猜押09 二次函数解答题（北京专用）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍

猜押09 二次函数解答题 猜押考点 3年北京真题 考情分析 押题依据 二次函数 2022年第26题2023年第26题 2024年第26题 从2022年至2024年的北京中考数学二次函数解答题来看，题目难度逐年增加，考查内容更加综合化。学生需要在掌握基础知识的基础上，注重解题技巧的训练，并通过大量练习提升解题能力。同时，针对压轴题的特殊解法和创新性问题，应加强思维训练和分类讨论能力的培养。 2025年北京中考数学二次函数解答题的考法将更加综合化和创新化，难度方向将向区分度提升和核心知识点深化发展。学生需在备考中注重基础知识的巩固、数形结合能力的提升以及综合运用能力的培养，以应对更高难度的考查。 题型一 二次函数求对称轴 1．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)已知点，在抛物线上．对于，，都有，求a的取值范围． 2．（2025·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（）． (1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）； (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 3．（2025·北京房山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)已知，是抛物线上的两点．若对于，都有，求a的取值范围． 4．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点，在抛物线上．若，求a的取值范围 5．（2025·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点． (1)若对于，有，求抛物线的对称轴； (2)若对于，都有，求的取值范围． 题型二 二次函数求顶点坐标 6．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数，）． (1)当，时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知点，和都在抛物线上，如果对于，，都有，求的取值范围． 7．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线上有两点． (1)对于，有，求该抛物线的顶点坐标； (2)对于任意实数，若，都有，求的值． 8．（2025·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)点，，在抛物线上．若对于，都有，求t的取值范围． 9．（2025·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)和是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围． 10．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且）． (1)若，，求抛物线的顶点坐标； (2)已知，和是抛物线上的两点．对于，都有，求的取值范围． 题型三 二次函数比较函数值大小 11．（2024·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为． (1)若，，求t的值； (2)已知点，在该抛物线上，若，，比较，的大小，并说明理由． 12．（2024·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)求的值（用含的代数式表示）； (2)点，，在该抛物线上．若抛物线与x轴的一个交点为，其中，比较，，的大小，并说明理由． 13．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求t的值； (2)点，在抛物线上，若，请比较，的大小，并说明理由． 14．（2024·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，设抛物线的对称轴为． (1)若时，求的值； (2)已知点在抛物线上．若，比较的大小，并说明理由． 15．（2024·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)①____________（用含a的式子表示）； ②当时，求该抛物线与x轴的公共点的坐标； (2)已知点，，在该抛物线上，若，比较，，的大小，并说明理由． 题型四 二次函数最值问题 16．（2023·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． （1）求点A的坐标及抛物线的对称轴； （2）当时，y的最小值是－2，求当时，y的最大值； （3）抛物线上的两点 P（，），Q（，），若对于，，都有，直接写出t的取值范围． 17．（2022·北京·模拟预测）已知二次函数． (1)该二次函数图象的对称轴是___________； (2)若该二次函数的图象开口向下，当时，y的最大值是2，求当时，y的最小值： (3)若对于该抛物线上的两点，当时，均满足，请结合图象，直接写出t的最大值． 18．已知抛物线的对称轴为直线． (1)当时， ①写出与满足的等量关系； ②当函数图象经过点，，时，求的最小值； (2)已知点，，在该抛物线上，若对于，都有，直接写出的取值范围． 19．（2023·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点为点A（1，0）和点B． （1）直接写出抛物线的对称轴和点B的坐标； （2）分别过点P（t，0）和点Q（t＋2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点），记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n ①当a＝2时，画出抛物线的图象，根据图象直接写出m－n的最小值； ②若存在实数t，使得m－n＝2，直接写出a的取值范围 20．