专题06 四边形压轴题（20题）（上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题06 四边形压轴题（25题） 一、填空题 1．(23-24八下·上海松江区·期末)如图，在正方形中，，点是正方形内的两点，且，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，延长交于，由勾股定理的逆定理可得和是直角三角形，进而可证明，得到，，，利用正方形的性质可证明，得到，，，据此可得，，，利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交于，如图，   ∵四边形是正方形， ∴，，   ∵，，， ∴是直角三角形， 同理可得是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， 同理可得， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 2．(23-24八下·上海虹口区·期末)如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边、上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，若四边形的面积为6，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，图形翻折的特征，矩形的判定和性质，三角形全等判定和性质，勾股定理，作出合理的辅助线是解决问题的关键．连接交于，过点作于．根据四边形的面积为6，得到，设，利用翻折特征，得到，证明，依次得到，，在利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：连接交于，过点作于，如图所示， 四边形为正方形， 四边形是梯形， 四边形的面积为，又， ， 设，则，， ，，， 四边形为矩形， ， , 四边形为矩形， , 点是点沿着的翻折点， ， ， ，又，， ， ， 在中，根据翻折特征，，利用勾股定理得， ，即， 解得， ， 故答案为：． 3．(23-24八下·上海浦东新区·期末)如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，．若，则 度． 【答案】18 【分析】连接MD，设∠DAF=x，利用折叠与等腰三角形的性质，用x的代数式表示出∠ADC=90°，列出方程解方程即可． 【详解】连接MD，设∠DAF=x 根据矩形的基本性质可知AM=MD，AD∥BC，∠BCD=∠ADC=90° ∴∠MDA=∠DAF=x，∠ACB=∠DAC=x ∴∠DMF=2x ∵△DCE折叠得到△DFE ∴DF=CD=AB，DE⊥FC，∠FDE=∠CDE 又MF=AB ∴MF=DF ∴∠MDF=2x ∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，∠EDC+∠FCD=90° ∴∠CDE=∠ACD=x ∴∠FDE=∠CDE=x ∴∠ADC=∠ADM+∠MDF+∠FDE+∠CDE=x+2x+x+x=5x=90° ∴x=18° 故∠DAF=18° 故答案为18． 【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，能够做出合适的辅助线用∠DAF表示出∠ADC是解题关键． 4．(23-24八下·上海杨浦区·期末)如图，已知在梯形中，，，，，平分，交边于点E．如果是直角三角形，那么的长为 ． 【答案】2或 【分析】过点B作交延长线于点G，易得四边形是矩形，得到，当时，根据角平分线的性质得到，证明，得到，利用勾股定理求出，从而得到，设，则，由勾股定理得到，即可求解；当时，过点E作交于点H，根据角平分线的性质得到，证明，再证明，得到，进而得到，即可解答． 【详解】解：如图，过点B作交延长线于点G， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 当时， 平分，， ， ， ， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得到，即， 解得：； 如图，当时，过点E作交于点H， 平分，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上，的长度为：2或． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 5．(23-24八下·上海宝山区·期末)已知矩形，，将沿着直线翻折，点D落在点E处，如果点E到直线的距离是6，那么的长是 ． 【答案】或 【分析】分为两种情况分别画图计算．①如图，当时，交于点，过点E作交于点H，则，根据四边形是矩形，得出，根据折叠的性质得，，证明，得出，设，根据等面积法得出，从而得出，在中，根据勾股定理求出，即可求解； ②如图，时，过点E作交的延长线于点H，过点E作交于点F，则，根据四边形是矩形，得出，证出四边形是矩形，得到，，根据折叠的性质得，，，在中，根据勾股定理算出，设，，在中，根据勾股定理求出，即可求解； 【详解】解：①如图，当时，交于点，过点E作交于点H，则， ∵四边形是矩形， ， 根据折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， 即， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴； ②如图，时，过点E作交的延长线于点H，过点E作交于点F，则， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得，，， 在中，， 设，， 在中，， 即， 解得：， ∴， 综上，或； 故答案为：或． 【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的性质和判定、三角形面积等知识点，熟练掌握折叠的性质，正确作出图形并分类讨论是解题的关键． 6．(23-24八下·上海长宁区·期末)如图，正方形的边长为，将绕点旋转，得到，其中、的对应点分别是点、．如果点在正方形内，且到点、的距离相等，那么的长为 ． 【答案】/ 【分析】作的垂直平分线，交于，交于，作，交于点，连接、、，由题意可知当在上时满足到点、的距离相等，得到，根据正方形性质可证明，从而推出，然后判定四边形是矩形，结合垂直平分，推出，即可根据勾股定理可算出，得到，最后再由勾股定理算出，即可得到答案． 