精品解析：四川省眉山电子职业技术学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（特优班）

四川省眉山电子职业技术学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（特优班） 适用班级：23级特优班 （时间：120分钟；总分150分） 一、单项选择题（每小题4分，共计60分） 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. 0 D. 10 4. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 5. 已知分别是椭圆的左、右焦点，A为椭圆上一点，且，则的面积为（ ） A. 7 B. C. D. 6. 已知数列的前项和为，若，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 把函数的图像向右平移个单位长度，得到的图像所对应的函数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是的三边，若等式成立，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 已知锐角满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 在等比数列中，已知，则等于（ ） A. 30 B. 60 C. 80 D. 160 11. 在中，，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形 12. 已知，若成等比数列，则的值为（ ） A. B. C. D. 13. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线.则下面四个命题正确的个数是（ ） ①若，，，则； ②若，，，则； ③若，，，则； ④若，，，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 14. 已知向量，若，且，则的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 15. 已知直线，圆，则直线与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 以上三种都有可能 二、填空题（每小题4分，共计20分） 16. 计算：___________．（用数字作答） 17. 若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则椭圆的离心率为___________． 18. 等比数列的前项和为，，若，，成等差数列，则______. 19. 若，则___________． 20. ___________． 三、解答题（本题共六个小题，其中21题10分，其余题各12分，共计70分） 21. 求值． （1）； （2） 22. 已知函数的部分图象如图所示.求： （1），的值； （2）的单调递增区间； （3）求在区间上的最大值和最小值. 23. 已知向量，向量与的夹角大小为，且． （1）求向量； （2）设向量，其中．若，试求的取值范围． 24. 如图，在四棱锥中，底面是PC的中点． （1）求直线PB和平面PAD所成的角的大小； （2）求证：直线平面PCD； 25. 一条斜率为2的直线与抛物线相交于两点，已知，求： （1）直线的方程； （2）抛物线焦点F与所构成的的面积． 26. 已知在等差数列中． （1）求的通项公式； （2）设的前n项和为，求的最大值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省眉山电子职业技术学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（特优班） 适用班级：23级特优班 （时间：120分钟；总分150分） 一、单项选择题（每小题4分，共计60分） 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质及分母不为零，真数大于零列出不等式组即可得解. 【详解】函数， 则，解得， 所以定义域为， 故选：. 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式化简，结合二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】， 则. 故选：B. 3. 若直线与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. 0 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据两条直线互相垂直的条件求解即可. 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得. 故选：D. 4. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦的二倍角公式以及最小正周期公式求解即可. 【详解】函数， 所以最小正周期为. 故选：B. 5. 已知分别是椭圆的左、右焦点，A为椭圆上一点，且，则的面积为（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标，结合题意及椭圆的定义余弦定理列出方程，求出，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】 根据题意作出图像， 椭圆，则，，，所以，， 设，， 因为，则， 解得，所以，， 所以的面积为, 故选：. 6. 已知数列的前项和为，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据得出关于的递推公式，再由等比数列的定义与通项公式求值即可. 【详解】已知，由， 得，即， 所以，而， 即为首项为，公比是的等比数列， 所以， 故选：B. 7. 把函数的图像向右平移个单位长度，得到的图像所对应的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象平移的性质求解即可. 【详解】函数的图像向右平移个单位长度， 得到的图像所对应的函数是. 故选：C. 8. 已知是的三边，若等式成立，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平方差与完全平方公式，结合余弦定理即可得解. 【详解】因为， 所以，即，则， 则在中，， 又，所以. 故选：A. 9. 已知锐角满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由同角三角函数的平方关系求解与的值，再根据诱导公式以及两角差的余弦公式计算即可. 【详解】因为为锐角，所以， 又因为， 所以， ， 所以 . 故选：A. 10. 在等比数列中，已知，则等于（ ） A. 30 B. 60 C. 80 D. 160 【答案】C 【解析】 【分析】求解出等比数列的公比即可求解. 【详解】因为为等比数列，设其公比为， 因为， 所以， 所以. 故选：C. 11. 在中，，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理边化角，再由二倍角公式化简，结合正弦函数的性质讨论的关系即可. 【详解】因为， 根据正弦定理，得，即 ． 因为 ， 所以或 ，得 或 ， 则的形状是等腰三角形或直角三角形. 