七年级数学下学期期末试卷01（冀教版2024）

2024-2025学年度冀教版七年级数学期末试卷01 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 考试范围：二元一次方程组、相交线与平行线、整式的乘法、因式分解、三角形、 一元一次不等式和一元一次不等式组； 第I卷（选择题） 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）（七年级下·河北石家庄·期末）计算等于（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）（23-24七年级下·河北邯郸·期末）一滴水的质量约为，100滴水的质量用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）（23-24七年级下·河北邢台·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（本题3分）（22-23七年级下·河北张家口·期末）不论a为何实数，多项式的值一定是（    ） A．正数 B．负数 C．零 D．不能确定 5．（本题3分）（23-24七年级下·河北邯郸·期末）现有两根木棒，它们长分别是和，若要钉成一个三角形木架，则下列四根木棒应选取（   ） A．的木棒 B．的木棒 C．的木棒 D．的木棒 6．（本题3分）（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，其余部分种上各种花草，则种植花草的面积是（   ）平方米． A．36 B．42 C．56 D．都不对 7．（本题3分）（23-24七年级下·河北石家庄·期末）我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中这样一道题：甲、乙两人一同放牧，两人暗地里在数羊．如果乙给甲9只羊，则甲的羊数为乙的两倍；如果甲给乙9只羊，则两人的羊数相同．设甲有羊只，乙有羊只，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）（23-24七年级下·河北廊坊·期末）若关于x的不等式组 只有3个整数解，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．（本题3分）（23-24七年级下·河北张家口·期末）若关于的不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 10．（本题3分）（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图，在锐角三角形中，P是边上的动点，连接．①当P为的中点时，与的面积相等；②线段可以把分成两个钝角三角形．关于①、②，下列判断正确的是（　　） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 11．（本题3分）（23-24七年级下·河北石家庄·期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（   ） A． B． C． D． 12．（本题3分）（23-24七年级下·河北石家庄·期末）【问题】已知关于x，y的方程组的解满足，求k的值. 嘉嘉同学有如下两种解题思路和部分步骤： Ⅰ.将方程组中的两个方程相加并整理，可得到，再求k的值； Ⅱ.解方程组，得到，再代入中，可求k的值. 下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ的解题思路不正确 B．Ⅱ的解题思路不正确 C．Ⅱ的解题思路正确，求解不正确 D．Ⅰ与Ⅱ的解题思路与求解都正确 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 13．（本题3分）（22-23七年级下·河北石家庄·期末） ． 14．（本题3分）（23-24七年级下·河北廊坊·期末）已知方程组 的解满足，则k的非负整数值为 15．（本题3分）（22-23七年级下·河北保定·期末）两名同学将一个二次三项式因式分解，甲同学因看错了一次项系数而分解成；乙同学因看错了常数项而分解成，请你将原多项式写出 并把因式分解正确的结果写出来： ． 16．（本题3分）（七年级下·河北承德·期末）如图，在中，，延长到点，与的平分线交于点，得到；与的平分线相交于点，得到，则= °；依此规律得到，则= ． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）（23-24七年级下·河北承德·期末）发现 两个连续奇数的平方差是8的倍数． 验证： (1)的结果是8的几倍？ (2)设为整数，写出两个连续奇数的平方差，并说明是8的倍数．延伸 直接写出任意两个连续偶数的平方差是______的倍数． 18．（本题8分）（23-24七年级下·河北邯郸·期末）按要求完成下列各小题 (1)解方程组： (2)解不等式组，并求其整数解． 19．（本题8分）（23-24七年级下·河北石家庄·期末）数学老师在黑板上出了一道习题：解方程组，以下是淇淇的板演步骤： 解：②①，得，    第一步 解得，        第二步 把代入①，得，    第三步 所以这个方程组的解是    第四步 (1)淇淇的方法是______消元法； (2)以上解法，从第______步开始错误； (3)请你用代入消元法求出方程组的解． 20．（本题8分）（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图①，，点在的两条边上运动，和的平分线交于点． (1)点在运动过程中，则的度数为______； (2)如图②，是的平分线，的反向延长线交的延长线于点，点在运动过程中，的大小会变吗？如果不会，求出的度数；如果会，请说明理由． (3)若，请直接写出______；______． 21．（本题8分）（23-24七年级下·河北沧州·期末）阅读材料，并解决问题：分解因式：，解：设，则原式；这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中某一部分重复出现时，我们用其他字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 下面李想同学应用换元法对多项式进行因式分解的过程： 解：设，     （第一步）     （第二步）     （第三步） ．    （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了_______． A．提公因式法    B．平方差公式    C．完全平方公式 (2)张老师发现李想同学因式分解的结果有错误，错误的是第______步，正确的结果：______． (3)请你尝试对多项式进行因式分解． 22．（本题10分）（24-25七年级上·河北廊坊·期末）如图1，为直线上一点，过点在直线的下方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方． (1)将图1中的三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转（始终保持在直线的上方），在旋转的过程中，第秒时，恰好与在同一直线上，请直接写出的值． (2)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图2所示的位置，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数． (3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图3的位置，使在的内部，请探究与的数量关系，并说明理由． 23．（本题10分）（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图1，，点分别在上运动（不与点重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．    【特殊探究】 (1)若，则______； 【推理论证】 (2)随着点的运动，的大小是否会变化？如果不变，求的度数；如果变化，请说明理由． 【拓展探究】 (3)如图2，直线与直线相交于点，夹角为，点在点右侧，点在上方，点在点左侧，点在射线上运动（不与重合），平分平分交直线于点，当时，求的度数． 24．（本题12分）（22-23七年级下·河北保定·期末）如图，，点P在直线上，作，交于点M，点F是直线上的一个动点，连接，于点E，平分．    (1)若点F在点E左侧且，求的度数； (2)当点在线段（不与点M，E重合）上时，设，直接写出的度数（用含的代数式表示）； (3)将射线从（1）中的位置开始以每秒的速度绕点P逆时针旋转至的位置，转动的时间为t秒，求当t为何值时，为直角三角形． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度冀教版七年级数学期末试卷01 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 考试范围：二元一次方程组、相交线与平行线、整式的乘法、因式分解、三角形、 一元一次不等式和一元一次不等式组； 第I卷（选择题） 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）（七年级下·河北石家庄·期末）计算等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算、因式分解的应用 【分析】原式提取公因式，计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 故选：． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，提取公因式是解本题的关键． 2．（本题3分）（23-24七年级下·河北邯郸·期末）一滴水的质量约为，100滴水的质量用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故选A． 3．（本题3分）（23-24七年级下·河北邢台·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、合并同类项、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方运算，根据各自的计算法则一一计算判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 4．（本题3分）（22-23七年级下·河北张家口·期末）不论a为何实数，多项式的值一定是（    ） A．正数 B．负数 C．零 D．不能确定 【答案】A 【知识点】因式分解的应用 【分析】将原式变形为，根据偶次方的非负性推出，由此即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴多项式的值一定是正数， 故选A． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确将原式变为是解题的关键． 5．（本题3分）（23-24七年级下·河北邯郸·期末）现有两根木棒，它们长分别是和，若要钉成一个三角形木架，则下列四根木棒应选取（   ） A．的木棒 B．的木棒 C．的木棒 D．的木棒 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是熟练掌握三边关系定理，并能灵活运用． 根据三角形的三边关系：第三边大于两边的差，而小于两边的和．看选项中哪个在范围内即可． 【详解】解：∵， ∴第三根木棒， 符合的只有B中的． 故选：B． 6．（本题3分）（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，其余部分种上各种花草，则种植花草的面积是（   ）平方米． A．36 B．42 C．56 D．都不对 【答案】B 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了生活中的平移现象，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致错误．直接利用平移方法，将三条道路平移到图形的一侧，进而求出即可． 【详解】解： （平方米）． 故种植花草的面积是42平方米． 故选：B 7．（本题3分）（23-24七年级下·河北石家庄·期末）我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中这样一道题：甲、乙两人一同放牧，两人暗地里在数羊．如果乙给甲9只羊，则甲的羊数为乙的两倍；如果甲给乙9只羊，则两人的羊数相同．