专题11.10 一元一次不等式（6大知识点5大考点12类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题11.10 一元一次不等式（6大知识点5大考点12类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】不等式及相关概念 一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式. （1）能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. （2）不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.  （3）求不等式解集的过程叫解不等式.  （4）由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组. （5）不等式组的解集：一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分. 【知识点2】等式基本性质 性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式. 性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式. 【知识点3】不等式的基本性质 性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.（注：移项要变号，但不等号不变.） 性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 【知识点4】解不等式的步骤： （1） 去分母； （2） 去括号； （3） 移项、合并同类项； （4）系数化为1.  【知识点5】解不等式的步骤： （1） 解出不等式的解集； （2） 在同一数轴表示不等式的解集； （3）写出不等式组的解集.  【知识点6】列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤： （1） 审题； （2）设未知数，找（不等量）关系式； （3）设元，（根据不等量）关系式列不等式（组）  ； （4）解不等式组；检验并作答. 考点与题型目录 【考点一】基本概念与性质 【题型1】不等式的定义及不等关系...............................................2 【题型2】不等式的基本性质.....................................................3 【考点二】解一元一次不等式 【题型3】解一元一次不等式.....................................................3 【题型4】求含参数的一元一次不等式的解.........................................3 【考点三】解一元一次不等式组 【题型5】解一元一次不等式组...................................................4 【题型6】求含参数的一元一次不等式组...........................................4 【题型7】一元一次不等（组）与二元一次方程组综合...............................4 【考点四】一元一次不等式（组）的应用 【题型8】一元一次不等（组）与经济问题.........................................5 【题型9】一元一次不等（组）与分配问题.........................................6 【题型10】一元一次不等（组）与方案问题........................................6 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型11】中考链接............................................................7 【题型12】拓展延伸............................................................8 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】基本概念与性质 【题型1】不等式的定义及不等关系 【例题1】（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知关于的方程是一元一次方程，则 ． 【变式】（24-25七年级下·上海崇明·阶段练习）下列式子中：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【题型2】不等式的基本性质 【例题2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，请用两种不同的方法比较与a的大小． 【变式1】（2025·浙江杭州·一模）已知是实数，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·陕西渭南·期中）已知，若，则的取值范围是 ． 【考点二】解一元一次不等式 【题型3】解一元一次不等式 【例题3】（23-24七年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： （1） （2） 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解为 ． 【变式2】（24-25八年级下·山东青岛·期中）已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【题型4】求含参数的一元一次不等式的解 【例题4】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x的方程的解是负数． （1）求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，解关于x的不等式． 【变式1】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）如果关于的不等式的解集如图所示，则的值是 ． 【变式2】（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）关于的一元一次不等式至少有两个负整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点三】解一元一次不等式组 【题型5】解一元一次不等式组 【例题5】（24-25七年级下·湖南张家界·期中）解不等式组：，并把他们的解集在数轴上表示出来，然后写出它的所有整数解． 【变式1】（2025·山东枣庄·二模）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）按如图程序进行运算：并规定，程序运行到“结果是否大于33”为一次运算，且运算进行2次才停止．则可输入的实数x的取值范围是 ． 【题型6】求含参数的一元一次不等式组 【例题6】（24-25七年级下·河南开封·期中）含参不等式之有解问题． （1）若关于的不等式组有解，求的取值范围． （2）已知关于的不等式组有5个整数解，求的取值范围． 