专题11.12 一元一次不等式（6大类题型）（挑战综合压轴题分类专题）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）
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内容正文：
专题11.12 一元一次不等式（6大题型）（挑战综合压轴题分类专题）
第一部分【题型目录】
【题型1】含参数的一元一次不等式.....................................................1
【题型2】不等式与方程组综合.........................................................1
【题型3】实际问题中的最优化问题.....................................................2
【题型4】绝对值不等式的初步应用.....................................................3
【题型5】不等式与数轴结合综合.......................................................4
【题型6】不等式整数解问题...........................................................5
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】含参数的一元一次不等式
【例题1】（24-25八年级上·重庆江津·期中）若关于的不等式组有且仅有个整数解，且的结果不含二次项，则满足条件的整数的值为 ．
【变式1】（23-24七年级下·湖北黄石·期末）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型2】不等式与方程组综合
【例题2】（2023七年级下·全国·专题练习）若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（ ）
A．12 B．6 C． D．
【变式1】（21-22七年级下·湖北荆门·期末）已知关于，的方程组．
（1）若原方程组的解也是二元一次方程的一个解，求的值；
（2）若原方程组的解，满足，
①求的取值范围；
②求不等式组的解集．
【变式2】（22-23七年级下·河南周口·阶段练习）若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ．
【题型3】实际问题中的最优化问题
【例题3】（24-25八年级上·重庆渝北·开学考试）某公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如表所示．已知在这辆客车都坐满的情况下，共载客人．
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
日租金（元/辆）
（1）求甲、乙两种型号的客车各有多少辆？
（2）某中学计划租用甲、乙两种型号的客车共辆，接送七年级的师生到基地参加暑期社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过元．
①至少要租用多少辆甲型客车？
②若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．
【变式1】（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）某商店购进A，B两种商品共140件进行销售．已知采购A商品30件与B商品40件共390元，采购A商品20件与B商品30件共280元．
（1）求A，B商品每件进价分别是多少元？
（2）若该商店出售A，B两种商品时，先都以标价10元出售，售出一部分后再降价促销，都以标价的7折售完所有剩余商品．其中以10元售出的商品件数比购进A种商品件数少20件，该商店此次降价前后销售A，B两种商品共获利不少于360元不多于480元，求有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，每卖出一件A商品给希望工程捐a元，每卖出一件B商品捐1元，140件商品全部售出，最大捐款为200元，请直接写出a的值．
【变式2】（20-21八年级上·浙江·阶段练习）已知有A、B两种不同规格的货车共50辆，现计划分两趟把甲种货物306吨和乙种货物230吨运往某地，先用50辆货车共同运输甲种货物，再开回共同运输乙种货物.其中每辆车的最大装载量如表：
最大装载量（吨）
A型货车
B型货车
甲种货物
7
5
乙种货物
3
7
（1）装货时按此要求安排A、B两种货车的辆数，共有几种方案.
（2）使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元.在上述方案中，哪个方案运费最省?最省的运费是多少元?
（3）在（2）的方案下，现决定对货车司机发共2100元的安全奖，已知每辆A型车奖金为m元，每辆B型车奖金为n元，，且m，n均为整数.则___________，____________.