设甲有羊只，乙有羊只，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 根据乙给甲9只羊，则甲的羊数为乙的两倍可得：甲的羊数(乙的羊数；如果甲给乙9只羊，则两人的羊数相同可得等量关系：甲的羊数乙的羊数，进而可得方程组． 【详解】解：设甲有羊只，乙有羊只． 根据题意得：，故C正确． 故选：C． 8．（本题3分）（23-24七年级下·河北廊坊·期末）若关于x的不等式组 只有3个整数解，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】此题考查了解一元一次不等式组和整数解问题，先求出不等式组的解集，根据只有3个整数解得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴不等式组的解集为：， 即不等式组只有3个整数解为20、19、18， 则有， 解得， 故选：B． 9．（本题3分）（23-24七年级下·河北张家口·期末）若关于的不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，先对不等式进行求解，再根据不等式组的整数解有个即可解决问题，能根据不等式组整数解的个数建立关于的不等式组是解题的关键． 【详解】解：由题知，解不等式得，； 解不等式得，； ∵不等式组有且只有个整数解， ∴， ∴的取值范围在数轴上表示为 故答案为：A 10．（本题3分）（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图，在锐角三角形中，P是边上的动点，连接．①当P为的中点时，与的面积相等；②线段可以把分成两个钝角三角形．关于①、②，下列判断正确的是（　　） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】A 【知识点】三角形的分类、根据三角形中线求面积、求一个角的补角 【分析】本题主要考查了三角形中线，锐角三角形和钝角三角形．熟练掌握三角形中线的定义，面积公式，互为补角定义，锐角三角形和钝角三角形的定义，是解决问题的关键． ①过点C作于点D．根据中点定义得到，根据三角形面积公式得到，①正确； ②根据锐角三角形定义得到，，，，得到，，根据，得到与不能同时大于，得到线段不可以把分成两个钝角三角形，②不正确． 【详解】①过点C作于点D． ∵P为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴①正确． ②∵是锐角三角形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴当时，； 当时，， ∴与不能同时大于， ∴线段不可以把分成两个钝角三角形， ∴②不正确． 综上，只有①正确． 故选：A． 11．（本题3分）（23-24七年级下·河北石家庄·期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质．过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，由平行线的性质得出，即可求出结果． 【详解】解：过作， ∵， ∴， ， ， ， ∵， ， ， 故选：C． 12．（本题3分）（23-24七年级下·河北石家庄·期末）【问题】已知关于x，y的方程组的解满足，求k的值. 嘉嘉同学有如下两种解题思路和部分步骤： Ⅰ.将方程组中的两个方程相加并整理，可得到，再求k的值； Ⅱ.解方程组，得到，再代入中，可求k的值. 下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ的解题思路不正确 B．Ⅱ的解题思路不正确 C．Ⅱ的解题思路正确，求解不正确 D．Ⅰ与Ⅱ的解题思路与求解都正确 【答案】D 【知识点】二元一次方程的解、加减消元法 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解一元二次方程组，根据题中的方法求解，再求得k的值，最后进行判断即可． 【详解】解：Ⅰ：， 由得，，即， ∵关于x，y的方程组的解满足， ∴， 解得， ∴Ⅰ的解题思路正确； Ⅱ：∵关于x，y的方程组的解满足， ∴的解满足， 由得，， 由得，， 把代入①得，， 把，代入，得， ∴Ⅱ的思路正确， 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 13．（本题3分）（22-23七年级下·河北石家庄·期末） ． 【答案】7 【知识点】有理数的加减混合运算、负整数指数幂、零指数幂 【分析】先计算有理数的乘方，零次幂及负整数指数幂，然后计算加减即可． 【详解】 故答案为：7． 【点睛】本题考查有理数的乘方，零次幂及负整数指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 14．（本题3分）（23-24七年级下·河北廊坊·期末）已知方程组 的解满足，则k的非负整数值为 【答案】0，1/1，0 【知识点】加减消元法、求一元一次不等式的解集 【分析】此题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，先解二元一次方程组，得到，再把代入不等式，求出,即可得到k的非负整数值. 【详解】解： ①×2＋②×3得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴， 把代入得到， 解得， ∴k的非负整数值为0，1 故答案为：0，1 15．（本题3分）（22-23七年级下·河北保定·期末）两名同学将一个二次三项式因式分解，甲同学因看错了一次项系数而分解成；乙同学因看错了常数项而分解成，请你将原多项式写出 并把因式分解正确的结果写出来： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】根据多项式的乘法将展开得到二次项、常数项；将展开得到二次项、一次项．从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式后利用完全平方公式分解因式． 【详解】， ， 原多项式为， ， 故答案为：． 【点睛】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键．二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项正确． 16．