第5讲 空间角与空间距离- 《温故知新》2025-2026学年高一数学下学期复习课（人教A版2029必修第二册）

第5讲 空间角与空间距离 考点一 线线角 【例1-1】（24-25海南海口）如图，三棱锥中，均为正三角形，为直角三角形，斜边为，为的中点，则直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25黑龙江）在正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD的中点，则直线AN与CM所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2025北京）如图，圆锥SO的底面圆直径为AB，，，D为底面圆上的动点，则（ ） A．当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为30° B．当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为60° C．直线SD与AB所成角的最小值为30° D．直线SD与AB所成角的最大值为60° 2．（24-25陕西咸阳）在正四棱柱中，，点分别是的中点，则直线与所成夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25 湖北·阶段练习）如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，则直线和夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 考点二 线面角 【例2-1】（24-25高一下·甘肃张掖·期中）三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（2025·浙江）如图，在边长为2的正三角形中，，分别为，的中点，将沿翻折至，使得.    (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【变式】 1．（24-25新疆昌吉·期末）棱长为1的正四面体中，与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25 河南·阶段练习）已知是从点出发的三条射线，若，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，在直三棱柱中，D，E为，中点，连接，． (1)证明：平面； (2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 4．（2025·福建泉州 ）如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，为的中点.    (1)证明: 平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 考点三 二面角 【例3-1】（2024·湖北荆州）如图，梯形中，,,,设的中点为，将三角形沿着折起，使得到的位置，满足.    (1)求直线与平面所成的角； (2)求平面与平面所成的锐二面角. 【变式】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知四边形是正方形，平面．求： (1)二面角平面角的度数； (2)二面角平面角的度数． 2．（24-25高一下·湖南长沙·期中）三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点．    (1)求与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)求证与平面平行． 3．（24-25高一下·湖南长沙·期中）如图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点满足．现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示． (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 4．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）如图，在正四棱锥中，底面边长为2，高为4． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求二面角的余弦值． 考点四 点面距 【例4】（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，直三棱柱的体积为，的面积为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，三棱柱的底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若，则点到平面的距离为 . 2．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在平行四边形中，，，为的中点，将沿直线折起到的位置，使平面平面． (1)证明：平面平面； (2)设为线段的中点，求点到平面的距离． 3．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）如图所示，三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，点P，D分别为AB，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求点C到平面的距离． 考点五 线面距 【例5】（23-24高二上·北京·期中）正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（    ） A． B．a C． D． 【变式】 1．（2025上海金山·阶段练习）已知正四棱柱中，，，E为的中点，则直线与平面的距离为 ． 2．（23-24 北京通州·期中）在正三棱柱中，，则直线到平面的距离为 考点六 面面距 【例6】（2025湖北）在长方体中，已知，，与平面ABCD所成角的大小是，那么平面ABCD到平面的距离是 ． 【变式】 1．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024高一下·全国·专题练习）用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为 . 