【详解】作的垂直平分线，交于，交于，作，交于点，连接、、 由题意可知，当旋转到上时，到点、的距离相等，且 四边形是正方形 ，， ， 在和中 ，， 四边形是矩形 又垂直平分， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的旋转，垂直平分线的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据题意找到位置并作出相应的辅助线是解题的关键． 7．(23-24八下·上海闵行区·期末)已知：如图，点、分别是双曲线在第一象限内分支上的两点，．过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线交于点，连接．如果，那么等于 度．    【答案】21 【分析】作轴，交轴于，交于，连接，与的交点为，根据题意设，，得到，用待定系数法求得直线的解析式，代入点横坐标，得到其纵坐标为，推出轴，结合题意可推出四边形是矩形，然后根据等腰三角形性质和三角形外角定义，结合，推出，最后根据轴，得到，从而推出，即可得到答案． 【详解】作轴，交轴于，交于，连接，与的交点为，如图所示     点、在双曲线上， 设点坐标为，点坐标为 轴，轴 点坐标为 设直线的解析式为： ，即 直线的解析式为： ，交于 点的横坐标为，且点在上 ，即点的坐标为 ， 轴 轴，轴，轴 ，， 四边形是平行四边形 又轴 平行四边形是矩形 ， 又， 轴 ， 故答案为：21． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，待定系数法求一次函数表达式，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的定义，平行线的性质，熟练掌握以上知识点并作出相应的辅助线是解题的关键． 8．(23-24八下·上海静安区·期末)如图，正方形和正方形中，、、三点共线，点在上，，，是的中点，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次根式的化简，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点并能作出辅助线是解题的关键．连接和，先证明是直角三角形，利用勾股定理分别求出，和的长度，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推导出，求得答案． 【详解】连接和，如图所示： 四边形和是正方形，， ，，， ， ，是的中点 故答案为：． 二、解答题 9．(23-24八下·上海金山区·期末预测)如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，直线与轴相交于点，点在第四象限，． (1)求直线的解析式； (2)当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，已知点在轴上，点在直线上，如果以点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点和点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)，或，或，． 【分析】（1）先求出点的坐标，然后设直线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴于点，根据、、三点的坐标，得出，，，由勾股定理得到，再结合，求出，证明是等腰直角三角形，推出，即可得出点的坐标； （3）分三种情况讨论：①四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，得到点的纵坐标为，进而得到点的坐标，再根据，得到点的坐标；②四边形为平行四边形时，同①理求解；③四边形为平行四边形时，结合平行四边形的性质，利用待定系数法，求出直线的解析式，进而的得到点的坐标，再根据坐标两点的中点公式，求出点的坐标． 【详解】（1）解：直线分别与轴交于点， 令，则， , 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴于点， 直线分别与轴交于点， 令，则，解得：， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 轴， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 点的坐标为；    （3）解：以点为顶点的四边形是平行四边形， ①如图，四边形为平行四边形时，   轴，， 点的纵坐标为， 点在直线上， 令，则，解得：， ， ， ， ； ②如图，四边形为平行四边形时，    同①理可得，，， ， ， ； ③如图，四边形为平行四边形时，   ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 令，则， 解得：， 设点， 则，解得：， 综上可知，以点为顶点的四边形是平行四边形，点和点的坐标为，或，或，． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象的性质，求一次函数解析式，平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 10．(23-24八下·上海普陀区·期末预测)小普同学在折叠平行四边形纸片的过程中发现：如果把平行四边形沿指它的一条对角线翻折，会得到很多结论．例如：在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连接，可以得到． (1)如图1，如果与相交于点O，求证； (2)如图2，如果，当为顶点的四边形是矩形时，求出的长； (3)如图3，如果，当是直角三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)或2 (3)或或或 【分析】（1）由平行四边形的定义可得，，，由折叠的性质可得，，于是可得、是等腰三角形，利用对顶角相等求得和即可证明； （2）分类讨论：①当四边形为矩形时和②当四边形为矩形时求解即可； （3）分类讨论：①当时， ②当时和③当时，根据含直角三角形的边长关系和勾股定理计算求值即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴． 