（ab+ah+bh）×2，把数据分别代入公式解答．
【解答】解：2×2×4+（12×4+12×6+4×6）×2
=4×4+（48+72+24）×2
=16+144×2
=16+288
=304（平方厘米）
答：这个物体的表面积是304平方厘米．
【点评】此题主要考查正方体、长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
长方体表面积：六个面积之和．
公式：S=2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S=6a2．（a表示棱长）
【变式练1】（2025春•未央区期中）一个长方体木块正好能锯成两个小正方体，如果每个小正方体的表面积是6dm2，那么原来长方体的表面积是（ ）dm2。
A．10
B．12
C．8
【答案】A
【分析】一个长方体木块锯成两个小正方体，表面积就增加了小正方体2个面的面积，用两个小正方体的表面积之和减去小正方体2个面的面积就是原来长方体的表面积。
【解答】解：6÷6×2
=1×2
=2（平方分米）
6×2-2
=12-2
=10（平方分米）
答：原来长方体的表面积是10平方分米。
故选：A。
【变式练2】（2024秋•庐江县期末）如图是从8个相同的小正方体组成的一个大正方体中拿走一个小正方体，剩下图形的表面积和原来大正方体的表面积比较，（ ）
A．变大了
B．变小了
C．不变
【答案】C
【分析】看图可知，拿走一个小正方体，就减少了三个面，同时又增加了三个面，则图形的表面积没有变。
【解答】解：因为拿走一个小正方体，就等于减少了三个面，同时又增加了三个面，所以说图形的表面积和拼成的大正方体的表面积相比没有变。
故选：C。
【变式练3】（2025春•江阳区期中）一个正方体的棱长和是24dm,表面积是 ______平方分米。
【答案】24。
【分析】正方体有12条棱且每条棱长度相等，可先根据棱长总和求出棱长，再根据正方体表面积公式求出表面积。
【解答】解：棱长为24÷12=2（分米）
表面积为2×2×6=24（平方分米）
答：表面积是24平方分米。
故答案为：24。
【变式练4】（2025春•安溪县期中）一个长方体，如果长减少2cm,就变成了一个正方体（如图），这时体积比原来减少了40cm3。这个正方体的表面积是 ______cm2。
【答案】120。
【分析】长方体长减少2cm后变为正方体，说明原长方体的宽和高相等，设为a,则原长方体的长为a+2。原长方体体积减去正方体体积等于40cm3，据此建立体积差方程，即（a+2）a2-a3=40。通过解方程得到a的值，进而计算正方体的表面积。根据“正方体表面积公式S=6a2”即可解答。
【解答】解：设正方体的棱长为a,则原长方体的长为a+2，原长方体体积为（a+2）a2，正方体体积为a3。
根据题意，体积减少40cm3，可得方程：
（a+2）a2-a3=40
解得：a2=20
所以正方体表面积为：6a2=6×20=120
答：正方体的表面积是120cm2。
故答案为：120。
【变式练5】（2023春•万源市期末）求如图图形的表面积（单位：cm）。
【答案】142平方厘米。
【分析】根据长方体的表面积公式：S=（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答。
【解答】解：（3×5+3×7+5×7）×2
=（15+21+35）×2
=71×2
=142（平方厘米）
答：这个长方体的表面积是142平方厘米。
【变式练6】（2023秋•邵阳县期末）求如图所示图形的表面积。
【答案】1266cm2。
【分析】长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2，正方体表面积=棱长×棱长×6。由于题中正方体和长方体相接，那么组合体的表面积比长方体和正方体的表面积之和少两个正方体面的面积，即只需要求正方体四个面的面积。据此解题。
【解答】（25×15+25×4+15×4）×2+7×7×4
=（375+100+60）×2+196
=535×2+196
=1070+196
=1266（cm2）
答：该图形的表面积为1266cm2。
考点4 体积、容积进率及单位换算
典例
例1（2024秋•淮安区期末）一个水壶的容量是2升，往里面倒入750毫升的水后，还能再倒入（ ）毫升水。
A．1250毫升
B．1500毫升
C．1750毫升
D．2000毫升
【答案】A
【分析】把2升乘进率1000化成2000毫升，用20000毫升减750毫升，再根据计算结果作出选择。
【解答】解：2升=2000毫升
2000-750=1250（毫升）
答：还能再倒入1250毫升水。
故选：A。
【点评】此题考查了体积（容积）的单位换算、整数减法的应用。
例2（2024秋•长春期末）7.9立方分米=（ ）升。
A．7.9
B．7900
C．0.0079
D．0.079
【答案】A
【分析】常见的体积单位有立方米、立方分米、立方厘米等，常见的容积单位有升、毫升等。其中1立方分米=1升，1立方厘米=1毫升，据此进行选择。