【题型4】绝对值不等式的初步应用
【例题4】（2025七年级下·全国·专题练习）有下列各数：①；②；③0；④5．其中能使不等式成立的为（ ）
A．①②③ B．①③ C．①④ D．②③④
【变式2】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．
①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为．
②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．
（1）的解集为______，的解集为______；
（2）已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值．
【题型5】不等式与数轴结合综合
【例题5】（21-22七年级下·福建厦门·期末）数轴上的点，，表示的数分别为，，，其中，，且，是中点，线段上仅有个表示整数的点．若，则整数不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1】（18-19八年级下·陕西宝鸡·期末）表示1－2a和6－2a的点在数轴上的位置如图所示，a的取值范围为 ．
【变式2】（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）阅读下列材料并回答问题：
我们知道，绝对值的几何意义是表示在数轴上一个数对应的点与另一个特定点的距离．例如，可以解释为数轴上对应的点与对应的点之间的距离．基于这一概念，我们可以解决一系列与绝对值相关的数学问题，如方程和不等式的求解．
例1：解方程．从绝对值的几何意义出发，我们寻找数轴上与原点距离为5的点．显然，这些点对应的数为5和，因为它们到原点的距离都是5．因此，该方程的解为或．
例2：解不等式，如图1，在数轴上找出的解，即到数1对应的点的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为或．
例3：解方程．由绝对值的几何意义知，该方程表示在数轴上与数1和数对应的点的距离之和为5的点对应的的值．在数轴上，1和的距离为3，满足方程的对应的点在1的右边或的左边，若对应的点在1的右边，由图2可以看出，同理，若对应的点在-2的左边，可得，故原方程的解是或．
回答问题：
（1）解方程：；
（2）解不等式：；
（3）解方程：；
（4）若对任意的都成立，求的取值范围．
【题型6】不等式整数解问题
【例题6】（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）对于不等式：（且），当时，；当时，，请根据以上信息，解答以下问题：
（1）解关于的不等式：；
（2）若关于的不等式：，其解集中无正整数解，求的取值范围；
（3）若关于的不等式：，当时，在上总存在的值使得其成立，求的取值范围．
【变式1】（24-25八年级下·河北保定·期中）对于m，n定义一种新运算T，规定：，即：当时，；当时，，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算．
若关于x的不等式的最大整数解为，则 ．
【变式2】（21-22九年级·山东枣庄·自主招生）已知关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
1
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专题11.12 一元一次不等式（6大题型）（挑战综合压轴题分类专题）
第一部分【题型目录】
【题型1】含参数的一元一次不等式.....................................................1
【题型2】不等式与方程组综合.........................................................3
【题型3】实际问题中的最优化问题.....................................................6
【题型4】绝对值不等式的初步应用....................................................10
【题型5】不等式与数轴结合综合......................................................12
【题型6】不等式整数解问题..........................................................16
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】含参数的一元一次不等式
【例题1】（24-25八年级上·重庆江津·期中）若关于的不等式组有且仅有个整数解，且的结果不含二次项，则满足条件的整数的值为 ．
【答案】
【分析】先求出一元一次不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有个整数解，得出，利用多项式乘多项式化简，根据结果不含二次项，得出，结合即可求出的值．
解：，解不等式，
解得：，
解不等式，
解得：，
∴
∵不等式组有且仅有个整数解，
∴，
解得：，
又∵，且其结果不含二次项，
∴的系数为零
∴
∴
解得：或
又∵
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式，绝对值，多项式乘多项式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式1】（23-24七年级下·湖北黄石·期末）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了含参不等式的求解，根据一元一次不等式的基本性质得到a与b的比值以及的结论，设，代入即可得解．
解：由得：，
∵不等式的解集是，
且
设
则
∴的解集是，
即，
故选：A．
【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先根据不等式的性质求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组仅有2个整数解求出m的范围即可．
解：：解不等式，得，
∴不等式组的解集是，
∵不等式组的解集中恰好有两个整数，
∴设相邻的两个整数分别为n和，
∴，
整理得，
∴当时，不等式组有解，
解得，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【题型2】不等式与方程组综合
【例题2】（2023七年级下·全国·专题练习）若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（ ）
A．12 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可．
解：，
，得：，
解得，
，得：，
解得，
∵，
∴，
解得，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组只有3个整数解，
∴，
解得，
∴，
∴符合条件的整数m的值的和为，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键．
【变式1】（21-22七年级下·湖北荆门·期末）已知关于，的方程组．
（1）若原方程组的解也是二元一次方程的一个解，求的值；
