特训10 期末必刷解答题（十一大题型，上海期末热点精选）-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训10 期末必刷解答题（十一大题型，上海期末热点精选） 目录： 题型1：解代数方程 题型2：平面向量及其加减运算 题型3：一次函数的图像与性质 题型4：一次函数的实际应用 题型5：代数方程的实际应用 题型6：一次函数、代数方程综合实际应用 题型7：概率初步 题型8：平行四边形 题型9：特殊平行四边形 题型10：梯形 题型11：一次函数的坐标应用（中考第24题题型） 题型1：解代数方程 1．（23-24八年级下·上海闵行·期末）解方程：． 2．（23-24八年级下·上海闵行·期末）解方程：． 3．（23-24八年级下·上海闵行·期末）解方程组： 4．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）解方程组： 5．（2025八年级下·上海·专题练习）解方程组：． 题型2：平面向量及其加减运算 6．（2025八年级下·上海·专题练习）已知向量 、 求作：． 7．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，设，． （1）试用向量，表示下列向量：＝　 　；＝　 　； （2）求作：．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）． 8．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，在梯形中，，，点是的中点．    (1)填空：______，______； (2)如果把图中的线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与平行的向量共有______个； (3)求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结果） 9．（22-23八年级下·上海黄浦·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别在边和上，且点E是的中点，联结．    (1)写出图中与相等的向量： ； (2)如果，，请用、分别表示： ； ； (3)求作：．（请在原图上求作，不要求写作法，但要写出结论） 题型3：一次函数的图像与性质 10．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）已知一次函数平行于直线，且与函数有一个交点，求： (1)一次函数的解析式． (2)此一次函数与两坐标轴围成的三角形面积． 11．（2025八年级下·上海·专题练习）已知一次函数，，其中． (1)若，求，图象的交点坐标； (2)当时，设的最大值为m，的最小值为n，若，求k的值． 12．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，直线：与x轴交于点B，，直线：经过点C，且与交于点． (1)求直线的解析式； (2)记直线与y轴的交点为D，记直线与y轴的交点为E，求的面积； (3)根据图象，直接写出的解集． 题型4：一次函数的实际应用 13．（23-24八年级下·上海奉贤·期中）如图是某辆汽车加满油后，油箱剩油量y（升）关于已行驶路程x（千米）的函数图像（由两条线段构成）． (1)根据图像，当油箱剩油量为26升时，汽车已行驶的路程为________千米；当时，消耗一升油汽车能行驶的路程为________千米． (2)当时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶300千米时油箱的剩油量． 14．（23-24八年级下·上海闵行·期中）一个数学兴趣小组准备探究弹簧的全长与所挂砝码重量之间的关系．他们准备了一根弹簧和直尺，进行了多次实验，并将每次实验的结果填入绘制的表格内，然后再将表格内的每一对数作为点的坐标描在直角坐标平面内（如下表、图），最后用光滑的曲线把描出的这些点联结起来，发现这些点在同一直线上．由此他们得出弹簧的全长与所挂砝码重量之间是一次函数的关系． 砝码重量x（克） 0 100 150 200 250 弹簧全长y（厘米） 4 6 7 8 9 (1)求这条直线的表达式（不写定义域）； (2)如果这根弹簧被所挂砝码刚好完全拉直时的长度是12厘米，求这时所挂砝码是多少克？ 15．（2024·上海金山·二模）如图，某农业合作社为农户销售草莓，经过测算，草莓销售的销售额（元）和销售量（千克）的关系如射线所示，成本（元）和销售量（千克）的关系如射线所示． (1)当销售量为 千克时，销售额和成本相等； (2)每千克草莓的销售价格是 元； (3)如果销售利润为2000元，那么销售量为多少？ 16．（2024·上海青浦·二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 题型5：代数方程的实际应用 17．（22-23八年级下·上海长宁·期末）小明和小智从学校出发，到距学校路程12千米的自然博物馆，小明骑自行车先走，过了15分钟，小智乘汽车按相同路线追赶小明，结果他们同时到达目的地，已知汽车的速度是小明骑车速度的2倍多20千米/小时，求小明骑车的速度是每小时多少千米． 18．（2025八年级下·上海·专题练习）今年上海市政府计划年内改造1．8万个分类垃圾箱房，把原有的分类垃圾箱房改造成可以投放“干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾”四类垃圾的新型环保垃圾箱房．环卫局原定每月改造相同数量的分类垃圾箱房，为确保在年底前顺利完成改造任务，环卫局决定每月多改造250个分类垃圾箱房，提前一个月完成任务．求环卫局每个月实际改造分类垃圾箱房的数量． 19．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）修建360米长的一段高速公路，甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天比乙工程队少修建6米．甲工程队每天修建的费用为2万元，乙工程队每天修建的费用为万元． (1)求甲、乙两个工程队每天各修建多少米； (2)为在35天内完成修建任务，应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任务的前提下所花费用较少？并说明理由． 题型6：一次函数、代数方程综合实际应用 20．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）在一次越野比赛中，小明和小杰同时出发，小杰比小明早1分钟跑到离出发点1500米的假山处，已知小杰的平均速度每分钟比小明快50米． (1)到达假山处时，小杰用了多少分钟？ (2)小杰从假山处以原来速度继续前进，设继续前进的时间为分钟，离出发点的距离为米，与之间的函数关系如图所示，那么点的坐标为 ，与之间的函数解析式为 （不要求写定义域）． 21．（23-24八年级下·上海青浦·期中）某学校为了加强常规和应急消毒工作，计划购买甲、乙两种类型的消毒剂，预计购进乙种类型的消毒剂（升）与甲种类型的消毒剂（升）之间的函数关系如图所示. (1)求关于的函数解析式（不需要写定义域）； (2)该学校用2000元选购了甲种类型的消毒剂，用2400元选购了乙种类型的消毒剂，甲种类型消毒剂的单价比乙种类型消毒剂的单价贵20元，求选购的甲、乙两种类型的消毒剂分别是多少升？ 题型7：概率初步 22．