【解答】解：由分析得：
7.9立方分米=7.9升
故选：A。
【点评】此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率，反之，则除以进率。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米
1立方分米=1000立方厘米，
容积单位：
1升=1000毫升
1升=1立方分米=1000立方厘米
1毫升=1立方厘米
单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．
【变式练1】（2024秋•姑苏区期中）一瓶2升的饮料平均分给8个小朋友，每个小朋友分到（ ）饮料。
A．25毫升
B．4升
C．250毫升
D．400毫升
【答案】C
【分析】根据1升=1000毫升，结合题意一瓶2升的饮料平均分给8个小朋友，每个小朋友分到2000÷8=250（毫升）饮料，据此解答即可。
【解答】解：2升=2000毫升，
2000÷8=250（毫升）
答：每个小朋友分到250毫升饮料。
故选：C。
【变式练2】（2024春•成都期末）下面数据中与其它数据不相等的是（ ）
A．702400cm3
B．7024dm3
C．7.024m3
D．7024000cm3
【答案】A
【分析】根据1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米进行分析。
【解答】解：7.024立方米=7024立方分米=7024000立方厘米
故选：A。
【变式练3】（2024秋•瑶海区期末）乐乐有一个容量是240毫升的水杯，4个这样的水杯能装水 ______毫升，还差 ______毫升正好是1升。
【答案】960，40。
【分析】乐乐有一个容量是240毫升的水杯，4个这样的水杯能装水多少毫升，就是求4个200毫升是多少毫升，用200毫升乘4；求还差多少毫升是1升，把1升化成1000毫升，再用1000毫升减4杯水的毫升数。
【解答】解：240×4=960（毫升）
1升-960毫升
=1000毫升-960毫升
=40毫升
答：4个这样的水杯能装水960毫升，还差40毫升正好是1升。
故答案为：960，40。
【变式练4】（2025春•罗湖区期中）在横线里填上合适的数。
4500dm3= ______m3
= ______cm2
= ______L
【答案】4.5，8750，800。
【分析】低级单位立方分米化高级单位立方米除以进率1000。
高级单位平方米化低级单位平方厘米乘进率10000。
高级单位立方米化低级单位立升乘进率1000。
【解答】解：4500dm3=4.5m3
=8750cm2
=800L
故答案为：4.5，8750，800。
【变式练4】（2024秋•太原期末）小卓生病咳嗽，妈妈让他每次喝6mL的止咳糖浆。 ______（判断对错）
【答案】√。
【分析】根据容积单位的认识。再结合生活实际进行判断。
【解答】解：儿童每次可以服用5～10毫升，小卓生病咳嗽，妈妈让他每次喝6毫升的止咳糖浆。这个用量是正确的。
故答案为：√。
【变式练6】（2024秋•太原期中）1升水，如果用容量是240毫升的纸杯来装，至少需要5个纸杯。 ______（判断对错）
【答案】√。
【分析】1升=1000毫升，先统一单位，再利用除法计算。
【解答】解：1升=1000毫升
1000÷240≈5（个）
因此1升水，如果用容量是240毫升的纸杯来装，至少需要5个纸杯。说法正确。
故答案为：√。
考点5 长方体和正方体的体积
典例
例1（2025春•罗湖区期中）冯新买了一盒牙膏，包装盒长15cm,宽是长的，高比宽长1cm,这个牙膏盒的体积（ ）cm3。
A．375
B．400
C．450
D．475
【答案】C
【分析】按分数乘法的意义先算出宽，再按相差关系求出高，进而按公式求出体积得解。
【解答】解：包装盒的宽：
（cm）
包装盒的高：
5+1=6（cm）
包装盒的体积：
15×5×6
=75×6
=450（cm3）
答：这个牙膏盒的体积450cm3。
故选：C。
【点评】本题考查了长方体体积计算的实际应用问题，解答时一定要清楚：长方体的体积=长×宽×高。
例2（2025春•霞山区校级期中）有一块棱长是10厘米的实心正方体铁块，要把它熔化后做成一个实心长方体，已知实心长方体的长是25厘米，宽是10厘米，则这个实心长方体的高是（ ）厘米。
A．4
B．6
C．7
D．8
【答案】A
【分析】根据题意，把一个实心正方体铁块熔化后做成一个实心长方体，那么铁块的体积不变；根据正方体的体积公式V=a3，求出铁块儿的体积；
已知实心长方体的长和宽，根据长方体的高h=V÷a÷b,代入数据计算，即可求出长方体的高。
【解答】解：铁块的体积：
10×10×10=1000（立方厘米）
长方体的高：
1000÷25÷10
=40÷10
=4（厘米）
答：这个实心长方体的高是4厘米。
故选：A。
【点评】本题考查的是长方体的体积公式的应用。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