（2）若原方程组的解，满足，
①求的取值范围；
②求不等式组的解集．
【答案】（1）m=2；（2）①m＜；②若m≤-2，则不等式组无解，若-2＜m＜，则不等式组的解集为-2＜x＜m．
【分析】（1）解方程组得出a=3m+2、b=m+1，代入方程2a-3b=7，解之可得；
（2）将a、b代入a+2b＜12得出m的范围，再解不等式组，根据解集分类讨论可得．
解：（1）解方程组得，
根据题意知2（3m+2）-3（m+1）=7，
解得：m=2；
（2）由题意知3m+2+2（m+1）＜12，
解得：m＜，
②解不等式x-m＜0，得：x＜m，
解不等式4x+3＞2x-1，得：x＞-2，
若m≤-2，则不等式组无解，
若-2＜m＜，则不等式组的解集为-2＜x＜m．
【点拨】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据题意得出关于m的方程或不等式是解答此题的关键．
【变式2】（22-23七年级下·河南周口·阶段练习）若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ．
【答案】
【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到即可解答．
解：，
解不等式①得，
解不等式②得，，
不等式组有4个整数解，
∴，
∴，
解方程组，
得：，解得，
将代入②得：，解得
方程组的解为：，
∵，
∴，
关于的方程组的解为整数，
，
当时，，符合题意；
所有满足条件的整数的值为．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组、解二元一次方程组等知识点，根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围是解题的关键．
【题型3】实际问题中的最优化问题
【例题3】（24-25八年级上·重庆渝北·开学考试）某公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如表所示．已知在这辆客车都坐满的情况下，共载客人．
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
日租金（元/辆）
（1）求甲、乙两种型号的客车各有多少辆？
（2）某中学计划租用甲、乙两种型号的客车共辆，接送七年级的师生到基地参加暑期社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过元．
①至少要租用多少辆甲型客车？
②若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．
【答案】（1）甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆；（2）①至少要租用辆甲型客车；②共有种租车方案，方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车．
【分析】（）设甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆，根据题意列出方程组即可求解；
（）①设租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆，根据题意列出不等即可求解；②由题意可得，解得，进而结合①可得的取值范围为，据此即可得出所有可能的租车方案，再求出每一种方案的租车费用即可判断求解；
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，正确列出方程组和不等式是解题的关键．
解：（1）解：设甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆，
由题意得，，
解得，
答：甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆；
（2）解：①设租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆，
由题意得，，
解得，
∵为整数，
∴至少要租用辆甲型客车；
②由题意得，，
解得，
∴，
∵为整数，
∴或4或5，
∴共有种租车方案，方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；
方案的租车费用：元；
方案的租车费用：元；
方案的租车费用：元；
∵，
∴最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车．
【变式1】（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）某商店购进A，B两种商品共140件进行销售．已知采购A商品30件与B商品40件共390元，采购A商品20件与B商品30件共280元．
（1）求A，B商品每件进价分别是多少元？
（2）若该商店出售A，B两种商品时，先都以标价10元出售，售出一部分后再降价促销，都以标价的7折售完所有剩余商品．其中以10元售出的商品件数比购进A种商品件数少20件，该商店此次降价前后销售A，B两种商品共获利不少于360元不多于480元，求有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，每卖出一件A商品给希望工程捐a元，每卖出一件B商品捐1元，140件商品全部售出，最大捐款为200元，请直接写出a的值．
【答案】（1）A，B商品每件进价分别是5元，6元；（2）有31种进货方案；（3）
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一元一次方程的实际应用：
（1）设A，B商品每件进价分别是x元，y元，根据采购A商品30件与B商品40件共390元，采购A商品20件与B商品30件共280元列出方程组求解即可；
（2）设购进A商品m件，则购买B商品件，以10元售出的商品件数为件，用卖出的钱数减去购买的钱数得到利润，再由获利不少于360元不多于480元列出不等式组求解即可；
（3）设购进A商品t件，则购进B商品件，捐款总额为W，则，当时，则，不符合题意，当，随着t的增大，的值也在增大，即W的值也在增大，则，解方程即可得到答案．
解：（1）解：设A，B商品每件进价分别是x元，y元，
由题意得，，
解得，
答：A，B商品每件进价分别是5元，6元；
（2）解：设购进A商品m件，则购买B商品件，以10元售出的商品件数为件，
由题意得，，
整理得：，
解得，
∵m为正整数，
∴的值可以有种，
∴有31种进货方案；
（3）解：设购进A商品t件，则购进B商品件，捐款总额为W，
∴，
∵最大捐款为200元，
∴当时，，则，不符合题意，
∴，
∵随着t的增大，的值也在增大，即W的值也在增大，
∴当t最大时，W最大，
∴，
解得．
【变式2】（20-21八年级上·浙江·阶段练习）已知有A、B两种不同规格的货车共50辆，现计划分两趟把甲种货物306吨和乙种货物230吨运往某地，先用50辆货车共同运输甲种货物，再开回共同运输乙种货物.其中每辆车的最大装载量如表：
最大装载量（吨）
A型货车
B型货车
甲种货物
7
5
乙种货物
3
7
（1）装货时按此要求安排A、B两种货车的辆数，共有几种方案.
（2）使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元.在上述方案中，哪个方案运费最省?最省的运费是多少元?