（2022·北京·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为点和点B． (1)用含a的式子表示b； (2)求抛物线的对称轴和点B的坐标； (3)分别过点和点作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点）．记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n． ①当时，求的最小值； ②若存在实数t，使得，直接写出a的取值范围． 题型五 二次函数求参数取值范围 21．（2025·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． (1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (2)若对于，，都有，求m的取值范围． 22．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 23．（2025·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求该抛物线与轴交点坐标； (2)已知，为该抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围． 24．（2025·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，点是抛物线上的两个不同点． (1)当时，有，求的值； (2)当时，都有，求的取值范围． 25．（2025·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为． (1)当，时，求的值； (2)当时，若对于，都有，求的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押09 二次函数解答题 猜押考点 3年北京真题 考情分析 押题依据 二次函数 2022年第26题2023年第26题 2024年第26题 从2022年至2024年的北京中考数学二次函数解答题来看，题目难度逐年增加，考查内容更加综合化。学生需要在掌握基础知识的基础上，注重解题技巧的训练，并通过大量练习提升解题能力。同时，针对压轴题的特殊解法和创新性问题，应加强思维训练和分类讨论能力的培养。 2025年北京中考数学二次函数解答题的考法将更加综合化和创新化，难度方向将向区分度提升和核心知识点深化发展。学生需在备考中注重基础知识的巩固、数形结合能力的提升以及综合运用能力的培养，以应对更高难度的考查。 题型一 二次函数求对称轴 1．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)已知点，在抛物线上．对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）根据函数解析式确定对称轴即可； （2）根据题意得出，再分两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据抛物线的解析式可得抛物线对称轴为直线． （2）解：∵点，是抛物线上的两点，， ， 又 ∵， ， 当时， 又 ∵， ， ， ， 又 ∵， ， ； 当时， 又 ∵， ， ， ， 又 ∵， ∴； 综上所述，a的取值范围是或． 2．（2025·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（）． (1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）； (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）将抛物线的对称轴为求解即可； （2）分为两种情况，，根据，结合抛物线的增减性建立不等式解答即可． 本题主要考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为 （2）∵，所以分为两种情况， ①当时，对称轴为，开口向上， ∵,, ∴此时、都在对称轴的右侧， 又∵当时，y随x的增大而增大， 结合图象，若对于，，都有 则：， ∴ ②当时，对称轴为，开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∵,, ∴此时在对称轴的右侧，在对称轴的左侧, 又∵抛物线的对称轴为， ∴关于对称轴的对称点为， 结合图象，若对于，，都有． ∴   ∴   ∴ 综上，a的取值范围是或． 3．（2025·北京房山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)已知，是抛物线上的两点．若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据对称轴公式进行计算即可； （2）分和两种情况，根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，则：， ∴对称轴为直线； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为：， 当时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，是抛物线上的两点，且对于，都有， ∴； 当时，抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴关于的对称点为：， ∵，是抛物线上的两点，且对于，都有， ∴， ∴， 综上：或． 4．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点，在抛物线上．若，求a的取值范围 【答案】(1) (2)或． 【分析】此题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）把代入解析式，则有，利用对称轴即可求解； （2）根据，中横坐标与对称轴的距离，结合和分别讨论即可求解； 【详解】（1）解：∵经过点， ∴， 整理得：， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）当时，抛物线开口向上． 点到对称轴的距离． 