故选：D ． 12. 已知，若成等比数列，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的定义求解即可. 【详解】因为成等比数列，所以. 所以，解得. 所以. 故选：A. 13. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线.则下面四个命题正确的个数是（ ） ①若，，，则； ②若，，，则； ③若，，，则； ④若，，，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面的平行与垂直判断即可. 【详解】①中,，则，又，则，成立. ②中垂直于两个垂直平面的两条直线互相垂直，成立. ③中，，则，又，则，不成立. ④中分别垂直于两条垂直直线的两个平面互相垂直，成立. 故选：C. 14. 已知向量，若，且，则的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设出向量的坐标，根据模长公式及平面向量垂直的坐标表示列出方程组即可得解. 【详解】向量，若，且， 设向量， 则，解得或， 所以或. 故选：. 15. 已知直线，圆，则直线与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 以上三种都有可能 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求得圆的圆心到直线的距离，再利用余弦函数的取值范围，结合直线与圆的位置关系的判定方法即可得解. 【详解】对于圆，其圆心为，半径为， 所以圆的圆心到直线的距离为 ， 又因为，则， 所以，且， 当时，直线与圆相交； 当时，直线与圆相切； 当时，直线与圆相离； 综上，直线与圆可以相交、相切、相离. 故选：D. 二、填空题（每小题4分，共计20分） 16. 计算：___________．（用数字作答） 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据题意，结合两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】. 故答案为：. 17. 若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则椭圆的离心率为___________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】由等差中项以及椭圆的离心率公式计算即可. 【详解】设椭圆的长轴为，短轴为，焦距为， 又椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列， 所以，即，则有， 又因为在椭圆中，， 所以，即， 整理可得， 又，所以， 即，解得或（舍）. 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 18. 等比数列的前项和为，，若，，成等差数列，则______. 【答案】15 【解析】 【分析】由等差中项的性质可求解等比的公比，再由等比数列的前n项和公式代入计算即可. 【详解】设等比数列的公比为q且， 因为，，成等差数列， 所以，即， 因为，则，解得， 所以. 故答案为：15. 19. 若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】将分子分母同时除以，化为含的式子，求出的值，最后由二倍角的正切公式求值即可. 【详解】因为， 即，解得， 所以， 故答案为：. 20. ___________． 【答案】 【解析】 【分析】由对数的运算法则计算即可. 【详解】. 故答案为：. 三、解答题（本题共六个小题，其中21题10分，其余题各12分，共计70分） 21. 求值． （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角和的正切公式求解即可. （2）逆用两角差的正切公式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以原式 . 【小问2详解】 . 22. 已知函数的部分图象如图所示.求： （1），的值； （2）的单调递增区间； （3）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图可得，利用图象可得函数的周期，进而可求得. （2）利用正弦函数的单调递增区间进行求解即可. （3）先由可得，进而可得在区间上的最大值和最小值. 【小问1详解】 由图象知，函数的最小正周期为， 由得， 【小问2详解】 由（1）知， 令，得， 的单调递增区间. 【小问3详解】 ，，， 当，即时，有最小值， 当，即时，有最大值， 在区间上的最大值和最小值分别为. 23. 已知向量，向量与的夹角大小为，且． （1）求向量； （2）设向量，其中．若，试求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设，再由向量内积的坐标表示和向量的模的坐标表示列方程求解即可. （2）由向量的内积坐标表示确定，再由向量模的坐标表示得出，再由正弦函数的值域确定的取值范围. 【小问1详解】 设，已知向量， 由得，， 且，由向量与的夹角大小为， 得，解得， 即， 则，整理得， 解得，则， 所以或. 【小问2详解】 由（1）可知，或， 由向量，，所以， 又，所以， 则， 因为，则， 即，所以， 即的取值范围为. 24. 如图，在四棱锥中，底面是PC的中点． （1）求直线PB和平面PAD所成的角的大小； （2）求证：直线平面PCD； 【答案】（1） （2）见解析. 【解析】 【分析】（1）求PB和平面PAD所成的角的大小，说明就是要求的角即可求解． （2）要证明平面PCD，只要证明，结合，即可证明结论． 【小问1详解】 因为底面，底面，所以. 又因为，平面PAD， 所以平面PAD，从而是直线PB和平面PAD所成的角. 在中，所以. 【小问2详解】 因为，所以是等边三角形，进而. 又因为是PC的中点，，所以. 因为底面，底面，所以. 又因为平面，，所以平面. 又因为平面，所以. 因为，，平面， 所以平面. 25. 一条斜率为2的直线与抛物线相交于两点，已知，求： （1）直线的方程； （2）抛物线焦点F与所构成的的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出直线方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求出参数即可. （2）根据抛物线方程求出焦点F，再求点F到直线AB的距离，即可求出的面积. 【小问1详解】 设斜率为2的直线为：， 则由可得：， 不妨设，则由韦达定理可得： ，， 则， 即，解得， 故直线方程为：. 【小问2详解】 易知，抛物线中，，， 且焦点在轴正半轴上，则焦点 由（1）可知，焦点F到直线AB即到直线的距离为： ， 则的面积为：， 故的面积为. 26. 已知在等差数列中． （1）求的通项公式； （2）设的前n项和为，求的最大值； 【答案】（1） （2）36 【解析】 【分析】（1）利用、求出等差数列的首项和公差，进而求解； （2）首先利用前n项和公式表示出该数列的前n项和，接下来利用二次函数的性质进行解答即可. 【小问1详解】 因为在等差数列中， 即，解得， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由可知， 所以， 所以当时，的最大为36. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $