第四章 第3讲 圆周运动-【创新教程】2026年高考物理总复习大一轮课件PPT

第3讲　圆周运动 第四章 圆周运动 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 课前 双基复盘 课堂 研透考点 01 02 提升 学科素养 03 课后 素养提能 04 高考总复习 物理 第四章 圆周运动 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 课前 双基复盘 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 课堂 研透考点 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 提升 学科素养 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第四章 圆周运动 高考总复习 物理 [知识点一]　匀速圆周运动及其描述　 1．匀速圆周运动 (1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长　相等　，就是做匀速圆周运动． (2)特点：加速度大小　不变　，方向始终指向　圆心　，是变加速运动． (3)条件：合外力大小　不变　、方向始终与　速度　方向垂直且指向圆心． 2．描述圆周运动的物理量 物理量 意义、方向 公式、单位 线速度 (v) ①描述圆周运动的物体运动　快慢　的物理量 ②是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切 ①v＝eq \f(Δs,Δt)＝　eq \f(2πr,T)　 ②单位：m/s 角速度 (ω) ①描述物体绕圆心　转动快慢　的物理量 ②中学不研究其方向 ①ω＝eq \f(Δθ,Δt)＝　eq \f(2π,T)　 ②单位：rad/s 周期(T) 和转速(n) 或频率(f) ①周期是物体沿圆周运动　一周　的时间 ②转速是物体单位时间转过的　圈数　；频率是单位时间内运动重复的次数 ①T＝eq \f(2πr,v) 单位：s ②n的单位：r/s、r/min，f的单位：Hz 向心 加速 度(a) ①描述速度变化　快慢　的物理量 ②方向指向圆心 ①a＝eq \f(v2,r)＝　rω2　 ②单位：m/s2 [知识点二]　匀速圆周运动的向心力　 1．作用效果 向心力产生向心加速度，只改变速度的　方向　，不改变速度的　大小　. 2．大小 F＝meq \f(v2,r)＝　mω2r　＝meq \f(4π2,T2)r＝mωv＝　4π2mf2r　. 3．方向 始终沿半径方向指向　圆心　，时刻在改变，即向心力是一个变力． 4．来源 向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的　合力　提供，还可以由一个力的　分力　提供． [知识点三]　离心现象　 1．现象 做圆周运动的物体，在所受合外力　突然消失　或　不足以　提供圆周运动所需向心力的情况下，就做　逐渐远离　圆心的运动． 2．受力特点及轨迹 ①当Fn＝mω2r时，物体做　匀速圆周　运动． ②当Fn＝0时，物体沿　切线　方向飞出． ③当Fn＜mω2r时，物体逐渐　远离　圆心，做离心运动． ④当Fn＞mω2r时，物体逐渐　靠近　圆心，做近心运动． 1．(人教版必修第二册 P26·T2改编)把某一机械手表的分针与时针上的点看成是匀速圆周运动，且分针长度是时针长度的1.5倍，则(　　) A．分针与时针的周期之比为1∶60 B．分针与时针的角速度之比为12∶1 C．分针与时针末端的线速度之比为8∶1 D．分针与时针的频率之比为1∶12 解析：B　[分针的周期为T分＝1 h，时针的周期为T时＝12 h，则分针与时针的周期之比为T分∶T时＝1∶12，由ω＝eq \f(2π,T)可知，分针与时针的角速度之比为ω分∶ω时＝12∶1，由f＝eq \f(1,T)可知，分针与时针的频率之比为f分∶f时＝12∶1，A、D错误，B正确；由v＝ωr得，分针与时针末端的线速度之比为v分∶v时＝ω分r分∶ω时r时＝18∶1，C错误．] 2. (人教版必修第二册 P32·思考与讨论改编)如图是共享单车的部分结构，单车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径都不一样，它们的边缘有三个点a、b、c.正常骑行时，下列说法正确的是(　　) A．