【变式1】（24-25七年级下·重庆万州·期中）若不等式组 的解集为，则的值等于 （    ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）不等式组的解集是，则m的取值范围是 ． 【题型7】一元一次不等（组）与二元一次方程组综合 【例题7】（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知关于x、y的方程组，若x的值为非负数，y的值为正数． （1）求m的取值范围； （2）已知，且，求的取值范围． 【变式1】（22-23七年级下·江苏南通·期中）已知关于的方程组的解都为非负数，若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）若方程组的解，满足，则的取值范围为 ． 【考点四】一元一次不等式（组）的应用 【题型8】一元一次不等（组）与经济问题 【例题8】（2025七年级下·全国·专题练习）发奋识遍天下字，立志读尽人间书．2025年4月23日是第30个“世界读书日”，某校为提高学生的阅读种类，进一步建设书香校园，准备购买A，B两种图书，已知购买1本A种图书比1本B种图书多5元；购买6本A种图书与购买7本B种图书的价格相同． （1）求这两种图书的单价； （2）现决定购买A，B两种图书共70本，若购买A种图书的数量不少于所购买B种图书数量的一半，且购买两种图书的总价不超过2225元．请问有哪几种购买方案？ 【变式1】（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东珠海·一模）为助力珠海打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，珠海某社区计划采购一批相同型号白匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元． （1）求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？ （2）由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整．现需一次性购买匹克球拍匹克球数量之和为50，匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元．求满足件的采购方案有哪些？ 【题型9】一元一次不等（组）与分配问题 【例题9】（24-25七年级下·全国·单元测试）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 【变式1】（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． （1）求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ （2）考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 【题型10】一元一次不等（组）与方案问题 【例题10】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）合肥45中举办经典诵读比赛，需采购诗词手册和书签两种道具作为班级奖励．首次采购时，购买1套诗词手册和2套书签共需50元；第二次采购时，购买3套诗词手册和3套书签共需105元． （1）求每套诗词手册和书签进价各是多少元？ （2）比赛筹备组计划再次采购两种道具共80套．供应商调整价格：诗词手册进价上涨30%；书签进价降至原价的八折．若学校要求总费用不超过1548元，且诗词手册的数量不低于书签的数量，求满足条件的方案有哪几种？ 【变式1】（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）秦汉学校组织全体师生参加夏令营活动，现准备租用、两种型号的客车（每种型号的客车至少租用一辆），其中型客车每辆租金500元，型客车每辆租金600元．已知5辆型客车和2辆型客车坐满后共载客310人；3辆型客车和4辆型客车坐满后共载客340人． （1）求每辆型客车，每辆型客车坐满后各载客多少人； （2）若该校计划租用型和型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并能将全校420名师生全部载至目的地，请列举出该校所有的租车方案． 【变式2】（24-25九年级下·广东茂名·期中）某网店推出甲、乙两种纪念文化衫，已知每件甲种纪念文化衫的进价比乙种纪念文化衫多元，若该网店进购20件甲种纪念文化衫和件乙种纪念文化衫，共需资金元． （1）甲、乙两种纪念文化衫每件的进价各是多少元？ （2）根据消费者需求，该网店决定用不超过元购进甲、乙两种纪念文化衫共件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的，则该网店共有几种进货方案？ 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型11】中考链接 【例题1】（2024·安徽·中考真题）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ． 【题型12】拓展延伸 【例题1】（2025·河北保定·二模）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为的值输入程序再次计算，比如：当输入时，依次计算作为第一次“传输”，可得，，，不大于，所以，把输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得，，，当起始输入时，要使最终可以结束程序，则需经过“传输”的次数为（    ） A．次 B．次 C．次 D．次 【例题2】（2025九年级下·全国·学业考试）设表示不超过x的最大整数（例如：），则方程的解为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.10 一元一次不等式（6大知识点5大考点12类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】不等式及相关概念 一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式. （1）能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. （2）不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.  （3）求不等式解集的过程叫解不等式.  （4）由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组. （5）不等式组的解集：一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分. 【知识点2】等式基本性质 性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式. 性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式. 【知识点3】不等式的基本性质 性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.（注：移项要变号，但不等号不变.） 