由折叠可知，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵，即， ∴， ∴； （2）解：分类讨论：①当四边形为矩形时，如图， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴； ②当四边形为矩形时，如图， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 综上可知当为顶点的四边形是矩形时，的长为或2； （3）解：如果，当是直角三角形时，直接写出的长． 解：分类讨论：①当时，如图， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴； ③当时，如图，作于点H， 由折叠可知， ∴． 由（1）可知， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴．　 ④当时，如图， 在平行四边形中，， ∴， 由（1）可知：， ∵， ∴； 综上可知的长为或或或． 【点睛】本题考查了特殊平行四边形的判定和性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，含直角三角形的性质，勾股定理等知识．正确作出图形并利用分类讨论的思想是解题关键． 11．(23-24八下·上海奉贤区·期末预测)已知：如图，在矩形中，，点E在的延长线上，且，连接，取的中点F，连接． (1)求证：； (2)设，，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，证明，进而推出，即可得证； （2）连接，利用矩形的性质，和勾股定理进行求解即可； （3）根据，推出，利用（2）中的结论，列出无理方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）连接，则， ∵， ∴， 在中，， 在中，， 由（1）知：，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴ （3）当时， ∵， ∴， 由（2）知：，， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）； 经检验是原方程的解， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用函数关系式表示变量之间的关系，解无理方程等知识点，综合性强，难度较大，计算量大，属于压轴题，掌握相关知识点，正确的计算，是解题的关键． 12．(23-24八下·上海徐汇区部分学校·期末预测)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线分别与x轴、y轴交于点A、B，直线与x轴交于点，点D在第四象限，． (1)求直线的解析式； (2)当，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，已知点E在x轴上，点F在直线上．如果以C、D、F、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标，然后设直线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴于点，根据、、三点的坐标，得出，，由勾股定理得到，再结合，求出，证明是等腰直角三角形，推出，即可得出点的坐标； （3）分三种情况讨论：①四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，得到点的纵坐标为，进而得到点的坐标，再根据，得到点的坐标；②四边形为平行四边形时，同①理求解；③四边形为平行四边形时，结合平行四边形的性质，进而的得到点的坐标，进而求解即可． 【详解】（1）解：直线分别与x轴、y轴交于点A、B， 令，则， ， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴于点， 直线分别与轴交于点， 令，则，解得：， ， ， ，， ，， ， ， ，， ∵， ， ， ， ， ，， ， 轴， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 点的坐标为； （3）解：以点为顶点的四边形是平行四边形， ①如图，四边形为平行四边形时，   轴，， 点F的纵坐标为， 点F在直线上， 令，则，解得：， ， ， ； ②如图，四边形为平行四边形时， 同①理可得，，， ， ； ③如图，四边形为平行四边形时，   ， ∵，，设， ∴，解得 ∴ ∴， 综上可知，以点为顶点的四边形是平行四边形，或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象的性质，求一次函数解析式，平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 13．(22-23八·上海奉贤区·期末)如图，一次函数y=2x+4的图象与x，y轴分别相交于点A，B，以AB为边作正方形ABCD（点D落在第四象限）． （1）求点A，B，D的坐标； （2）连结OC，设正方形的边CD与x相交于点E，点M在x轴上，如果△ADE与△COM全等，求点M的坐标． 【答案】（1）A（-2，0），B（0，4），D（2，-2）；（2）M（5，0）． 【分析】(1)由于一次函数y=2x+4的图象与x、y轴分别交于点A、B，所以利用函数解析式即可求出A、B两点的坐标，然后作DF⊥x轴于点F，由四边形ABCD是正方形可以得到∠BAD=∠AOB=∠AFD=90º，AB=AD，接着证明△BAO≌△ADF，最后利用全等三角形的性质可以得到DF=AO=2，AF=BO=4，从而求出点D的坐标； (2) 过点C作CG⊥y轴于G，连结OC，作CM⊥OC交x轴于M，用求点D的方法求得点C的坐标为（4，2），得出OC=2，由A、B的坐标得到AB=2，从而OC=AB=AD，根据△ADE与△COM全等，利用全等三角形的性质可知OM=AE，即OA=EM=2，利用C、D的坐标求出直线CD的解析式，得出点E的坐标，根据EM=2，即可求出点M的坐标. 【详解】解：（1）∵一次函数y=2x+4的图象与x，y轴分别相交于点A，B， ∴A（-2，0），B（0，4）， ∴OA=2，OB=4， 如图1，过点D作DF⊥x轴于F， ∴∠DAF+∠ADF=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠BAD=90°， ∴∠DAF+∠BAO=90°， ∴∠ADF=∠BAO， 在△ADF和△BAO中，， ∴△ADF≌△BAO（AAS）， ∴DF=OA=2，AF=OB=4， ∴OF=AF-OA=2， ∵点D落在第四象限， ∴D（2，-2）； （2）如图2，过点C作CG⊥y轴于G，联结OC，作CM⊥OC交x轴于M， 同（1）求点D的方法得，C（4，2）， ∴OC==2， ∵A（-2，0），B（0，4）， ∴AB=2， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB=2=OC， ∵△ADE与△COM全等，且点M在x轴上， ∴△ADE≌△OCM， ∴OM=AE， ∵OM=OE+EM，AE=OE+OA， ∴EM=OA=2， ∵C（4，2），D（2，-2）， ∴直线CD的解析式为y=2x-6， 令y=0， ∴2x-6=0， ∴x=3， ∴E（3，0）， ∴OM=5， ∴M（5，0）． 