3．（2025高一·全国·课后作业）在长方体中，有一过且与平面平行的平面，棱，，则平面与平面的距离是 ． 1． 单选题 1．（2025湖南）如图所示，，为正方体的两个顶点，，为其所在棱的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 2．（2025山东）正方体中，直线与直线所成的角、直线与平面所成的角分别为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25辽宁大连·期末）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑ABCD中，平面BCD，且，点E，F分别为线段与线段的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4.（2025海南）在三棱柱中，，，且，则直线与平面所成的角的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 5．（24-25贵州·阶段练习）在长方体中，，与平面所成的角为，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·浙江）长方体中，，，则二面角的余弦值的大小为（ ） A． B． C． D． 7．（2023重庆·期中）如图在棱长为2的正方体，中E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（    ）    A． B． C． D． 8．（2024湖北）在直三棱柱中，所有棱长均为1，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2． 多选题 9．（24-25安徽阜阳·开学考试）如图，四棱锥的底面为正方形，平面，则下列结论正确的是（    ）    A． B．AC与SB所成的角为 C．AD与SB所成的角等于CD与SB所成的角 D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 10．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知四面体的各个面都是全等的三角形，且，则下列选项正确的是（    ） A．直线所成角为 B．二面角的余弦值为 C．四面体的体积为 D．四面体外接球的直径为 11．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，在正方体中，为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．二面角等于 D．异面直线与所成的角等于 12．（23-24高一下·河北邯郸·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，M，N分别为，的中点，其中不正确的结论是（    ）    A．直线MN与AC所成的角为 B．直线AM与BN是平行直线 C．二面角的平面角的正切值为 D．点C与平面MAB的距离为 13．（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）已知正三棱台的上底面边长为6，下底面边长为12，侧棱长为6，则（    ） A．棱台的高为 B．棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为 C．棱台的表面积为 D．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 3． 填空题 14．（2026高三·全国·专题练习）如图，和是异面直线，，分别为线段上的点，且，则与所成角的大小为 ． 15．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，为上的动点，恒为定值，且是正三角形，则直线与直线所成角的大小是 ． 16．（23-24高一下·天津西青·期末）如图，在正方体中，异面直线与BC所成角的大小为 ；平面与平面ABCD所成的二面角的大小为 ． 4． 解答题 17．（24-25高二下·甘肃酒泉·阶段练习）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：平面. 18．（24-25 上海松江·阶段练习）已知在正四棱柱中，，，点是的中点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求三棱锥的体积. 19．（2025·上海松江）已知梯形中，，为上的一点且，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点. (1)求证：平面； (2)当时，求直线和平面所成角正弦值 20．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）如图，平面，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 21．（2025·湖南常德）如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，平面，二面角为. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 22．（2025·四川广安 ）在三棱柱中，底面，，，到平面的距离为1. (1)证明：平面平面； (2)已知三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值. 23．（2025·山东潍坊 ）如图，四棱台中，上、下底面分别为边长1，2的正方形，平面，，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 24．（23-24高一下·甘肃兰州·期末）如图，正方体的棱长为2.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 25．（22-23高一下·广东惠州·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等边三角形，平面平面，为的中点. (1)求证：平面. (2)求侧面与底面所成二面角的余弦值. 