（期末复习）第三单元《长方体和正方体》(知识梳理+易错点拨+21个考点讲练+压轴题训练 共78题）-2024-2025学年人教版数学五年级下学期金牌培优讲义

2024-2025学年人教版数学五年级下学期金牌培优讲义 第三单元《长方体和正方体》 期末真题汇编复习加油站（学生版） （知识梳理+易错点拨+21个考点讲练+压轴题专练 共78题） 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 班级： 姓名： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 资料简介 同学你好，一学期接近尾声，相信你一定学有所获！在期末考试来临之际，编者老师给你准备了一套快速提分方案。这套资料用简洁明了，深入简出的方式帮助你梳理本学期各个单元知识点，同时结合近两年各地名校期末真题充分强化解题能力，拓宽各类题型认知，重温旧知的同时感知常考易错类题型，相信你肯定对已学的知识有新的认识和理解！期末考试取得满意成绩 模块一 重点难点知识梳理 知识点01：长方体表面积的计算方法 方法一：长方体表面积 = 长×宽×2 + 长×高×2 + 宽×高×2 方法二：长方体表面积 = (长×宽 + 长×高 + 宽×高)×2 如果以S表示长方体的表面积，a、b、h分别表示长方体的长、宽和高，则表面积公式可以表示为：S = 2ab + 2ah + 2bh 或 S = 2(ab + ah + bh)。 知识点02：正方体表面积的计算方法 正方体的表面积 = 棱长×棱长×6 如果以S表示正方体的表面积，a表示正方体的棱长，则表面积公式为：S = 6a²。 知识点03：表面积公式的实际应用题型 基础计算题： 给出长方体的长、宽、高，要求计算其表面积。 给出正方体的棱长，要求计算其表面积。 生活应用题： 例如，计算一个长方体包装盒需要多少包装纸，或者一个正方体水箱需要涂多少防锈漆等。 拼组题型： 将几个长方体或正方体拼组成一个新的长方体，要求计算新长方体的表面积。 这类题目常涉及到表面积的变化，需要理解拼组后哪些面被隐藏，哪些面成为新长方体的外表面。 切割题型： 将一个长方体或正方体切割成几个部分，要求计算切割后各部分的表面积之和。 这类题目需要注意切割后新增的表面积部分。 优化问题： 例如，给定一定数量的长方体或正方体，如何拼组或摆放才能使得整体表面积最小或最大。 错误识别与改正： 题目中可能会给出错误的表面积计算过程或结果，要求学生识别错误并改正。 知识点04：长方体体积的计算方法 长方体体积的计算公式为：体积 = 长 × 宽 × 高。 如果以V表示长方体的体积，a、b、h分别表示长方体的长、宽和高， 则体积公式可以表示为：V = a × b × h。 知识点05：正方体体积的计算方法 正方体是长方体的特殊情况，其六个面都是正方形，边长相等。 正方体体积的计算公式为：体积 = 边长 × 边长 × 边长，或简写为体积 = 边长³。 如果以V表示正方体的体积，a表示正方体的边长，则体积公式为：V = a³。 知识点06：体积公式的实际应用题型 基础计算题： 给出长方体的长、宽、高，要求计算其体积。 给出正方体的边长，要求计算其体积。 生活应用题： 例如，计算一个长方体水箱能装多少水，或者一个正方体容器能容纳多少物体等。 比较和判断题： 比较不同长方体或正方体体积的大小。 判断给定的长、宽、高或边长是否能构成特定体积的长方体或正方体。 优化问题： 例如，在给定材料的情况下，如何设计长方体或正方体的尺寸以使其体积最大或达到特定要求。 综合应用题： 结合表面积和体积的计算，解决实际生活中的复杂问题，如设计包装箱以最小化材料使用同时保证足够的容量。 错误识别与改正： 题目中可能会给出错误的体积计算过程或结果，要求学生识别错误并改正。 单位换算问题： 在计算体积时，可能会涉及到不同单位之间的换算，如立方厘米与立方米之间的转换。 模块二 高频易错考点点拨 易错点01：单位换算 易错描述：在计算长方体和正方体的表面积或体积时，学生容易忽略单位换算，导致计算错误。 易错题目：一个长方体鱼缸的长是5dm，宽是3dm，高是40cm。求这个鱼缸的表面积。 错误答案：直接代入公式计算，未进行单位换算，导致结果错误。 正确答案： 首先进行单位换算，高=40cm=4dm，然后代入公式计算表面积： 表面积 = 2 × (5dm × 3dm + 5dm × 4dm + 3dm × 4dm) = 94dm² 易错点02：表面积与体积的混淆 易错描述：学生容易将表面积和体积的概念混淆，导致在求解问题时使用了错误的公式。 易错题目：一个正方体木块的棱长是6cm，求这个木块的表面积和体积。 错误答案：将表面积和体积的计算公式混淆，导致两个结果都错误。 正确答案： 表面积 = 6 × 6cm × 6cm = 216cm² 体积 = 6cm × 6cm × 6cm = 216cm³ 易错点03：公式应用错误 易错描述：学生在应用表面积或体积公式时，容易忽略公式中的某个部分或错误地使用了公式。 易错题目：一个长方体纸盒的长是10cm，宽是8cm，高是5cm。求这个纸盒的表面积。 错误答案：只计算了纸盒的四个侧面的面积，忽略了上下两个面的面积。 正确答案：表面积 = 2 × (10cm × 8cm + 10cm × 5cm + 8cm × 5cm) = 460cm² 易错点四：忽略实际情况 易错描述：在计算长方体和正方体的表面积时，学生容易忽略实际情况，如长方体或正方体是否有盖子、是否为空心等。 易错题目：一个无盖的长方体鱼缸，长是80cm，宽是40cm，高是50cm。求制作这个鱼缸需要多少玻璃。 错误答案：直接计算了长方体的表面积，未考虑鱼缸无盖的情况。 正确答案： 由于鱼缸无盖，只需计算五个面的面积： 表面积= 80cm × 40cm + 2 × (80cm × 50cm + 40cm × 50cm) = 13600cm² 模块三 重点难点考点精讲练 重难点考点01：长方体的认识及特征 【精讲题】（23-24五年级下·四川南充·期末）母亲节那天，文文买了一个礼品要送给妈妈作为节日礼物，得精心包装一番（如图所示），在选用丝带捆扎这个礼品盒时，遇到了一个问题，“要捆扎这种礼品盒至少需要准备（    ）厘米长的丝带”。（接头处长15厘米） A．40 B．110 C．114 D．129 【精练题01】（23-24五年级下·重庆忠县·期末）下图是用绸带捆扎的长方体礼品盒，打结用去15cm，共用绸带( )cm。 【精练题02】（23-24五年级下·河南信阳·期末）李师傅用不同长度的铁丝焊一个长方体框架，他已经焊好了三根（如图）。这三根铁丝的长度分别是30cm、10cm、10cm，焊这个长方体框架共需要( )根30cm长的铁丝，( )根10cm长的铁丝；这个长方体框架焊好后，它共有( )个面，其中有( )个面是正方形。 重难点考点02：长方体有关棱长的应用 【精讲题】（20-21五年级下·湖南永州·期末）用铁丝焊接一个长方体框架，同一顶点上的三根铁丝长分别为12cm，10cm和8cm ，则一共用了长 cm的铁丝。 【精练题01】（22-23五年级下·河北石家庄·期末）要做一个底面周长是18厘米，高是3厘米的长方体框架，至少需要铁丝（    ）厘米。 A．54 B．84 C．48 D．30 【精练题02】（22-23五年级下·湖南益阳·期末）某健身馆建了一个长80米、宽40米、深2米的游泳池，为确保游泳者的人身安全，工人师傅沿游泳池的内壁高1.5米处用红漆划了一条水位线，水位一般不得超过此线。 （1）这条线的长度是多少米？ （2）游泳池占地多少平方米？ 重难点考点03：长方体的展开图 【精讲题】（23-24五年级下·河北承德·期末）在下面展开图上用“上、下、左、右、前、后”标出长方体的各面。 【精练题01】（23-24五年级下·北京东城·期末）丽丽要把下面长方体展开图折成长方体。 (1)如果A面在底面，那么( )面在上面。 (2)用胶带沿棱将所有接缝处进行粘合，她至少需要用( )厘米的胶带。（提示：可以先画一画需要粘合的边再填空。） 【精练题02】（22-23五年级下·广东汕头·期末）下面的展开图是哪个盒子的展开图？请在相应的盒子下面的括号中打“√”。 重难点考点04：正方体的特征 【精讲题】（23-24五年级下·河北邢台·期末）正方体和长方体之间的关系可表示为（    ）。 A． B． C． 【精练题01】（23-24五年级下·云南曲靖·期末）一根铁丝可以做成一个棱长为5cm的正方体框架，这根铁丝长( )cm。如果要把它改做成一个长9cm，宽2cm的长方体框架，这个长方体框架的高是( )cm。 【精练题02】（23-24五年级下·广东韶关·期末）把下面的立体图形继续搭成一个大正方体，至少还需要( )个这样的小正方体。 重难点考点05：正方体有关棱长的应用 【精讲题】（23-24五年级下·四川绵阳·期末）用一根铁丝刚好焊成一个棱长10厘米的正方体框架，如果把它改成一个长14厘米，宽8厘米的长方体框架。长方体框架的高是多少厘米？ 【精练题01】（20-21五年级下·四川内江·期末）用一根铁丝正好能焊接成一个棱长为8厘米的正方体，王叔叔打算用它焊接成一个长12厘米、宽7厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？（焊接损耗不计） 【精练题02】（23-24五年级下·河北承德·期末）一根铁丝扎成了一个长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体框架，如果用这根铁丝扎成一个正方体框架，这个正方体的棱长是( )厘米。 重难点考点06：正方体的展开图 【精讲题】（23-24五年级下·四川绵阳·期末）请从下图①一④中选一个面和原来5个面形成正方体展开图。这个面是（    ）。 A．① B．② C．③ D．④ 【精练题01】（23-24五年级下·贵州安顺·期末） 可以折成一个正方体。( ) 【精练题02】（23-24五年级下·福建莆田·期末）有三块相同的数字积木（每块积木的面上分别标有1～6六个数字）。摆放如图，相对两个面上的数字乘积最大是( )。 重难点考点07：长方体表面积的计算 【精讲题】（23-24五年级下·四川绵阳·期末）一个长方体的长、宽、高分别是5dm、2dm、2dm，那么在这个长方体中有( )个面是边长为2dm的正方形，这个长方体的底面积是( )dm2。 【精练题01】（23-24五年级下·重庆忠县·期末）把3个正方体木块拼成一个长方体，表面积减少36cm2，拼成的长方体的表面积是( )cm2。 【精练题02】（22-23五年级下·湖北荆州·期末）计算下图的表面积。（单位：分米） 重难点考点08：长方体表面积的应用 【精讲题】（24-25五年级下·海南海口·期末）一个长方体包装盒，长3分米，宽2分米，高1.5分米。分别在它的侧面和上面贴商标纸（下底不贴）。贴商标纸的面积有多大？ 【精练题01】（23-24五年级下·四川南充·期末）小杨买了一个长方体的玻璃鱼缸，从外面量，长是1m，宽是6dm，高是5dm。他不小心把前面的玻璃打碎了，修理时需要配上的玻璃面积是( )。 【精练题02】（23-24五年级下·重庆忠县·期末）如下图是一个无盖长方体纸盒展开图，其中①，⑤为正方形。每平方米纸50元，做这个纸盒至少需要多少元？ 重难点考点09：正方体表面积的计算 【精讲题】（23-24五年级下·河南安阳·期末）将3个棱长4cm的正方体拼成一个大长方体，拼成的长方体的表面积比拼前表面积之和减少了( )cm2。 