（23-24八年级下·上海虹口·期末）一只箱子里放有2个白球与1个红球，它们除颜色外均相同． (1)如果从箱子中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是______； (2)如果从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，再摸出一个球，利用树形图求两次摸出的球都是白球的概率； (3)如果可以往箱子里放除颜色外均相同的球，请你设计一个“摸出白球的概率为”的游戏方案． 23．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）有四张完全相同的卡片、、、，分别面有不同的几何图形：（等边三角形）；（圆）；（矩形）；（等腰梯形），将这四张卡片放在不透明的盒子中洗匀． (1)从盒子中抽取出一张卡片，取出的卡片所画的图形是轴对称图形的概率是_____； (2)小莉从盒子中同时抽取了两张卡片，取出的两张卡片所画的图形都是中心对称图形的概率是多少？（请用树形图说明，卡片可用、、、表示） 24．（23-24八年级下·上海静安·期末）某工厂接到制作2000件物理实验模型的加工订单，为了尽快完成任务，工厂对原加工计划进行了调整，经测算，如果平均每天比原计划多加工20件，那么能提早5天完成任务． (1)求工厂原计划每天加工物理实验模型的件数； (2)在生产模型的过程中，检验员会在一段时间内先后对多个批次的模型合格情况进行抽查，目的是估计产品的报废率，及时调整生产数量与进度，满足客户需求． 下表是检验员对该物理实验模型产品抽查过程中的数据统计： 抽取模型数累计m（件） 50 100 150 200 250 300 400 报废模型数累计n（件） 0 3 4 5 5 6 8 模型报废的频率（精确到0.001） 0 0.03 0.027 0.025 0.02 0.02 0.02 请估计这批物理实验模型成品的报废率约为_______（精确到）；结合你的估计帮助工厂计算，至少还需生产_______件产品才能完成订单的需求． 题型8：平行四边形 25．（20-21八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平行四边形中，已知对角线与相交于点O，，，，求的长． 26．（2025八年级下·上海·专题练习）已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 27．（20-21八年级下·上海浦东新·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，P是AD上一点，且BP和CP分别平分和，cm． (1)求平行四边形ABCD的周长． (2)如果cm，求PC的长． 题型9：特殊平行四边形 28．（22-23八年级下·上海闵行·期末）如图，已知正方形中，，为对角线，平分，，垂足为．求的长．    29．（2025八年级下·上海·专题练习）已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且CA=CB，延长BC至点E，使CE=BC，连接DE． （1）当AC⊥BD时，求证：BE=2CD； （2）当∠ACB=90°时，求证：四边形ACED是正方形．    30．（20-21八年级下·上海闵行·期末）如图，已知在梯形中，，，点是对角线的中点，联结 并延长，交边于点，联结． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）联结，如果垂直平分，求证：四边形是菱形． 31．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，已知平行四边形，E是边的中点，点F在边上，连接并延长交的延长线于点G，连接、． (1)如果，求证：四边形是矩形； (2)如果F是边的中点，且，求证：四边形是菱形． 32．（23-24八年级下·上海长宁·期末）已知：如图，在中，，是边上的高．H为线段上的点，以为邻边作矩形，连结交于点E，联结交于点F．    (1)如果，求证：四边形为正方形； (2)联结，如果，求证：四边形为矩形． 33．（22-23八年级下·上海松江·期末）已知：如图，是等边三角形，点D在边上，且是等边三角形，边与交于点O．过点E作，分别与线段相交于点F、G、H，联结．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，如果，求证：四边形是菱形． 题型10：梯形 34．（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知等腰梯形ABCD中，，，，，，求梯形的面积． 35．（23-24八年级下·上海·单元测试）如图，已知在梯形中，，，，． (1)如果，求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 36．（23-24八年级下·上海·期末）如图，矩形的对角线交于点，点和分别是线段和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是等腰梯形． 37．（23-24八年级下·上海崇明·期末）已知：如图，在梯形中，的平分线交延长线于点E，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)交点G，如果，求证：． 38．（2025·上海崇明·二模）如图，在等腰梯形中，，、分别是、边的中点，与相交于点． (1)求证：； (2)连接、，当时，求证：四边形是菱形． 题型11：一次函数的坐标应用（中考第24题题型） 39．（22-23八年级下·上海宝山·期末）如图，点A的坐标为，点B、C在x轴上，且轴，，直线与y轴交于点D，E是直线上的一个动点．      (1)求直线的表达式； (2)当点E在线段上，联结，如果的面积是面积的一半，求点E的坐标； (3)设点F是平面内一点，如果以A、E、B、F为顶点的四边形为正方形，试求出点F的坐标． 40．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，以线段为一边向上作等边三角形．    (1)求出A，B，C的坐标； (2)已知在y轴上有一点P，且，求出符合条件的P点坐标； (3)平面直角坐标系内有一点Q，使得以A，C，O，Q为顶点的四边形为等腰梯形，请直接写出所有符合条件的Q点坐标． 41．（22-23八年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上一动点，以线段为一边，在其一侧作等边．当点运动到原点处时，记的位置为．    (1)求点的坐标； (2)当点在轴上运动（不与重合）时，求证：； (3)是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训10 期末必刷解答题（十一大题型，上海期末热点精选） 目录： 题型1：解代数方程 题型2：平面向量及其加减运算 题型3：一次函数的图像与性质 题型4：一次函数的实际应用 题型5：代数方程的实际应用 题型6：一次函数、代数方程综合实际应用 题型7：概率初步 题型8：平行四边形 题型9：特殊平行四边形 题型10：梯形 题型11：一次函数的坐标应用（中考第24题题型） 题型1：解代数方程 1．（23-24八年级下·上海闵行·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解无理方程，熟练掌握解无理方程的方法是解题的关键． 