故答案为(1)A(-2，0)，B(0，4)，D(2，-2)；(2)M(5，0). 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质. 14．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴，轴于A，两点，过点A的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)试在直线上找一点，使得，请求出点的坐标； (3)若点为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，，或 【分析】（1）通过函数求出A、M两点坐标，由两点坐标求出直线AM的函数解析式； （2）设点的坐标为，按照等量关系“”即可求出； （3）设点N的坐标为，结合平行四边形的性质和中点坐标公式，分三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为，即， ∵点为线段的中点， ∴，即点的坐标为． 设直线的函数解析式为， 将，，代入， 得：， 解得， ∴直线的函数解析式为； （2）设点的坐标为， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：，， 即：，， ∴点的坐标为或； （3）存在，理由如下： 设点的坐标为， ∵点的坐标为，点的坐标为，点A的坐标为， 分三种情况考虑： ①当AM为对角线时，， 解得：， ∴点的坐标为； ②当AB为对角线时，， 解得：， ∴点的坐标为； ③当BM为对角线时，， 解得：， ∴点的坐标为． 综上所述：在坐标平面内存在点，使以A，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为，或． 【点睛】此题考查一次函数综合题，解题关键在于求出A、M两点坐标，再利用待定系数法求解析式． 15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D是边AC上不与点A、C重合的任意一点，DE⊥AB，垂足为点E，M是BD的中点． （1）求证：CM=EM； （2）如果BC=，设AD=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当点D在线段AC上移动时，∠MCE的大小是否发生变化？如果不变，求出∠MCE的大小；如果发生变化，说明如何变化．    【答案】（1）证明见解析；（2）y=（0＜x＜3）；（3）不变，30°． 【分析】（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明； （2）根据CM=BD，可得BD=2y，根据勾股定理又可得出BD用x表示的形式，换成等式即可得出y与x的函数解析式； （3）根据（1）可知，∠MBC=∠MCB，∠MEB=∠MBE，易得出∠CMD=2∠CBM，∠DME=2∠MBE，即∠CME=2∠CBA是定值，又知CM=ME，即可证明∠MCE是定值，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M是BD的中点， ∴CM=BD． 同理ME=BD， ∴CM=ME． （2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=， ∴AB=2BC=2． 由勾股定理得AC=3， ∵AD=x，∴CD=3-x， 在Rt△BCD中，∠BCD=90°， ∴BD2=BC2+CD2， ∴BD=， ∵CM=BD，CM=y， ∴y=（0＜x＜3）， （3）不变． ∵M是Rt△BCD斜边BD的中点，∴MB=MC，∴∠MBC=∠MCB． ∴∠CMD=∠MBC+∠MCB=2∠MBC， ∵M是Rt△BED斜边BD的中点， 同理可得：∠EMD=2∠MBE， ∠CMD+∠EMD=2∠MBC+2∠MBE=2（∠MBC+∠MBE）=2∠ABC， 即∠CME=2∠ABC=120°， ∵MC=ME， ∴∠MCE=∠MEC=30°． 【点睛】考查了直角三角形斜边上的中线，含30°角的直角三角形以及勾股定理的知识，难度较大，熟练掌握各个知识点是解答本题的关键． 16．(23-24八下·上海实验·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且与直线交于点A． (1)分别求出点A、、的坐标； (2)若是线段上的点，且的面积为，求直线的函数表达式； (3)在的条件下，设是射线上的点，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标． 【答案】(1)；； (2) (3)存在满足条件的点的，其坐标为或或 【分析】（1）联立两直线解析式求出A的坐标，分别把，代入可求出，的坐标； （2）根据在直线上，设出坐标，表示出三角形面积，把已知面积代入求出的值，确定出坐标，利用待定系数法求出解析式即可； （3）在的条件下，根据是射线上的点，在平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况讨论：当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形；当四边形为菱形时；当四边形为菱形时；分别求出坐标，即可求出点坐标． 【详解】（1）解：解方程组， 得：， ； 把代入，得， 解得：， ∴， 把代入，得， ； （2）解：设， 的面积为， ∴， 解得：， ， 设直线的函数表达式是， 把，代入得：， 解得：， 直线解析式为； （3）解：存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形， 如图所示，分三种情况考虑： 当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形，此时，即， 此时； 当四边形为菱形时，点与关于对称，即可关于y轴对称， ∵点坐标为， ∴点纵坐标为， 把代入直线解析式中，得， 解得：， ∴， 此时； 当四边形为菱形时，则有， 设， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 此时． 