【精练题01】（20-21五年级下·湖南永州·期末）做一个棱长为0.6米的无底正方体玻璃罩，至少需要多少平方米的玻璃？ 【精练题02】（23-24五年级下·河北唐山·期末）把一个棱长2cm的正方体切成两个小长方体，这两个小长方体的表面积和为( )cm2。 重难点考点10：正方体表面积的应用 【精讲题】（23-24五年级下·广东肇庆·期末）一块正方体木料，它的底面积是10cm2，把它截成4段，表面积增加（    ）cm2。 A．30 B．40 C．60 D．80 【精练题01】（23-24五年级下·北京昌平·期末）中国灯笼是一种古老的传统工艺品。乐乐用一根24dm长的铁丝围了一个正方体灯笼框架，这个正方体灯笼的棱长是( )dm，如果给这个灯笼的四周围上灯笼布（上下面空着），至少需要( )dm2的灯笼布。 【精练题02】（23-24五年级下·湖北随州·期末）焊接一个正方体形状的灯笼框架需要72分米长的铁丝，这个灯笼的棱长是( )分米。要给这个灯笼表面贴上灯笼纸（上、下面除外），至少需要( )平方分米的灯笼纸。 重难点考点11：表面涂色的正方体 【精讲题】（23-24五年级下·湖北恩施·期末）用小正方体拼成长方体（如图所示），将长方体表面涂上颜色。一面涂色的小正方体有（    ）块。 A．6 B．8 C．10 D．12 【精练题01】（23-24五年级下·湖北省直辖县级单位·期末）5个棱长为20厘米的正方体纸箱堆放在墙角处（如图），所有露在外面的面积是( )平方厘米。如果不改变这些正方体的位置，至少还要添上( )个这样的小正方体才能搭成一个大正方体。 【精练题02】（22-23五年级下·湖北武汉·期末）下图是由棱长1cm的正方体搭成的几何体，将所有外表面涂上颜色。 （1）数一数，一共有（    ）个正方体。 （2）其中只有2面涂色的有（    ）个。 （3）请在方格纸上分别画出这个几何体从正面和从左面看到的图形。 重难点考点12：体积单位的认识 【精讲题】（23-24五年级下·河南洛阳·期末）在实际生活中，下列物体的体积最接近1立方分米的是（    ）。 A．一个书包 B．一个苹果 C．一块橡皮 D．一粒花生 【精练题01】（23-24五年级下·贵州安顺·期末）冰壶属于冬奥会比赛项目，冰壶的形状和大小如图所示，它的体积大约是8（    ）。 A．dm3 B．cm2 C．cm3 【精练题02】（23-24五年级下·山西晋中·期末）聪聪在探究立体图形的体积时联想到了长度和面积的度量，仔细阅读她的想法，你认为在度量长度、面积、体积时相同的是（    ）。 用1cm的单位度量，4个1cm就是4cm。 用1cm2的单位度量，8个1cm2就是8cm2。 用1cm3的单位度量，24个1cm3就是24cm3。 A．都是用长度单位度量 B．都是用面积单位度量 C．都是看包含了几个相应的度量单位 重难点考点13：长方体的体积 【精讲题】（24-25五年级下·海南海口·期末）希望小学有一间长10米，宽6米，高4米的长方形教室。 （1）这间教室的空间有多大？ （2）现在要在教室四面墙壁上贴1.2米高的瓷砖，扣除门窗面积6平方米后，这间教室贴瓷砖的面积是多少？ 【精练题01】（24-25五年级下·海南海口·期末）在一个封闭的水箱内装入水，从里面量，水箱的长、宽、高如下左图所示。水深24厘米，如果把这个水箱立起来放（如下右图），这时水深有多少厘米？ 【精练题02】（23-24五年级下·四川南充·期末）看图列式计算。 横截面是周长为32cm的正方形，长5dm。 表面积： 体积： 重难点考点14：正方体的体积 【精讲题】（24-25五年级下·海南海口·期末）棱长为3cm的正方体的体积是( )，把两个这样的正方体拼成一个长方体，表面积减少了( )，拼成的长方体表面积是( )。 【精练题01】（23-24五年级下·四川绵阳·期末）下图是由棱长1cm的小正方体拼成的立体图形，从上面和前面看到的形状相同。这个几何体的体积是( )cm3，表面积是( )cm2。 【精练题02】（23-24五年级下·湖北十堰·期末）已知一个长方体上放着一个正方体，求这个图形的表面积和体积。（单位：cm） 重难点考点15：体积单位间的进率与换算(立方厘米、立方分米和立方米) 【精讲题】（23-24五年级下·四川凉山·期末）把一个长是18厘米，宽是9厘米，高是10厘米的长方体削成一个最大的正方体，这个正方体的体积是( )立方分米。 【精练题01】（23-24五年级下·重庆忠县·期末）下列物品中，体积最接近1立方分米的是（    ）。 A．10块橡皮 B．1块香皂 C．2本新华字典 D．一张课桌 【精练题02】（23-24五年级下·河北邢台·期末）在一个长60厘米、宽50厘米、高40厘米的长方体上截取一个最大的正方体，正方体的体积是 立方米。 重难点考点16：立体图形的切拼(长方体、正方体的体积) 【精讲题】（22-23五年级下·湖北黄石·期末）把1m3的正方体木块切成1dm3的小正方体木块。如果把这些小木块排成一行组成一个长方体，那么这个长方体的长是（    ）。 A．1km B．100m C．1000cm 【精练题01】（23-24五年级下·江西吉安·期末）用棱长为1cm的小正方体摆成稍大一些的正方体，至少需要（    ）个小正方体。 A．4 B．6 C．8 【精练题02】（23-24五年级下·浙江绍兴·期末）芳芳准备把两个长是40厘米、宽为20厘米、高是25厘米的长方体礼品盒（如图）叠在一起，再用彩纸包装好。 （1）包装后的大长方体礼物体积是多少立方分米？（厚度忽略不计） （2）怎样叠放最节省包装纸？此时的表面积与原来两个长方体表面积之和相比减少了多少平方分米？ 重难点考点17：容积单位间的进率与换算(升和毫升) 【精讲题】（23-24五年级下·湖南长沙·期末）3.04立方米＝( )立方分米；560毫升＝( )升。 【精练题01】（23-24五年级下·北京石景山·期末） 3600立方分米＝( )立方米    8升＝( )毫升 【精练题02】（23-24五年级下·北京丰台·期末）兰兰做了一个测量铁球体积的实验： 第一步，将800毫升的水倒入一个容积1升的杯子中； 第二步，将5个相同的铁球放入水中，杯中的水没有满； 第三步，再将1个同样的铁球放入水中，这时杯中的水溢出10毫升。 根据这个实验，可以知道一个铁球的体积是( )立方厘米。 重难点考点18：体积、容积单位的选择 【精讲题】（24-25五年级下·海南海口·期末）在括号里填定合适的单位名称。 ①一个电饭锅的体积约24( )    ②一瓶洗洁精约500( ) 【精练题01】（23-24五年级下·四川绵阳·期末）填上合适的单位：教室中黑板的面积约是4( )，一台电冰箱的容积是540( )。 【精练题02】（22-23五年级下·湖北黄石·期末）填写合适的单位：一台电冰箱容积约是230( )，载人潜水器载人舱的容积约为3( )。 重难点考点19：体积与容积单位间的进率及换算 【精讲题】（23-24五年级下·四川南充·期末）一个长方体玻璃水缸，长8分米，宽5分米，高5分米，水深4分米。如果竖直放入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水会溢出多少升？ 【精练题01】（23-24五年级下·湖南长沙·期末）如图，一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长50厘米、宽30厘米、高25厘米。 现将一块高14厘米，体积为1000立方厘米的假石山放入缸内。如果水龙头以每分5000毫升的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多少分钟才能将假石山完全淹没？ 【精练题02】（23-24五年级下·重庆北碚·期末）科学课上，同学们正在研究如何增加船的载重量。 （1）第一步：自制小船。把铝箔做成船型容易漂浮在水面上，同学们在老师的指导下用铝箔做了多艘不同底面积的小船。1小组用边长12厘米的正方形铝箔，在它的4个角各剪去一个边长为2厘米的小正方形（如下图），制成的铝箔船的容积是多少毫升？ （2）第二步：测试比较，用弹珠或垫圈模拟货物放入铝箔船比较载重量。实验室的水槽从里面量长2.5分米、宽1.8分米、高1分米。同学们将2.7升的水倒入水槽，水位的高度是多少分米？ 重难点考点20：长方体、正方体的容积 【精讲题】（23-24五年级下·四川绵阳·期末）一盒酸奶的外包装是一个长方体纸盒，包装纸上标有“净含量250mL”。实际外包装长5cm，宽5cm。如果你来设计，你认为酸奶盒比较合适的高度是（    ） A．5cm B．10cm C．10.5cm D．15cm 【精练题01】（23-24五年级下·河北唐山·期末）如图，花花用一张长30厘米、宽24厘米的长方形纸板，从四角各切掉一个边长6厘米的正方形，然后做成无盖盒子。 （1）如果在盒子外面贴上彩纸，贴彩纸的面积是多少平方厘米？ （2）这个盒子的容积是多少立方厘米？ 【精练题02】（20-21五年级下·湖南长沙·期末）用下图的铁板做一个长方体（单位：厘米），这个长方体的容积是( )立方厘米，需要铁板( )平方厘米。 重难点考点21：不规则物体的体积算法(长方体、正方体) 【精讲题】（23-24五年级下·四川绵阳·期末）在下图的玻璃鱼缸中放入一块高1.5分米、体积为6立方分米的假山石。如果水管以每分钟10立方分米的流量向鱼缸内注水，至少需要多长时间才能把假山石刚好淹没？ 【精练题01】（23-24五年级下·重庆忠县·期末）在现实生活中有很多像梨、石块等形状不规则的物体，我们可以用排水法测量它们的体积，请观察后完成填空。 (1)水的体积是( )mL，水和梨的体积是( )cm3。 (2)梨的体积：( )。（请列式计算） (3)小结：用排水法测量不规则物体的体积需要记录的数据有( )和( )。 (4)在这个实验中用到了“转化”的数学思想，即把( )的体积转化成了( )的体积。 【精练题02】（22-23五年级下·湖北黄石·期末）如图，西红柿的体积是多少立方厘米？ 模块四 优选压轴题强化培优练 1．（24-25五年级下·海南海口·期末）把一个长8厘米，宽和高都是5厘米的长方体截成一个最大的正方体后，表面积（    ）。 A．减少110平方厘米 B．减少85平方厘米 C．减少60平方厘米 2．（24-25五年级下·海南海口·期末）一个正方体的棱长总和是72厘米，它的棱长是（    ）厘米。 A．18 B．12 C．6 3．（23-24五年级下·四川广元·期末）一个长方体的长，宽，高分别是a厘米，b厘米，h厘米，如果高增加2厘米，则其体积增加（    ）立方厘米。 A．abh B．2ab C．2ah D．ab（h＋2） 4．（23-24五年级下·四川凉山·期末）一个长方体的底面是一个正方形，它的侧面展开图正好是一个面积为64平方分米的正方形。这个长方体一个底面的面积是（    ）平方分米。 A．64 B．16 C．8 D．4 5．（2022·湖南邵阳·小升初真题）将正方体的棱长扩大到原来的3倍，则表面积扩大到原来的( )倍；体积扩大到原来的( )倍。 6．（24-25五年级下·海南海口·期末）一个长方体的长是6.8厘米，宽是5厘米，高是4厘米，它的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 7．（24-25五年级下·海南海口·期末）把72m3三合土铺在宽12m的路基上，铺15cm厚，可铺( )m长的路面。 8．