长方体体积公式：V=abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V=a3．（a表示棱长）
【变式练1】（2025春•岳阳楼区校级期中）一个鱼缸从里面量长50cm、宽30cm、高40cm,最多能装水（ ）升。
A．60
B．600
C．60000
【答案】A
【分析】根据长方体的体积（容积）公式：V=abh,把数据代入公式解答。
【解答】解：50×30×40
=1500×40
=60000（立方厘米）
60000立方厘米=60升
答：最多能装水60升。
故选：A。
【变式练2】（2025春•信都区期中）如果一个长方体的长变为原来的2倍，宽变为原来的3倍，高变为原来的3倍，那么体积将变为原来的（ ）倍。
A．6
B．9
C．18
D．8
【答案】C
【分析】根据长方体的体积公式：V=abh,再根据因数与积的变化规律，积扩大到原来的倍数等于因数扩大到原来倍数的乘积。据此解答即可。
【解答】解：2×3×3=18
答：体积将变为原来的18倍。
故选：C。
【变式练3】（2025春•成都期中）一个长方体，若高减少5厘米就成为一个正方体，这时表面积减少了100平方厘米。原长方体的体积是 ______立方厘米。
【答案】250。
【分析】根据题意，长方体的高减少5厘米后，表面积减少100平方厘米，变成一个正方体，说明原来长方体的长、宽相等；减少的表面积是4个完全一样的长方形的面积，长方形的宽是5厘米，长是原来长方体的长或宽，用减少的表面积除以4，求出一个长方形的面积，再除以5，即可求出原来长方体的长、宽；再用长方体的长或宽加上5厘米，即是原来长方体的高；最后根据长方体的体积=长×宽×高，求出原来长方体的体积。
【解答】解：原来长方体的长、宽：
100÷4÷5
=25÷5
=5（厘米）
原来长方体的高：
5+5=10（厘米）
原来长方体的体积：
5×5×10=250（立方厘米）
答：原来的长方体的体积是250立方厘米。
故答案为：250。
【变式练4】（2025春•石家庄期中）把一根2米长的长方体木料沿横截面方向平均锯成4段，表面积增加了192平方厘米，这根长方体木料的体积是 ______立方厘米。
【答案】6400。
【分析】根据题意，沿与横截面平行的方向锯成4段，那么增加了6个底面，用增加的面积192平方厘米除以6求出一个底面积，再根据长方体的体积公式：V=Sh,把数据代入公式解答。
【解答】解：2米=200厘米
192÷6×200
=32×200
=6400（立方厘米）
答：这根长方体木料的体积是6400立方厘米。
故答案为：6400。
【变式练5】（2025春•西安期中）用如图所示的五块长方形的亚克力板可以制作一个无盖的长方体。将这个长方体装满水，再倒一部分到一个棱长为2dm的正方体容器中，使得两个容器中的水面同样高，这时两个容器中的水面高度是多少分米？（容器壁厚度忽略不计）
【答案】0.6分米。
【分析】由图可知：制成的无盖的长方体长为3分米，宽为2分米，高为1分米，据此求出这个长方体的容积，也就求出了水的体积；长方体和正方体内水面同样高，用水的体积除以长方体和正方体的底面积之和，即可求出两个容器中的水面高度，据此解答。
【解答】解：3×2×1÷（3×2+2×2）
=6÷10
=0.6（分米）
答：这时两个容器中的水面高度是0.6分米。
【变式练6】（2025春•岳阳期中）一块长方形铁皮（如图），从四个角各剪去边长5cm的正方形，然后焊接成一个无盖盒子。这个盒子的容积是多少升？（原铁皮长30cm,宽20cm）
【答案】1升。
【分析】这个长方体的长是（30-5×2）厘米，宽是（20-5×2）厘米，高是5厘米，利用长方体的体积公式计算即可。
【解答】解：（30-5×2）×（20-5×2）×5
=20×10×5
=1000（立方厘米）
1000立方厘米=1升
答：这个盒子的容积是1升。
考点6 探索某些实物体积的测量方法
典例
例1（2025春•福清市期中）一个长方体容器的底面是正方形，容器中的水面高1dm,如果放入6个体积一样的玩具球后（玩具球完全浸没在水中且水未溢出），水面升高3cm,要求一个玩具球的体积，只需要知道（ ）即可。
A．6个玩具球的质量
B．长方体容器的表面积
C．长方体容器的底面周长
D．长方体容器的高
【答案】C
【分析】由题意可知，6个玩具球的体积之和等于上升的水的体积，上升的水可看成与容器同底，高是3cm的长方体，根据长方体的体积=长×宽×高，求水的体积还要求长与宽，又因容器的底面积是正方形，则长与宽相等，即底面正方形的边长，根据正方形的周长=边长×4，知道正方形的周长，用周长除以4，即可得边长，就可求水的体积，再用水的体积除以6即可得一个玩具球的体积。据此解答。
【解答】解：分析可知，要求一个玩具球的体积，只需要知道长方体容器的底面周长即可。
故选：C。
【点评】本题考查了用“排水法”测量实物体积的方法，结合长方体的体积公式解答即可。
例2（2025春•任城区期中）一个装有水的长方体容器，从里面量长15cm,宽10cm,高18cm,将一个土豆完全浸没在水中，水面上升了1cm（水未溢出），这个土豆的体积是（ ）cm3。
A．15
B．150
C．180
D．2700
【答案】B
【分析】根据用“排水法”测量实物体积的方法，这个土豆的体积等于长方体容器内水上升的体积，结合长方体的体积公式V=abh解答即可。
【解答】解：15×10×1
=150×1
=150（立方厘米）
答：这个土豆的体积是150立方厘米。
故选：B。
【点评】本题考查了用“排水法”测量实物体积的方法，结合长方体的体积公式V=abh解答即可。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
1．用排水法来测量不规则物体的体积．在有刻度的量杯里装上水，记下水的体积，把不规则的物体放入杯中，记下此时的体积，求出两次体积的差，就求出了不规则物体的体积，最后再将容积单位换算成体积单位．
2．通过测多个相同物体的体积，然后除以数量得到每个物体的体积．
【变式练1】（2024春•鄄城县期中）把一个石块完全浸入一个从里面量长10厘米，宽5厘米，高8厘米的长方体容器中，水面上升了2厘米．这个小石块的体积是（ ）
A．50 cm3
B．100cm3
C．40 cm3
【答案】B
【分析】由题意可知：这个石块的体积就等于上升部分的水的体积，利用长方体的体积V=abh,代入数据即可求出这个石块的体积．
【解答】解：10×5×2
=50×2
=100（立方厘米）
答：这个石块的体积是100立方厘米．
故选：B．
【变式练2】（2024春•上城区期末）如图中，长方体容器的底面积是1dm2，两个球浸没时正好水面与容器口平，分别拿出两个球，水面变化如图，那么，小球体积是（ ）
A．0.3dm3
B．0.5dm3
C．0.8dm3
D．3dm3
【答案】A
【分析】通过观察图形可知，拿出大球后水面下降5厘米，再拿出小球后水面下降了（8-5）厘米，根据长方体的体积=底面积×高，把数据代入公式解答。
【解答】解：8-5=3（厘米）
3厘米=0.3分米
1×0.3=0.3（立方分米）
答：小球的体积是0.3立方分米。
故选：A。
【变式练3】（2025春•成都期中）一个棱长为2dm的正方体容器中装有一些水，放入一块体积是2.4dm3的石块后（石块完全浸没在水中，如图），水面上升了 ______dm。
【答案】0.6。
【分析】根据用“排水法”测量实物体积的方法，水上升的体积等于石块的体积，结合长方体的体积公式V=abh解答即可。
【解答】解：2.4÷（2×2）
=2.4÷4
=0.6（分米）
答：水面上升了0.6分米。
故答案为：0.6。
【变式练4】（2025春•罗湖区期中）科学课上，妙想设计了一个测量大铁球和小铁球的实验，实验过程如图。则大铁球的体积是______cm3，小铁球的体积是______cm3。
【答案】8；1。
【分析】1个大铁球体积+1个小铁球体积=9立方厘米，1个大铁球体积+3个小铁球体积=11立方厘米；据此按差倍关系算出每个小铁球的体积，进而算出每个大铁球体积。
【解答】解：每个小铁球体积（大铁球抵消）：
（11-9）÷（3-1）
=2÷2
=l（立方厘米）
每个大铁球的体积：
9-1=8（立方厘米）
答：大铁球的体积是8立方厘米，小铁球的体积是1立方厘米。
故答案为：8；1。
【变式练5】（2025春•凉州区校级期中）晓玉将石块放入盛有水的长方体容器中，利用排水法求石块的体积。已知长方体容器长2分米，宽1.5分米，水深1分米。石块完全浸入水中，水深变为1.4分米，求石块体积。
【答案】1.2立方分米。
【分析】根据不规则物体体积的测量方法，把这块石头放入有水的长方体容器内，上升部分水的体积就等于这块石头的体积，根据长方体的体积公式：V=abh,把数据代入公式解答。
【解答】解：2×1.5×（1.4-1）
=3×0.4
=1.2（立方分米）
答：石块的体积是1.2立方分米。
【变式练6】（2025春•信都区期中）小文到外地旅游时捡了一块石头回来，他想测算一下这块石头的体积。首先找来一个长方体玻璃缸，从里面量长是22厘米，宽是10厘米，高是18厘米，然后加水，水深15厘米。再将这块石头放入水中（完全浸没），水面上升到15.5厘米。这块石头的体积是多少立方厘米？
【答案】110立方厘米。
【分析】根据不规则物体体积的测量方法，把这块石头放入有水的长方体玻璃缸内，上升部分水的体积就等于这块石头的体积，根据长方体的体积公式：V=abh,把数据代入公式解答。
【解答】解：22×10×（15.5-15）
=220×0.5
=110（立方厘米）
答：这块石头的体积是110立方厘米。
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第三讲 长方体和正方体
考点1 长方体的特征 4
考点2 正方体的特征 8
考点3 长方体和正方体的表面积 11
考点4 体积、容积进率及单位换算 16
考点5 长方体和正方体的体积 19
考点6 探索某些实物体积的测量方法 24
考点回顾
1．长方体的特征
长方体的特征：
1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同．