综上可知存在满足条件的点的的坐标为：或或 ． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及一次函数与坐标轴的交点、待定系数法确定一次函数解析式、一次函数图象的交点、一次函数图象与性质、菱形的性质及分类讨论思想等．在中求得点坐标是解题的关键，在中确定出点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 17．(23-24八下·上海闵行区·期末)在菱形中，，点在边上（不与、重合），将线段绕着点顺时针旋转后，点落在点处，连接，交边于点． (1)如图1，如果，延长至点，使得，连接．求证：； (2)连接， ①如图2，设，求与之间的函数关系式：（不写定义域） ②如果，．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）先证明，得到，再根据菱形，得到，又，即可证得，从而得出结论； （2）①先证明，得到，，再根据菱形，得到，，从而得，然后证明，得到，从而得到，整理即可得出答案； ②延长至点，使得，连接．先由①求得，过点A作交延长线于G，过点H作于Q，设，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理求得，，根据，求得，，，从面得到，再证明，得到，然后利用等腰三角形与直角三角形性质，勾股定理求得，，，，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图， 由题意可得， ∴ ∴ 由旋转可得， 在与中， ∴ ∴ ∵菱形， ∴， ∵ ∴， ， ∴，即 ∴， （2）解：如图，延长至点，使得，连接． ①由题意可得， ∴ ∴ 由旋转可得， 在与中， ∴ ∴，， ∵菱形， ∴， ∴， ∵ ∴， ， ∴，即 ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ②∵，， ∴ 过点A作交延长线于G，过点H作于Q，如图， ∵菱形， ∴，，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．此题属四边形综合题目，难较大．熟练掌握相关知识和正确作出辅助线是解题的关键． 18．(23-24八下·上海长宁区·期末)定义：如果梯形的一个内角等于其它三个内角中的两个内角之和，那么称这个梯形为“加和角梯形”，这个内角称为“加和角” (1)如图1，在梯形中，，点E为边上一点，四边形为菱形，点E为边中点，求证：梯形为“加和角梯形”， (2)在“加和角梯形”中，为“加和角”，． ①如图2，如果，垂足为点O，，求梯形的周长； ②如图3，如果，点E为边中点，过点E作交边于点F，，点G在边上使得是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)①；②或 【分析】（1）根据四边形为菱形，得出，结合点为边中点，得出，，即可得到，即可证明； （2）①根据是梯形，，得到，结合“加和角梯形”中，为“加和角”，即可求出，分别过点、作、，垂足分别为点G，H，则，证出四边形为矩形，得到，证明，得到，求出，，，证明，根据勾股定理求出，在中，根据直角三角形的性质得出，，从而求出，，即可求解； ②由为“加和角”，可得，过点作于点，可得四边形为矩形，得出，由点为中点，，可得，分为当时和当时，分别作图求解即可； 【详解】（1）∵四边形为菱形， ∴， ∵点为边中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴梯形为“加和角梯形”． （2）①∵梯形中，， ∴， ∵“加和角梯形”中，为“加和角”， ∴， ∴， ∴， 分别过点、作、，垂足分别为点G，H， ∴， ∴ ∴四边形为矩形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ； ②，， ，， 由为“加和角”， 可得， ， 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴， ∴， 由点为中点，， 则， ， I．当时， ∵ 则， 则， ∵， ∴中，， ∵， ， ∴； II．当时，过点G作于点Q，交延长线于点P，作于点R，设， 由I知， 则， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ． 综上，或． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，梯形的性质，矩形的性质和判定，菱形的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，掌握以上知识点． 19．(23-24八下·上海嘉定区·期末)如图．矩形中，，点E是延长线上的一点，且，连结，取的中点F，联结、． (1)求证：； (2)设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)， (3) 【分析】（1）连接，证明，进而推出，即可得证； （2）连接，利用矩形的性质和勾股定理进行求解即可； （3）根据，推出，利用（2）中的结论，列出无理方程，进行求解即可． 【详解】（1）见详解 解：连接， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）连接，则， ∵， ∴， 在中，，即， 在中，， 由（1）知：，， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，； （3） 当时， 又， ∴， 由（2）知：，， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）； 经检验是原方程的解， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用函数关系式表示变量之间的关系，解无理方程等知识点，综合性强，难度较大，计算量大，属于压轴题，掌握相关知识点，正确的计算，是解题的关键． 20．(23-24八下·上海宝山区·期末)如图，在平面直角坐标系中，点、，将点B向左平移2个单位后落在y轴上的点P处． (1)求m的值； (2)将线段绕点P逆时针旋转，点A落在点C处，求直线的表达式； (3)设（2）中的直线与x轴交于点D，在直角坐标平面内找点Q，使得以点A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标． 