（24-25五年级下·海南海口·期末）要在平地上挖一个长20米、宽8米、深50厘米的长方体土坑，一共要挖出( )方的土，土坑占地面积是( )平方厘米。 9．（23-24五年级下·四川绵阳·期末）正方体的棱长扩大到原来的3倍，那么它的表面积扩大到原来的6倍，体积扩大到原来的9倍。( )（判断对错） 10．（23-24五年级下·重庆忠县·期末）在4.06m3、406000cm3、4060dm3、4060000cm3这4个数据中，4.06m3与其它3个数据不相等。( )（判断对错） 11．（24-25五年级下·海南海口·期末）计算下列图形的表面积和体积。 12．（24-25五年级下·海南海口·期末）计算下列图形的表面积和体积。（单位：dm） 13．（24-25五年级下·海南海口·期末）一个高为4.5分米的长方体容器，水深3分米时装了27升水，如果把它装满，能装多少升水？ 14．（24-25五年级下·海南海口·期末）一个长方体的玻璃缸长8分米、宽6分米、高4分米，缸中水深2.8分米。如果放入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 15．（24-25五年级下·海南海口·期末）一个长方体的底面是一个周长为30厘米的长方形，高为10厘米。如果长和宽的厘米数都是合数，那么这个长方体的棱长和、表面积和体积分别是多少？ $$2024-2025学年人教版数学五年级下学期金牌培优讲义 第三单元《长方体和正方体》 期末真题汇编复习加油站（教师版） （知识梳理+易错点拨+21个考点讲练+压轴题专练 共78题） 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 班级： 姓名： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 资料简介 同学你好，一学期接近尾声，相信你一定学有所获！在期末考试来临之际，编者老师给你准备了一套快速提分方案。这套资料用简洁明了，深入简出的方式帮助你梳理本学期各个单元知识点，同时结合近两年各地名校期末真题充分强化解题能力，拓宽各类题型认知，重温旧知的同时感知常考易错类题型，相信你肯定对已学的知识有新的认识和理解！期末考试取得满意成绩 模块一 重点难点知识梳理 知识点01：长方体表面积的计算方法 方法一：长方体表面积 = 长×宽×2 + 长×高×2 + 宽×高×2 方法二：长方体表面积 = (长×宽 + 长×高 + 宽×高)×2 如果以S表示长方体的表面积，a、b、h分别表示长方体的长、宽和高，则表面积公式可以表示为：S = 2ab + 2ah + 2bh 或 S = 2(ab + ah + bh)。 知识点02：正方体表面积的计算方法 正方体的表面积 = 棱长×棱长×6 如果以S表示正方体的表面积，a表示正方体的棱长，则表面积公式为：S = 6a²。 知识点03：表面积公式的实际应用题型 基础计算题： 给出长方体的长、宽、高，要求计算其表面积。 给出正方体的棱长，要求计算其表面积。 生活应用题： 例如，计算一个长方体包装盒需要多少包装纸，或者一个正方体水箱需要涂多少防锈漆等。 拼组题型： 将几个长方体或正方体拼组成一个新的长方体，要求计算新长方体的表面积。 这类题目常涉及到表面积的变化，需要理解拼组后哪些面被隐藏，哪些面成为新长方体的外表面。 切割题型： 将一个长方体或正方体切割成几个部分，要求计算切割后各部分的表面积之和。 这类题目需要注意切割后新增的表面积部分。 优化问题： 例如，给定一定数量的长方体或正方体，如何拼组或摆放才能使得整体表面积最小或最大。 错误识别与改正： 题目中可能会给出错误的表面积计算过程或结果，要求学生识别错误并改正。 知识点04：长方体体积的计算方法 长方体体积的计算公式为：体积 = 长 × 宽 × 高。 如果以V表示长方体的体积，a、b、h分别表示长方体的长、宽和高， 则体积公式可以表示为：V = a × b × h。 知识点05：正方体体积的计算方法 正方体是长方体的特殊情况，其六个面都是正方形，边长相等。 正方体体积的计算公式为：体积 = 边长 × 边长 × 边长，或简写为体积 = 边长³。 如果以V表示正方体的体积，a表示正方体的边长，则体积公式为：V = a³。 知识点06：体积公式的实际应用题型 基础计算题： 给出长方体的长、宽、高，要求计算其体积。 给出正方体的边长，要求计算其体积。 生活应用题： 例如，计算一个长方体水箱能装多少水，或者一个正方体容器能容纳多少物体等。 比较和判断题： 比较不同长方体或正方体体积的大小。 判断给定的长、宽、高或边长是否能构成特定体积的长方体或正方体。 优化问题： 例如，在给定材料的情况下，如何设计长方体或正方体的尺寸以使其体积最大或达到特定要求。 综合应用题： 结合表面积和体积的计算，解决实际生活中的复杂问题，如设计包装箱以最小化材料使用同时保证足够的容量。 错误识别与改正： 题目中可能会给出错误的体积计算过程或结果，要求学生识别错误并改正。 单位换算问题： 在计算体积时，可能会涉及到不同单位之间的换算，如立方厘米与立方米之间的转换。 模块二 高频易错考点点拨 易错点01：单位换算 易错描述：在计算长方体和正方体的表面积或体积时，学生容易忽略单位换算，导致计算错误。 易错题目：一个长方体鱼缸的长是5dm，宽是3dm，高是40cm。求这个鱼缸的表面积。 错误答案：直接代入公式计算，未进行单位换算，导致结果错误。 正确答案： 首先进行单位换算，高=40cm=4dm，然后代入公式计算表面积： 表面积 = 2 × (5dm × 3dm + 5dm × 4dm + 3dm × 4dm) = 94dm² 易错点02：表面积与体积的混淆 易错描述：学生容易将表面积和体积的概念混淆，导致在求解问题时使用了错误的公式。 易错题目：一个正方体木块的棱长是6cm，求这个木块的表面积和体积。 错误答案：将表面积和体积的计算公式混淆，导致两个结果都错误。 正确答案： 表面积 = 6 × 6cm × 6cm = 216cm² 体积 = 6cm × 6cm × 6cm = 216cm³ 易错点03：公式应用错误 易错描述：学生在应用表面积或体积公式时，容易忽略公式中的某个部分或错误地使用了公式。 易错题目：一个长方体纸盒的长是10cm，宽是8cm，高是5cm。求这个纸盒的表面积。 错误答案：只计算了纸盒的四个侧面的面积，忽略了上下两个面的面积。 正确答案：表面积 = 2 × (10cm × 8cm + 10cm × 5cm + 8cm × 5cm) = 460cm² 易错点四：忽略实际情况 易错描述：在计算长方体和正方体的表面积时，学生容易忽略实际情况，如长方体或正方体是否有盖子、是否为空心等。 易错题目：一个无盖的长方体鱼缸，长是80cm，宽是40cm，高是50cm。求制作这个鱼缸需要多少玻璃。 错误答案：直接计算了长方体的表面积，未考虑鱼缸无盖的情况。 正确答案： 由于鱼缸无盖，只需计算五个面的面积： 表面积= 80cm × 40cm + 2 × (80cm × 50cm + 40cm × 50cm) = 13600cm² 模块三 重点难点考点精讲练 重难点考点01：长方体的认识及特征 【精讲题】（23-24五年级下·四川南充·期末）母亲节那天，文文买了一个礼品要送给妈妈作为节日礼物，得精心包装一番（如图所示），在选用丝带捆扎这个礼品盒时，遇到了一个问题，“要捆扎这种礼品盒至少需要准备（    ）厘米长的丝带”。（接头处长15厘米） A．40 B．110 C．114 D．129 【答案】D 【思路点拨】根据题图可知，丝带捆扎的长度为4条高，2条长、2条宽，再加上接头处的长度，据此解答即可。 【规范解答】10×4＋25×2＋12×2＋15 ＝40＋50＋24＋15 ＝90＋24＋15 ＝114＋15 ＝129（厘米） 要捆扎这种礼品盒至少需要准备129厘米长的丝带。 故答案为：D 【精练题01】（23-24五年级下·重庆忠县·期末）下图是用绸带捆扎的长方体礼品盒，打结用去15cm，共用绸带( )cm。 【答案】125 【思路点拨】从图中可知：所用绸带的长度=长×2＋宽×2＋高×4＋打结长度，代入数据计算即可。 【规范解答】20×2＋15×2＋10×4＋15 =40＋30＋40＋15 =125（cm） 共用绸带125cm。 【精练题02】（23-24五年级下·河南信阳·期末）李师傅用不同长度的铁丝焊一个长方体框架，他已经焊好了三根（如图）。这三根铁丝的长度分别是30cm、10cm、10cm，焊这个长方体框架共需要( )根30cm长的铁丝，( )根10cm长的铁丝；这个长方体框架焊好后，它共有( )个面，其中有( )个面是正方形。 【答案】 4 8 6 2 【思路点拨】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同，长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为3组，每一组有4条棱，长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，3条棱分别叫作长方体的长、宽、高。 【规范解答】这个长方体框架的长为30cm，宽、高都是10cm，焊这个长方体框架共需要4根30cm长的铁丝，8根10cm的铁丝，这个长方体框架焊好后，它共有6个面，其中有2个面是正方形。 重难点考点02：长方体有关棱长的应用 【精讲题】（20-21五年级下·湖南永州·期末）用铁丝焊接一个长方体框架，同一顶点上的三根铁丝长分别为12cm，10cm和8cm ，则一共用了长 cm的铁丝。 【答案】120 【思路点拨】铁丝长度相当于长方体棱长总和，同一顶点上的三根铁丝长分别为长、宽、高，根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，列式计算即可。 【规范解答】（12＋10＋8）×4 ＝30×4 ＝120（cm） 一共用了长120cm的铁丝。 【精练题01】（22-23五年级下·河北石家庄·期末）要做一个底面周长是18厘米，高是3厘米的长方体框架，至少需要铁丝（    ）厘米。 A．54 B．84 C．48 D．30 【答案】C 【思路点拨】求至少需多长的铁丝，就是求长方体的棱长总和。根据长方体的棱长总和＝长×4＋宽×4＋高×4，从底面周长是18厘米可知：长×2＋宽×2＝18厘米，那么18×2＝长×4＋宽×4，再加上高乘4即可求出铁丝的长度。 【规范解答】18×2＋3×4 ＝36＋12 ＝48（厘米） 至少需要铁丝48厘米。 故答案为：C 【精练题02】（22-23五年级下·湖南益阳·期末）某健身馆建了一个长80米、宽40米、深2米的游泳池，为确保游泳者的人身安全，工人师傅沿游泳池的内壁高1.5米处用红漆划了一条水位线，水位一般不得超过此线。 （1）这条线的长度是多少米？ （2）游泳池占地多少平方米？ 【答案】（1）240米 （2）3200平方米 【思路点拨】（1）把这个游泳池看作是一个长方体，求这条线的长度也就是长方体两条长和两条宽的长度之和； （2）游泳池占地多少平方米，也就是求这个长方体的底面面积，根据长方形的面积＝长×宽，代入相应数值计算，据此解答。 【规范解答】（1）（80＋40）×2 ＝120×2 ＝240（米） 答：这条线的长度是240米。 （2）80×40＝3200（平方米） 答：游泳池占地3200平方米。 重难点考点03：长方体的展开图 【精讲题】（23-24五年级下·河北承德·期末）在下面展开图上用“上、下、左、右、前、后”标出长方体的各面。 