26．（23-24高一下·甘肃兰州·期末）如图，在四棱锥中，平面PAB，且在四边形PACQ中，，，二面角的大小为，且． (1)点E为BC的中点，证明：平面PAB； (2)求直线BQ与平面PACQ所成角的正弦值． 27．（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，平面，，分别为的中点，． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 28．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，在斜三棱柱中，，等腰直角三角形ABC的斜边在底面ABC上的投影恰为AC的中点．    (1)求二面角的正弦值； (2)求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5讲 空间角与空间距离 考点一 线线角 【例1-1】（24-25海南海口）如图，三棱锥中，均为正三角形，为直角三角形，斜边为，为的中点，则直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，连接，易得， 则，所成的角即为直线所成的角. 设，因为均为正三角形，为直角三角形，斜边为， 则，，， 在中，由余弦定理，得， 所以直线所成角的余弦值为. 故选：B. 【例1-2】（24-25黑龙江）在正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD的中点，则直线AN与CM所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将正四面体ABCD中置于正方体中，如图， 易得，， 所以四边形为平行四边形，则， 则异面直线AN与CM所成角即为直线AN与NE所成角， 即为直线AN与CM所成角（或补角）， 设正方体的棱长为2，则，， 在中，由余弦定理可得，， 因此直线AN与CM所成角的余弦值为. 故选：C. 【变式】 1．（2025北京）如图，圆锥SO的底面圆直径为AB，，，D为底面圆上的动点，则（ ） A．当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为30° B．当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为60° C．直线SD与AB所成角的最小值为30° D．直线SD与AB所成角的最大值为60° 【答案】B 【解析】过作直线分别平行于，交分别为，连接，如图， 则为直线与所成的角，即，且为直线所成的角， 设，则， 在中，，，A错误，B正确； 对于CD，直线与所成角的最小值即为直线与底面所成角， 同时直线与所成角的最大值为直线与所成角，CD错误. 故选：B 2．（24-25陕西咸阳）在正四棱柱中，，点分别是的中点，则直线与所成夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，在正四棱柱中，取的中点，连接， 又因为是的中点，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以，且， 所以与所成的角就是与所成的角，即． 因为是的中点，所以是四边形的中心，所以， 取的中点，连接，则，且， 在矩形中，，所以，则， 在中，， 所以在中，. 故选：B． 3．（24-25 湖北·阶段练习）如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，则直线和夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，因为分别为的中点， 所以，，且， 则 ， 所以， 即直线和夹角的余弦值为，所以正弦值为. 故选：C 考点二 线面角 【例2-1】（24-25高一下·甘肃张掖·期中）三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过点作平面于，在平面内过作，， 垂足分别为，，连接，， 则为直线与平面所成的角， 由平面，平面，所以，， 又，，，平面，则平面， 因为平面，则， 同理可得，由， 得，又， 因此四边形为正方形，，， 所以直线与平面所成角的正弦值. 故选：B. 【例2-2】（2025·浙江）如图，在边长为2的正三角形中，，分别为，的中点，将沿翻折至，使得.    (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【解析】（1）连接，因为为等边三角形，为中点，则， 又，且面，面，，面， 又面，所以平面平面. （2）解法一：（等体积法） 过点作，垂足为， 平面平面，且平面平面，面； 又，分别为，中点， 翻折后，，，由对称性可知， 又，所以，由等面积得， 设直线和平面所成角为，点到面的距离为， 由得：， 又，， 所以，，故直线与平面所成角的正弦值为.    解法二：（几何法） 分别取，的中点，，连接，，，过点作， 为等边三角形，，分别为，中点， ，，且，则面； 面，面面， 平面平面，又，面， ，面，所以点到面的距离即为， 翻折后，，，由对称性可知， 又，由勾股定理的逆定理可知，所以， 在中，，，故边上的高为， 由等面积得， 设直线和平面所成角为，所以， 故直线与平面所成角的正弦值为.    解法三：（坐标法） 过点作，垂足为， 平面平面，且平面平面，面， 又因为，分别为，中点， 所以翻折后，，，由对称性可知， 又，所以，由等面积得， 因此以为坐标原点，，分别为轴，轴建系如图，    则，，，，， 设面的法向量为，，， 则不妨令，则法向量， 设直线和平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 【变式】 1．（24-25新疆昌吉·期末）棱长为1的正四面体中，与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】   如图，过作平面于点，连接， 则即为与平面所成角， 因为正四面体棱长为1， 则为的外心，则， ，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 故选：B. 2．（24-25 河南·阶段练习）已知是从点出发的三条射线，若，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过点作平面于，在平面内过作， 垂足分别为，连接，则为直线与平面所成的角， ，平面，则平面， 又平面，则，同理，由， 得，又，因此四边形为正方形，， ，所以直线与平面所成角的正弦值. 