【答案】(1)0 (2) (3)或或 【分析】（1）根据坐标平移规律“左减右加”以及坐标轴上点坐标特征即可求解； （2）根据旋转的性质求得，再利用待定系数法即可求解； （3）先求得，根据平行四边形的性质进行分类讨论，利用平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵将点B向左平移2个单位后落在y轴上 ∴ 解得 （2）由（1）可得， ∴ ∴ 如图，根据旋转可得， ∴ 设直线的表达式为（） ∵直线经过点， ∴ 解得 ∴直线的表达式为． （3）由（2）知直线的表达式为， ∴ 连接，如图， ①由平移得直线， 此时即为所求， ∵四边形为平行四边形 ∴ ∵，， ∴ ②由平移得直线， 此时即为所求， ∵四边形为平行四边形 ∴ ∵，， ∴ ③由平移得直线轴， 此时即为所求， ∵四边形为平行四边形 ∴ ∵，， ∴     综上所述，Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与坐标轴的交点，旋转的性质，平移的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的性质与判定，坐标平移规律以及坐标轴上点坐标特征等，根据平移求对应点坐标是解题的关键． 21．(23-24八下·上海宝山区·期末)如图，梯形，，，，，的平分线交边于点E． (1)如果，，求的长； (2)如果，设，四边形的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)设F是的中点，连接，如果，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点D作交于点M，可证四边形是矩形，根据，平分，得到，然后利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理求出，然后表示出、的长即可求解； （3）延长交于点N，即可证明四边形是平行四边形，则，再证明，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：过点D作交于点M，如图， ∴ ∴四边形是矩形 ∴ ∵，平分， ∴ ∴ 由勾股定理可得， ∴． （2）由（1）可知， ∵ ∴ ∴ 由勾股定理可得， ∴ ∴ ∵， ∴ 解得 ∴． （3）延长交于点N，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∵， ∴ ∵，平分， ∴ ∴ ∴ ∵F是的中点， ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴ 由勾股定理得，， 即， 解得 ∵ ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定和勾股定理是解题的关键． 22．(23-24八下·上海崇明区·期末)在平面直角坐标系中（如图），直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上． (1)求点A和点B的坐标； (2)当点C的横坐标是时，如果在y轴上存在点P，使得，求点P的坐标； (3)当点C的横坐标是m时，在平面直角坐标系中存在点Q，使得以O、C、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．（用含m的代数式表示） 【答案】(1) (2)点或 (3)或或 【分析】本题为一次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、面积的计算等，分类求解是解题的关键． （1）对于，当时，，令，则，即可求解； （2）由，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当或为对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：对于，当时，， 令，则， 即点的坐标分别为：； （2）设点， 则， 解得：或8， 即点或； （3）设点，点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， 则点； 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或； 综上，或或． 23．(23-24八下·上海静安区·期末)在等腰中，，直线垂直平分，交于点，点在直线上，且点与点关于点对称，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图1，当平分时，求菱形的周长； (3)当四边形为正方形时，请在图2中画出符合题意的正方形，再连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理； （1）根据垂直平分线的性质可得，根据轴对称的性质可得进而得出，即可得证； （2）延长交于点，当平分时，，进而勾股定理求得，设，则，，在中，勾股定理求得，进而根据菱形的性质，即可求解； （3）过点分别作和的垂线，垂足分别为，过点作于点，则四边形是矩形，根据等面积法求得，进而求得，勾股定理求得，进而求得，即的长，中，勾股定理，即可求解；当在的下方时，同理可求． 【详解】（1）证明：∵直线垂直平分，点在直线上， ∴， ∵点与点关于点对称， ∴， 又，即垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：如图所示，延长交于点， ∵， 当平分时， ∴，， 在中，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：，即， ∴菱形的周长为， （3）解：如图所示，过点分别作和的垂线，垂足分别为，过点作于点， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形为正方形 ∴， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 如图所示，当在的下方时， 同理可得：， ， 在中，， 综上所述，或． 24．