【答案】见详解 【思路点拨】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，观察长方体可知，前后面最大，左右面其次，上下面最小，据此标出长方体的各面。 【规范解答】 【精练题01】（23-24五年级下·北京东城·期末）丽丽要把下面长方体展开图折成长方体。 (1)如果A面在底面，那么( )面在上面。 (2)用胶带沿棱将所有接缝处进行粘合，她至少需要用( )厘米的胶带。（提示：可以先画一画需要粘合的边再填空。） 【答案】(1)E (2)66 【思路点拨】（1）根据长方体的特征，相对的面完全相同，据此解答即可； （2）由题意可知，需要胶带的长度就是长方体所有接缝处的棱长总和。根据题干展开图可得，接缝处的棱长共有4条高、2条长和1条宽，据此进行计算即可。 【规范解答】（1）如果A面在底面，那么E面在上面。 （2）7×4＋14×2＋10 ＝28＋28＋10 ＝66（厘米） 则她至少需要用66厘米的胶带。 【精练题02】（22-23五年级下·广东汕头·期末）下面的展开图是哪个盒子的展开图？请在相应的盒子下面的括号中打“√”。 【答案】见详解 【思路点拨】根据长方体有六个面，六个面都是长方形，上下面，前后面，左右面相对，也有相对的两个面是正方形。结合所给图片可知，该盒子长12cm，宽8cm，高5cm，据此解答即可。 【规范解答】 由展开图可得，该盒子长12cm，宽8cm，高5cm，结合所给图片，符合题意。即： 重难点考点04：正方体的特征 【精讲题】（23-24五年级下·河北邢台·期末）正方体和长方体之间的关系可表示为（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【思路点拨】正方体是长、宽、高都相等的长方体，即长方体包含正方体。据此可得出答案。 【规范解答】正方体是特殊的长方体，即正方体属于长方体。三个选项中A选项大圆表示长方体，中间的小圆表示正方体，即长方体包含正方体。 故答案为：A 【精练题01】（23-24五年级下·云南曲靖·期末）一根铁丝可以做成一个棱长为5cm的正方体框架，这根铁丝长( )cm。如果要把它改做成一个长9cm，宽2cm的长方体框架，这个长方体框架的高是( )cm。 【答案】 60 4 【思路点拨】这根铁丝的长就是正方体的棱长总和，正方体有12条棱长，且每条棱长都相等，用棱长乘12即可得解；如果要把它改做成一个长9cm，宽2cm的长方体框架，则根据长方体的特征，长方体的4条长、4条宽、4条高，且每条长相等，每条宽相等，每条高相等，用铁丝的长度除以4，减一条长与一条宽的和，即可得解。 【规范解答】（cm） （cm） 一根铁丝可以做成一个棱长为5cm的正方体框架，这根铁丝长60cm。如果要把它改做成一个长9cm，宽2cm的长方体框架，这个长方体框架的高是4cm。 【精练题02】（23-24五年级下·广东韶关·期末）把下面的立体图形继续搭成一个大正方体，至少还需要( )个这样的小正方体。 【答案】3 【思路点拨】现在有2层共有：4＋1＝5（个）小正方体；如果搭成一个大正方体，至少搭长2个，宽2个，高2个的正方体，共需要8个小正方体；至少还需要（8－5）个这样的小正方体。 【规范解答】2×2×2－（4＋1） ＝8－5 ＝3（个） 因此至少还需要3个这样的小正方体。 重难点考点05：正方体有关棱长的应用 【精讲题】（23-24五年级下·四川绵阳·期末）用一根铁丝刚好焊成一个棱长10厘米的正方体框架，如果把它改成一个长14厘米，宽8厘米的长方体框架。长方体框架的高是多少厘米？ 【答案】8厘米 【思路点拨】根据正方体棱长总和＝棱长×12，求出铁丝长度，再根据长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，列式解答即可。 【规范解答】10×12÷4－14－8 ＝120÷4－14－8 ＝30－14－8 ＝16－8 ＝8（厘米） 答：长方体框架的高是8厘米。 【精练题01】（20-21五年级下·四川内江·期末）用一根铁丝正好能焊接成一个棱长为8厘米的正方体，王叔叔打算用它焊接成一个长12厘米、宽7厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？（焊接损耗不计） 【答案】5厘米 【思路点拨】根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，代入数据，求出正方体的棱长总和；由于正方体棱长总和等于长方体棱长总和；根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，高＝棱长总和÷4－长－宽，代入数据，即可解答。 【规范解答】8×12÷4－12－7 ＝96÷4－12－7 ＝24－12－7 ＝12－7 ＝5（厘米） 答：这个长方体的高是5厘米。 【精练题02】（23-24五年级下·河北承德·期末）一根铁丝扎成了一个长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体框架，如果用这根铁丝扎成一个正方体框架，这个正方体的棱长是( )厘米。 【答案】4 【思路点拨】先算出长方体的棱长总和，长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4。这根铁丝的长度是不变的，用它扎成正方体框架，那么正方体的棱长总和等于长方体的棱长总和。而正方体棱长总和＝棱长×12，由此可求出正方体的棱长。 【规范解答】长方体棱长总和为 （5＋4＋3）×4 ＝12×4 ＝48（厘米） 正方体棱长为48÷12＝4（厘米） 重难点考点06：正方体的展开图 【精讲题】（23-24五年级下·四川绵阳·期末）请从下图①一④中选一个面和原来5个面形成正方体展开图。这个面是（    ）。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【思路点拨】正方体展开图有11种特征，分四种类型：第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形；由此判断即可。 【规范解答】A．①号面与其它5个面组成了“1－4－1”结构，能够围成一个正方体； B．②号面与其它5个面组成的结构不属于正方体展开图类型，不能围成正方体； C．③号面与其它5个面组成的结构不属于正方体展开图类型，不能围成正方体； D．④号面与其它5个面组成的结构不属于正方体展开图类型，不能围成正方体； 故答案为：A 【精练题01】（23-24五年级下·贵州安顺·期末） 可以折成一个正方体。( ) 【答案】√ 【思路点拨】根据正方体11种展开图进行分析，是正方体11种展开图里的情况可以折成正方体，不是正方体11种展开图里的情况不可以折成正方体，据此分析。 【规范解答】 ，1－4－1型正方体展开图，可以折成一个正方体，原题说法正确。 故答案为：√ 【精练题02】（23-24五年级下·福建莆田·期末）有三块相同的数字积木（每块积木的面上分别标有1～6六个数字）。摆放如图，相对两个面上的数字乘积最大是( )。 【答案】18 【思路点拨】由①和②可知，与1相邻的面是2、3、4、6，所以与1相对的面是5； 由②和③可知，与3相邻的面是1、2、4、5，所以与3相对的面是6； 所以与2相对的面是4。 再分别计算出对面两个数的乘积，再比较大小。 【规范解答】1对面是5，3对面是6，2对面是4 1×5＝5，3×6＝18，2×4＝8 18＞8＞5，乘积最大的是18。 对两个面上的数字乘积最大是18。 重难点考点07：长方体表面积的计算 【精讲题】（23-24五年级下·四川绵阳·期末）一个长方体的长、宽、高分别是5dm、2dm、2dm，那么在这个长方体中有( )个面是边长为2dm的正方形，这个长方体的底面积是( )dm2。 【答案】 2 10 【思路点拨】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 这个长方体宽和高相同，宽乘高可以得到左或右面的面积，因此左右2个面是边长2dm的正方形，底面积＝长×宽，据此分析。 【规范解答】5×2＝10（dm2） 在这个长方体中有2个面是边长为2dm的正方形，这个长方体的底面积是10dm2。 【精练题01】（23-24五年级下·重庆忠县·期末）把3个正方体木块拼成一个长方体，表面积减少36cm2，拼成的长方体的表面积是( )cm2。 【答案】126 【思路点拨】由于3个正方体木块拼成一个长方体，只能横着拼或者竖着拼，由于两个正方体拼在一起，会减少两个接触面的面积，3个正方体拼在一起，会减少4个面，即36cm2是4个正方形的面积，用36÷4求出一个小正方形的面积，由于3个正方体一共18个面，用18个面乘一个面的面积再减去36即可求解。 【规范解答】36÷4＝9（cm2） 3×6×9 ＝18×9 ＝162（cm2） 162－36＝126（cm2） 拼成的长方体的表面积是126cm2。 【精练题02】（22-23五年级下·湖北荆州·期末）计算下图的表面积。（单位：分米） 【答案】844平方分米 【思路点拨】根据图示，组合图形的表面积＝长方体表面积＋正方体表面积，依据长方体表面积公式：长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，因为正方体有一个面是与长方体相接的，所以只有4个面，所以，可以直接计算4个面的面积。最后将得出的结果相加即可。 【规范解答】长方形的表面积： （15×10＋15×8＋10×8）×2 ＝（150＋120＋80）×2 ＝350×2 ＝700（平方分米） 正方体的表面积： 6×6×4 ＝36×4 ＝144（平方分米） 700＋144＝844（平方分米） 图形的表面积为844平方分米。 重难点考点08：长方体表面积的应用 【精讲题】（24-25五年级下·海南海口·期末）一个长方体包装盒，长3分米，宽2分米，高1.5分米。分别在它的侧面和上面贴商标纸（下底不贴）。贴商标纸的面积有多大？ 【答案】21平方分米 【思路点拨】求贴商标纸的面积，就是求这个长方体5个面的面积和，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【规范解答】3×2＋（3×1.5＋2×1.5）×2 ＝3×2＋（4.5＋3）×2 ＝3×2＋7.5×2 ＝6＋15 ＝21（平方分米） 答：贴商标纸的面积有21平方分米。 【精练题01】（23-24五年级下·四川南充·期末）小杨买了一个长方体的玻璃鱼缸，从外面量，长是1m，宽是6dm，高是5dm。他不小心把前面的玻璃打碎了，修理时需要配上的玻璃面积是( )。 【答案】50 【思路点拨】长方体玻璃鱼缸的前面是一个长为1m，宽为5dm的长方形，所以按照长方形面积＝长×宽计算即可。 【规范解答】1m＝10dm 10×5＝50（） 所以修理时需要配上的玻璃面积是50。 【精练题02】（23-24五年级下·重庆忠县·期末）如下图是一个无盖长方体纸盒展开图，其中①，⑤为正方形。每平方米纸50元，做这个纸盒至少需要多少元？ 【答案】0.63元 【思路点拨】由于⑤和①是正方形，当一个长方体有两个面是正方形，其他四个侧面是一样的长方形，通过图可知，长是6厘米，那么宽也是6厘米，高是3厘米，通过图可知，缺少了一个长是6厘米，宽是3厘米的长方形的面；根据正方形的面积公式：边长×边长，求出一个正方形的面积再乘2，长方形的面积：长×宽，求出一个长方形的面积再乘3，把这两部分相加即可求出这个无盖纸盒的表面积，根据1平方米＝10000平方厘米，转换单位，再用表面积乘每平方米的价钱，即可求出需要的总钱数。 