故选：B 3．（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，在直三棱柱中，D，E为，中点，连接，． (1)证明：平面； (2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解析】（1）连接，如图： 因为三棱柱为直三棱柱，所以四边形为矩形， 又为中点，所以也是中点，且为中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为，，所以； 又平面，平面，所以， 因为平面，， 所以平面平面，所以. 平面平面，平面平面，平面, 所以平面. 所以即为直线与平面所成的角. 在中：，，, 所以. 4．（2025·福建泉州 ）如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，为的中点.    (1)证明: 平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）取中点，连接、，    因为，所以，   由于为的中点，为的中点，所以，且， 因为且，为的中点，所以，且， 所以，且，故四边形为平行四边形，所以，， 又因为平面，平面，所以，， 因为，，、平面，所以，平面， 因为，故平面. （2）解法1：设直线与平面所成角为，点到平面的距离为， 则，        在中，由余弦定理可得， 可得，解得，即， 所以，， 在Rt中，，，则，    过点在平面作垂直于的延长线于，易得，   因为平面，平面，则， 因为，，、平面，所以，平面， 由于， 则， 在中，，同理可得， 又因为，为的中点，所以，，且， 所以，， 又，即，所以，， 因此，， 因此，直线与平面所成角的正弦值为； 解法2：在中，由余弦定理可得， 可得，解得，即， 如图，连接，    由（1），平面，平面，则， 又因为，，，，则四边形为正方形， 因为为的中点，， 由于，、平面，则平面， 如图，记，过点在平面内作，垂足为点， 连接，由于平面，平面，则， 又因为，、平面，则平面， 所以即为直线与平面所成角， 由于，则，   因为平面，平面 ，所以，， 所以，，则为的三等分点， 因为，则， 因为为的中点，则， 则，， 于是，即直线与平面所成角的正弦值为； 解法3：因为平面，， 如图，以为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 在中，由余弦定理可得， 可得，解得，即， 所以，， 于是、、、、，      则，设平面的一个法向量为，， ， 于是，令，则，    设直线与平面所成角为， 那么， 即直线与平面所成角的正弦值为. 考点三 二面角 【例3-1】（2024·湖北荆州）如图，梯形中，,,,设的中点为，将三角形沿着折起，使得到的位置，满足.    (1)求直线与平面所成的角； (2)求平面与平面所成的锐二面角. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为,，所以四边形是正方形，所以 进而，，又平面， 所以平面 ，又，所以平面， 所以为直线与平面所成的角，线面垂直的性质定理易得， 在中,， 所以，则，进而， 所以即直线与平面所成的角为. （2）过点作，即与共面，且面，故面，    由，则，即与共面，且面，故面， 所以平面平面，又，所以，同理， 所以为平面与平面所成的锐二面角或其补角， 而，所以， 所以所求角为. 【变式】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知四边形是正方形，平面．求： (1)二面角平面角的度数； (2)二面角平面角的度数． 【答案】(1)90° (2)45°． 【解析】（1）平面，面， ，， 为二面角的平面角． 四边形是正方形，， 二面角平面角的度数为90°． （2）平面，面， ，． 为二面角的平面角． 四边形为正方形，． 即二面角平面角的度数为45°． 2．（24-25高一下·湖南长沙·期中）三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点．    (1)求与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)求证与平面平行． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解析】（1）解：连接.由分别是的中点， 根据中位线性质，得，且， 在三棱台中，可得，所以， 由，可得四边形是平行四边形，则， 所以为与所成角， 在中，由， 可得.    （2）因为平面，在平面， 所以， 又又分别在平面与平面内， 平面与平面的交线为， 所以即为平面与平面所成角的平面角， 又，，分别是中点， 所以， 即平面与平面所成角的余弦值为； （3）由，， 由棱台的结构特征可知，又为的中点， 易知与平行且相等， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又在平面外，在平面内， 所以平面. 3．（24-25高一下·湖南长沙·期中）如图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点满足．现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示． (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【解析】（1）证明：在平面图形中，连接CE，由勾股定理得， 因为且，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形ABCE为菱形， 在图中，连接AC交BE于点，则， 在立体图形中，，， 又，平面， 平面． 又平面， ； （2）在平面图形中，由勾股定理得， 由（1）知，四边形ABCE为菱形，结合题设易得，故， 平面平面BCDE，且平面平面，平面，． 平面BCDE， 其中梯形的面积为， ； （3）在立体图形中延长BE，CD，设，连接． 平面，平面． 又平面，平面． 是平面与平面的交线， 平面平面BCDE，，平面平面， 平面，又平面， ，， 作，垂足为，连接CH， 又，平面， 平面OCH，又平面OCH， ． 即为平面与平面所成锐二面角的平面角． 