点到对称轴的距离． ∵，且抛物线开口向上时，离对称轴越远函数值越大， ∴，同时 解不等式组 解得； 当时，抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小， 点到对称轴的距离． 点到对称轴的距离． 若，； ∵， ∴ ． 解得 ． 若，． ∴ ． 解得：， ∵， ∴不等式无解 ． ∴当时，的取值范围是； 综上，a的取值范围是或． 5．（2025·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点． (1)若对于，有，求抛物线的对称轴； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线； (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数的性质等等． （1）利用轴对称的性质求解即可； （2）直接代入得到整理得，推出或，再分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，有， ∴这两点关于轴对称，抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵，，又， ∴， 整理得， ∴或， ①若，即， ∵， ∴且， ∴且， ∴； ②若， 同理且， ∴且， ∴； 综上，或． 题型二 二次函数求顶点坐标 6．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数，）． (1)当，时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知点，和都在抛物线上，如果对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将将，代入抛物线中，再将抛物线的解析式化为顶点式，求出顶点坐标； （2）先由，得到，再将，，三点坐标代入表达式中，然后根据，转化为不等式求解，求出的取值范围． 【详解】（1）解：将，代入抛物线中，得， ∴ ， ∴顶点坐标为． （2）∵， ∴， 将点，和分别代入表达式得， ， ， ， 又∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 当时， ， ， ， 又∵， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 解不等式组①得： 解不等式组②得：无解． ∴ 同法可求，当时，， ∴ ． 7．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线上有两点． (1)对于，有，求该抛物线的顶点坐标； (2)对于任意实数，若，都有，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， ，有 该抛物线的顶点坐标为． （2）抛物线的对称轴是直线， 点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧， 设点关于对称轴的对称点为， 抛物线的对称轴是直线， ． 点在对称轴右侧，且， 当时，根据二次函数的性质，时，随的增大而增大， ． ， ． 当时，． 把代入函数表达式中， ， ． 8．（2025·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)点，，在抛物线上．若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把解析式化成顶点式即可求解； （2）利用二次函数的对称性和增减性列出关于的不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线为， ， 顶点为； （2）解：抛物线， 点，，在抛物线上， ，，， ， ，即， 解可得或， 或， ， 或， 解， ， ， ， ， ， ， 则， ， ， 综上所述，或． 9．（2025·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)和是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、解不等式等知识点是解题关键． （1）将二次函数一般式化为顶点式即可求出抛物线的顶点坐标； （2）由题意可分为当时及当时，两种情况分类讨论，求出实数的取值范围． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：抛物线对称轴为， ①若， 则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， ， ， 设点M关于对称轴的对称点为， 则， ， ， （i）当时，有， ， ，符合题意； （ii）当时，令， ， ， ，不符合题意； （iii）当时，令， ， ，不符合题意； ②若， 则当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， （i）当时，令， ， ， ，不符合题意； （ii）当时，令， ， ， ，不符合题意； （iii）当时，有， ， ，符合题意， 综上所述，a的取值范围是或． 10．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且）． (1)若，，求抛物线的顶点坐标； (2)已知，和是抛物线上的两点．对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将，，代入化成顶点式即可直接得解； （2）由进而得到抛物线的对称轴为，分类讨论，和，再根据增减性和对称性求解即可； 本题主要考查了二次函数的顶点坐标、二次函数的增减性、二次函数的对称性以及二次函数与直线的交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：将，，代入，得， 顶点的横坐标为，代入纵坐标为 ∴顶点坐标为； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为， ①当时，，则在对称轴右侧，其关于对称轴对称点为 ， ∵开口向上，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴当有， 可得， 解得； ②当时，，则在对称轴左侧，其关于对称轴对称点为 ， ∵开口向下，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴当有， 可得或， ， 解得； 综上，或； 题型三 二次函数比较函数值大小 11．