a点的角速度大于b点的角速度 B．a点的向心加速度与b点的向心加速度大小相等 C．a点的线速度与c点的线速度大小相等 D．a点的向心加速度小于c点的向心加速度 解析：D　[由题图知，a、b两点的线速度大小相等，因为做圆周运动时a点的半径大于b点的半径，根据v＝ωr可知，a点的角速度小于b点的角速度，A错误；根据an＝eq \f(v2,r)可知，a点的向心加速度小于b点的向心加速度，B错误；b、c两点属于同轴传动，因此这两点的角速度相等，因为做圆周运动时b点的半径小于c点的半径，根据v＝ωr可知， c点的线速度大于a点的线速度，又a、b两点的线速度大小相等，故c点的线速度大于a点的线速度，C错误；根据an＝ω2r可知，c点的向心加速度大于b点的向心加速度，又a点的向心加速度小于b点的向心加速度，所以a点的向心加速度小于c点的向心加速度，D正确．] 3. (人教版必修第二册 P38·T2改编)有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系． 解：对座椅进行受力分析，如图所示． y轴方向上：Fcos θ＝mg，① x轴方向上： Fsin θ＝mω2(r＋Lsin θ)，② 则由eq \f(②,①)得tan θ＝eq \f(ω2r＋Lsin θ,g)， 因此ω＝eq \r(\f(gtan θ,r＋Lsin θ)) 答案：ω＝eq \r(\f(gtan θ,r＋Lsin θ)) 考点一　圆周运动的运动学分析 1．圆周运动各物理量间的关系 2．对公式v＝ωr的理解 当r一定时，v与ω成正比； 当ω一定时，v与r成正比； 当v一定时，ω与r成反比． 3．对an＝eq \f(v2,r)＝ω2r的理解 当v一定时，an与r成反比； 当ω一定时，an与r成正比． 4．常见的三种传动方式及特点 (1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB. (2)摩擦传动：如图丙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB. (3)同轴传动：如图丁所示，两轮固定在一起绕同一转轴转动，两轮转动的角速度大小相等，即ωA＝ωB. 1．(2024·辽宁卷) “指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧．如图，当篮球在指尖上绕轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的(　　) A．半径相等 B．线速度大小相等 C．向心加速度大小相等 D．角速度大小相等 解析：D　[D.由题意可知，球面上P、Q两点转动时属于同轴转动，故角速度大小相等，故D正确；A.由题图可知，球面上P、Q两点做圆周运动的半径的关系为rP＜rQ，故A错误；B.根据v＝rω可知，球面上P、Q两点做圆周运动的线速度的关系为vP＜vQ，故B错误；C.根据an＝rω2可知，球面上P、Q两点做圆周运动的向心加速度的关系为aP＜aQ，故C错误．] 2.某机器的齿轮系统如图所示，中间的轮叫作太阳轮，它是主动轮．从动轮称为行星轮，主动轮、行星轮与最外面的大轮彼此密切啮合在一起，如果太阳轮一周的齿数为n1，行星轮一周的齿数为n2，当太阳轮转动的角速度为ω时，最外面的大轮转动的角速度为(　　) A.eq \f(n1,n1＋2n2)ω　　　　　　 B.eq \f(n2,n1＋n2)ω C.eq \f(n1,n1－n2)ω D.eq \f(n2,n1－n2)ω 解析：A　[由行星轮、主动轮、最外面的大轮三部分彼此密切啮合在一起可知，齿轮的周长之比等于齿数之比．大轮、太阳轮、行星轮分别用A、B、C表示，eq \f(2πRC,2πRB)＝eq \f(n2,n1)，所以eq \f(RC,RB)＝eq \f(n2,n1)，则eq \f(RA,RB)＝eq \f(2RC＋RB,RB)＝eq \f(2n2＋n1,n1)，因为三轮彼此密切啮合在一起，三轮转动的线速度相等，则角速度与半径成反比，即eq \f(ω,ωA)＝eq \f(RA,RB)＝eq \f(2n2＋n1,n1)，得到ωA＝eq \f(n1,n1＋2n2)ω，A项正确．] 3．(2025·山东日照期末)磁带在生活中有较为广泛的应用，磁带盒可以简化为如图所示的结构，A、B为缠绕磁带的两个轮子，半径均为r.听力播放前，磁带全部绕在B轮上，其外缘半径为3r：播放听力的过程中，磁带逐渐绕到A轮上．