【规范解答】6×6×2＋6×3×3 ＝72＋54 ＝126（平方厘米） 126平方厘米＝0.0126平方米 0.0126×50＝0.63（元） 答：做这个纸盒至少需要0.63元。 重难点考点09：正方体表面积的计算 【精讲题】（23-24五年级下·河南安阳·期末）将3个棱长4cm的正方体拼成一个大长方体，拼成的长方体的表面积比拼前表面积之和减少了( )cm2。 【答案】64 【思路点拨】将3个相同的正方体拼成一个大长方体，拼成的长方体的表面积比拼前表面积之和会减少4个正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘4即可。 【规范解答】4×4×4 ＝16×4 ＝64（cm2） 因此拼成的长方体的表面积比拼前表面积之和减少了64cm2。 【精练题01】（20-21五年级下·湖南永州·期末）做一个棱长为0.6米的无底正方体玻璃罩，至少需要多少平方米的玻璃？ 【答案】1.8平方米 【思路点拨】至少需要多少平方米的玻璃就是求这个正方体的表面积，这个正方体是无底的玻璃罩是求五个面的面积和，即无底正方体的表面积＝棱长×棱长×5 【规范解答】0.6×0.6×5＝1.8（平方米） 答：需要1.8平方米的玻璃。 【精练题02】（23-24五年级下·河北唐山·期末）把一个棱长2cm的正方体切成两个小长方体，这两个小长方体的表面积和为( )cm2。 【答案】32 【思路点拨】根据题意，作图如下： 从图中可知：将一个正方体切成两个小长方体，表面积增加了两个正方形的面，这两个小长方体的表面积和一共有（6＋2）个正方形的面，用棱长×棱长求出一个面，再乘（6＋2）即可。 【规范解答】2×2×（6＋2） ＝4×8 ＝32（cm2） 这两个小长方体的表面积和为32cm2。 重难点考点10：正方体表面积的应用 【精讲题】（23-24五年级下·广东肇庆·期末）一块正方体木料，它的底面积是10cm2，把它截成4段，表面积增加（    ）cm2。 A．30 B．40 C．60 D．80 【答案】C 【思路点拨】已知正方体木料的底面积是10cm2，根据正方体的特征可知，正方体的六个面都是相同的正方形，即这个正方体每个面的面积都是10cm2； 把这个正方体木料截成4段，需截3次，每截1次增加2个面，则截3次增加2×3＝6个面，再乘每个面的面积，即是增加的表面积。 【规范解答】2×3＝6（个） 10×6＝60（cm2） 表面积增加60cm2。 故答案为：C 【精练题01】（23-24五年级下·北京昌平·期末）中国灯笼是一种古老的传统工艺品。乐乐用一根24dm长的铁丝围了一个正方体灯笼框架，这个正方体灯笼的棱长是( )dm，如果给这个灯笼的四周围上灯笼布（上下面空着），至少需要( )dm2的灯笼布。 【答案】 2 16 【思路点拨】根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，求出正方体灯笼的棱长；求四周围上灯笼布的面积，就是求正方体的侧面积，根据正方体侧面积公式：侧面积＝棱长×棱长×4，代入数据，即可解答。 【规范解答】24÷12＝2（dm） 2×2×4 ＝4×4 ＝16（dm2） 中国灯笼是一种古老的传统工艺品。乐乐用一根24dm长的铁丝围了一个正方体灯笼框架，这个正方体灯笼的棱长是2dm，如果给这个灯笼的四周围上灯笼布（上下面空着），至少需要16dm2的灯笼布。 【精练题02】（23-24五年级下·湖北随州·期末）焊接一个正方体形状的灯笼框架需要72分米长的铁丝，这个灯笼的棱长是( )分米。要给这个灯笼表面贴上灯笼纸（上、下面除外），至少需要( )平方分米的灯笼纸。 【答案】 6 144 【思路点拨】由题意可知，72分米是正方体框架的棱长总和，根据正方体的棱长总和＝棱长×12，用72除以12，即可求出正方体的棱长；这个灯笼表面贴上灯笼纸（上、下面除外），求至少需要多少平方分米的灯笼纸，就是求正方体的四个侧面的面积，四个侧面都是正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘4即可解答。 【规范解答】棱长：72÷12＝6（分米） 表面积：6×6×4＝144（平方分米） 即这个灯笼的棱长是6分米，至少需要144平方分米的灯笼纸。 重难点考点11：表面涂色的正方体 【精讲题】（23-24五年级下·湖北恩施·期末）用小正方体拼成长方体（如图所示），将长方体表面涂上颜色。一面涂色的小正方体有（    ）块。 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【思路点拨】用小正方体拼成长方体，一面涂色的在每个面的中间、两面涂色处在棱的中间和三面涂色的处在顶点上，六个面都没有色的小正方体处在长方体的中心；据此解答。 【规范解答】由分析可知： 长方体的上、下、前、后的四个面中间都有2块一面涂色的小正方体， 长方体左、右两个面的中间都有1块一面涂色的小正方体。 2×4＋2×1 ＝8＋2 ＝10（块） 所以，一面涂色的小正方体有10块。 故答案为：C 【精练题01】（23-24五年级下·湖北省直辖县级单位·期末）5个棱长为20厘米的正方体纸箱堆放在墙角处（如图），所有露在外面的面积是( )平方厘米。如果不改变这些正方体的位置，至少还要添上( )个这样的小正方体才能搭成一个大正方体。 【答案】 4400 22 【思路点拨】通过数，发现露在外面的面一共有11个面，每个面均是小正方形。根据正方形面积＝边长×边长，先求出一个小正方形的面积，再乘11，即可求出露在外面的面积和。小正方体目前一共是5个，最多的一边有3个。那么要搭成一个较大的正方体，至少每边需要3个小正方体。用（3×3）求出最下面一层有多少个小正方体，再乘3，求出一共有多少个小正方体。将一共的数量减去原有的5个小正方体，求出至少还要添上多少个这样的小正方体才能搭成一个大正方体。 【规范解答】20×20×11 ＝400×11 ＝4400（平方厘米） 3×3×3－5 ＝27－5 ＝22（个） 所以，所有露在外面的面积是4400平方厘米。如果不改变这些正方体的位置，至少还要添上22个这样的小正方体才能搭成一个大正方体。 【精练题02】（22-23五年级下·湖北武汉·期末）下图是由棱长1cm的正方体搭成的几何体，将所有外表面涂上颜色。 （1）数一数，一共有（    ）个正方体。 （2）其中只有2面涂色的有（    ）个。 （3）请在方格纸上分别画出这个几何体从正面和从左面看到的图形。 【答案】（1）10 （2）2 （3）见详解 【思路点拨】（1）按行或列有条理的数一数，有10个正方体。 （2）根据搭成的几何体，开展合理的空间想象，可以发现2面涂色的只有2个。 （3）从正面看的图形有两层3列，最下面一层有3个正方形并排成一行，最上面一层靠左上摆放一个正方形。从左面看，也是两层3列，最下面一层3个正方形并排成一行，最上面一层靠左上角并排2个正方形。 【规范解答】（1）数一数，一共有（2）个正方体。 （2）其中只有2面涂色的有（    ）个。 （3） 重难点考点12：体积单位的认识 【精讲题】（23-24五年级下·河南洛阳·期末）在实际生活中，下列物体的体积最接近1立方分米的是（    ）。 A．一个书包 B．一个苹果 C．一块橡皮 D．一粒花生 【答案】B 【思路点拨】棱长1分米的正方体，体积是1立方分米，大约是2个拳头的大小，据此分析。 【规范解答】A．一个书包比1立方分米大得多； B．一般一个苹果比1立方分米小，有些特大型号的苹果体积可能接近1立方分米； C．一块橡皮一块橡皮比1立方分米小得多； D．一粒花生比1立方分米小得多。 体积最接近1立方分米的是一个苹果。 故答案为：B 【精练题01】（23-24五年级下·贵州安顺·期末）冰壶属于冬奥会比赛项目，冰壶的形状和大小如图所示，它的体积大约是8（    ）。 A．dm3 B．cm2 C．cm3 【答案】A 【思路点拨】根据实际情况可知，cm3是较小的体积单位，像橡皮、骰子这类较小物体的体积常用cm3作单位；体积不算小也不算特别大时常用dm3，像常见的电饭煲、小型收纳箱这类物品的体积一般用dm3作单位，据此选择。 【规范解答】A．dm3是体积单位，冰壶的体积大约是8dm3，符合题意； B．cm2是面积单位，不符合题意； C．cm3是体积单位，8cm3太小，不符合题意。 故答案为：A 【精练题02】（23-24五年级下·山西晋中·期末）聪聪在探究立体图形的体积时联想到了长度和面积的度量，仔细阅读她的想法，你认为在度量长度、面积、体积时相同的是（    ）。 用1cm的单位度量，4个1cm就是4cm。 用1cm2的单位度量，8个1cm2就是8cm2。 用1cm3的单位度量，24个1cm3就是24cm3。 A．都是用长度单位度量 B．都是用面积单位度量 C．都是看包含了几个相应的度量单位 【答案】C 【思路点拨】由题意可知，度量长度时用1cm的单位度量，4个1cm就是4cm；度量面积时用1cm2的单位度量，8个1cm2就是8cm2；度量体积时用1cm3的单位度量，24个1cm3就是24cm3；都是看包含了多少个相应的度量单位。 【规范解答】由分析可知： 在度量长度、面积、体积时相同的是都是看包含了几个相应的度量单位。 故答案为：C 重难点考点13：长方体的体积 【精讲题】（24-25五年级下·海南海口·期末）希望小学有一间长10米，宽6米，高4米的长方形教室。 （1）这间教室的空间有多大？ （2）现在要在教室四面墙壁上贴1.2米高的瓷砖，扣除门窗面积6平方米后，这间教室贴瓷砖的面积是多少？ 【答案】（1）240立方米；（2）32.4平方米 【思路点拨】（1）根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可求出这间教室的空间； （2）根据题意可知， 教室贴瓷砖的面积＝（长＋宽）×2×瓷砖的高－门窗面积，代入数据即可解答。 【规范解答】（1）10×6×4 ＝60×4 ＝240（立方米） 答：这间教室的空间是240立方米。 （2）（10＋6）×2×1.2－6 ＝16×2×1.2－6 ＝38.4－6 ＝32.4（平方米） 答：这间教室贴瓷砖的面积是32.4平方米。 【精练题01】（24-25五年级下·海南海口·期末）在一个封闭的水箱内装入水，从里面量，水箱的长、宽、高如下左图所示。水深24厘米，如果把这个水箱立起来放（如下右图），这时水深有多少厘米？ 【答案】72厘米 【思路点拨】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出左图形里水深24厘米的水的体积，由于体积不变，再用水的体积÷（右图的长×宽），即可求出这时水深，据此解答。 【规范解答】90×60×24÷（60×30） ＝90×60×24÷1800 ＝5400×24÷1800 ＝129600÷1800 ＝72（厘米） 答：这时水深72厘米。 【精练题02】（23-24五年级下·四川南充·期末）看图列式计算。 横截面是周长为32cm的正方形，长5dm。 表面积： 体积： 【答案】表面积：1728cm2；体积：3200cm3 【思路点拨】根据题意可知，横截面是正方形，根据正方形周长公式：周长＝边长×4，边长＝周长÷4，代入数据，求出长方体宽和高，再根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 【规范解答】5dm＝50cm 32÷4＝8（cm） （50×8＋50×8＋8×8）×2 ＝（400＋400＋64）×2 ＝（800＋64）×2 ＝864×2 ＝1728（cm2） 50×8×8 ＝400×8 ＝3200（cm3） 表面积是1728cm2，体积是3200cm3。 