先变形为，再两边平方化成整式方程求解，然后检验把增根舍去，即可求解． 【解析】解： 或 ，， 经检验，是原方程的根，是增根，舍去， ∴原方程的解为：． 2．（23-24八年级下·上海闵行·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程和解一元二次方程，熟练掌握解分式方程和解一元二次方程的方法是解题的关键．根据解分式方程的步骤化简，再解一元二次方程，注意要验根． 【解析】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 因式分解，得， 解得：，， ∵，且， ∴或， ∴． 3．（23-24八年级下·上海闵行·期末）解方程组： 【答案】或 【分析】本题考查解二元二次方程组，解题关键是将二次方程组转化 成一次方程组求解是解题的关键． 将第二个方程化简为，得到或，再由由①③组成方程组和由①④组成方程组，求解即可． 【解析】解： 由②得： ∴或 由①③组成方程组为：， 解得：； 由①④组成方程组为：， 解得：， ∴原方程组解为：或． 4．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）解方程组： 【答案】原方程组的解为，，， 【分析】将因式分解或，再进行分类讨论即可． 【解析】解：， 由，得， 或． 原方程组可化为或者． 解方程组得，； 解方程组或者得，． 原方程组的解为：，，，． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，熟练掌握因式分解法是解题的关键． 5．（2025八年级下·上海·专题练习）解方程组：． 【答案】 【分析】利用换元法和加减消元法解二元一次方程组． 【解析】解：设，， 则原方程组变形为， ②，得：③， ①③，得：， 解得：， 把代入①，得：， 解得：， ， 解得：， 经检验是原分式方程的解， ， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 方程组的解为． 【点睛】本题考查解二元一次方程组和解分式方程，掌握消元法解二元一次方程组和解分式方程的步骤是解题关键． 题型2：平面向量及其加减运算 6．（2025八年级下·上海·专题练习）已知向量 、 求作：． 【答案】见解析 【分析】在平面内任取一点，分别作出，，利用向量运算的平行四边形法则即可得到答案． 【解析】解：在平面内任取一点，作，作 ，则即为所求．如下图． 【点睛】已知基底求作向量，就是先取平面上任意一点，先分别作出与基底共线的向量，再利用向量加法的平行四边形法则作出和向量． 7．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，设，． （1）试用向量，表示下列向量：＝　 　；＝　 　； （2）求作：．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）． 【答案】（1）﹣，﹣﹣；（2）见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质以及三角形法则求解即可． （2）如图，延长BC到E，使得CE＝BC，则即为所求． 【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，BC＝AD，OA＝OC， ∴＝＝＝﹣， ＝＝﹣﹣． 故答案为：﹣，﹣﹣． （2）如图，延长BC到E，使得CE＝BC，则即为所求． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，在梯形中，，，点是的中点．    (1)填空：______，______； (2)如果把图中的线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与平行的向量共有______个； (3)求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结果） 【答案】(1)； (2) (3)图形见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，向量的运算，即可； （2）根据平行向量的意义求解； （3）根据三角形的作图，即可． 【解析】（1）∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）与平行的向量有：，，，，，，共个， 故答案为：． （3）以点为圆心，长为半径，延长，连接， ∴， ∴． 图形见下：    【点睛】本题考查向量，平行四边形的知识，解题的关键是掌握平行向量的性质，平行四边形的性质． 9．（22-23八年级下·上海黄浦·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别在边和上，且点E是的中点，联结．    (1)写出图中与相等的向量： ； (2)如果，，请用、分别表示： ； ； (3)求作：．（请在原图上求作，不要求写作法，但要写出结论） 【答案】(1) (2)； (3)作图见解析 【分析】（1）通过平行四边形的性质及中点的意义证明四边形是平行四边形，即可求解； （2）直接根据向量的三角形法则和平行四边形法则进行求解即可； （3）根据向量的加减法运算法则先将进行化简，再作图即可． 【解析】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，点E是的中点， ∴， ∵，四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：，； （3）∵， ∴    ∴图中为所求向量． 【点睛】本题考查了向量的加减法运算法则，涉及平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形法则和平行四边形法则是解题的关键． 题型3：一次函数的图像与性质 10．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）已知一次函数平行于直线，且与函数有一个交点，求： (1)一次函数的解析式． (2)此一次函数与两坐标轴围成的三角形面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数与坐标轴围成的图形面积． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线与坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式求解即可． 【解析】（1）解：∵一次函数平行于直线， ∴， 把代入得：， ∴， ∵一次函数与函数有一个交点， ∴把代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为． （2）解：令，则，解得：， 令，则， ∴一函数与y轴的交点为，与x轴的交点为， ． 11．（2025八年级下·上海·专题练习）已知一次函数，，其中． (1)若，求，图象的交点坐标； (2)当时，设的最大值为m，的最小值为n，若，求k的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】题目主要考查一次函数的性质及交点问题，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）根据题意联立两个一次函数求解即可； （2）根据一次函数的性质得出随x的增大而增大，随x的增大而减小，分别确定其最值，然后计算求解即可． 