磁带内部通过复杂的装置，使磁带传动的速度大小v0保持不变．下列说法正确的是(　　) A．开始播放听力时，B轮的角速度为eq \f(v0,r) B．开始播放听力时，B轮边缘上c点的线速度大小为eq \f(1,3)v0 C．听力播放的过程中，A轮的转速不断增大 D．听力播放的过程中，B轮的转速不断减小 解析：B　[磁带传动的速度大小v0保持不变，则A、B外缘的线速度大小为v0保持不变，开始播放听力时，B轮的角速度为ω＝eq \f(v0,3r)，则B轮边缘上c点的线速度大小为v＝ωr＝eq \f(v0,3)，故A错误，B正确； 听力播放的过程中，磁带传动的速度大小v0保持不变，则A、B外缘的线速度大小为v0保持不变，由公式v＝2πnR可得n＝eq \f(v0,2πR)，听力播放的过程中，A轮的外缘半径增大，则A轮的转速不断减小，B轮的外缘半径减小，则B轮的转速不断增大，故C、D错误．] 　如图所示是静止在地面上的起吊重物的吊车，某次操作过程中，液压杆长度收缩，吊臂绕固定转轴顺时针转动，吊臂上的M、N两点做圆周运动，此时M点的角速度为ω，ON＝2OM＝2L，则(　　) A．M点的速度方向垂直于液压杆 B．N点的角速度为2ω C．两点的线速度大小关系为vN＝4vM D．N点的向心加速度大小为2ω2L 解析：D　[吊臂是绕固定转轴O旋转的，因此M点的速度方向垂直于吊臂，不垂直于液压杆，故A错误；M、N点在吊臂上绕同一固定转轴O旋转，有相同的角速度，即N点的角速度应该等于M点的角速度，故B错误；根据v＝ωr可知vN＝2vM，故C错误；根据an＝ω2r可知，N点的向心加速度大小为aN＝2ω2L，故D正确．] 考点二　圆周运动的动力学问题 1．向心力的确定 (1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置． (2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力． 2．运动实例 运动模型 向心力的来源图示 飞机水平转弯 火车转弯 圆锥摆 飞车走壁 汽车在水平 路面转弯 水平转台 3.“一、二、三、四”求解圆周运动问题 [典例1]　 (多选)如图所示为波轮式洗衣机的工作原理示意图，当甩衣桶在电机的带动下高速旋转时，衣服紧贴在甩衣桶器壁上，从而迅速将水甩出．衣服(带水，可视为质点)质量为m，衣服和器壁间的动摩擦因数约为μ，甩衣桶的半径为r，洗衣机的外桶的半径为R，当角速度达到ω0时，衣服上的水恰好被甩出，假设滑动摩擦力和最大静摩擦力相等，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　) A．衣服(带水)做匀变速曲线运动 B．电动机的角速度至少为 eq \r(\f(g,μr))时，衣服才掉不下来 C．当ω＝ω0时，水滴下落高度eq \f(gR－r2,2ω\o\al(2,0)r2)打到外桶上 D．当ω＝ω0时，水滴下落高度eq \f(gR2－r2,2ω\o\al(2,0)r2)打到外桶上 [解析]　BD　[衣服(带水)做变速曲线运动，因为其向心加速度也是变化的，A错误；在竖直方向，根据平衡条件有mg＝μFN，由于弹力提供向心力，由牛顿第二定律有FN＝mω2r，联立解得ω＝ eq \r(\f(g,μr))，B正确；当 ω＝ω0时，水滴打到外桶上，设水滴下落高度为h，根据平抛运动规律有h＝eq \f(1,2)gt2，x＝vt，r2＋x2＝R2，v＝ω0r，联立解得h＝eq \f(gR2－r2,2ω\o\al(2,0)r2)，C错误，D正确．] [典例2]　 (多选)如图所示，当列车以恒定速率通过一段水平圆弧形弯道时，乘客发现在车厢顶部悬挂玩具小熊的细线与车厢侧壁平行，同时观察放在桌面上水杯内的水面(与车厢底板平行)．已知此弯道路面的倾角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是(　　) A．列车转弯时的向心加速度大小为gtan θ B．列车的轮缘与轨道均无侧向挤压作用 C．水杯受到指向桌面外侧的静摩擦力 D．水杯受到指向桌面内侧的静摩擦力 [解析]　AB　[设玩具小熊的质量为m，则玩具受到的重力mg、细线的拉力T的合力提供玩具小熊随车做水平面内圆周运动的向心力F，如图所示， 有mgtan θ＝ma，可知列车在转弯时的向心加速度大小为a＝gtan θ，A正确；列车的向心加速度a＝gtan θ，由列车的重力与轨道的支持力的合力提供，故列车与轨道均无侧向挤压作用，B正确；水杯的向心加速度a＝gtan θ，由水杯的重力与桌面的支持力的合力提供，水杯与桌面间的静摩擦力为零，CD错误．] [典例3]　(2024·广东卷)如图所示．