重难点考点14：正方体的体积 【精讲题】（24-25五年级下·海南海口·期末）棱长为3cm的正方体的体积是( )，把两个这样的正方体拼成一个长方体，表面积减少了( )，拼成的长方体表面积是( )。 【答案】 27 18 90 【思路点拨】正方体的体积公式：，据此求出一个正方体的体积。 把两个棱长是3cm的正方体拼成一个长方体，表面积减少了正方体的两个面的面积，根据正方形的面积公式：，求出一个面的面积再乘2，即可求出减少的表面积。 正方体的表面积公式：，拼成的长方体的表面积等于两个正方体的表面积和减去减少的表面积，据此解答。 【规范解答】 （cm3） （cm2） （cm2） 正方体的体积是27cm3，把两个这样的正方体拼成一个长方体，表面积减少了18cm2，拼成的长方体表面积是90cm2。 【精练题01】（23-24五年级下·四川绵阳·期末）下图是由棱长1cm的小正方体拼成的立体图形，从上面和前面看到的形状相同。这个几何体的体积是( )cm3，表面积是( )cm2。 【答案】 10 32 【思路点拨】先根据公式正方体体积＝棱长×棱长×棱长求出1个正方体体积，由图可知这个几何体第一层有4个，第二层有6个，一共有10个小正方体，所以体积是10cm³；由图可知，这个几何体前面有6个面，后面有6个面，上面有6个面，下面有6个面，左面有4个面，右面有4个面，一共有32个面，用公式正方形的面积=棱长×棱长求出1个面的面积，所以表面积是32cm²。 【规范解答】1×1×1＝1（cm³） 1×（4＋6）＝1×10＝10（cm³） 1×1×（6＋6＋6＋6＋4＋4）＝1×32＝32（cm²） 【精练题02】（23-24五年级下·湖北十堰·期末）已知一个长方体上放着一个正方体，求这个图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】表面积：800平方厘米；体积：1325立方厘米 【思路点拨】一个立体图形全部的表面的面积之和，叫表面积。观察可知，这个图形的表面积可以用长方体的表面积加正方体的侧面四个正方形的面积，根据，及正方形的面积＝边长边长，代入数据计算。 根据，，分别求出正方体和长方体的体积，再相加即可得到这个图形的表面积和体积。 【规范解答】表面积： （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 体积： （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 表面积是800平方厘米；体积是1325立方厘米。 重难点考点15：体积单位间的进率与换算(立方厘米、立方分米和立方米) 【精讲题】（23-24五年级下·四川凉山·期末）把一个长是18厘米，宽是9厘米，高是10厘米的长方体削成一个最大的正方体，这个正方体的体积是( )立方分米。 【答案】0.729 【思路点拨】根据题意，将一个长是18厘米，宽是9厘米，高是10厘米的长方体削成一个体积最大的正方体，这个正方体的棱长等于长方体的宽，再根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式求出正方体的体积，最后把结果根据1立方分米＝1000立方厘米换算成立方分米为单位即可。 【规范解答】9×9×9 ＝81×9 ＝729（立方厘米） 729立方厘米＝0.729立方分米 这个正方体的体积是0.729立方分米。 【精练题01】（23-24五年级下·重庆忠县·期末）下列物品中，体积最接近1立方分米的是（    ）。 A．10块橡皮 B．1块香皂 C．2本新华字典 D．一张课桌 【答案】C 【思路点拨】根据生活经验，对面积单位和数据的大小认识，一个粉笔盒的体积大约是1立方分米，1立方分米＝1000立方厘米，据此逐项分析即可。 【规范解答】A．1块橡皮大约是1立方厘米，10块大约是20立方厘米，不符合题意； B．生活中1个粉笔盒大约能装4块香皂，所以1块香皂的体积比1立方分米要小挺多，不符合题意； C．1本新华字典的体积大约是0.5立方分米，2本新华字典大约是1立方分米，符合题意； D．一张课桌的体积大约是1立方米，不符合题意。 故答案为：C 【精练题02】（23-24五年级下·河北邢台·期末）在一个长60厘米、宽50厘米、高40厘米的长方体上截取一个最大的正方体，正方体的体积是 立方米。 【答案】0.064 【思路点拨】根据题意，在一个长方体上截取一个最大的正方体，那么这个正方体的棱长等于长方体最短的棱； 再根据正方体的体积公式V＝a3，求出这个正方体的体积，并根据进率“1立方米＝1000000立方厘米”换算单位。 【规范解答】40＜50＜60 则这个正方体的棱长是40厘米； 40×40×40 ＝1600×40 ＝64000（立方厘米） 64000立方厘米＝0.064立方米 正方体的体积是0.064立方米。 重难点考点16：立体图形的切拼(长方体、正方体的体积) 【精讲题】（22-23五年级下·湖北黄石·期末）把1m3的正方体木块切成1dm3的小正方体木块。如果把这些小木块排成一行组成一个长方体，那么这个长方体的长是（    ）。 A．1km B．100m C．1000cm 【答案】B 【思路点拨】1m3＝1000dm3，由此可知，1 m3的正方体木块切成1dm3的小正方体木块，能分成1000个1dm3的小正方体；1dm3的小正方体的棱长是1dm3；把这些小正方体排成一排，总长度是1×1000＝1000dm；再转成单位，即可解答。 【规范解答】1m3＝1000dm3 所以1000÷1＝1000（个） 1dm3的正方体的棱长是1dm。 总长：1×1000＝1000（dm） 1000dm＝100m＝0.1km＝10000cm 把1m3的正方体木块切成1dm3的小正方体木块。如果把这些小木块排成一行组成一个长方体，那么这个长方体的长是100m（或0.1km，10000cm）。 故答案为：B 【精练题01】（23-24五年级下·江西吉安·期末）用棱长为1cm的小正方体摆成稍大一些的正方体，至少需要（    ）个小正方体。 A．4 B．6 C．8 【答案】C 【思路点拨】拼成一个稍大的正方体，这个正方体的棱长最少是2cm，所以长宽高都分别需要2个1cm的正方体。 【规范解答】2×2×2＝8（个） 用棱长为1cm的小正方体摆成稍大一些的正方体，至少需要8个小正方体。 故答案为：C 【精练题02】（23-24五年级下·浙江绍兴·期末）芳芳准备把两个长是40厘米、宽为20厘米、高是25厘米的长方体礼品盒（如图）叠在一起，再用彩纸包装好。 （1）包装后的大长方体礼物体积是多少立方分米？（厚度忽略不计） （2）怎样叠放最节省包装纸？此时的表面积与原来两个长方体表面积之和相比减少了多少平方分米？ 【答案】（1）40立方分米 （2）把面积是1000平方厘米的面叠放最节省包装纸；20平方分米 【思路点拨】（1）体积表示物体所占空间的大小，所以包装好的大长方体礼物体积等于两个长方体的体积和，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出一个长方体的体积，再乘2，即可解答。 （2）重合面的面积最大，叠放最节省包装纸；根据图可知，长是40厘米，宽是25厘米的面的面积是最大的，所以减少了两个长是40厘米，宽是25厘米面的面积，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答，注意单位名数的换算。 【规范解答】（1）40×20×25×2 ＝800×25×2 ＝20000×2 ＝40000（立方厘米） 40000立方厘米＝40立方分米 答：包装后的长方体礼物体积是40立方分米。 （2）40×20＝800（平方厘米） 40×25＝1000（平方厘米） 20×25＝500（平方厘米） 1000＞800＞500；把面积是1000平方厘米的面叠放最节省包装纸。 40×25×2 ＝1000×2 ＝2000（平方厘米） 2000平方厘米＝20平方分米 答：把面积是1000平方厘米的面叠放最节省包装纸，此时的表面积与原来两个长方体表面积之和相比减少了20平方分米。 重难点考点17：容积单位间的进率与换算(升和毫升) 【精讲题】（23-24五年级下·湖南长沙·期末）3.04立方米＝( )立方分米；560毫升＝( )升。 【答案】 3040 0.56 【思路点拨】1立方米＝1000立方分米，1升＝1000毫升，高级单位化低级单位乘进率，低级单位化高级单位除以进率。 【规范解答】3.04×1000＝3040（立方分米） 560÷1000＝0.56（升） 所以3.04立方米＝3040立方分米，560毫升＝0.56升。 【精练题01】（23-24五年级下·北京石景山·期末） 3600立方分米＝( )立方米    8升＝( )毫升 【答案】 3.6 8000 【思路点拨】1立方米＝1000立方分米，1升＝1000毫升；从高级单位到低级单位，用高级单位的数乘进率；从低级单位到高级单位，用低级单位的数除以进率。 【规范解答】3600÷1000＝3.6（立方米） 3600立方分米＝3.6立方米 8×1000＝8000（毫升） 8升＝8000毫升 【精练题02】（23-24五年级下·北京丰台·期末）兰兰做了一个测量铁球体积的实验： 第一步，将800毫升的水倒入一个容积1升的杯子中； 第二步，将5个相同的铁球放入水中，杯中的水没有满； 第三步，再将1个同样的铁球放入水中，这时杯中的水溢出10毫升。 根据这个实验，可以知道一个铁球的体积是( )立方厘米。 【答案】35 【思路点拨】1升＝1000毫升，所以杯子的容积是1000毫升。放入6个铁球后，杯中的水溢出10毫升，因此6个铁球体积包括杯中水上升的体积和溢出的水的体积这两部分，水上升的体积是（1000－800）毫升，再加上溢出的水的体积10毫升，即可求出6个铁球体积之和，再除以6，即是一个铁球的体积，根据进率“1毫升＝1立方厘米”换算单位即可。 【规范解答】1升＝1000毫升 1000－800＋10＝210（毫升） 210÷6＝35（毫升） 35毫升＝35立方厘米 即一个铁球的体积是35立方厘米。 重难点考点18：体积、容积单位的选择 【精讲题】（24-25五年级下·海南海口·期末）在括号里填定合适的单位名称。 ①一个电饭锅的体积约24( )    ②一瓶洗洁精约500( ) 【答案】 立方分米/dm3 毫升/mL 【思路点拨】根据生活经验，对容积单位、体积单位和数据大小的认识，一盒纯牛奶大概是200毫升，所以一瓶洗洁精的容积用毫升作单位合适；一个粉笔盒的体积是约1立方分米，所以电饭锅的体积用立方分米作单位合适；据此解答。 【规范解答】①一个电饭锅的体积约24立方分米；    ②一瓶洗洁精约500毫升。 【精练题01】（23-24五年级下·四川绵阳·期末）填上合适的单位：教室中黑板的面积约是4( )，一台电冰箱的容积是540( )。 【答案】 平方米/m2 升/L 【思路点拨】边长1米的正方形，面积是1平方米，大约是1个家庭餐桌面的大小；棱长1分米的正方体，体积是1立方分米，大约是2个拳头的大小，1立方分米＝1升，据此根据面积和容积单位的认识，以及生活经验进行填空。 【规范解答】教室中黑板的面积约是4平方米，一台电冰箱的容积是540升。 