2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱．
3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高．
4．长方体相邻的两条棱互相垂直．
2．正方体的特征
正方体的特征：
①8个顶点．
②12条棱，每条棱长度相等．
③相邻的两条棱互相垂直．
3．长方体和正方体的表面积
长方体表面积：六个面积之和．
公式：S=2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S=6a2．（a表示棱长）
4.体积、容积进率及单位换算
体积，或称容量、容积，几何学专业术语，是物件占有多少空间的量．
体积的国际单位制是立方米．
常用的单位：立方米、立方分米、立方厘米、立方毫米．
体积单位：
1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米
1立方分米=1000立方厘米，
容积单位：
1升=1000毫升
1升=1立方分米=1000立方厘米
1毫升=1立方厘米
单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．
5.长方体和正方体的体积
长方体体积公式：V=abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V=a3．（a表示棱长）
6.探索某些实物体积的测量方法
1．用排水法来测量不规则物体的体积．在有刻度的量杯里装上水，记下水的体积，把不规则的物体放入杯中，记下此时的体积，求出两次体积的差，就求出了不规则物体的体积，最后再将容积单位换算成体积单位．
2．通过测多个相同物体的体积，然后除以数量得到每个物体的体积．
方法归纳
长方体表面积：六个面积之和．
公式：S=2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S=6a2．（a表示棱长）
长方体体积公式：V=abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V=a3．（a表示棱长）
考点1 长方体的特征
典例
例1（2024秋•包河区期末）王师傅用角铁焊一个长方体置物架的框架，从同一个顶点引出了三条棱，如图。继续焊完这个框架，还需（ ）米的角铁。
A．4
B．6
C．8
【答案】B
【分析】根据长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，继续焊完这个框架，还需3组长宽高长度和的角铁，把数据代入公式解答即可。
【解答】解：（0.4+0.6+1）×3
=2×3
=6（米）
答：还需6米的角铁。
故选：B。
【点评】此题主要考查长方体的特征，牢记长方体棱长总和的公式是关键。
例2（2024秋•海安市期末）数学课上老师从下面几种长度的小棒中，选择12根做了一个长方体框架。做成的长方体框架棱长总和不可能是（ ）厘米。
A．148
B．140
C．120
D．100
【答案】A
【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等，12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等。由此可以选择15厘米的4根，10厘米的4根或8根，5厘米的4根，焊接一个长方体框架模型。根据长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，把数据代入公式解答。
【解答】解：（1）选择15厘米的4根，10厘米的4根，5厘米的4根：
（15+10+5）×4
=30×4
=120（厘米）
（2）选择15厘米的4根，10厘米的8根：
15×4+10×8
=60+80
=140（厘米）
（3）选择5厘米的4根，10厘米的8根：
5×4+10×8
=20+80
=100（厘米）
答：做成的长方体框架棱长总和可能是100厘米，120厘米，140厘米；即不可能是148厘米。
故选：A。
【点评】此题主要考查长方体的特征，以及长方体的棱长总和公式的灵活运用，关键是如何选择12根铁条。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
长方体的特征：
1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同．
2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱．
3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高．
4．长方体相邻的两条棱互相垂直．
【变式练1】（2024秋•吴江区期末）如图，用丝带捆扎一种礼品盒，接头处长25cm,要捆扎这种礼品盒需准备（ ）m的丝带比较合理。
A．1.85
B．1.9
C．2.15
D．4