在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动．卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点．细管内有一根原长为eq \f(l,2)、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销．当以速度v匀速拉动细绳时．插销做匀速圆周运动．若v过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止，忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内．要使卷轴转动不停止，v的最大值为(　　) A．r eq \r(\f(k,2m))　　　　 B．l eq \r(\f(k,2m)) C．r eq \r(\f(2k,m)) D．l eq \r(\f(2k,m)) [审题指导]　(1)卷轴绕O点转动的线速度与细绳的速度相同． (2)弹簧弹力提供插销做圆周运动的向心力． (3)弹簧的最大形变量为eq \f(l,2) [解析]　A　[由题意可知当插销刚卡紧固定端盖时弹簧的伸长量为Δx＝eq \f(l,2)，根据胡克定律有F＝kΔx＝eq \f(kl,2)，插销与卷轴同轴转动，角速度相同，对插销有弹力提供向心力F＝mlω2，对卷轴有v＝rω， 联立解得v＝r eq \r(\f(k,2m)).] [典例4]　(2024·江西卷)雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在动．如图(a)、(b)所示，传动装置有雪地转椅中有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动．圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅(视为质点)．转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等．转椅与雪地之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力． (1)在图(a)中，若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1的匀速圆周运动．求AB与OB之间夹角α的正切值． (2)将圆盘升高，如图(b)所示．圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β.求此时圆盘的角速度ω2. [审题指导]　(1)轻绳的拉力与摩擦力的合力提供向心力指向圆心O. (2)滑动摩擦力与绳拉力沿BA方向的分力的合力提供所需的向心力． [解析]　(1)对转椅受力分析，转椅在水平面内受摩擦力、轻绳拉力，两者合力提供其做圆周运动所需向心力，如图所示设转椅的质量为m，则 转椅所需的向心力Fn1＝mωeq \o\al(2,1)r1， 转椅受到的摩擦力f1＝μmg， 根据几何关系有tan α＝eq \f(f1,Fn1)， 联立解得tan α＝eq \f(μg,ω\o\al(2,1)r1)； (2)转椅在题图(b)情况下所需的向心力 Fn2＝mωeq \o\al(2,2)r2， 转椅受到的摩擦力f2＝μN2， 根据几何关系有tan β＝eq \f(f2,Fu2)， 竖直方向上由平衡条件有N2＋Tcos θ＝mg， 水平面上有f2＝Tsin θsin β， 联立解得ω2＝eq \r(\f(μgsin θcos β,μcos θ＋sin θsin βr2)) [答案]　(1)eq \f(μg,ω\o\al(2,1)r1)　(2)eq \r(\f(μgsin θcos β,μcos θ＋sin θsin βr2)) 　(多选)(2025·山东烟台期末)“绸吊”杂技表演中，演员抓紧绸带在空中做出各种精彩的动作．如图所示，长度分别为2eq \r(2)L和L的绸带一端固定在天花板上，质量相等的甲、乙两位演员分别抓住绸带的另一端，在不同高度的水平面内做匀速圆周运动，此时两绸带与水平方向的夹角分别为α＝45°、β＝30°.