【精练题02】（22-23五年级下·湖北黄石·期末）填写合适的单位：一台电冰箱容积约是230( )，载人潜水器载人舱的容积约为3( )。 【答案】 升/L 立方米/m3 【思路点拨】毫升一般用于计量能装较少液体的容器的容积，如墨水瓶、矿泉水瓶的容积等；升一般用于计量能装较多液体的容器的容积，如水桶的容积、汽车油箱的容积，电冰箱的容积等；一般在计算较大物体的容积时，就可以用体积单位“立方米”，如蓄水池、游泳池里的存水量等；根据上述，结合题目所给的数据，结合生活实际可知，一台电冰箱的容积用升比较合适；载人潜水器载人舱的容积立方米比较合适，据此解答。 【规范解答】一台电冰箱容积约是230升。 载人潜水器载人舱的容积约为3立方米。 一台电冰箱容积约是230升，载人潜水器载人舱的容积约为3立方米。 重难点考点19：体积与容积单位间的进率及换算 【精讲题】（23-24五年级下·四川南充·期末）一个长方体玻璃水缸，长8分米，宽5分米，高5分米，水深4分米。如果竖直放入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水会溢出多少升？ 【答案】24升 【思路点拨】求缸里的水会溢出多少，就是求正方体铁块的体积比长方体玻璃水缸还能容纳物体的体积多多少，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高，分别求出正方体铁块的体积和长方体玻璃水缸还能容纳物体的体积，再用正方体铁块的体积减去长方体玻璃水缸还能容纳物体的体积，求出缸里的水溢出多少立方分米，再根据1立方分米＝1升，把立方分米化为升即可解答。 【规范解答】4×4×4－8×5×（5－4） ＝16×4－40×1 ＝64－40 ＝24（立方分米） 24立方分米＝24升 答：缸里的水会溢出24升。 【精练题01】（23-24五年级下·湖南长沙·期末）如图，一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长50厘米、宽30厘米、高25厘米。 现将一块高14厘米，体积为1000立方厘米的假石山放入缸内。如果水龙头以每分5000毫升的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多少分钟才能将假石山完全淹没？ 【答案】4分钟 【思路点拨】根据题意，要将一块高14厘米，体积为1000立方厘米的假石山完全淹没，那么要向长方体鱼缸内注入14厘米高的水；根据长方体的体积＝长×宽×高，求出将假石山完全浸没水和假山石的体积之和，再减去假山石的体积，即是需注入水的体积；然后根据进率“1立方厘米＝1毫升”换算单位； 已知水龙头以每分5000毫升的流量向鱼缸内注水，用注入水的体积除以水的流速，即可求出时间。 【规范解答】50×30×14 ＝1500×14 ＝21000（立方厘米） 21000－1000＝20000（立方厘米） 20000立方厘米＝20000毫升 20000÷5000＝4（分钟） 答：至少需要4分钟才能将假石山完全淹没。 【精练题02】（23-24五年级下·重庆北碚·期末）科学课上，同学们正在研究如何增加船的载重量。 （1）第一步：自制小船。把铝箔做成船型容易漂浮在水面上，同学们在老师的指导下用铝箔做了多艘不同底面积的小船。1小组用边长12厘米的正方形铝箔，在它的4个角各剪去一个边长为2厘米的小正方形（如下图），制成的铝箔船的容积是多少毫升？ （2）第二步：测试比较，用弹珠或垫圈模拟货物放入铝箔船比较载重量。实验室的水槽从里面量长2.5分米、宽1.8分米、高1分米。同学们将2.7升的水倒入水槽，水位的高度是多少分米？ 【答案】（1）128毫升 （2）0.6分米 【思路点拨】（1）制成的铝箔船的容积＝长×宽×高；观察可知，长＝宽＝正方形铝箔的边长－剪去正方形的边长×2；高＝剪去正方形的边长。再根据1立方厘米＝1毫升，把单位转化为毫升。代入数据计算。 （2）先根据1升＝1立方分米，把2.7升转化为以立方分米为单位，再根据长方体体积公式的逆运算，水槽的水位高度＝倒入水的体积÷（水槽的长×水槽的宽），代入数据计算即可。 【规范解答】（1）12－2×2 ＝12－4 ＝8（厘米） 8×8×2 ＝64×2 ＝128（立方厘米） 128立方厘米＝128毫升 答：制成的铝箔船的容积是128毫升。 （2）2.7升＝2.7立方分米 2.7÷（2.5×1.8） ＝2.7÷4.5 ＝0.6（分米） 答：水位的高度是0.6分米。 重难点考点20：长方体、正方体的容积 【精讲题】（23-24五年级下·四川绵阳·期末）一盒酸奶的外包装是一个长方体纸盒，包装纸上标有“净含量250mL”。实际外包装长5cm，宽5cm。如果你来设计，你认为酸奶盒比较合适的高度是（    ） A．5cm B．10cm C．10.5cm D．15cm 【答案】C 【思路点拨】包装的高度一定大于酸奶的高度，“净含量250mL”说明酸奶一共有250mL，先根据公式高＝长方体体积÷长÷宽，求出酸奶的高度，然后再跟选项进行比较，选择略微高出酸奶高度的酸奶盒即可。 【规范解答】250mL＝250cm³ 250÷5÷5＝10（cm） 10.5cm＞10cm 故答案为：C 【精练题01】（23-24五年级下·河北唐山·期末）如图，花花用一张长30厘米、宽24厘米的长方形纸板，从四角各切掉一个边长6厘米的正方形，然后做成无盖盒子。 （1）如果在盒子外面贴上彩纸，贴彩纸的面积是多少平方厘米？ （2）这个盒子的容积是多少立方厘米？ 【答案】（1）576平方厘米 （2）1296立方厘米 【思路点拨】（1）贴彩纸的面积＝长方形纸板的面积－4个正方形的面积，长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，据此列式解答； （2）长方体的长＝长方形的长－正方形边长×2，长方体的宽＝长方形的宽－正方形边长×2，长方体的高＝正方形的边长，根据长方体容积＝长×宽×高，列式解答即可。 【规范解答】（1）30×24－6×6×4 ＝720－144 ＝576（平方厘米） 答：贴彩纸的面积是576平方厘米。 （2）30－6×2 ＝30－12 ＝18（厘米） 24－6×2 ＝24－12 ＝12（厘米） 18×12×6＝1296（立方厘米） 答：这个盒子的容积是1296立方厘米。 【精练题02】（20-21五年级下·湖南长沙·期末）用下图的铁板做一个长方体（单位：厘米），这个长方体的容积是( )立方厘米，需要铁板( )平方厘米。 【答案】 2000 800 【思路点拨】根据图形可知，长方体的长是20厘米，宽是20厘米，高是5厘米，根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，求出长方体的容积；求需要铁板的面积，就是求长方体5个面的面积，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【规范解答】20×20×5 ＝400×5 ＝2000（立方厘米） 20×20＋（20×5＋20×5）×2 ＝400＋（100＋100）×2 ＝400＋200×2 ＝400＋400 ＝800（平方厘米） 这个长方体的容积是2000立方厘米，需要铁板800平方厘米。 重难点考点21：不规则物体的体积算法(长方体、正方体) 【精讲题】（23-24五年级下·四川绵阳·期末）在下图的玻璃鱼缸中放入一块高1.5分米、体积为6立方分米的假山石。如果水管以每分钟10立方分米的流量向鱼缸内注水，至少需要多长时间才能把假山石刚好淹没？ 【答案】3分钟 【思路点拨】先确定把假山完全淹没需要的水的体积，即为长、宽、高分别为6分米、4分米、1.5分米的水的体积再减去假山的体积，求出需要注水的体积，又知道每分钟注水量，再根据：时间＝总量÷速度，用需要注水的体积除以10立方分米即可解答。 【规范解答】（6×4×1.5－6）÷10 ＝（24×1.5－6）÷10 ＝（36－6）÷10 ＝30÷10 ＝3（分钟） 答：至少需要3分钟才能把假山石刚好淹没。 【精练题01】（23-24五年级下·重庆忠县·期末）在现实生活中有很多像梨、石块等形状不规则的物体，我们可以用排水法测量它们的体积，请观察后完成填空。 (1)水的体积是( )mL，水和梨的体积是( )cm3。 (2)梨的体积：( )。（请列式计算） (3)小结：用排水法测量不规则物体的体积需要记录的数据有( )和( )。 (4)在这个实验中用到了“转化”的数学思想，即把( )的体积转化成了( )的体积。 【答案】(1) 200 450 (2)450－200＝250（cm3） (3) 水的体积 水和物体的体积之和 (4) 梨的体积 水上升的体积 【思路点拨】（1）观察刻度线即可解答。 （2）水和梨的体积减去水的体积，即可得梨的体积。 （3）根据排水法的实验过程，即可知道需要知道水的体积和将不规则物体放入水中后，水和物体的体积之和是多少。 （4）运用转化的方法，将不规则的图形的梨的体积转化为求上升的水的体积。 【规范解答】（1）450 mL ＝450cm3 水的体积是200mL，水和梨的体积是450cm3。 （2）450－200＝250（cm3） 梨的体积：250 cm3 （3）小结：用排水法测量不规则物体的体积需要记录的数据有水的体积和水和物体的体积之和。 （4）在这个实验中用到了“转化”的数学思想，即把梨的体积转化成了水上升的体积。 【精练题02】（22-23五年级下·湖北黄石·期末）如图，西红柿的体积是多少立方厘米？ 【答案】150立方厘米 【思路点拨】看图可知，水面上升的体积就是西红柿的体积，长方体容器的底面积×水面上升的高度＝西红柿的体积，据此列式解答。 【规范解答】10×10×（10－8.5） ＝100×1.5 ＝150（立方厘米） 答：西红柿的体积是150立方厘米。 模块四 优选压轴题强化培优练 1．（24-25五年级下·海南海口·期末）把一个长8厘米，宽和高都是5厘米的长方体截成一个最大的正方体后，表面积（    ）。 A．减少110平方厘米 B．减少85平方厘米 C．减少60平方厘米 【答案】C 【思路点拨】根据正方体的特征可知，把这个长方体截成一个最大的正方体，这个正方体的棱长为5厘米，减少的面积相当于长为5厘米、宽为（8－5）厘米的4个小长方形的面积，根据长方形面积公式解答。 【规范解答】5×（8－5）×4 ＝5×3×4 ＝60（平方厘米） 把一个长8厘米，宽和高都是5厘米的长方体截成一个最大的正方体后，表面积减少60平方厘米。 故答案为：C 2．（24-25五年级下·海南海口·期末）一个正方体的棱长总和是72厘米，它的棱长是（    ）厘米。 A．18 B．12 C．6 【答案】C 【思路点拨】根据正方体的棱长总和公式可知：正方体的棱长＝棱长总和÷12，据此列式计算即可。 【规范解答】72÷12＝6（厘米） 一个正方体的棱长总和是72厘米，它的棱长是6厘米。 故答案为：C 3．（23-24五年级下·四川广元·期末）一个长方体的长，宽，高分别是a厘米，b厘米，h厘米，如果高增加2厘米，则其体积增加（    ）立方厘米。 A．abh B．2ab C．2ah D．ab（h＋2） 【答案】B 【思路点拨】如果高增加2厘米，则其增加的体积等于长a厘米、宽b厘米、高2厘米的长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可解答。 【规范解答】a×b×2＝2ab（立方厘米） 所以一个长方体的长，宽，高分别是a厘米，b厘米，h厘米，如果高增加2厘米，则其体积增加2ab立方厘米。 