【变式练2】（2024秋•垦利区期末）有一个长方体，已知第一组相对的面是长6米，宽3米的长方形；第二组相对的面是长4米，宽3米的长方形。第三组相对的面是（ ）的长方形。
A．长6米，宽3米
B．长4米，宽3米
C．长6米，宽4米
D．无法判断
【变式练3】（2024春•和平区期末）一个长方体底面是边长4厘米的正方形，棱长总和是72厘米，它的高是 ______厘米。
【变式练4】（2024春•合阳县期中）一根84dm长的铁丝，恰好可以围成一个长为9dm、高为8dm的长方体，这个长方体的宽是 ______dm。
【变式练5】（2025春•宁乡市期中）有两个相对面是正方形的长方体，它的其余四个面完全相同．______．（判断对错）
【变式练6】（2024春•合阳县期中）一根84dm长的铁丝，恰好可以围成一个长为9dm、高为8dm的长方体，这个长方体的宽是4dm。 ______（判断对错）
考点2 正方体的特征
典例
例1（2025春•武安市期中）有一根长150cm的铁丝，用这根铁丝焊接成一个正方体框架后，还剩6cm,这个正方体框架的棱长是（ ）cm。（接头处忽略不计）
A．12
B．144
C．36
D．24
【答案】A
【分析】首先用这个铁丝的长度减去剩余的6厘米求出正方体框架的棱长总和，然后用正方体的棱长总和除以12即可求出棱长，据此列式解答。
【解答】解：（150-6）÷12
=144÷12
=12（厘米）
答：这个正方体框架的棱长是12厘米。
故选：A。
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征，以及正方体棱长总和公式的灵活运用，关键是熟记公式。
例2（2024春•邢台期末）正方体的每个面都是（ ）
A．三角形
B．长方形
C．圆
D．正方形
【答案】D
【分析】根据正方体的特征，正方体有6个面，每个面都是正方形，据此解答即可。
【解答】解：正方体有6个面，每个面都是正方形。
故选：D。
【点评】本题考查了正方体的特征，结合题意分析解答即可。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
正方体的特征：
①8个顶点．
②12条棱，每条棱长度相等．
③相邻的两条棱互相垂直．
【变式练1】（2023春•邹城市期中）用一根100cm长的铁丝做一个棱长7cm的正方体框架后，还剩下（ ）cm。
A．84
B．16
C．44
D．72
【变式练2】（2023秋•赣榆区期中）一个正方体的棱长是4厘米，它的棱长总和是（ ）厘米。
A．16
B．48
C．64
D．96
【变式练3】（2024秋•隰县期中）小华用黏土球和塑料棒搭一个正方体框架（如图），要继续搭建，还需 ______个黏土球，______根 ______cm长的塑料棒。
【变式练4】（2023秋•厦门期末）一个正方体盒子，每个面上有 ______个直角，整个盒子六个面一共有 ______个直角。
【变式练5】（2025春•陕州区期中）正方体有6个面，12条棱，所有面的面积相等。 ______（判断对错）
【变式练6】（2024春•翔安区期中）正方体有6个面，24条棱，所有棱的长度都相等。 ______（判断对错）
考点3 长方体和正方体的表面积
例1（2024春•沧州期中）计算如图各图形的表面积。
（1）
（2）典例
【答案】（1）13.5平方厘米；（2）88平方厘米。
【分析】（1）根据证方体的表面积=棱长×棱长×6代入数据计算即可；
（2）这是一个长是6cm、宽是4cm、高是2cm的长方体的展开图，根据长方体的表面积公式列式计算即可。
【解答】解：（1）1.5×1.5×6
=2.25×6
=13.5（平方厘米）
答：表面积是13.5平方厘米。
（2）（6×4+6×2+4×2）×2
=（24+12+8）×2
=44×2
=88（平方厘米）
答：表面积是88平方厘米。
【点评】解答此题要运用正方体和长方体的表面积公式。
例2（2024春•宁国市期中）求这个物体的表面积（单位：厘米）
【分析】由于上面的正方体和下面的长方体粘合在一起，所以上面的正方体只求它的4个侧面的面积，下面的长方体求它的表面积，然后合并起来，根据正方体的表面积公式：S=6a2，长方体的表面积公式：S=（ab+ah+bh）×2，把数据分别代入公式解答．
【解答】解：2×2×4+（12×4+12×6+4×6）×2
=4×4+（48+72+24）×2
=16+144×2
=16+288
=304（平方厘米）
答：这个物体的表面积是304平方厘米．
【点评】此题主要考查正方体、长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
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长方体表面积：六个面积之和．
公式：S=2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S=6a2．（a表示棱长）
【变式练1】（2025春•未央区期中）一个长方体木块正好能锯成两个小正方体，如果每个小正方体的表面积是6dm2，那么原来长方体的表面积是（ ）dm2。
A．10