（3）在（2）的方案下，现决定对货车司机发共2100元的安全奖，已知每辆A型车奖金为m元，每辆B型车奖金为n元，，且m，n均为整数.则___________，____________.
【答案】（1）三种方案；（2）A种货车30辆，B种货车20辆时费用最省，费用为（元）；（3）40 45
【分析】（1）设安排A种货车x辆，则安排B种货车辆，列出不等式组，求整数解即可；
（2）根据三种方案判断即可；
（3）根据二元一次方程，求整数解即可．
解：（1）解：设安排A种货车x辆，则安排B种货车辆，
，
解得：，
因为x为整数，所以可以取28，29，30，共三种方案．
（2）使用A种货车费用600元，B种货车800元，，
在上述方案中，安排A种货车最多时最省费用，
即当A种货车30辆，B种货车20辆时费用最省，
费用为：（元）；
（3）在（2）的方案下，由题意得：
，
，
，
，
解得：，
经验算，只有当时，m=为整数，其余n的取值不符合要求，
此次奖金发放的具体方案为：每辆A种货车奖金为40元，每辆B种货车奖金为45元．
【点拨】本题考查一元一次不等式（组）的应用，二元一次方程的整数解问题，解题的关键是理解题意，学会利用参数根据不等式（组）解决问题．
【题型4】绝对值不等式的初步应用
【例题4】（2025七年级下·全国·专题练习）有下列各数：①；②；③0；④5．其中能使不等式成立的为（ ）
A．①②③ B．①③ C．①④ D．②③④
【答案】C
【分析】本题主要考查了解绝对值不等式，根据题意得出x的取值范围是解题的关键．先求解绝对值不等式，得出x的取值范围，进而求出答案．
解：∵，
∴或，
解得：或，
∴能使不等式成立的为①；④5．
故选：C．
【变式1】（22-23九年级上·广东梅州·开学考试）不等式的解集是 ．
【答案】/
【分析】根据“|a|”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离即可解答．
解：根据绝对值的几何意义可得：“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于，
不等式的解集是．
故答案为：．
【点拨】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
【变式2】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．
①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为．
②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．
（1）的解集为______，的解集为______；
（2）已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值．
【答案】（1）；或；（2）
【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、二元一次方程组的特殊解法，求一元一次不等式组的整理数解等知识点，理解绝对值的几何意义是解答本题的关键．
（1）根据阅读材料的结论即可解答；
（2）先将二元一次的方程组的两方程求和可得，再代入得到关于的绝对值方程，然后求解，最后确定满足题意的的值即可．
解：（1）解：由阅读材料提供方法可得：的解集为；
的解集为或．
故答案为；或．
（2）解：二元一次方程组
可得：，即
，
是正整数
．
【题型5】不等式与数轴结合综合
【例题5】（21-22七年级下·福建厦门·期末）数轴上的点，，表示的数分别为，，，其中，，且，是中点，线段上仅有个表示整数的点．若，则整数不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据有理数乘法运算法则，异号得负，得出；由得，即；根据中点的定义，确定点表示的数为；由线段上仅有个表示整数的点，确定这两个整数点为和，点在和之间，则，，在和之间，则，然后利用不等式的性质，先确定的范围，然后再确定的范围，进而确定的范围，也就是的范围，最后确定的范围，从而确定整数不可能选项．
解：∵，，且，
∴，且，即，
∵是中点，
∴，点表示的数为，
∴，
∵线段上仅有个表示整数的点．，
∴线段上除了没有其他表示整数的点，线段上有个表示整数的点和，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，且为整数，
∴，
∴不可能是．
故选：D．
【点拨】本题考查实数与数轴的点的对应关系，其中涉及到有理数的乘法运算法则，绝对值的含义，利用不等式的性质确定字母的范围，中点的定义．能够根据题目的每个条件分别得出相应的结论，然后综合分析是解决本题的关键．
【变式1】（18-19八年级下·陕西宝鸡·期末）表示1－2a和6－2a的点在数轴上的位置如图所示，a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先由图中两点位置分别得出两个不等式，在原点右边的数大于0，左边的数小于0，联立这两个不等式求出不等式组的解集，再根据它们到原点的距离不同，列出关于绝对值的关系式，进一步求解即可．
解：由图可知：
由得，
由得，
所以该不等式组的解集为，
因为右边的数离原点更远
所以
所以
解得
综上可得：