性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 【知识点4】解不等式的步骤： （1） 去分母； （2） 去括号； （3） 移项、合并同类项； （4）系数化为1.  【知识点5】解不等式的步骤： （1） 解出不等式的解集； （2） 在同一数轴表示不等式的解集； （3）写出不等式组的解集.  【知识点6】列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤： （1） 审题； （2）设未知数，找（不等量）关系式； （3）设元，（根据不等量）关系式列不等式（组）  ； （4）解不等式组；检验并作答. 考点与题型目录 【考点一】基本概念与性质 【题型1】不等式的定义及不等关系...............................................2 【题型2】不等式的基本性质.....................................................3 【考点二】解一元一次不等式 【题型3】解一元一次不等式.....................................................4 【题型4】求含参数的一元一次不等式的解.........................................6 【考点三】解一元一次不等式组 【题型5】解一元一次不等式组...................................................8 【题型6】求含参数的一元一次不等式组...........................................9 【题型7】一元一次不等（组）与二元一次方程组综合..............................12 【考点四】一元一次不等式（组）的应用 【题型8】一元一次不等（组）与经济问题........................................14 【题型9】一元一次不等（组）与分配问题........................................17 【题型10】一元一次不等（组）与方案问题.......................................19 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型11】中考链接...........................................................22 【题型12】拓展延伸...........................................................24 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】基本概念与性质 【题型1】不等式的定义及不等关系 【例题1】（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是的整式方程是一元一次方程，可得，且，据此即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴，且， 解得， 故答案为：． 【变式】（24-25七年级下·上海崇明·阶段练习）下列式子中：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查不等式的概念：用不等号连接的式子，理解不等式的概念是解题的关键．根据不等式的概念判定即可． 解：③没有不等号，不是不等式，④是等式， 则不等式有①，②；⑤，一共有3个， 故选：B． 【题型2】不等式的基本性质 【例题2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，请用两种不同的方法比较与a的大小． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．比较与a的大小，可以利用不等式的基本性质，也可以利用作差法，直接得出与a的大小． 解：解法一：因为， 所以， 得； 解法二：因为， 所以， 得； 解法三：作差法，， 所以； 【变式1】（2025·浙江杭州·一模）已知是实数，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的进行判定即可． 解：是实数，若，， ，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误． 故选C． 【变式2】（24-25八年级下·陕西渭南·期中）已知，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质, 根据题意，知在不等式的两边同时乘以后不等号方向不变，根据不等式的性质，得出，解此不等式即可求解． 解：∵，且， ∴， 则， 故答案为：． 【考点二】解一元一次不等式 【题型3】解一元一次不等式 【例题3】（23-24七年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： （1） （2） 【答案】（1），数轴表示见分析；（2），数轴表示见分析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确求出对应不等式的解集是解题的关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2））按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 解：（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为． 先按照解一元一次不等式的一般步骤求解，然后取其非负整数解即可． 解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 不等式的非负整数解为：或， 故答案为：或． 【变式2】（24-25八年级下·山东青岛·期中）已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 解：∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是6． 故选：A． 【题型4】求含参数的一元一次不等式的解 【例题4】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x的方程的解是负数． （1）求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，解关于x的不等式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查根据方程的解的情况求参数的范围，求不等式的解集： （1）先求出方程的解，根据方程的解为负数，得到关于的不等式，进行求解即可； （2）根据解不等式的步骤进行求解即可． 解：（1）解：， 解得：， ∵方程的解为负数， ∴， ∴； （2）， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）如果关于的不等式的解集如图所示，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解一元一次方程，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 表示出不等式的解集，由数轴上表示的不等式解集确定出a的值即可． 