B．12
C．8
【变式练2】（2024秋•庐江县期末）如图是从8个相同的小正方体组成的一个大正方体中拿走一个小正方体，剩下图形的表面积和原来大正方体的表面积比较，（ ）
A．变大了
B．变小了
C．不变
【变式练3】（2025春•江阳区期中）一个正方体的棱长和是24dm,表面积是 ______平方分米。
【变式练4】（2025春•安溪县期中）一个长方体，如果长减少2cm,就变成了一个正方体（如图），这时体积比原来减少了40cm3。这个正方体的表面积是 ______cm2。
【变式练5】（2023春•万源市期末）求如图图形的表面积（单位：cm）。
【变式练6】（2023秋•邵阳县期末）求如图所示图形的表面积。
考点4 体积、容积进率及单位换算
典例
例1（2024秋•淮安区期末）一个水壶的容量是2升，往里面倒入750毫升的水后，还能再倒入（ ）毫升水。
A．1250毫升
B．1500毫升
C．1750毫升
D．2000毫升
【答案】A
【分析】把2升乘进率1000化成2000毫升，用20000毫升减750毫升，再根据计算结果作出选择。
【解答】解：2升=2000毫升
2000-750=1250（毫升）
答：还能再倒入1250毫升水。
故选：A。
【点评】此题考查了体积（容积）的单位换算、整数减法的应用。
例2（2024秋•长春期末）7.9立方分米=（ ）升。
A．7.9
B．7900
C．0.0079
D．0.079
【答案】A
【分析】常见的体积单位有立方米、立方分米、立方厘米等，常见的容积单位有升、毫升等。其中1立方分米=1升，1立方厘米=1毫升，据此进行选择。
【解答】解：由分析得：
7.9立方分米=7.9升
故选：A。
【点评】此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率，反之，则除以进率。
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1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米
1立方分米=1000立方厘米，
容积单位：
1升=1000毫升
1升=1立方分米=1000立方厘米
1毫升=1立方厘米
单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．
【变式练1】（2024秋•姑苏区期中）一瓶2升的饮料平均分给8个小朋友，每个小朋友分到（ ）饮料。
A．25毫升
B．4升
C．250毫升
D．400毫升
【变式练2】（2024春•成都期末）下面数据中与其它数据不相等的是（ ）
A．702400cm3
B．7024dm3
C．7.024m3
D．7024000cm3
【变式练3】（2024秋•瑶海区期末）乐乐有一个容量是240毫升的水杯，4个这样的水杯能装水 ______毫升，还差 ______毫升正好是1升。
【变式练4】（2025春•罗湖区期中）在横线里填上合适的数。
4500dm3= ______m3
= ______cm2
= ______L
【变式练4】（2024秋•太原期末）小卓生病咳嗽，妈妈让他每次喝6mL的止咳糖浆。 ______（判断对错）
【变式练6】（2024秋•太原期中）1升水，如果用容量是240毫升的纸杯来装，至少需要5个纸杯。 ______（判断对错）
考点5 长方体和正方体的体积
典例
例1（2025春•罗湖区期中）冯新买了一盒牙膏，包装盒长15cm,宽是长的，高比宽长1cm,这个牙膏盒的体积（ ）cm3。
A．375
B．400
C．450
D．475
【答案】C
【分析】按分数乘法的意义先算出宽，再按相差关系求出高，进而按公式求出体积得解。
【解答】解：包装盒的宽：
（cm）
包装盒的高：
5+1=6（cm）
包装盒的体积：
15×5×6
=75×6
=450（cm3）
答：这个牙膏盒的体积450cm3。
故选：C。
【点评】本题考查了长方体体积计算的实际应用问题，解答时一定要清楚：长方体的体积=长×宽×高。
例2（2025春•霞山区校级期中）有一块棱长是10厘米的实心正方体铁块，要把它熔化后做成一个实心长方体，已知实心长方体的长是25厘米，宽是10厘米，则这个实心长方体的高是（ ）厘米。
A．4
B．6
C．7
D．8
【答案】A
【分析】根据题意，把一个实心正方体铁块熔化后做成一个实心长方体，那么铁块的体积不变；根据正方体的体积公式V=a3，求出铁块儿的体积；
已知实心长方体的长和宽，根据长方体的高h=V÷a÷b,代入数据计算，即可求出长方体的高。
【解答】解：铁块的体积：
10×10×10=1000（立方厘米）
长方体的高：
1000÷25÷10
=40÷10
=4（厘米）
答：这个实心长方体的高是4厘米。
故选：A。
【点评】本题考查的是长方体的体积公式的应用。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
长方体体积公式：V=abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V=a3．（a表示棱长）