（2024·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为． (1)若，，求t的值； (2)已知点，在该抛物线上，若，，比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的对称性计算是解题的关键． （1）把点和点代入得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，根据对称轴方程即可得答案； （2）根据得出当时，y随x的增大而增大，判断出，在对称轴的左侧，根据二次函数的对称性得出点关于对称轴的对称点坐标为，点关于对称轴的对称点坐标为，进而得出即可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴把点和点代入得：， 解得：， ∵对称轴为， ∴． （2）∵， ∴当时，y随x的增大而增大． 令，得， ∴抛物线与y轴交点坐标为． ∵，，， ∴，在对称轴的左侧， 设点关于对称轴的对称点坐标， ． ． ∴点关于对称轴的对称点坐标为． ∵， ． ． 点在对称轴左侧，点在对称轴右侧． 设点关于对称轴的对称点坐标， ． ． ∴点关于对称轴的对称点坐标为． ． ． 12．（2024·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)求的值（用含的代数式表示）； (2)点，，在该抛物线上．若抛物线与x轴的一个交点为，其中，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，详见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，数形结合思想及求二次函数与一次函数交点需要联立方程是解题基础． （1）直接根据对称轴公式即可解答； （2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论； 【详解】（1）解：由题意得，对称轴为直线， 即． （2）解：． 理由如下： 令，得． ∴． ∴抛物线与x轴的两个交点为，． ∵抛物线与x轴的一个交点为，其中， ∴． ∵， ∴． ∴，． 设点关于抛物线的对称轴的对称点为． ∵点在抛物线上， ∴点也在抛物线上． 由，得． ∴． ∴． ∵抛物线的解析式为， ∴此抛物线开口向上． 当时，随的增大而增大． ∵点，，在抛物线上，且， ∴ 13．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求t的值； (2)点，在抛物线上，若，请比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1)t的值为1 (2)．理由见解析 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征． （1）根据点在抛物线上和求得，再根据抛物线的对称轴为可得答案； （2）根据点在抛物线上，结合，可得，把点，的坐标代入，利用差值法即可得到答案． 【详解】（1）根据题意得， 又， ， ， ； （2）根据题意得， ， ， ， ， 点，在抛物线上， ，， ， ， ， ． ． 14．（2024·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，设抛物线的对称轴为． (1)若时，求的值； (2)已知点在抛物线上．若，比较的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】（）利用函数的对称性即可求解； （）把点代入函数式可得，，进而得，即得或，根据可得，即得，设点关于抛物线的对称轴的对称点为，利用对称性可得，根据当时，随的增大而减小及即可求解； 本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：点和点在抛物线上，且， ， ； （2）解：，理由如下： ∵抛物线过点， ，， ， ， 或， ∵， ，即， 设点关于抛物线的对称轴的对称点为， 点在抛物线上， 点也在抛物线上， 由，得， ， 当时，随的增大而减小， 点在抛物线上，且， ． 15．（2024·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)①____________（用含a的式子表示）； ②当时，求该抛物线与x轴的公共点的坐标； (2)已知点，，在该抛物线上，若，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1)①；②； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要涉及到二次函数的开口方向、对称性以及增减性，熟知二次函数的基本性质是解决函数问题的关键． （1）①根据二次函数的对称轴公式求解即可； ②首先根据求出，然后得到抛物线解析式为，然后令求解即可； （2）根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）①对称轴为直线； ②∵， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴令，得， 解得， ∴抛物线与x轴的公共点的坐标为． （2）∵， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵关于的对称点为， ∴， ∴， ∴． 题型四 二次函数最值问题 16．（2023·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． （1）求点A的坐标及抛物线的对称轴； （2）当时，y的最小值是－2，求当时，y的最大值； （3）抛物线上的两点 P（，），Q（，），若对于，，都有，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）A（0，2）；对称轴是x＝2；（2）7；（3）或． 【分析】（1）把x＝0代入抛物线解析式，即可求出点A坐标，将抛物线配方成顶点式，即可求出对称轴； （2）根据抛物线开口向上，当时，y的最小值是－2，抛物线对称轴为x＝2，即可求出a=1，根据抛物线性质即可求出当x＝5时，y有最大值，； （3）根据已知条件分点P、Q都在对称轴x=2左侧、右侧、P在对称轴x=2左侧，点Q在对称轴x=2右侧三种情况分类讨论，综合比较即可求解． 【详解】解：（1）令x＝0则y＝2， ∴．点A坐标为（0，2）． ∵＝＝， ∴二次函数图象的对称轴是x＝2； （2）∵a＞0， ∴抛物线开口向上， ∵当时，y的最小值是－2，抛物线对称轴为x＝2， ∴2－4a＝－2， 解得a＝1. ∴二次函数表达式为， ∴在时，当x＝5时，y有最大值，； （3）∵点 P（，），Q（，），且，，都有， ∴①当点P、Q都在对称轴x=2左侧时，，此时t+3≤2，解得t≤-1； ②当点P、Q都在对称轴x=2右侧时，，此时t≥2； ③当点P在对称轴x=2左侧，点Q在对称轴x=2右侧时，且， 此时2-（t+1）≥（t+3）-2或2-t≤（t+2）-2，解得t≤0,或t≥1， 综上所述，或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的对称轴公式，增减性，顶点坐标等知识是解题关键． 17．（2022·北京·模拟预测）已知二次函数． (1)该二次函数图象的对称轴是___________； (2)若该二次函数的图象开口向下，当时，y的最大值是2，求当时，y的最小值： (3)若对于该抛物线上的两点，当时，均满足，请结合图象，直接写出t的最大值． 【答案】(1)2 (2) (3)4 【分析】（1）利用对称轴公式计算即可； （2）构建方程求出的值即可解决问题； （3）当，时，均满足，推出当抛物线开口向下，点在点左边或重合时，满足条件，可得，由此即可解决问题； 【详解】（1）解：对称轴． （2）解：该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线， 当时，取到在上的最大值为2． ． ，， 当时，随的增大而增大， 当时，取到在上的最小值0． 当时，随的增大而减小， 当时，取到在上的最小值． 当时，的最小值为． （3）解：当，时，均满足， 当抛物线开口向下，点在点左边或重合时，满足条件， 且 ， 的最大值为4． 【点睛】本题考查二次函数的性质，函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 18．已知抛物线的对称轴为直线． (1)当时， ①写出与满足的等量关系； ②当函数图象经过点，，时，求的最小值； (2)已知点，，在该抛物线上，若对于，都有，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②6 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）①利用对称轴公式求得即可；②利用二次函数的性质判断即可； （2）由题意可知点在对称轴的左侧，点，在对称轴的右侧，点到A对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，由此列不等式组，解不等式组即可得出答案． 【详解】（1）解：①当时，对称轴为直线． ， ； ②由二次函数的性质可知，当，关于对称轴对称时取最小值， 对称轴为直线，点关于对称轴的对称点为， 与点重合，与点重合时，取最小值， 最小值为：． （2）解：， 抛物线开口下上， ，， 点在对称轴的左侧，点在对称轴上或对称轴的右侧，在对称轴的右侧，点到A对称轴的距离大于点C到对称轴的距离， ， 解得， ， ， ． 19．（2023·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点为点A（1，0）和点B． （1）直接写出抛物线的对称轴和点B的坐标； （2）分别过点P（t，0）和点Q（t＋2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点），记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n ①当a＝2时，画出抛物线的图象，根据图象直接写出m－n的最小值； ②若存在实数t，使得m－n＝2，直接写出a的取值范围 【答案】（1）对称轴为直线；点B坐标（3，0）；（2）①见解析；2；②或 【分析】（1）将点A坐标代入抛物线解析式得到b和a的关系，再根据抛物线对称轴的表达式求出对称轴，由两点关于对称轴对称即可求得点坐标； （2）根据题意，以及抛物线的顶点坐标，分情况画图，再根据抛物线的性质即可以求出的最小值． （3）根据抛物线的顶点坐标，观察图象即可得出正确答案． 【详解】解：（1）把点A（1，0）代入，可得， 抛物线的对称轴为直线． 点A和点B关于对称， 点B坐标（3，0）． （2）①当a＝2时，，与x轴交点坐标为（1，0）、（3，0），与y轴交点坐标为（0，6），顶点坐标． 当时， ， 当时，， 当时，如下图：，， ，随的增大而减小， 当的最小值为8， ， 当时，如下图，，，， ，时，随的增大而减小， 当时，的最小值为2， 当时，如下图，，， ，，随的增大而增大， 当时，的最小值大于2， 当时，如下图：，， ，时，随的增大而增大， 当的最小值为10， 综上，的最小值为2. ② ，抛物线的顶点坐标为，顶点到轴的距离为 ，如图，当时，a的取值范围是或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了抛物线的性质，掌握抛物线的性质及图像法解题是解本题的关键． 20．（2022·北京·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为点和点B． (1)用含a的式子表示b； (2)求抛物线的对称轴和点B的坐标； (3)分别过点和点作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点）．记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n． ①当时，求的最小值； ②若存在实数t，使得，直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)①1；②或 【分析】（1）把点代入即可得； （2）由对称轴公式可得抛物线的对称轴为直线，由抛物线对称性得点坐标； （3）①当时，，即得抛物线与轴交点坐标为，，与轴交点坐标为，顶点坐标为，当图象为对称图形时有最小值，可得，，即得的最小值为； ②由（1）知抛物线为，得，，，顶点坐标为，可分四种情况讨论的取值：（Ⅰ）当，且时，，解得，可得；（Ⅱ）当，且时，，可得，（Ⅲ）当，且时，，可得；（Ⅳ）当，且时，，可得，即知当时，，同理可得：当时，也符合条件． 【详解】（1）解：把点代入得： ， ； （2）解：由（1）知抛物线为， 抛物线的对称轴为直线， 而关于直线的对称点是， 由抛物线对称性得：点坐标； （3）解：①如图： 当时，， 抛物线与轴交点坐标为，，与轴交点坐标为，顶点坐标为， 由图象知：当图象为对称图形时有最小值， 又，，， ， ， 过点和点作轴的垂线，交抛物线于点和点， ，， 顶点坐标为， 的最小值为； ②点和点作轴的垂线，交抛物线于点和点， 由（1）知抛物线为， ，，， 又抛物线对称轴为直线，顶点坐标为， 根据、点的相对位置和抛物线的开口方向可分以下四种情况讨论的取值： （Ⅰ）当，且时，即图象在对称轴左侧时， 此时点的纵坐标最大，点的纵坐标最小， ， 解得， 又，， 且， ； （Ⅱ）当，且时，即图象在对称轴右侧时， 此时点的纵坐标最大，点的纵坐标最小， ， 解得， 又，， 且， ， （Ⅲ）当，且时，即最低点是抛物线顶点且点纵坐标大时， 此时，， ， 解得， 又，， ， ， ； （Ⅳ）当，且时，即最低点是抛物线顶点时且点纵坐标大， 此时，， ， 解得， 又，， ， ， 综上所述，当时，， 同理可得：当时，也符合条件， 的取值范围为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，难度较大，解题的关键是分类讨论图象上纵坐标的大小值． 题型五 二次函数求参数取值范围 21．（2025·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． (1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (2)若对于，，都有，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)m的取值范围是 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用对称轴公式即可求得； （2）分两种情况讨论，根据二次函数的性质对称关于m的不等式，解不等式即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：当时，抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∵对于，，都有， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴； 当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大， ∵对于，，都有， ∴， 解得， ∵， ∴这种情况不存在． 综上，m的取值范围是． 22．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）先求出对称轴为直线，则在对称轴右侧，再分和两种情况，根据二次函数的增减性讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线解析式为， ∴此时抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴点在对称轴右侧， 当时， ∴在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小， ∵对于，，都有， ∴当不在对称轴左侧时，则有，解得； 当在对称轴左侧时，则有，解得， ∴； 当时， ∴在对称轴右侧y随x增大而减小，在对称轴左侧，y随x增大而增大， ∵对于，，都有， ∴当不在对称轴左侧时，则有，解得（舍去）； 当在对称轴左侧时，则有，解得， ∴； 综上所述，或． 23．（2025·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求该抛物线与轴交点坐标； (2)已知，为该抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）令，求得，则该抛物线与轴交点坐标为； （2）根据题意得出且，求解即可． 【详解】（1）解：当时，则抛物线为． 令，则， ∴该抛物线与轴交点坐标为； （2）解：∵抛物线，对于，，都有， ∴且， 则，即，， 解得：或； ，即，， 解得：或； 综上，或． 24．（2025·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，点是抛物线上的两个不同点． (1)当时，有，求的值； (2)当时，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． （1）由题意，根据，得出点关于直线对称，再由中点坐标公式可得解． （2）根据题意得到即在时恒成立，分两种情况当时，当时分别进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，，对称轴为直线 ∵， ∴点关于直线对称. ∴， ∵； （2）∵点是抛物线上的两个不同点． ∴，， ∵当时，都有 ∴即在时恒成立， 当时，不等式化简为， 则， 解得， ∴，解得， 当时，不等式化简为， 解得或， ∴，解得， ∴， 综上可知，的取值范围是或． 25．（2025·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为． (1)当，时，求的值； (2)当时，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：当时，点的坐标为， ∵点，在抛物线上， ∴，． 又∵， ∴． 即， ∵抛物线的对称轴为， 故． （2）解：分两种情况： 情况1：当抛物线的对称轴在点的左侧时，即时， 点关于对称的点为， 根据抛物线的对称性可得点也在抛物线上， 则； ∵， ∴抛物线开口向上， 故当时，随的增大而减小． ∵， ∴点在的左侧， 即， ∵时，都有成立， ∴， 解得； 又∵， 故的取值范围是； 情况2：当抛物线的对称轴在点的右侧时，即时， ， ∴抛物线开口向上， 故当时，随的增大而减小， ∵， ∴点在的左侧， 即， ∵时，都有成立， ∴， 解得， 又∵， 故的取值范围是． 综上，的取值范围是． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$