【解析】（1）解：当时，，， 解得， ∴，图象的交点坐标为； （2）解：在中，． ∴随x的增大而增大， ∵， ∴当时，的最大值， 在中，， ∴随x的增大而减小， ∴当时，的最小值为， ∵， ∴， 解得． 12．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，直线：与x轴交于点B，，直线：经过点C，且与交于点． (1)求直线的解析式； (2)记直线与y轴的交点为D，记直线与y轴的交点为E，求的面积； (3)根据图象，直接写出的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，一次函数与不等式，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求得两条直线的解析式． （1）先求出直线表达式，再求点B坐标，根据，即得点C坐标，结合点，即可求出直线的解析式； （2）先求出点和点的坐标，再根据三角形的面积公式建立等式，即可作答； （3）根据图象，要找满足的解集，只需找到对应的x的范围，满足直线的图象在的图象上方，且的图象在x轴的上方． 【解析】（1）解：∵的直线解析式为， 令， 则， 解得 ∴， ∵， ∴， ∵：经过点C和点A， ， 解得， ∴的直线解析式为； （2）解：在直线的解析式中， 令， 则， ∴， 在直线的解析式中令， 则， ∴， ∴， ∴； （3）解：根据图象，因为，且， 则， 又因为，且直线与交于点， 所以， 故的解集为． 题型4：一次函数的实际应用 13．（23-24八年级下·上海奉贤·期中）如图是某辆汽车加满油后，油箱剩油量y（升）关于已行驶路程x（千米）的函数图像（由两条线段构成）． (1)根据图像，当油箱剩油量为26升时，汽车已行驶的路程为________千米；当时，消耗一升油汽车能行驶的路程为________千米． (2)当时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶300千米时油箱的剩油量． 【答案】(1)240；10 (2)，21升 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求关系式是解题的关键． （1）根据图象可得汽车已行驶的路程，根据50升时行程为0千米和26升时程为240千米可得汽车的耗油量． （2）利用待定系数法得到函数关系式，再把代入可剩余量． 【解析】（1）由图象可得，当油箱剩油量为26升时汽车已行驶的路程为240千米， ∵（千米/升）， ∴消耗一升油汽车能行驶的路程为10千米． （2）设，把和代入可得， ， 解得， ∴函数表达式为， 当时，． 答：y关于x的函数表达式为，当汽车已行驶300千米时油箱的剩油量是21升． 14．（23-24八年级下·上海闵行·期中）一个数学兴趣小组准备探究弹簧的全长与所挂砝码重量之间的关系．他们准备了一根弹簧和直尺，进行了多次实验，并将每次实验的结果填入绘制的表格内，然后再将表格内的每一对数作为点的坐标描在直角坐标平面内（如下表、图），最后用光滑的曲线把描出的这些点联结起来，发现这些点在同一直线上．由此他们得出弹簧的全长与所挂砝码重量之间是一次函数的关系． 砝码重量x（克） 0 100 150 200 250 弹簧全长y（厘米） 4 6 7 8 9 (1)求这条直线的表达式（不写定义域）； (2)如果这根弹簧被所挂砝码刚好完全拉直时的长度是12厘米，求这时所挂砝码是多少克？ 【答案】(1) (2)这时所挂砝码是400克 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）设出函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出时，x的值即可得到答案． 【解析】（1）解：设这条直线的解析式为， 把代入中得：， ∴， ∴这条直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴这时所挂砝码是400克． 15．（2024·上海金山·二模）如图，某农业合作社为农户销售草莓，经过测算，草莓销售的销售额（元）和销售量（千克）的关系如射线所示，成本（元）和销售量（千克）的关系如射线所示． (1)当销售量为 千克时，销售额和成本相等； (2)每千克草莓的销售价格是 元； (3)如果销售利润为2000元，那么销售量为多少？ 【答案】(1)20 (2)20 (3)销售量为220千克，见详解 【分析】本题考查了一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是一次函数表达式． （1）即图中两条射线交点所对应的x值； （2）从图中发现销售20千克时，销售额为400元，即可求解； （3）依据利润=售价成本，分别求出销售额，成本关于销售量x的函数表达式，代入即可． 【解析】（1）解：由图象可知当销售量为20千克时，销售额和成本相等， 故答案为：20． （2）解：每千克草莓的销售价格为（元）， 故答案为：20． （3）解：设， 由题意得：，， 解得： ， ∴的解析式为，的解析式为， ∵销售利润为2000元， ∴， 解得， ∴如果销售利润为2000元，那么销售量为220千克． 16．（2024·上海青浦·二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 【答案】(1) (2)共有种租车方案 (3)租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元 【分析】本题考查一元一次不等式组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆；根据题意列函数关系式即可； （2）根据租车总费用不超过元，师生共有人可得 ，又为整数,解不等式组即可得到租车方案； （3）结合（1）（2），利用一次函数性质租金最少的方案即可解题． 【解析】（1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆， ； （2）∵租车总费用不超过元，师生共有人, ， 解得 ， ∵为整数, ∴可取, ∴一共有种租车方案； （3）在中，随的增大而增大, 又可取, ∴当时，取最小值，最小值为(元), ∴租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元． 题型5：代数方程的实际应用 17．（22-23八年级下·上海长宁·期末）小明和小智从学校出发，到距学校路程12千米的自然博物馆，小明骑自行车先走，过了15分钟，小智乘汽车按相同路线追赶小明，结果他们同时到达目的地，已知汽车的速度是小明骑车速度的2倍多20千米/小时，求小明骑车的速度是每小时多少千米． 【答案】小明骑车的速度是每小时千米 【分析】设小明骑车的速度是每小时千米，则汽车的速度是千米/小时，根据题意列出分式方程，解方程即可求解． 【解析】解：设小明骑车的速度是每小时千米，则汽车的速度是千米/小时，根据题意得， 解得：或（舍去） 经检验，原方程的解， 答：小明骑车的速度是每小时千米． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解一元二次方程，根据题意列出方程是解题的关键． 18．（2025八年级下·上海·专题练习）今年上海市政府计划年内改造1．8万个分类垃圾箱房，把原有的分类垃圾箱房改造成可以投放“干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾”四类垃圾的新型环保垃圾箱房．环卫局原定每月改造相同数量的分类垃圾箱房，为确保在年底前顺利完成改造任务，环卫局决定每月多改造250个分类垃圾箱房，提前一个月完成任务．求环卫局每个月实际改造分类垃圾箱房的数量． 【答案】环卫局每个月实际改造类垃圾箱房2250个． 【分析】设原计划每个月改造垃圾房万个，然后根据题意列出分式方程，解方程即可得出答案． 【解析】设原计划每个月改造垃圾房万个，则实际每月改造万个． ． 化简得：． 解得：，． 经检验：，是原方程的解． 其中符合题意，不符合题意舍去． 万个，即2250个． 答：环卫局每个月实际改造类垃圾箱房2250个． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，能够根据题意列出分式方程是解题的关键． 19．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）修建360米长的一段高速公路，甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天比乙工程队少修建6米．甲工程队每天修建的费用为2万元，乙工程队每天修建的费用为万元． (1)求甲、乙两个工程队每天各修建多少米； (2)为在35天内完成修建任务，应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任务的前提下所花费用较少？并说明理由． 【答案】(1)甲工程队每天修建12米，则乙工程队每天修建18米 (2)甲工程队所花费用较少；理由见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确计算． （1）设甲工程队每天修建x米，则乙工程队每天修建米，根据甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，列出方程，解方程即可； （2）分别求出两个工程队完成任务需要的时间和费用，然后进行比较即可． 【解析】（1）解：设甲工程队每天修建x米，则乙工程队每天修建米，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， （天）， 答：甲工程队每天修建12米，则乙工程队每天修建18米． （2）解：甲工程队修建时间为：（天），需要花费： （万元）， 乙工程队修建时间为：（天），需要花费： （万元）， ∵， ∴两个工程队都能在天内完成， ∵， ∴甲工程队所花费用较少． 题型6：一次函数、代数方程综合实际应用 20．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）在一次越野比赛中，小明和小杰同时出发，小杰比小明早1分钟跑到离出发点1500米的假山处，已知小杰的平均速度每分钟比小明快50米． (1)到达假山处时，小杰用了多少分钟？ (2)小杰从假山处以原来速度继续前进，设继续前进的时间为分钟，离出发点的距离为米，与之间的函数关系如图所示，那么点的坐标为 ，与之间的函数解析式为 （不要求写定义域）． 【答案】(1)5分钟 (2)， 【分析】本题考查了一次函数的应用和分式方程的应用，解可化成一元二次方程的分式方程． （1）设小明的速度为米/分钟，则小杰的速度为米/分钟，根据小杰比小明早1分钟跑到离出发点1500米的假山处列出方程，解方程即可； （2）根据题意列出与之间的函数解析式，再把代入解析式从而求出点坐标． 【解析】（1）解：设小明的速度为米/分钟，则小杰的速度为米/分钟， 则， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 经检验，是原方程的根， 小明的速度为250米/分钟，小杰的速度为300米/分钟， （分钟）， 到达假山处时，小杰用了5分钟； （2）解：设继续前进的时间为分钟，离出发点的距离为米，与之间的函数关系， 当时，， 点的坐标为，与之间的函数解析式为， 故答案为：，． 21．（23-24八年级下·上海青浦·期中）某学校为了加强常规和应急消毒工作，计划购买甲、乙两种类型的消毒剂，预计购进乙种类型的消毒剂（升）与甲种类型的消毒剂（升）之间的函数关系如图所示. (1)求关于的函数解析式（不需要写定义域）； (2)该学校用2000元选购了甲种类型的消毒剂，用2400元选购了乙种类型的消毒剂，甲种类型消毒剂的单价比乙种类型消毒剂的单价贵20元，求选购的甲、乙两种类型的消毒剂分别是多少升？ 【答案】(1)关于的函数解析式为 (2)甲种类型消毒剂购买了升，乙种类型消毒剂购买了升 【分析】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，利用待定系数法求出 解析式是解题的关键． （1）在图像上找两点，利用待定系数法即可求解； （2）设甲种类型消毒剂购买了x升，则乙种类型消毒剂购买了升，根据等量关系：甲种类型消毒剂的单价比乙种类型消毒剂的单价贵20元，列出分式方程并求解即可． 【解析】（1）解：设所求函数解析式为， 由图像知，直线过两点， 把这两点坐标分别代入中，得：， 解得：， ∴关于的函数解析式为． （2）解：设甲种类型消毒剂购买了x升，则乙种类型消毒剂购买了升， 根据题意，得：， 整理得：， 解得：， 经检验，，都是原方程的解，但当时，，与题意不符， ∴， ∴； 答：甲种类型消毒剂购买了升，乙种类型消毒剂购买了升． 题型7：概率初步 22．（23-24八年级下·上海虹口·期末）一只箱子里放有2个白球与1个红球，它们除颜色外均相同． (1)如果从箱子中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是______； (2)如果从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，再摸出一个球，利用树形图求两次摸出的球都是白球的概率； (3)如果可以往箱子里放除颜色外均相同的球，请你设计一个“摸出白球的概率为”的游戏方案． 【答案】(1) (2) (3)往箱子里放红球1个，白球1个，摸出白球的概率为 【分析】本题考查了用概率公式求解概率、采用树状图法或列表法列举求解概率以及根据概率求数量的知识，掌握用树状图法或列表法列举求解概率是解答本题的关键． （1）用白球个数除以球的总个数即可； （2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是白球的结果数，然后根据概率公式求解； （3）设往箱子里放红球x个，白球1个，根据“摸出白球的概率为”建立方程求解检验即可． 【解析】（1）解：摸出的球是白球的概率是； （2）解：画树状图为： 共有6种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是白球的结果数为2， 即两次都是摸出白球的概率为：； （3）解：设往箱子里放红球x个，白球1个，根据题意得： ，即 解得：， 经检验，是原方程的解， 往箱子里放红球1个，白球1个，摸出白球的概率为 23．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）有四张完全相同的卡片、、、，分别面有不同的几何图形：（等边三角形）；（圆）；（矩形）；（等腰梯形），将这四张卡片放在不透明的盒子中洗匀． (1)从盒子中抽取出一张卡片，取出的卡片所画的图形是轴对称图形的概率是_____； (2)小莉从盒子中同时抽取了两张卡片，取出的两张卡片所画的图形都是中心对称图形的概率是多少？