【变式练1】（2025春•岳阳楼区校级期中）一个鱼缸从里面量长50cm、宽30cm、高40cm,最多能装水（ ）升。
A．60
B．600
C．60000
【变式练2】（2025春•信都区期中）如果一个长方体的长变为原来的2倍，宽变为原来的3倍，高变为原来的3倍，那么体积将变为原来的（ ）倍。
A．6
B．9
C．18
D．8
【变式练3】（2025春•成都期中）一个长方体，若高减少5厘米就成为一个正方体，这时表面积减少了100平方厘米。原长方体的体积是 ______立方厘米。
【变式练4】（2025春•石家庄期中）把一根2米长的长方体木料沿横截面方向平均锯成4段，表面积增加了192平方厘米，这根长方体木料的体积是 ______立方厘米。
【变式练5】（2025春•西安期中）用如图所示的五块长方形的亚克力板可以制作一个无盖的长方体。将这个长方体装满水，再倒一部分到一个棱长为2dm的正方体容器中，使得两个容器中的水面同样高，这时两个容器中的水面高度是多少分米？（容器壁厚度忽略不计）
【变式练6】（2025春•岳阳期中）一块长方形铁皮（如图），从四个角各剪去边长5cm的正方形，然后焊接成一个无盖盒子。这个盒子的容积是多少升？（原铁皮长30cm,宽20cm）
考点6 探索某些实物体积的测量方法
典例
例1（2025春•福清市期中）一个长方体容器的底面是正方形，容器中的水面高1dm,如果放入6个体积一样的玩具球后（玩具球完全浸没在水中且水未溢出），水面升高3cm,要求一个玩具球的体积，只需要知道（ ）即可。
A．6个玩具球的质量
B．长方体容器的表面积
C．长方体容器的底面周长
D．长方体容器的高
【答案】C
【分析】由题意可知，6个玩具球的体积之和等于上升的水的体积，上升的水可看成与容器同底，高是3cm的长方体，根据长方体的体积=长×宽×高，求水的体积还要求长与宽，又因容器的底面积是正方形，则长与宽相等，即底面正方形的边长，根据正方形的周长=边长×4，知道正方形的周长，用周长除以4，即可得边长，就可求水的体积，再用水的体积除以6即可得一个玩具球的体积。据此解答。
【解答】解：分析可知，要求一个玩具球的体积，只需要知道长方体容器的底面周长即可。
故选：C。
【点评】本题考查了用“排水法”测量实物体积的方法，结合长方体的体积公式解答即可。
例2（2025春•任城区期中）一个装有水的长方体容器，从里面量长15cm,宽10cm,高18cm,将一个土豆完全浸没在水中，水面上升了1cm（水未溢出），这个土豆的体积是（ ）cm3。
A．15
B．150
C．180
D．2700
【答案】B
【分析】根据用“排水法”测量实物体积的方法，这个土豆的体积等于长方体容器内水上升的体积，结合长方体的体积公式V=abh解答即可。
【解答】解：15×10×1
=150×1
=150（立方厘米）
答：这个土豆的体积是150立方厘米。
故选：B。
【点评】本题考查了用“排水法”测量实物体积的方法，结合长方体的体积公式V=abh解答即可。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
1．用排水法来测量不规则物体的体积．在有刻度的量杯里装上水，记下水的体积，把不规则的物体放入杯中，记下此时的体积，求出两次体积的差，就求出了不规则物体的体积，最后再将容积单位换算成体积单位．
2．通过测多个相同物体的体积，然后除以数量得到每个物体的体积．
【变式练1】（2024春•鄄城县期中）把一个石块完全浸入一个从里面量长10厘米，宽5厘米，高8厘米的长方体容器中，水面上升了2厘米．这个小石块的体积是（ ）
A．50 cm3
B．100cm3
C．40 cm3
【变式练2】（2024春•上城区期末）如图中，长方体容器的底面积是1dm2，两个球浸没时正好水面与容器口平，分别拿出两个球，水面变化如图，那么，小球体积是（ ）
A．0.3dm3
B．0.5dm3
C．0.8dm3
D．3dm3
【变式练3】（2025春•成都期中）一个棱长为2dm的正方体容器中装有一些水，放入一块体积是2.4dm3的石块后（石块完全浸没在水中，如图），水面上升了 ______dm。
【变式练4】（2025春•罗湖区期中）科学课上，妙想设计了一个测量大铁球和小铁球的实验，实验过程如图。则大铁球的体积是______cm3，小铁球的体积是______cm3。
【变式练5】（2025春•凉州区校级期中）晓玉将石块放入盛有水的长方体容器中，利用排水法求石块的体积。已知长方体容器长2分米，宽1.5分米，水深1分米。石块完全浸入水中，水深变为1.4分米，求石块体积。
【变式练6】（2025春•信都区期中）小文到外地旅游时捡了一块石头回来，他想测算一下这块石头的体积。首先找来一个长方体玻璃缸，从里面量长是22厘米，宽是10厘米，高是18厘米，然后加水，水深15厘米。再将这块石头放入水中（完全浸没），水面上升到15.5厘米。这块石头的体积是多少立方厘米？
学科网（北京）股份有限公司
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