故答案为：．
【点拨】本题考查了学生对数轴的认识以及对不等式（组）的应用，解决本题的关键是能准确分析数轴上点的位置特征，列出相应的不等式，再解不等式（组）即可，解题过程中需要学生理解绝对值的意义，牢记解不等式的步骤，并能正确求出公共解集．
【变式2】（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）阅读下列材料并回答问题：
我们知道，绝对值的几何意义是表示在数轴上一个数对应的点与另一个特定点的距离．例如，可以解释为数轴上对应的点与对应的点之间的距离．基于这一概念，我们可以解决一系列与绝对值相关的数学问题，如方程和不等式的求解．
例1：解方程．从绝对值的几何意义出发，我们寻找数轴上与原点距离为5的点．显然，这些点对应的数为5和，因为它们到原点的距离都是5．因此，该方程的解为或．
例2：解不等式，如图1，在数轴上找出的解，即到数1对应的点的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为或．
例3：解方程．由绝对值的几何意义知，该方程表示在数轴上与数1和数对应的点的距离之和为5的点对应的的值．在数轴上，1和的距离为3，满足方程的对应的点在1的右边或的左边，若对应的点在1的右边，由图2可以看出，同理，若对应的点在-2的左边，可得，故原方程的解是或．
回答问题：
（1）解方程：；
（2）解不等式：；
（3）解方程：；
（4）若对任意的都成立，求的取值范围．
【答案】（1）或；（2）或；（3）或；（4）
【分析】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
（1）根据题意可以求得方程的解；
（2）根据题意可以求得不等式得解集；
（3）讨论的不同取值范围可以求得方程的解．
（4）原问题转化为：大于或等于最大值，据此求解．
解：（1）解：解方程，容易看出，在数轴上与距离为7的点的对应数为，3，即该方程的解为或；
（2）解：解不等式，
如图3，在数轴上找出的解，即到3的距离为4的点对应的数为，7，则的解集为或．
（3）解：，
当时，
，
解得；
当时，
，
在时，不能使得成立；
当时，
，
解得，
故的解是或．
（4）解：原问题转化为大于或等于的最大值．
当时，应该恒等于；
当时，随的增大而减小，
即小于4大于；
当时，，
即应该恒等于4．
综上所述，的最大值为4，
故．
【题型6】不等式整数解问题
【例题6】（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）对于不等式：（且），当时，；当时，，请根据以上信息，解答以下问题：
（1）解关于的不等式：；
（2）若关于的不等式：，其解集中无正整数解，求的取值范围；
（3）若关于的不等式：，当时，在上总存在的值使得其成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式的性质，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键
（1）由，可得，计算求解即可；
（2）由，可得，即，由解集中无正整数解，可得，即，解得，由解集中无正整数解，可得，计算求解即可；
（3）由，，可得，解得，，由在上总存在的值使得其成立，可得，计算求解即可．
解：（1）解：∵，
∴，
解得，；
（2）解：∵，
∴，
，
∵解集中无正整数解，
∴，即，
∴，
∵解集中无正整数解，
∴，
，
解得，，
∴的取值范围为；
（3）解：∵，，
∴，
解得，，
∵在上总存在的值使得其成立，
∴，
解得，，
∴的取值范围为．
【变式1】（24-25八年级下·河北保定·期中）对于m，n定义一种新运算T，规定：，即：当时，；当时，，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算．
若关于x的不等式的最大整数解为，则 ．
【答案】/
【分析】此题考查了新定义、解一元一次不等式组和一元一次不等式，正确列出不等式和不等式组是关键．根据题意列出一元一次不等式，解不等式得到，再根据关于的不等式的最大整数解为进行求解即可．
解：由题意可得，，
∴
解得，
∵关于的不等式的最大整数解为，
∴
解得
∵为最大整数，
∴；
故答案为：
【变式2】（21-22九年级·山东枣庄·自主招生）已知关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】D
【分析】本题考查由不等式组的整数解求参数，涉及不等式组的解法、分类讨论等知识，先解不等式组，再由参数的情况，分类讨论，确定不等式组的解集，最后结合不等式组的整数解情况求出参数范围即可得到答案，熟练掌握不等式组的解法是解决问题的关键．
解：关于的不等式组，
由①得；由②得；
关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2，
当时，不等式组的解集为，则，解得，整数可取，整数可取，则整数对有，共6个；
当时，不等式组的解集为，则，解得，不等式组无解；
综上所述，关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数有6个，
故选：D．
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