故答案为：B 4．（23-24五年级下·四川凉山·期末）一个长方体的底面是一个正方形，它的侧面展开图正好是一个面积为64平方分米的正方形。这个长方体一个底面的面积是（    ）平方分米。 A．64 B．16 C．8 D．4 【答案】D 【思路点拨】根据题意，长方体的的侧面展开图正好是一个面积为64平方分米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，可推导出侧面展开图的边长是8分米，也就是长方体的底面周长和高都是8分米； 已知长方体的底面是一个正方形，根据正方形的周长＝边长×4，那么正方形的边长＝周长÷4；再根据正方形的面积＝边长×边长，求出这个长方体的底面积。 【规范解答】因为64＝8×8，所以长方体的底面周长是8分米，高是8分米； 底面边长：8÷4＝2（分米） 底面积：2×2＝4（平方分米） 这个长方体一个底面的面积是4平方分米。 故答案为：D 5．（2022·湖南邵阳·小升初真题）将正方体的棱长扩大到原来的3倍，则表面积扩大到原来的( )倍；体积扩大到原来的( )倍。 【答案】 9 27 【思路点拨】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，假设原来正方体的棱长为a，则扩大后的棱长为3a；分别求出变化前后的表面积、体积，进而得出表面积、体积的变化情况；据此解答。 【规范解答】假设原来正方体的棱长为a，则扩大后的棱长为3a 原来的表面积：a×a×6＝6a2 现在的表面积：3a×3a×6＝54a2 原来的体积：a×a×a＝a3 现在的体积：3a×3a×3a＝27a3 54a2÷6a2＝9 27a3÷a3＝27 表面积扩大到原来的9倍；体积扩大到原来的27倍。 6．（24-25五年级下·海南海口·期末）一个长方体的长是6.8厘米，宽是5厘米，高是4厘米，它的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 162.4 136 【思路点拨】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2、长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可解答。 【规范解答】（6.8×5＋6.8×4＋5×4）×2 ＝（34＋27.2＋20）×2 ＝81.2×2 ＝162.4（平方厘米） 6.8×5×4＝136（立方厘米） 长方体的表面积是162.4平方厘米，体积是136立方厘米。 7．（24-25五年级下·海南海口·期末）把72m3三合土铺在宽12m的路基上，铺15cm厚，可铺( )m长的路面。 【答案】40 【思路点拨】根据1m＝100cm，统一单位，铺的厚度相当于长方体的高，根据长方体的长＝体积÷宽÷高，列式计算即可。 【规范解答】15cm＝0.15m 72÷12÷0.15＝40（m） 可铺40m长的路面。 8．（24-25五年级下·海南海口·期末）要在平地上挖一个长20米、宽8米、深50厘米的长方体土坑，一共要挖出( )方的土，土坑占地面积是( )平方厘米。 【答案】 80 1600000 【思路点拨】第一问就是要求长方体的体积，根据1方＝1立方米，先把50厘米转化为0.5米，再根据，代入数据计算后把单位转化为方即可。 第二问就是要求长方体的底面积，土坑占地面积是一个长是20米，宽是8米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，再根据1平方米＝10000平方厘米，把单位转化为平方厘米即可。 【规范解答】50厘米＝0.5米 （立方米）＝80（方） （平方米）＝1600000（平方厘米） 要在平地上挖一个长20米、宽8米、深50厘米的长方体土坑，一共要挖出80方的土，土坑占地面积是1600000平方厘米。 9．（23-24五年级下·四川绵阳·期末）正方体的棱长扩大到原来的3倍，那么它的表面积扩大到原来的6倍，体积扩大到原来的9倍。( ) 【答案】× 【思路点拨】正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，正方体棱长扩大到原来的几倍，表面积扩大到原来的倍数×倍数，体积扩大到原来的倍数×倍数×倍数，据此分析。 【规范解答】3×3＝9 3×3×3＝27 正方体的棱长扩大到原来的3倍，那么它的表面积扩大到原来的9倍，体积扩大到原来的27倍，所以原题说法错误。 故答案为：× 10．（23-24五年级下·重庆忠县·期末）在4.06m3、406000cm3、4060dm3、4060000cm3这4个数据中，4.06m3与其它3个数据不相等。( ) 【答案】× 【思路点拨】根据1 m3＝1000 dm3，1 dm3＝1000 cm3，高级单位换算成低级单位，乘进率，低级单位换算成高级单位，除以进率。先将所有数据都换算成以dm3为单位，再比较即可判断。 【规范解答】因为：4.06m3＝4060 dm3 406000cm3＝406 dm3 4060000cm3＝4060 dm3 所以：4.06m3＝4060 dm3＝4060000cm3 4.06m3≠406000 dm3 在4.06m3、406000cm3、4060dm3、4060000cm3这4个数据中，4.06m3与4060dm3、4060000cm3相等，4.06m3与406000cm3不相等。因此原题说法不正确。 故答案为：× 11．（24-25五年级下·海南海口·期末）计算下列图形的表面积和体积。 【答案】表面积1036cm2；体积1512cm3 【思路点拨】观察图形可知，正方体与长方体有重合的部分，把正方体的上面向下平移，补给长方体的上面；这样长方体的表面积是6个面的面积之和，而正方体只需计算4个面（前后面和左右面）的面积；所以组合图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体4个面的面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体4个面的面积＝棱长×棱长×4，代入数据计算即可。 组合图形的体积＝长方体的体积＋正方体的体积，根据长方体的体积V＝abh，正方体的体积V＝a3，代入数据计算即可。 【规范解答】长方体的表面积： （25×10＋25×4＋10×4）×2 ＝（250＋100＋40）×2 ＝390×2 ＝780（cm2） 正方体4个面的面积： 8×8×4 ＝64×4 ＝256（cm2） 一共：780＋256＝1036（cm2） 图形的表面积是1036cm2。 25×10×4＋8×8×8 ＝1000＋512 ＝1512（cm3） 图形的体积是1512cm3。 12．（24-25五年级下·海南海口·期末）计算下列图形的表面积和体积。（单位：dm） 【答案】2532dm2，6688dm3；150dm2，113dm3 【思路点拨】第一个组合体，通过平移，表面积＝完整的大长方体表面积＋小长方体前后左右4个面的面积和，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，小长方体4个面的面积和＝（长×高＋宽×高）×2；体积＝大长方体体积＋小长方体体积，长方体体积＝长×宽×高； 第二个组合体，挖去一个长方体，减少了3个面，又出现了同样的3个面，因此表面积＝完整的正方体表面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6；体积＝正方体体积－长方体体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【规范解答】第一个组合体： 表面积：（37×16＋37×10＋16×10）×2＋（16×6＋8×6）×2 ＝（592＋370＋160）×2＋（96＋48）×2 ＝1122×2＋144×2 ＝2244＋288 ＝2532（dm2） 体积：37×16×10＝5920（dm3） 16×8×6＝768（dm3） 5920＋768＝6688（dm3） 第二个组合体： 表面积：5×5×6＝150（dm2） 体积：5×5×5－2×2×3 ＝125－12 ＝113（dm3） 第一个组合体的表面积是2532dm2，体积是5920dm3；第二个组合体的表面积是150dm2，体积是113dm3。 13．（24-25五年级下·海南海口·期末）一个高为4.5分米的长方体容器，水深3分米时装了27升水，如果把它装满，能装多少升水？ 【答案】40.5升 【思路点拨】根据1升＝1立方分米，所以27升等于27立方分米，又知当水深3分米时，容器装了27升水，根据长方体的体积V＝Sh，所以S＝V÷h，再用长方体容器的底面积乘长方体容器的高，即可求出长方体容器能装满多少升的水。 【规范解答】27升＝27立方分米 27÷3＝9（平方分米） 9×4.5＝40.5（立方分米） 40.5立方分米＝40.5升 答：能装40.5升水。 14．（24-25五年级下·海南海口·期末）一个长方体的玻璃缸长8分米、宽6分米、高4分米，缸中水深2.8分米。如果放入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 【答案】6.4升 【思路点拨】根据题意，把一块正方体铁块放入水深2.8分米的长方体玻璃缸中，水会先升高到4分米，再溢出，所以溢出水的体积＝铁块的体积－长方体玻璃缸无水部分的体积，根据正方体的体积公式V＝a3，长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。注意单位的换算：1立方分米＝1升。 【规范解答】4×4×4＝64（立方分米） 8×6×（4－2.8） ＝8×6×1.2 ＝48×1.2 ＝57.6（立方分米） 64－57.6＝6.4（立方分米） 6.4立方分米＝6.4升 答：缸里的水溢出6.4升。 15．（24-25五年级下·海南海口·期末）一个长方体的底面是一个周长为30厘米的长方形，高为10厘米。如果长和宽的厘米数都是合数，那么这个长方体的棱长和、表面积和体积分别是多少？ 【答案】棱长和是100厘米，表面积是408平方厘米，体积是540立方厘米 【思路点拨】根据长方体的底面周长＝（长＋宽）×2，可知长、宽的和是（30÷2）厘米，即15厘米，因为长和宽的厘米数都是合数，一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数，据此将15拆分为2个合数相加，即6＋9；再根据长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4、长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2、长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可求出这个长方体的棱长和、表面积和体积。 【规范解答】30÷2＝15（厘米） 15＝6＋9 长为9厘米，宽为6厘米， 棱长和：（9＋6＋10）×4 ＝25×4 ＝100（厘米） 表面积：（9×6＋9×10＋6×10）×2 ＝（54＋90＋60）×2 ＝204×2 ＝408（平方厘米） 体积：9×6×10＝540（立方厘米） 答：这个长方体的棱长和是100厘米，表面积是408平方厘米，体积是540立方厘米。 $$