已知两绸带上端的固定点足够远以避免发生缠绕，绸带可视为轻质细绳，两演员可视为质点，则下列说法正确的是(　　) A．甲、乙所受拉力大小之比为eq \r(2)∶1 B．甲、乙所受拉力大小之比为1∶eq \r(2) C．甲、乙的线速度大小之比为eq \r(3)∶2 D．甲、乙的线速度大小之比为2∶eq \r(3) 解析：BD　[对两演员分别进行受力分析，则有T1sin α＝mg，T2sin β＝mg解得eq \f(T1,T2)＝eq \f(1,\r(2))，故A错误，B正确；根据eq \f(mg,tan α)＝meq \f(v\o\al(2,1),2\r(2)Lcos α)，eq \f(mg,tan β)＝meq \f(v\o\al(2,1),Lcos β) 解得eq \f(v1,v2)＝eq \f(2,\r(3))，故C错误，D正确．] 竖直面内“轻绳模型”和“轻杆模型” 1．轻绳模型和轻杆模型概述 在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”． 2．两类模型对比 比较 项目 轻绳模型 轻杆模型 情景 图示 弹力 特征 弹力可能向下，也可能等于零 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力示 意图 力学 方程 mg＋FT＝meq \f(v2,r) mg±FN＝meq \f(v2,r) 临界 特征 FT＝0，即mg＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(gr) v＝0，即F向＝0，此时FN＝mg v＝eq \r(gr) 的意义 物体能否过最高点的临界点 FN表现为拉力还是支持力的临界点 [典例1]　如图所示，长度为L＝0.4 m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，半径不计，g取10 m/s2. (1)求小球刚好通过最高点时的速度大小； (2)求小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，绳的拉力大小； (3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，求小球速度的最大值． 　本题要明确小球恰能通过最高点做圆周运动的动力学条件，正确分析小球在最高点和最低点的向心力来源，然后根据牛顿第二定律和向心力公式联立求解． [解析]　(1)小球刚好通过最高点时，重力恰好提供向心力，有mg＝meq \f(v\o\al(2,1),L)，解得v1＝eq \r(gL)＝2 m/s. (2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，有FT＋mg＝meq \f(v\o\al(2,2),L)，解得FT＝15 N. (3)分析可知小球通过最低点时绳张力最大，在最低点由牛顿第二定律得FT′－mg＝eq \f(mv\o\al(2,3),L)，将FT′＝45 N代入解得v3＝4eq \r(2) m/s，即小球的速度的最大值是4eq \r(2) m/s. [答案]　(1)2 m/s　(2)15 N　(3)4eq \r(2) m/s [典例2]　 (多选)如图所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动．小球在竖直平面内恰好能做完整的圆周运动，已知小球质量为m，杆长为L，重力加速度为g，不计空气阻力．下列说法正确的是(　　) A．小球在最高点时，小球的速度大小为 eq \r(gL) B．小球在最低点时，小球的速度大小为 eq \r(5gL) C．小球在最低点时，杆对小球的作用力大小为5mg D．当杆处于水平位置时，杆对小球的作用力大小为2mg [解析]　CD　[小球在竖直平面内恰好能做完整的圆周运动，则小球在最高点的速度恰好为零，A错误；从最高点到最低点对小球应用动能定理可得mg·2L＝eq \f(1,2)mv2，解得v＝2eq \r(gL)，B错误；最低点对小球受力分析，由牛顿第二定律有F－mg＝eq \f(mv2,L)，解得F＝5mg，C正确；从最高点到水平位置对小球应用动能定理可得mgL＝eq \f(1,2)mveq \o\al(2,1)，由牛顿第二定律有F1＝eq \f(mv\o\al(2,1),L)，解得F1＝2mg，D正确．] $$