(23-24八下·上海毓秀·清河湾中学·期末)如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形，且，，点在轴正半轴上，点B、C在x轴上（点B在点C的左侧），点D在第一象限，，，梯形的高为2，双曲线经过点，直线经过、两点． (1)求双曲线和直线的解析式； (2)已知点在双曲线上，点在轴上，如果四边形是平行四边形，直接与出点N的坐标； (3)点是第三象限双曲线上的一点，设的横坐标为，直线与直线交于点，；连接，设的面积为，的面积为，用含t的代数式表示的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）首先过点作轴于点，由，，易得四边形是矩形，证得，又由，梯形的高为2，即可求得；由双曲线过点，直线过点，直接利用待定系数法求解即可求得答案； （2）由四边形是平行四边形，可得点的横坐标为，继而求得点的坐标，又由，求得答案． （3）设点，求出直线解析式和直线解析式，求出点坐标和点坐标，表示出，，即可求解； 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点． ∵，， ∴四边形是等腰梯形， ∵轴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴． ∴， ∵梯形的高为2， ∴． ， ， ， ∵双曲线经过点， ， ∴双曲线的解析式为：， ∵直线经过、两点， 得：， ∴解得：． ∴直线的解析式为：； （2）解：如图，四边形是平行四边形． ∴且． ∵点在轴上， ∴过点作轴的垂线与双曲线的交点即为点． ∴点的坐标为， ∴． ∴， ∴， ∴点的坐标为． （3）解：根据（1）可得，双曲线的解析式为：， 设直线解析式为， 即可得， 解得：， 故直线解析式为． 设点， 设直线解析式为， 即可得， 解得：， 故直线解析式为． 令，则，故． 联立可得：， 故， ∴， ， ∴． 【点睛】此题属于反比例函数综合题．考查了待定系数求函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的性质、矩形的判定与性质以及平行四边形的性质等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 25．(23-24八下·上海松江区·期末)已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线、射线交于点E、F，点E与点C、点B不重合，． (1)当点E在线段上时， ①如图1，求证：； ②连接交于点H，当时，求的长． (2)当时，求的长．（直接写出答案） 【答案】(1)①见解析，② (2)或 【分析】（1）①连接，利用菱形的性质，证明为等边三角形，得到，进而证明，利用全等三角形性质即可证明； ②连接交于点，利用菱形的性质和等边三角形性质得到，利用勾股定理得到，证明，利用等腰三角形性质得到，最后根据求解，即可解题； （2）根据与射线交于点E，分以下两种情况讨论，①当在线段上时，作于点，作于点，②当在延长线上时，作于点，以上两种情况分别结合勾股定理和直角三角形性质，以及角平分线性质求解，即可解题． 【详解】（1）①证明：连接， 四边形是菱形，， ， 为等边三角形， ， ， ，即， ， ． ②解：连接交于点， 四边形是菱形， 于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：①当在线段上时， 作于点，作于点， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得， ； ②当在延长线上时，作于点， ，， ， ， ，， 由①同理可知，，， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形性质和判定，全等三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，勾股定理，直角三角形性质，角平分线性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理并灵活运用． 试卷第62页，共63页 试卷第63页，共63页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题06 四边形压轴题（25题） 一、填空题 1．(23-24八下·上海松江区·期末)如图，在正方形中，，点是正方形内的两点，且，，则的长为 ． 2．(23-24八下·上海虹口区·期末)如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边、上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，若四边形的面积为6，则线段的长为 ． 3．(23-24八下·上海浦东新区·期末)如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，．若，则 度． 4．(23-24八下·上海杨浦区·期末)如图，已知在梯形中，，，，，平分，交边于点E．如果是直角三角形，那么的长为 ． 5．(23-24八下·上海宝山区·期末)已知矩形，，将沿着直线翻折，点D落在点E处，如果点E到直线的距离是6，那么的长是 ． 6．(23-24八下·上海长宁区·期末)如图，正方形的边长为，将绕点旋转，得到，其中、的对应点分别是点、．如果点在正方形内，且到点、的距离相等，那么的长为 ． 7．(23-24八下·上海闵行区·期末)已知：如图，点、分别是双曲线在第一象限内分支上的两点，．过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线交于点，连接．如果，那么等于 度．    8．(23-24八下·上海静安区·期末)如图，正方形和正方形中，、、三点共线，点在上，，，是的中点，那么的长是 ． 二、解答题 9．(23-24八下·上海金山区·期末预测)如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，直线与轴相交于点，点在第四象限，． (1)求直线的解析式； (2)当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，已知点在轴上，点在直线上，如果以点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点和点的坐标． 10．(23-24八下·上海普陀区·期末预测)小普同学在折叠平行四边形纸片的过程中发现：如果把平行四边形沿指它的一条对角线翻折，会得到很多结论．例如：在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连接，可以得到． (1)如图1，如果与相交于点O，求证； (2)如图2，如果，当为顶点的四边形是矩形时，求出的长； (3)如图3，如果，当是直角三角形时，直接写出的长． 