由勾股定理得，， 故，为等边三角形， 在Rt中，，， 所以，又，故， 由勾股定理得， 所以， 又，在中，， ． 平面与平面所成锐二面角的余弦值． 4．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）如图，在正四棱锥中，底面边长为2，高为4． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）在正四棱锥中，连接，取中点，连接 则为正方形的中心，平面，是直线与平面所成的角， 由，得，而， 在中，， 即直线与平面所成角的正切值为； （2）在中，过作于，连接， 由≌，得，而， 则≌，，即， 因此是二面角的平面角，， ，， ，在中，，， 即二面角的余弦值为. 考点四 点面距 【例4】（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，直三棱柱的体积为，的面积为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由直三棱柱的体积为，可得， 设到平面的距离为，由得 ，解得．故选：D． 【变式】 1．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，三棱柱的底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若，则点到平面的距离为 . 【答案】 【解析】因为侧棱与底面垂直，所以面，平面， 所以，， 而，由勾股定理得， 因为三棱柱的底面为正三角形，所以， 由勾股定理得，所以， 在中，如图，作，所以是中点， 所以，由勾股定理得，故， 设点到平面的距离为，由等体积公式得， 故，解得， 所以点到平面的距离为. 故答案为： 2．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在平行四边形中，，，为的中点，将沿直线折起到的位置，使平面平面． (1)证明：平面平面； (2)设为线段的中点，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【解析】（1）证明：因为，E为AB的中点，则． 又，则为正三角形，所以． 因为，，则． 从而，即． 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面． 由平面，得平面平面． （2）取的中点，连接． 因为为PC的中点，则，且， 所以平面，所以点到平面的距离为FG． 在中，，， 则，即，所以， 即点到平面的距离为． 3．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）如图所示，三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，点P，D分别为AB，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求点C到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【解析】（1）如图，连接，在中，D，P分别是，AB的中点，则， 而平面，平面，所以平面. （2）由，得，则，即， 由平面，平面，则， 而，平面，于是平面， 又平面，则，又，所以． （3）如图，连接，交于点E，连接BE，过点C作，F为垂足， 由，侧棱垂直于底面，得且， 又，，CB，平面CBE，则平面CBE， 又平面CBE，则，又，，平面， 因此平面，即CF为点C到平面的距离， 由平面，平面，得，， 所以点C到平面的距离． 考点五 线面距 【例5】（23-24高二上·北京·期中）正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（    ） A． B．a C． D． 【答案】C 【解析】如图，连接，它们交于点，正方形中， 又平面，平面，所以， 平面，所以平面， 所以的长即为棱到面的距离，而， 所以所求距离为． 故选：C． 【变式】 1．（2025上海金山·阶段练习）已知正四棱柱中，，，E为的中点，则直线与平面的距离为 ． 【答案】1 【解析】连接、交于点，则为中点，又E为中点， 故，又平面，平面， 故平面，则到平面的距离等于到平面的距离， 则， 在中，，， 边上的高，所以， 设三棱锥的高为， 所以，利用等体积法， 得，解得. 故答案为：1. 2．（23-24 北京通州·期中）在正三棱柱中，，则直线到平面的距离为 【答案】 【解析】 在正三棱柱中，在底面内作， 因为平面底面，平面底面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 所以即为直线到平面的距离， 因为为等边三角形，且， 所以直线到平面的距离为. 故答案为：. 考点六 面面距 【例6】（2025湖北）在长方体中，已知，，与平面ABCD所成角的大小是，那么平面ABCD到平面的距离是 ． 【答案】 【解析】如图，连接AC, 因为 平面ABCD,故 即为与平面ABCD所成角， 则， 又因为，，则 , 故在 中， ， 在长方体中, 平面ABCD到平面的距离即为棱 的长， 即平面ABCD到平面的距离为， 故答案为： 【变式】 1．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】连接，正方体中，平面，平面，则， 正方形中，有， 平面，，所以平面， 平面，则有， 同理有，平面，， 所以平面，同理有平面， 正方体棱长为，则，， 设点到平面的距离为，由，    有，解得， 即点到平面的距离为2，同理点到平面的距离为2， ， 则平面到平面的距离为. 故选：B. 2．（2024高一下·全国·专题练习）用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为 . 【答案】/ 【解析】由题意知：正六面体是棱长为的正方体，    有且，则四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，则有平面， 同理平面， ，平面，平面平面， 连接， ，，，平面，平面， 又平面，，同理可证得：， 又平面，， 平面，平面， 设垂足分别为，则平面与平面间的距离为. 正方体的体对角线长为. 在三棱锥中，，易知， 则由等体积法求得：， ∴平面与平面间的距离为：. 故答案为：. 3．（2025高一·全国·课后作业）在长方体中，有一过且与平面平行的平面，棱，，则平面与平面的距离是 ． 【答案】 【解析】因为平面平面，平面，所以到平面的距离即为平面与平面间的距离，易知平面，从而点A到平面的距离即为所求的距离． 如图，过点A作于点． 因为平面，平面 所以平面平面， 又平面平面= 所以平面，则即为所求． 在中，，，则， 因为，所以． 故平面与平面的距离为． 故答案为： 1． 单选题 1．（2025湖南）如图所示，，为正方体的两个顶点，，为其所在棱的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【解析】作如图所示的辅助线，由于，为其所在棱的中点，所以，又因为，所以，所以即为异面直线与所成的角（或补角），易得，所以. 故选：C． 2．（2025山东）正方体中，直线与直线所成的角、直线与平面所成的角分别为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图： ∵，∴直线与直线所成角为， ∵是等边三角形，∴， ∵平面，∴直线与平面所成角为， ∵是等腰直角三角形，∴， 故选：D. 3．（24-25辽宁大连·期末）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑ABCD中，平面BCD，且，点E，F分别为线段与线段的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点为，连接， 点E为线段的中点，则，故为异面直线EF与BD所成角或其补角； 由题意知为直角三角形，且，则为直角，即， 又平面BCD，且平面BCD，故， 平面，故平面， 而F为线段的中点。故，故平面， 平面，故， 设，则， 又，同理， 故为正三角形，则， 则异面直线EF与BD所成角的余弦值为， 故选：A 4.（2025海南）在三棱柱中，，，且，则直线与平面所成的角的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】A 【解析】∵，，∴， ∵，，，平面， ∴平面， ∴就是与平面所成的角，即与平面所成的角是， ∵棱柱中，∴与平面所成的角的大小为， 故选：A． 5．（24-25贵州·阶段练习）在长方体中，，与平面所成的角为，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】   在长方体中， 利用长方体的性质可知，平面， 则与平面所成的角为，从而， 因为平面，平面，所以， 在直角中，根据，，可得， 再由勾股定理，可以确定， 利用长方体的性质可知， 平面， 所以该四棱锥的体积为， 故选：B． 6．（2025·浙江）长方体中，，，则二面角的余弦值的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 取中点，连接、，因为，， 所以，，所以即为二面角的平面角，连接， ，，所以，又因为， 在中，， 所以二面角的余弦值为， 故选：B 7．（2023重庆·期中）如图在棱长为2的正方体，中E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】   解：如图所示，取的中点F，连接，， ∵，底面， ∴四边形是矩形， ∴， 又平面，平面， ∴平面， ∴直线上任一点到平面的距离是两条异面直线与的距离， 过点作， ∵平面平面，平面平面， 平面， ∴平面， 过点M作交于点P，则， 取，连接，则四边形是矩形． 可得平面， 在中，， 得， ∴点P到直线的距离的最小值为． 故选：B． 8．（2024湖北）在直三棱柱中，所有棱长均为1，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点，连接， 因为为等边三角形，则， 又因为平面，且平面，则， 且，平面，可得平面， 由题意可知：， 设点到平面的距离为， 因为，即， 解得， 所以点到平面的距离为. 故选：A. 2． 多选题 9．（24-25安徽阜阳·开学考试）如图，四棱锥的底面为正方形，平面，则下列结论正确的是（    ）    A． B．AC与SB所成的角为 C．AD与SB所成的角等于CD与SB所成的角 D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 【答案】ABC 【解析】对于A，由平面，平面，得， 由正方形，得，而平面， 则平面，又平面，因此，A正确； 对于B，由选项A知，，而平面， 则平面，又平面，因此，AC与SB所成的角为，B正确； 对于C，由A同理可得由，得AD与SB所成的角为， CD与SB所成的角为， 所以，则AD与SB所成的角等于CD与SB所成的角，C正确； 对于D，，，则，DC与SA所成的角为， 而AB与SC所成的角为，则AB与SC所成的角不等于DC与SA所成的角，D错误. 故选：ABC 10．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知四面体的各个面都是全等的三角形，且，则下列选项正确的是（    ） A．直线所成角为 B．二面角的余弦值为 C．四面体的体积为 D．四面体外接球的直径为 【答案】ABD 【解析】对于A：取的中点，连接，，由题意四面体的各个面都是全等的三角形， ，， 可得，，又，，平面， 所以平面，因为平面， 所以，所以，所成角为，故A正确； 对于B：取的中点，连接，，则，， 所以为二面角的平面角， 在中，，， 由余弦定理可得，故B正确； 对于C：由B可得， 由，故C不正确； 对于D：将四面体放入长方体中，如图可得长方体与四棱锥共球，所以外接球半径一样， 设外接球半径为，所以，故D正确． 故选：ABD． 11．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，在正方体中，为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．二面角等于 D．异面直线与所成的角等于 【答案】ABD 【解析】对于A，连接，交于，连接、， 则由正方体性质可知且， 所以四边形为平行四边形，故． 因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，连接，因为为底面的中心，为棱的中点，所以， 由正方体性质有、平面， 因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以，同理可得，又，平面， 所以平面，故平面，故B正确； 对于C，由正方体性质可知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，，又 所以为二面角的平面角，显然不等于，故C错误； 对于D，因为，所以为异面直线与所成的角， 由正方体性质可知为等边三角形，所以，故D正确. 