解：∵， ∴， 则， 由数轴知， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）关于的一元一次不等式至少有两个负整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式，根据不等式解的个数求参数，理解负整数解的概念是解题的关键． 解一元一次不等式，根据不等式负整数解的个数，即可确定的取值范围． 解：解不等式得：， 又∵关于的一元一次不等式至少有两个负整数解， ∴， 即：， 故选：C． 【考点三】解一元一次不等式组 【题型5】解一元一次不等式组 【例题5】（24-25七年级下·湖南张家界·期中）解不等式组：，并把他们的解集在数轴上表示出来，然后写出它的所有整数解． 【答案】，见详解，整数解为，0，1 【分析】本题主要考查了解不等式组、在数轴上表示不等式组的解集以及求不等式组的整数解，正确解该不等式组是解题关键． 分别解两个不等式，按照“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集，然后把他们的解集在数轴上表示出来，并确定它的所有整数解． 解：， 解不等式①，可得 ， 解不等式②，可得 ， 所以，该不等式组的解集为， 将不等式组的解集在数轴上表示出来，如下图所示， 所有整数解为，0，1． 【变式1】（2025·山东枣庄·二模）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及将解集表示在数轴上，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先分别求出两个不等式的解集，然后即可得到不等式组的解集，再将不等式组的解集表示在数轴上即可． 解：解，得， 解，得， 该不等式组的解集为， 其解集在数轴上表示如下： 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）按如图程序进行运算：并规定，程序运行到“结果是否大于33”为一次运算，且运算进行2次才停止．则可输入的实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列不等式组解实际问题，正确理解程序，列出不等式组是解题关键． 根据程序可以列出不等式组，即可确定实数x的取值范围，从而求解． 解：根据题意得：第一次：， 第二次：， 根据题意得： 解得：． 故答案是：． 【题型6】求含参数的一元一次不等式组 【例题6】（24-25七年级下·河南开封·期中）含参不等式之有解问题． （1）若关于的不等式组有解，求的取值范围． （2）已知关于的不等式组有5个整数解，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，正确理解题意是解题的关键． （1）先分别求每一个不等式的解集，再根据有解得到新的不等式即可求解； （2）先求出不等式组的解集，进而根据不等式组的整数解得到新的不等式组，求出未知数的取值范围即可． 解：（1）解： 由①得，； 由②得，， ∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：； （2）解： 由①得，， 由②得，， ∴原不等式组的解集为：， ∵关于的不等式组有5个整数解， ∴， 解得：． 【变式1】（24-25七年级下·重庆万州·期中）若不等式组 的解集为，则的值等于 （    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组），解一元一次方程等知识点，解此题的关键是求出关于a和b的方程． 根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据不等式组的解集得出，，求解并代入计算即可得出答案． 解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组 的解集为， 不等式组 的解集为 -1 < x < 1， ，， 解得：，， ， 故选D． 【变式2】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）不等式组的解集是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 先解得，利用同大取大得到，然后解关于m的不等式即可． 解：， 解①，得， ∴， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型7】一元一次不等（组）与二元一次方程组综合 【例题7】（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知关于x、y的方程组，若x的值为非负数，y的值为正数． （1）求m的取值范围； （2）已知，且，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解方程组和一元一次不等式组，能根据题意求出方程组的解、准确求解不等式组的解集是解题的关键． （1）先求出方程组的解，根据x的值为非负数和y的值为正数得出，求出m的范围即可； （2）根据， ，求出，再根据，得出，最后求出即可． 解：（1）解：解方程组得：， 的值为非负数，的值为正数， ， 解得：， 即的取值范围是：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【变式1】（22-23七年级下·江苏南通·期中）已知关于的方程组的解都为非负数，若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先解方程组得到，再根据方程组的解为非负数得到，则，再由已知条件得到，据此求解即可． 解： 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴方程组的解为， ∵关于的方程组的解都为非负数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）若方程组的解，满足，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查解方程组及不等式的综合，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键．先将两个方程相加，得到，代入然后求解即可． 解：解方程组： 得，， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【考点四】一元一次不等式（组）的应用 【题型8】一元一次不等（组）与经济问题 【例题8】（2025七年级下·全国·专题练习）发奋识遍天下字，立志读尽人间书．2025年4月23日是第30个“世界读书日”，某校为提高学生的阅读种类，进一步建设书香校园，准备购买A，B两种图书，已知购买1本A种图书比1本B种图书多5元；购买6本A种图书与购买7本B种图书的价格相同． （1）求这两种图书的单价； （2）现决定购买A，B两种图书共70本，若购买A种图书的数量不少于所购买B种图书数量的一半，且购买两种图书的总价不超过2225元．请问有哪几种购买方案？ 