（请用树形图说明，卡片可用、、、表示） 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先判断（等边三角形）、（圆）、（矩形）、（等腰梯形）都是轴对称图形，再根据概率公式求解； （2）先画出树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片都是中心对称图形的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【解析】（1）∵（等边三角形）、（圆）、（矩形）、（等腰梯形）都是轴对称图形， ∴从盒子中抽取出一张卡片，取出的卡片所画的图形是轴对称图形的概率是1； （2）（圆）、（矩形） 是中心对称图形， 所有等可能的情况如图所示：    共有12种等可能的结果数，其中抽取的两张卡片都是中心对称图形的结果有2种， 所以取出的两张卡片所画的图形都是中心对称图形的概率是． 【点睛】本题考查了求两次事件的概率，正确理解题意、熟练掌握利用树状图或列表法求解的方法是关键． 24．（23-24八年级下·上海静安·期末）某工厂接到制作2000件物理实验模型的加工订单，为了尽快完成任务，工厂对原加工计划进行了调整，经测算，如果平均每天比原计划多加工20件，那么能提早5天完成任务． (1)求工厂原计划每天加工物理实验模型的件数； (2)在生产模型的过程中，检验员会在一段时间内先后对多个批次的模型合格情况进行抽查，目的是估计产品的报废率，及时调整生产数量与进度，满足客户需求． 下表是检验员对该物理实验模型产品抽查过程中的数据统计： 抽取模型数累计m（件） 50 100 150 200 250 300 400 报废模型数累计n（件） 0 3 4 5 5 6 8 模型报废的频率（精确到0.001） 0 0.03 0.027 0.025 0.02 0.02 0.02 请估计这批物理实验模型成品的报废率约为_______（精确到）；结合你的估计帮助工厂计算，至少还需生产_______件产品才能完成订单的需求． 【答案】(1)工厂原计划每天加工物理实验模型的件数为80件 (2)；41 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，用频率估计概率，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程． （1）设工厂原计划每天加工物理实验模型的件数为x件，根据平均每天比原计划多加工20件，那么能提早5天完成任务，列出方程，解方程即可； （2）根据频率估计概率即可，设还需生产y件产品才能完成订单的需求，根据题意列出不等式，求出至少还要生产的件数即可． 【解析】（1）解：设工厂原计划每天加工物理实验模型的件数为x件，根据题意得： ， 解得：，， 经检验是原方程的解， 答：工厂原计划每天加工物理实验模型的件数为80件； （2）解：根据表格中的数据可知：模型报废的频率稳定在， ∴这批物理实验模型成品的报废率约为， 设还需生产y件产品才能完成订单的需求，根据题意得： ， 解得：， ∵y必须取整数， ∴至少还需生产41件产品才能完成订单的需求． 题型8：平行四边形 25．（20-21八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平行四边形中，已知对角线与相交于点O，，，，求的长． 【答案】4 【分析】由平行四边形的性质得出OB=OD，AD∥BC，由勾股定理求出BD，即可求出OD即可． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD，AD∥BC， ∵∠DBC=90°， ∴∠ADB=90°， 在Rt△ADB中， ∵AB=10，AD=6， ∴BD==8， ∴OD=BD=4． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用平行四边形的性质解决问题． 26．（2025八年级下·上海·专题练习）已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 【答案】证明见解析. 【分析】根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得证明结论． 【解析】解：如图，连接BC，设对角线交于点O． ∵四边形ABDC是平行四边形， ∴OA=OD，OB=OC． ∵AE=DF， ∴OA﹣AE=OD﹣DF， ∴OE=OF． ∴四边形BECF是平行四边形． 27．（20-21八年级下·上海浦东新·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，P是AD上一点，且BP和CP分别平分和，cm． (1)求平行四边形ABCD的周长． (2)如果cm，求PC的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线可得，，由平行线的性质及等量代换得出，，依据等角对等边可得cm，cm，即可求出平行四边形的周长； （2）由（1）可得，，利用平行线的性质得出，结合各角之间的数量关系可得，在直角三角形中利用勾股定理即可得出结果． 【解析】（1）解：∵BP、CP平分，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴cm，(cm)， ∴(cm)， ∴平行四边形的周长为：(cm)； （2）解：由（1）可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，cm， ∴(cm)． 【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，等角对等边及勾股定理解三角形，三角形内角和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 题型9：特殊平行四边形 28．（22-23八年级下·上海闵行·期末）如图，已知正方形中，，为对角线，平分，，垂足为．求的长．    【答案】 【分析】利用正方形的性质求出，再根据角平分线的性质可得，进而可证明，问题随之得解． 【解析】∵正方形中，，为对角线， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，证明，是解答本题的关键． 29．（2025八年级下·上海·专题练习）已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且CA=CB，延长BC至点E，使CE=BC，连接DE． （1）当AC⊥BD时，求证：BE=2CD； （2）当∠ACB=90°时，求证：四边形ACED是正方形．    【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据已知条件得到四边形ABCD是菱形．求得BC=CD．得到BE=2BC，于是得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD∥BE，求得AD=CE，AD∥CE，推出平行四边形ACED是矩形，根据正方形的判定定理即可得到结论． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． ∴BC=CD． 又∵CE=BC， ∴BE=2BC， ∴BE=2CD； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BE， 又∵CE=BC， ∴AD=CE，AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形． ∵∠ACB=90°， ∴平行四边形ACED是矩形， 又∵CA=CB， ∴CA=CE， ∴矩形ACED是正方形． 