故选：ABD. 12．（23-24高一下·河北邯郸·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，M，N分别为，的中点，其中不正确的结论是（    ）    A．直线MN与AC所成的角为 B．直线AM与BN是平行直线 C．二面角的平面角的正切值为 D．点C与平面MAB的距离为 【答案】BC 【解析】对于A，连接，，则直线与所成角为或其补角， 为等边三角形，，直线与所成角为，故A对；    对于B，取中点为，连接，由于，而相交，所以直线，异面，故B错误；    对于C，连接相交于，连接, 由于，所以, 所以为二面角的平面角， 在中，，故C错误，    对于D，，设到平面的距离为， 由得，故D正确， 故选：BC 13．（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）已知正三棱台的上底面边长为6，下底面边长为12，侧棱长为6，则（    ） A．棱台的高为 B．棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为 C．棱台的表面积为 D．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 【答案】BC 【解析】由题可知，在正三棱台中，, 在平面中，由点向作垂线垂足为D，取线段BC的中点E，连接AE， 如图，在平面中，由点向AE作垂线，垂足为F，连接DF， 在等腰梯形中，，,，则，， 所以棱台的表面积为：，故C正确； 又三棱台为正三棱台，所以为正三棱台的高，所以且都在面内， 所以平面，面，故， 在中，， 在中，， 所以棱台的高为，故A错误； 棱台的侧棱与底面所成角为故D错误； 棱台的侧面与底面所成的二面角为，故B正确 故选：BC 3． 填空题 14．（2026高三·全国·专题练习）如图，和是异面直线，，分别为线段上的点，且，则与所成角的大小为 ． 【答案】 【解析】解析在平面中，过作，交于点，连接，如图， ， 又， 则， （或其补角）即为与所成角， 在中，，， ， ， 与所成角的大小为60°． 故答案为：. 15．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，为上的动点，恒为定值，且是正三角形，则直线与直线所成角的大小是 ． 【答案】 【解析】因为为定值，点到底面的距离为定值， 所以为定值，即到的距离为定值． 因为为上的动点，所以，所以即为异面直线与所成的角． 因为为正三角形，所以． 所以直线与直线所成的角为． 故答案为： 16．（23-24高一下·天津西青·期末）如图，在正方体中，异面直线与BC所成角的大小为 ；平面与平面ABCD所成的二面角的大小为 ． 【答案】 【解析】在正方体中，， 故异面直线与BC所成角即为直线与AD所成角， 由于，故异面直线与BC所成角的大小为； 在正方体中，平面， 而平面，故， 又平面，平面， 故为平面与平面ABCD所成的二面角，而, 故平面与平面ABCD所成的二面角的大小为， 故答案为：； 4． 解答题 17．（24-25高二下·甘肃酒泉·阶段练习）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1） 取中点，连接， 因为是的中点，是的中点，， 所以，所以四边形是平行四边形，所以， 所以异面直线与所成角即为与所成的角，即为， 因为面，面，所以， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2） 设， 因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 因为面，面，所以， 又因为平面，，所以平面. 18．（24-25 上海松江·阶段练习）已知在正四棱柱中，，，点是的中点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1); (2). 【解析】（1）如图，连接，设，则为的中点， 又为的中点，， ∴异面直线与所成角为或其补角， 在中， ， ∴异面直线与DE所成角的余弦值为. （2） ，且， ， 又在正四棱柱中，平面，平面, ，又 平面， 平面，又是的中点, . 19．（2025·上海松江）已知梯形中，，为上的一点且，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点. (1)求证：平面； (2)当时，求直线和平面所成角正弦值 【答案】(1)证明见解析 (2). 【解析】（1）取的中点，连接、， 因为点为棱的中点，且，所以且， ，平面，平面， 所以平面，同理可得平面.                                                 因为平面，平面，且， 所以平面平面.                                                             因为平面，所以平面. （2）过点作于点，连接， 因为，，，平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面.                                                                     所以就是直线和平面所成角. 由题意得：二面角的平面角为， 由（1）易得， 在中，由，，得， 取中点为，连接， 因为分别为的中点， 所以，且，又， 所以四边形为平行四边形，所以， 在中，由，，得，则. 在中，由 20．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）如图，平面，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【解析】（1）∵分别为的中点， ∴ ． 又∵， ∴． 又不在平面内，在平面内， ∴平面． （2）连接. 为的中点，且. 平面平面， ∴， ∵， ∴， ∵，平面， 平面， ∵平面， 由（1）有， 又四边形为平行四边形， ∴， ∵，平面. 平面. 为和平面所成的角. 由得， 在Rt中，， 和平面所成角的正弦值为. 21．（2025·湖南常德）如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，平面，二面角为. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解析】（1）在四棱锥中，由平面，平面，得， 由四边形是正方形，得，而平面， 因此平面，又平面, 所以平面平面. （2）由（1）知，平面，而，则平面，又平面， 于是，为二面角的平面角，则， 令正方形的棱长为4，而，则， 取中点，连接，则，由（1）知平面平面， 又平面平面，平面，则平面， 是直线与平面所成的角，而， ，所以直线与平面所成角的正弦值为. 22．（2025·四川广安 ）在三棱柱中，底面，，，到平面的距离为1. (1)证明：平面平面； (2)已知三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解析】（1）底面，底面， ， 又，，平面，平面 平面， 又底面， 平面平面. （2）法一： 由（1）可知，平面，平面，所以. ， ， ， ， 在中作于， 又平面平面，且平面平面平面， 平面，则即为到平面的距离，即， 所以为的中点，即，， 过作交的延长线与，连接， 平面，则为与平面所成角的角， 又，，四边形为平行四边形， ，， ，，， . 与平面所成角的正弦值为. 法二：面且，、、两两相互垂直. 以为坐标原点，以、、所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图： 由法一可知，， 所以，，，，，， ，，， 设面的法向量， ，令，可得法向量. 所以， 与平面所成角的正弦值为. 23．（2025·山东潍坊 ）如图，四棱台中，上、下底面分别为边长1，2的正方形，平面，，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）连接，交于点，连接,. 由题意：，且，，为中点， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，所以平面. （2）因为平面，所以平面， 又平面，所以. 又，，平面， 所以平面. 所以为直线与平面所成的角. 在中，. 24．（23-24高一下·甘肃兰州·期末）如图，正方体的棱长为2.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）在正方体，且， ∴为平行四边形，∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）∵在正方形ABCD中，设，连接， ∴，， ∵中，，∴为等腰三角形，∴， ∴即为二面角的平面角， ∵在中，， ∴，即二面角的正弦值为.    25．（22-23高一下·广东惠州·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等边三角形，平面平面，为的中点. (1)求证：平面. (2)求侧面与底面所成二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）在等边中，因为为的中点，所以， 在正方形中，， 又因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以. 因为,平面， 所以平面. （2）取的中点，连接. 则，又正方形中，，所以, 在等边中，因为为的中点，所以. 因为平面平面，平面平面， 所以平面，因为平面，所以. 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，所以是平面与平面所成二面角的平面角. 设，则， 所以. 26．（23-24高一下·甘肃兰州·期末）如图，在四棱锥中，平面PAB，且在四边形PACQ中，，，二面角的大小为，且． (1)点E为BC的中点，证明：平面PAB； (2)求直线BQ与平面PACQ所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【解析】（1）证明：∵平面PAB，平面PAB∴， ∵∴， ∵，∴平面ABC，∵平面ABC，∴． ∵，，∴二面角的平面角即为，∴， ∵平面PAB，平面PAB，∴， ∵，∴， 取AB中点F，连接EF，则， 又，∴， ∴四边形PQEF为平行四边形， ∴，又平面PAB，平面PAB，∴平面PAB； （2）解：过B作于点M，∵平面PACQ，平面， ∴平面平面ABC，交线为AC，则平面PACQ，连接QM， ∴即为所求线面角， ，而， 由勾股定理可得：， 在中，过点Q作于点N，则， 因为，则，是等腰直角三角形，所以，， 由余弦定理得：， 由勾股定理得：， ∴，即BQ与平面PACQ所成角正弦值为． 27．（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，平面，，分别为的中点，． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）设，连接，由平面，平面，得， 因为，，，分别为的中点， 所以四边形为正方形，为等腰直角三角形，所以， 因为分别是的中点，所以， 已知平面，平面，所以平面平面， 又，为中点，则， 而平面平面，平面， 所以平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以． （2）在平面内过点作，交延长线于，连接，则， 因为平面，平面，所以平面平面， 又平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 在中，，是的中点，所以， 因为，，平面，， 所以平面，由平面，所以， 所以是二面角的平面角， 设，则， 由得，， 在，， 所以， 所以二面角的正弦值． 28．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，在斜三棱柱中，，等腰直角三角形ABC的斜边在底面ABC上的投影恰为AC的中点．    (1)求二面角的正弦值； (2)求的长． 【答案】(1)1 (2) 【解析】（1）设AC中点为D，连接，因为在底面ABC上的投影恰为AC的中点， 所以平面ABC．    又因为平面， 所以平面平面， 所以二面角的平面角为直角，故其正弦值为1． （2）因为平面平面，且平面平面， 平面ABC， 所以平面． 又因为平面， 所以． 又因为平面， 所以平面． 又因为平面， 所以， 所以平行四边形为菱形，所以， 因为等腰直角三角形ABC的斜边，所以，所以， 又，所以在中，， 所以，所以为等边三角形， 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$