【答案】（1）A种图书的单价是35元，B种图书的单价是30元；（2）方案1：购买24本A种图书，46本B种图书；方案2：购买25本A种图书，45本B种图书 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设B种图书的单价是x元，则A种图书的单价是元，根据购买6本A种图书与购买7本B种图书的价格相同，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即B种图书的单价），再将其代入中，即可求出A种图书的单价； （2）设购买y本A种图书，则购买本B种图书，根据“购买A种图书的数量不少于所购买B种图书数量的一半，且购买两种图书的总价不超过2225元”，可列出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各购买方案． 解：（1）设B种图书的单价是x元，则A种图书的单价是元， 根据题意得：， 解得：， ∴（元）． 答：A种图书的单价是35元，B种图书的单价是30元； （2）设购买y本A种图书，则购买本B种图书， 根据题意得：， 解得：， 又∵y为正整数， ∴y可以为24，25， ∴共有2种购买方案， 方案1：购买24本A种图书，46本B种图书； 方案2：购买25本A种图书，45本B种图书． 【变式1】（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，设购买篮球个，则购买足球个，根据购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．列不等式组即可． 解：设购买篮球个，则购买足球个， 根据题意：， 故选：C． 【变式2】（2025·广东珠海·一模）为助力珠海打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，珠海某社区计划采购一批相同型号白匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元． （1）求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？ （2）由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整．现需一次性购买匹克球拍匹克球数量之和为50，匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元．求满足件的采购方案有哪些？ 【答案】（1）匹克球拍的单价为160元，匹克球的单价为10元；（2）①购买匹克球拍5副，匹克球45个；②购买匹克球拍6副，匹克球44个 【分析】本题考查了二元一次方程组组的应用，一元一次不等式的应用，正确列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键． （1）设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元，根据购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元列方程组求解即可； （2）设购买匹克球拍m副，则购买匹克球个，根据匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元列不等式组求解即可． 解：（1）解：设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元 由题意得： 解得： 答：匹克球拍的单价为160元，匹克球的单价为10元． （2）设购买匹克球拍m副，则购买匹克球个． 由题意得：， 又取正整数， 可取5，6 当时，匹克球数量为：个； 当时，匹克球数量为：个． 答：满足条件的采购方案有两种：①购买匹克球拍5副，匹克球45个；②购买匹克球拍6副，匹克球44个． 【题型9】一元一次不等（组）与分配问题 【例题9】（24-25七年级下·全国·单元测试）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 【答案】全班至少有25人，至多有27人 【分析】本题考查的是二元一次方程与不等式组的应用，设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得，再进一步解题即可． 解：设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得 由①得：， 将代入②，得， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵是正整数， ∴全班至少有25人，至多有27人． 【变式1】（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 解：根据题意可得： ， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． （1）求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ （2）考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 【答案】（1）A型50元，B型100元；（2）A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元，根据若采购A型10件，B型5件，需要1000元；若采购A型5件，B型3件，需要550元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件，根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，根据两种纪念品一共花费4000元，列出二元一次方程，整理得，再根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，且不超过B型纪念品数量的8倍，得出，解得，然后求出正整数解，即可得出答案． 解：（1）解：设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元， 依题意得： ， 解得：， 答：采购A型纪念品每件需50元，采购B型纪念品每件需100元； （2）解：设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件， 由题意得：， 整理得：， 由题意可知，， ∴， 解得：， ∵n为正整数 ∴n为8或9或10， 当时，； 当时，； 当时，； ∴A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件． 【题型10】一元一次不等（组）与方案问题 【例题10】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）合肥45中举办经典诵读比赛，需采购诗词手册和书签两种道具作为班级奖励．首次采购时，购买1套诗词手册和2套书签共需50元；第二次采购时，购买3套诗词手册和3套书签共需105元． （1）求每套诗词手册和书签进价各是多少元？ （2）比赛筹备组计划再次采购两种道具共80套．供应商调整价格：诗词手册进价上涨30%；书签进价降至原价的八折．若学校要求总费用不超过1548元，且诗词手册的数量不低于书签的数量，求满足条件的方案有哪几种？ 【答案】（1）每套诗词手册和书签进价分别是20元，15元；（2）该比赛筹备组共有3种购买方案，方案1：购买诗词手册40套、购买书签40套；方案2：购买诗词手册41套、购买书签39套；方案3：购买诗词手册42套、购买书签38套． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、不等式组的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和不等式组成为解题的关键． （1）设每套诗词手册和书签进价各分别为x元、y元，然后根据题意列方程组求解即可； （2）设购买诗词手册m套，则购买书签套．再根据题意列不等式组求得m的取值范围，进而完成解答． 解：（1）解：设每套诗词手册和书签进价各分别为x元、y元， 由题意可得：，解得：． 答：每套诗词手册和书签进价分别是20元，15元． （2）解：设购买诗词手册m套，则购买书签套． 由题意可得：，解得：， ∴该比赛筹备组共有3种购买方案，方案1：购买诗词手册40套、购买书签40套；方案2：购买诗词手册41套、购买书签39套；方案3：购买诗词手册42套、购买书签38套． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）秦汉学校组织全体师生参加夏令营活动，现准备租用、两种型号的客车（每种型号的客车至少租用一辆），其中型客车每辆租金500元，型客车每辆租金600元．已知5辆型客车和2辆型客车坐满后共载客310人；3辆型客车和4辆型客车坐满后共载客340人． （1）求每辆型客车，每辆型客车坐满后各载客多少人； （2）若该校计划租用型和型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并能将全校420名师生全部载至目的地，请列举出该校所有的租车方案． 【答案】（1）每辆型车、型车坐满后各载客人、人；（2）方案一、租用型车5辆，则租用型车5辆；方案二、租用型车6辆，则租用型车4辆；方案三、租用型车7辆，则租用型车3辆；方案四、租用型车8辆，则租用型车2辆． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等组的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设每辆型车、型车坐满后各载客人、人，由题意列出方程组求解即可； （2）设租用型车辆，则租用型车辆，由题意列出不等组，求解即可得出答案． 解：（1）解：设每辆型车、型车坐满后各载客人、人，由题意得： ， 解得：， 答：每辆型车、型车坐满后各载客人、人； （2）解：设租用型车辆，则租用型车辆，由题意得： ， 解得：， ∵取正整数， ∴， ∴共有种租车方案； 方案一、租用型车5辆，则租用型车5辆； 方案二、租用型车6辆，则租用型车4辆； 方案三、租用型车7辆，则租用型车3辆； 方案四、租用型车8辆，则租用型车2辆． 【变式2】（24-25九年级下·广东茂名·期中）某网店推出甲、乙两种纪念文化衫，已知每件甲种纪念文化衫的进价比乙种纪念文化衫多元，若该网店进购20件甲种纪念文化衫和件乙种纪念文化衫，共需资金元． （1）甲、乙两种纪念文化衫每件的进价各是多少元？ （2）根据消费者需求，该网店决定用不超过元购进甲、乙两种纪念文化衫共件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的，则该网店共有几种进货方案？ 【答案】（1）甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元；（2）该网店共有种进货方案 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、二元一次不等式组的应用． 设甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元，根据该网店进购20件甲种纪念文化衫和件乙种纪念文化衫，共需资金元，可列一元一次方程：，解方程即可求出两种文化衫的单价； 设购进甲种纪念文化衫件，则乙种纪念文化衫为件，根据该网店决定用不超过元购进甲、乙两种纪念文化衫共件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的，可列关于的一元一次不等式组，解不等式组可得：，又因为为正整数，从而可得：，，，所以共有种进货方案． 解：（1）解：设甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元， 由题意得：， 解得：， 元， 答：甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元； （2）解：设购进甲种纪念文化衫件，则乙种纪念文化衫为件， 由题意得：， 解得：， 为整数， 的值为：，，， 该网店共有3种进货方案． 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型11】中考链接 【例题1】（2024·安徽·中考真题）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查不等式的性质和解一元一次不等式组，根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果，熟练掌握不等式的性质是解题关键 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项A错误，不符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项C正确，符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项D错误，不符合题意； 故选：C 【例题2】（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 利用路程速度时间，结合小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出车速的取值范围． 解： ． 根据题意得：， 解得：， 车速的取值范围是． 故答案为：． 【题型12】拓展延伸 【例题1】（2025·河北保定·二模）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为的值输入程序再次计算，比如：当输入时，依次计算作为第一次“传输”，可得，，，不大于，所以，把输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得，，，当起始输入时，要使最终可以结束程序，则需经过“传输”的次数为（    ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】B 【分析】本题考查了程序流程图，一元一次不等式的应用，由程序图可得，当起始输入时，依次输入的数为，，，设经过次传输，可以结束程序，由，，可得，解不等式即可求解，理解题意是解题的关键． 解：由程序图可得，当起始输入时，依次输入的数为，，， 设经过次传输，可以结束程序， ∵，， ∴， 解得， ∵为正整数， ∴的值为，即经过次传输，可以结束程序， 故选：． 【例题2】（2025九年级下·全国·学业考试）设表示不超过x的最大整数（例如：），则方程的解为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查解一元一次方程与一元一次不等式组，解题的基本思路是设，解一元一次方程，用含n的式子表示x，再根据新定义，确定x的取值范围，进一步确定的取值范围，进而求解． 解：令（n为整数），则原方程为． ． ∵表示不超过x的最大整数 ， ， 解得， 或或， 分别将n的值代入， 或或． 故答案为：或或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$