11．(23-24八下·上海奉贤区·期末预测)已知：如图，在矩形中，，点E在的延长线上，且，连接，取的中点F，连接． (1)求证：； (2)设，，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (3)当时，求的长． 12．(23-24八下·上海徐汇区部分学校·期末预测)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线分别与x轴、y轴交于点A、B，直线与x轴交于点，点D在第四象限，． (1)求直线的解析式； (2)当，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，已知点E在x轴上，点F在直线上．如果以C、D、F、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出线段的长． 13．(22-23八·上海奉贤区·期末)如图，一次函数y=2x+4的图象与x，y轴分别相交于点A，B，以AB为边作正方形ABCD（点D落在第四象限）． （1）求点A，B，D的坐标； （2）连结OC，设正方形的边CD与x相交于点E，点M在x轴上，如果△ADE与△COM全等，求点M的坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴，轴于A，两点，过点A的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)试在直线上找一点，使得，请求出点的坐标； (3)若点为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D是边AC上不与点A、C重合的任意一点，DE⊥AB，垂足为点E，M是BD的中点． （1）求证：CM=EM； （2）如果BC=，设AD=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当点D在线段AC上移动时，∠MCE的大小是否发生变化？如果不变，求出∠MCE的大小；如果发生变化，说明如何变化．    16．(23-24八下·上海实验·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且与直线交于点A． (1)分别求出点A、、的坐标； (2)若是线段上的点，且的面积为，求直线的函数表达式； (3)在的条件下，设是射线上的点，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标． 17．(23-24八下·上海闵行区·期末)在菱形中，，点在边上（不与、重合），将线段绕着点顺时针旋转后，点落在点处，连接，交边于点． (1)如图1，如果，延长至点，使得，连接．求证：； (2)连接， ①如图2，设，求与之间的函数关系式：（不写定义域） ②如果，．求证：． 18．(23-24八下·上海长宁区·期末)定义：如果梯形的一个内角等于其它三个内角中的两个内角之和，那么称这个梯形为“加和角梯形”，这个内角称为“加和角” (1)如图1，在梯形中，，点E为边上一点，四边形为菱形，点E为边中点，求证：梯形为“加和角梯形”， (2)在“加和角梯形”中，为“加和角”，． ①如图2，如果，垂足为点O，，求梯形的周长； ②如图3，如果，点E为边中点，过点E作交边于点F，，点G在边上使得是以为腰的等腰三角形，求的长． 19．(23-24八下·上海嘉定区·期末)如图．矩形中，，点E是延长线上的一点，且，连结，取的中点F，联结、． (1)求证：； (2)设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)当时，求的长． 20．(23-24八下·上海宝山区·期末)如图，在平面直角坐标系中，点、，将点B向左平移2个单位后落在y轴上的点P处． (1)求m的值； (2)将线段绕点P逆时针旋转，点A落在点C处，求直线的表达式； (3)设（2）中的直线与x轴交于点D，在直角坐标平面内找点Q，使得以点A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标． 21．(23-24八下·上海宝山区·期末)如图，梯形，，，，，的平分线交边于点E． (1)如果，，求的长； (2)如果，设，四边形的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)设F是的中点，连接，如果，且，求的长． 22．(23-24八下·上海崇明区·期末)在平面直角坐标系中（如图），直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上． (1)求点A和点B的坐标； (2)当点C的横坐标是时，如果在y轴上存在点P，使得，求点P的坐标； (3)当点C的横坐标是m时，在平面直角坐标系中存在点Q，使得以O、C、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．（用含m的代数式表示） 23．(23-24八下·上海静安区·期末)在等腰中，，直线垂直平分，交于点，点在直线上，且点与点关于点对称，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图1，当平分时，求菱形的周长； (3)当四边形为正方形时，请在图2中画出符合题意的正方形，再连接，求的长． 24．(23-24八下·上海毓秀·清河湾中学·期末)如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形，且，，点在轴正半轴上，点B、C在x轴上（点B在点C的左侧），点D在第一象限，，，梯形的高为2，双曲线经过点，直线经过、两点． (1)求双曲线和直线的解析式； (2)已知点在双曲线上，点在轴上，如果四边形是平行四边形，直接与出点N的坐标； (3)点是第三象限双曲线上的一点，设的横坐标为，直线与直线交于点，；连接，设的面积为，的面积为，用含t的代数式表示的值． 25．(23-24八下·上海松江区·期末)已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线、射线交于点E、F，点E与点C、点B不重合，． (1)当点E在线段上时， ①如图1，求证：； ②连接交于点H，当时，求的长． (2)当时，求的长．（直接写出答案） 试卷第8页，共9页 试卷第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$