【点睛】本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键． 30．（20-21八年级下·上海闵行·期末）如图，已知在梯形中，，，点是对角线的中点，联结 并延长，交边于点，联结． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）联结，如果垂直平分，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）根据AAS证明△ADE≌△CFE得出ED＝EF，进而可得四边形AFCD是平行四边形； （2）根据垂直平分线的性质证明，再根据菱形的判定定理即可求解． 【解析】（1）， ，. 点是对角线的中点， . 在和中， . . 又， 四边形是平行四边形， （2），， . 又垂直平分， . . ，垂直平分， . ，， . . . 又四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了直角梯形，平行四边形的判定与性质，菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法，证明四边形AFCD是平行四边形是解题的关键． 31．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，已知平行四边形，E是边的中点，点F在边上，连接并延长交的延长线于点G，连接、． (1)如果，求证：四边形是矩形； (2)如果F是边的中点，且，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，三角形的中位线，熟练掌握矩形和菱形的判定是解题的关键． （1）先证出，再根据，得到，即可证明； （2）连接，得到是的中位线，从而证得，得出，即可证明． 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵E是边的中点， ∴ 又∵ ∴ ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是矩形． （2）连接，如图， ∵E是边的中点，F是边的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴四边形是菱形． 32．（23-24八年级下·上海长宁·期末）已知：如图，在中，，是边上的高．H为线段上的点，以为邻边作矩形，连结交于点E，联结交于点F．    (1)如果，求证：四边形为正方形； (2)联结，如果，求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过矩形的性质得出证明，得出，再结合矩形的性质，即可作答． （2）经过角的等量代换得出，结合，得出，证明，得出，得出四边形是平行四边形，结合，即可作答． 【解析】（1）解：∵四边形是矩形 ∴ ∵是边上的高． ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形 ∴四边形是正方形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 33．（22-23八年级下·上海松江·期末）已知：如图，是等边三角形，点D在边上，且是等边三角形，边与交于点O．过点E作，分别与线段相交于点F、G、H，联结．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，如果，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，然后证明出，进而得到，结合即可证明出四边形是平行四边形； （2）连接，根据平行四边形的性质和等边三角形的性质证明即可． 【解析】（1）∵是等边三角形， ∴． 同理可知，． ∴． ∴． ∴． ∴在和中， ∴ ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）如图所示，    ∵， ∴． 又∵是等边三角形， ∴   ∴ ∵   ∴． ∵四边形是平行四边形   ∴   ∴ ∴ ∴ 又∵是等边三角形   ∴ ∴ ∴． ∴   ∴ ∵   ∴ ∵ ∴ ∴ ∴   ∴四边形DGEC是菱形． 【点睛】此题考查了平行四边形和菱形的判定，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 题型10：梯形 34．（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知等腰梯形ABCD中，，，，，，求梯形的面积． 【答案】梯形的面积是25． 【分析】本题考查了等腰梯形的性质，解题关键是根据等腰梯形的性质得出全等，再求出高即可． 【解析】解：过点D作的平行线交的延长线于点E，过点D作于H． ， ， 四边形ACED是平行四边形， ，， ， ． 四边形是等腰梯形，， ， ， ， ， ， ， ，， ． ． 答：梯形的面积是25． 35．（23-24八年级下·上海·单元测试）如图，已知在梯形中，，，，． (1)如果，求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）证明梯形的两个底角相等即可得到结论； （2）作 于点 ， 于点 ，进一步利用轴对称图形的性质与矩形的判定与性质，勾股定理的应用可得答案． 【解析】（1）解：∵， ， ， ∴， ， ， ， 梯形 是等腰梯形． （2）解：作 于点 ， 于点 ， 梯形 为等腰梯形， ，四边形是矩形； ∴， 在 中，，，， ∴，， ． 【点睛】本题考查的是等腰梯形的判定，轴对称图形的性质，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握等腰梯形的性质与判定是解本题的关键． 36．（23-24八年级下·上海·期末）如图，矩形的对角线交于点，点和分别是线段和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质可得，根据三角形中位线定理可得，，进而推出，，然后根据平行四边形的判定定理可得结论； （2）证明是等边三角形，求出即可． 【解析】（1）证明：在矩形中，， ∵点和分别是线段和的中点， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：由（1）知， ∴四边形是梯形， ∵在矩形中，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，等边三角形的判定和性质，等腰梯形的判定，灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键． 37．（23-24八年级下·上海崇明·期末）已知：如图，在梯形中，的平分线交延长线于点E，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)交点G，如果，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查的是梯形的性质、菱形的判定和性质，掌握菱形的判定定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的三线合一得到，根据角平分线的定义、平行线的性质得到，得到，根据菱形的判定定理证明； （2）连接，根据等腰梯形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，证明结论． 【解析】（1）证明：∵是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴平行四边形是菱形； （2）如图，连接， 在梯形中，， 则梯形等腰梯形， ， 由（1）可知：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ． 38．（2025·上海崇明·二模）如图，在等腰梯形中，，、分别是、边的中点，与相交于点． (1)求证：； (2)连接、，当时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，如图所示，由等腰梯形的性质得到，进而由全等三角形的判定定理得到，进而得到，再由三角形中位线的判定与性质得到，等量代换得到，再由等角对等边即可得证； （2）由题意，等量代换得到，由中垂线的判定得到，从而由得到，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，结合题中条件确定，从而由平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，进而得证四边形是菱形． 【解析】（1）证明：连接，如图所示： 四边形是等腰梯形 ． 又， ． ． 是中点， ， ， ， ； （2）证明：连接，如图所示： ， ， 又是中点， ， 是中点， ， ， 是边中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题是四边形的综合，涉及等腰梯形性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、中垂线的判定与性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定、菱形的判定等知识．熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键． 题型11：一次函数的坐标应用（中考第24题题型） 39．（22-23八年级下·上海宝山·期末）如图，点A的坐标为，点B、C在x轴上，且轴，，直线与y轴交于点D，E是直线上的一个动点．      (1)求直线的表达式； (2)当点E在线段上，联结，如果的面积是面积的一半，求点E的坐标； (3)设点F是平面内一点，如果以A、E、B、F为顶点的四边形为正方形，试求出点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出点C的坐标，由待定系数法求出直线的表达式即可； （2）求出点D的坐标是，得到，设点E的坐标是，由的面积是面积的一半列出关于t的方程，求出t的值，即可得点E的坐标； （3）根据点E的位置，利用正方形的性质分两种情况求出点F的坐标即可． 【解析】（1）解：∵点A的坐标为，且轴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标是， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为； （2）当时，， ∴点D的坐标是， ∴， ∵点E在线段上， ∴可设点E的坐标是， ∵的面积是面积的一半， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标是； （3）∵E是直线上的一个动点．是等腰直角三角形， ∴当点E与点C重合时，四边形是正方形，      此时， ∴，， ∴点F的坐标是， 当点E为线段的中点时，是等腰直角三角形， 此时点E的坐标为，四边形是正方形，则有与互相垂直平分且相等，    ∴，， ∴轴， ∴点F的坐标是， ∴点F的坐标是或． 【点睛】此题是一次函数和几何综合题，考查了一次函数的图象和性质、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． 40．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，以线段为一边向上作等边三角形．    (1)求出A，B，C的坐标； (2)已知在y轴上有一点P，且，求出符合条件的P点坐标； (3)平面直角坐标系内有一点Q，使得以A，C，O，Q为顶点的四边形为等腰梯形，请直接写出所有符合条件的Q点坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)， 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求点A，B的坐标，结合等边三角形和含30°直角三角形的性质求得C点坐标； （2）结合三角形面积公式，利用方程思想计算求解； （3）根据等腰三角形的性质分情况讨论求解． 【解析】（1）解：在中，当时，， 当时，， ∴，， 过点C作轴，交轴于点D，    ∵，， ∴，， 在Rt中，， ∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， 在Rt中，，， ∴， ∴； （2）解：由（1）已证， ∴， ∴四边形为梯形， 设y轴上一点 当时，， 解得，， ∴或； （3）解：当，且时，四边形是等腰梯形，    由（1）已证， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 当，且时，四边形是等腰梯形，    过点作轴， 由（1）已证， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 综上，，． 【点睛】本题考查一次函数与几何图形综合应用，等边三角形的性质，等腰梯形的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键． 41．（22-23八年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上一动点，以线段为一边，在其一侧作等边．当点运动到原点处时，记的位置为．    (1)求点的坐标； (2)当点在轴上运动（不与重合）时，求证：； (3)是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，或 【分析】（1）根据题意作辅助线过点作轴于点，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求出点的坐标， （2）根据，可知，得出总成立，得出当点在轴上运动不与重合）时，为； （3）根据点在的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果． 【解析】（1）解：过点作轴于点，   ，为等边三角形， ，， ∴， ∴， ， 即； （2）证明：当点在轴上运动不与重合）时， ， ， 在和中， ， ；    （3）由（2）可知，点总在过点且与垂直的直线上，可见与不平行． ①当点在轴负半轴上时，点在点的下方， 此时，若，四边形即是梯形， 当时，，． 又，可求得， 由（2）可知，， ， 此时的坐标为． ②当点在轴正半轴上时，点在的上方，    此时，若，四边形即是梯形， 当时，，． 又，可求得， 由（2）可知，， ， 此时的坐标为． 综上，的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定及性质，难度适中． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$