（本题3分）（七年级下·河北承德·期末）如图，在中，，延长到点，与的平分线交于点，得到；与的平分线相交于点，得到，则= °；依此规律得到，则= ． 【答案】 20 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】由∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，于是有∠A=2∠A1，同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，因此找出规律． 【详解】解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD， ∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC， 而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A， ∴∠A=2∠A1=80°， ∴∠A1=40°， 同理可得∠A1=2∠A2， 即∠A=22∠A2=80°， ∴∠A2=20°， ∴∠A=2n∠An， ∴∠An=80°×（）=． 故答案为：20°，． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的外角性质以及角平分线性质，难度适中． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）（23-24七年级下·河北承德·期末）发现 两个连续奇数的平方差是8的倍数． 验证： (1)的结果是8的几倍？ (2)设为整数，写出两个连续奇数的平方差，并说明是8的倍数．延伸 直接写出任意两个连续偶数的平方差是______的倍数． 【答案】(1)50倍 (2)证明见解析，4 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式： （1）利用平方差公式进行简算后，即可得出结果； （2）设两个连续的奇数为，求出平方差，进行说明，同法求出两个连续的偶数的平方差，进行判断即可． 【详解】（1）解：， ∴的结果是8的50倍； （2）解：设两个连续的奇数为， 则：， ∵为整数， ∴两个连续奇数的平方差是8的倍数， 设两个连续的偶数为， 则：， ∵为整数， ∴两个连续偶数的平方差是4的倍数． 18．（本题8分）（23-24七年级下·河北邯郸·期末）按要求完成下列各小题 (1)解方程组： (2)解不等式组，并求其整数解． 【答案】(1) (2)，它的所有整数解为：，，， 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、求不等式组的解集、代入消元法 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解； （1）利用代入消元法解答即可； （2）分别求得不等式组中两个不等式的解集，再求它们的公共部分即可得出结论． 【详解】（1）由可得， 把代入得， 解得， ∴， ∴原方程组的解为：； （2）解不等式得； 解不等式得； ∴不等式组的解集为：， ∴它的所有整数解为：，，，． 19．（本题8分）（23-24七年级下·河北石家庄·期末）数学老师在黑板上出了一道习题：解方程组，以下是淇淇的板演步骤： 解：②①，得，    第一步 解得，        第二步 把代入①，得，    第三步 所以这个方程组的解是    第四步 (1)淇淇的方法是______消元法； (2)以上解法，从第______步开始错误； (3)请你用代入消元法求出方程组的解． 【答案】(1)加减 (2)三 (3) 【知识点】加减消元法、代入消元法 【分析】本题考查了加减消元法、代入消元法解二元一次方程组．熟练掌握加减消元法、代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据加减消元法解二元一次方程组求解作答即可； （2）根据加减消元法解二元一次方程组求解作答即可； （3）根据代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：由题意知，淇淇的方法是加减消元法， 故答案为：加减； （2）解：由题意知，以上解法，从第三步开始错误， 故答案为：三； （3）解：， 由②得，， 将③代入①得，， 解得，， 将代入③得，， ∴． 20．（本题8分）（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图①，，点在的两条边上运动，和的平分线交于点． (1)点在运动过程中，则的度数为______； (2)如图②，是的平分线，的反向延长线交的延长线于点，点在运动过程中，的大小会变吗？如果不会，求出的度数；如果会，请说明理由． (3)若，请直接写出______；______． 【答案】(1) (2)的大小不变，理由见解析 (3)，． 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理及三角形外角的性质的运用，解答此题的关键是熟知以下知识：三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和；三角形的内角和是． 先根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出的度数，再根据三角形内角和是即可求解； 根据是的平分线，平分可知，，再根据三角形内角和是即可求解； 仿照中的计算方法即可得到，． 【详解】（1）解：在中，由，得， ∵分别平分和， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）的大小不变． 证明：∵分别平分和， ∴，， ∴， 即， ∴， 又由可知， ∴， 在中，由，，得 ； （3），． 理由：∵分别平分和， ∴，， ∴， ∴； ∵分别平分和， ∴，， ∵是的外角， ∴， 是的外角， 故答案为：，． 21．（本题8分）（23-24七年级下·河北沧州·期末）阅读材料，并解决问题：分解因式：，解：设，则原式；这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中某一部分重复出现时，我们用其他字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 下面李想同学应用换元法对多项式进行因式分解的过程： 解：设，     （第一步）     （第二步）     （第三步） ．    （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了_______． A．提公因式法    B．平方差公式    C．完全平方公式 (2)张老师发现李想同学因式分解的结果有错误，错误的是第______步，正确的结果：______． (3)请你尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2)四， (3)见解析 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了利用提取公因式法、公式法及换元法进行因式分解，熟练掌握相关运算法则并会换元，是解题的关键． （1）从第二步到第三步运用了完全平方公式； （2）第四步分解因式不彻底，继续进行分解即可； （3）设，将原式转换为，去括号整理后运用完全平方公式进行因式分解即可 【详解】（1）解：第二步到第三步运用了完全平方公式， 故选：C； （2）解：张老师发现李想同学因式分解的结果有错误，错误的是第四步，正确的结果： 故答案为：四；； （3）解：设， ∴ 22．（本题10分）（24-25七年级上·河北廊坊·期末）如图1，为直线上一点，过点在直线的下方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方． (1)将图1中的三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转（始终保持在直线的上方），在旋转的过程中，第秒时，恰好与在同一直线上，请直接写出的值． (2)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图2所示的位置，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数． (3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图3的位置，使在的内部，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算、利用邻补角互补求角度 【分析】本题主要考查了角的运算，角平分线的有关计算，利用邻补角互补求角度等知识点，认真审题并仔细观察图形，找到各个角之间的和差关系是解题的关键． （1）根据邻补角互补求出，再利用角的和差关系求得，然后求出时间即可； （2）根据角平分线的定义求出，再利用角的和差关系求得，然后利用邻补角互补即可求出的度数； （3）用和分别表示出，然后列出关系式，整理后即可得解． 【详解】（1）解：如图， ∵，（即）恰好与在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故与之间的数量关系为：． 23．（本题10分）（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图1，，点分别在上运动（不与点重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．    【特殊探究】 (1)若，则______； 【推理论证】 (2)随着点的运动，的大小是否会变化？如果不变，求的度数；如果变化，请说明理由． 【拓展探究】 (3)如图2，直线与直线相交于点，夹角为，点在点右侧，点在上方，点在点左侧，点在射线上运动（不与重合），平分平分交直线于点，当时，求的度数． 【答案】(1) (2)的大小不会变， (3)的度数为或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，三角形外角的性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，角平分线，三角形外角的性质并分情况求解是解题的关键． （1）由题意可得，，由平分，平分，可得，根据，计算求解即可； （2）同理（1）求解即可； （3）由平分平分，可得，，设，，则，，由题意知，分点在上方，点在下方两种情况，利用三角形外角的性质，三角形内角和定理求解作答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴的大小不会变，度数为； （3）解：∵平分平分， ∴，， 设，，则，， 由题意知，分点在上方，点在下方两种情况求解； 当点在上方时，如图2，    ∴，即， 解得，， ∴； 当点在下方时，如图3，              图3 由题意知，， ∵， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，的度数或． 24．（本题12分）（22-23七年级下·河北保定·期末）如图，，点P在直线上，作，交于点M，点F是直线上的一个动点，连接，于点E，平分．    (1)若点F在点E左侧且，求的度数； (2)当点在线段（不与点M，E重合）上时，设，直接写出的度数（用含的代数式表示）； (3)将射线从（1）中的位置开始以每秒的速度绕点P逆时针旋转至的位置，转动的时间为t秒，求当t为何值时，为直角三角形． 【答案】(1)9° (2) (3)为秒或秒 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、几何图形中角度计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）平行线的性质得到，三角形内角和，得到，角平分线得到，垂直得到，进而求出的度数，利用，进行求解即可； （2）根据题意，画出图形，同法（1）求出，的度数，利用，进行求解即可； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解： ， ． 在中，， ． 平分， ． ， ， ， ． （2）解：如图，   ， ． 在中，， ． 平分， ． ， ， ， ． （3）， 当为直角三角形时，存在两种情况： 情况一：当时， 初始状态时， 旋转过的度数为． 转动的时间为（秒）． 情况二：当时，． 初始状态时， 旋转过的度数为． 转动的时间为（秒）． 综上：当为秒或秒时，为直角三角形． 【点睛】本题考查平行线的性质，与角平分线和高线有关的三角形的内角和．解题的关键时熟练掌握相关性质和定义，利用数形结合的思想进行求解． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$