（5）十字模型-【一战成名新中考】2025年中考数学中考必考知识点专题特训

十字模型 1．如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为点，连接，有下面结论：①；②；③；④．其中正确的结论有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，矩形中，，点是上的一点，，的垂直平分线交的延长线于点，连接交于点，若是的中点，则的长是　　 A．12.5 B．12 C．10 D．10.5 3．如图，在矩形中，，，为对角线的垂直平分线，则的长为　　 A． B．5 C． D．8 4．如图，是正方形边的中点，连接，过点作于，交于，交于，下列说法：①；②点是的中点；③；④．其中正确的结论的序号是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 5．如图，在矩形中，交于点，点在上，连接交于点，且，若，则的值是　　 A． B． C． D．8 6．如图，四边形是正方形，是边上一点，连接，，垂足为，交于点，若，，则线段的长为　　． 7．如图，在矩形中，，，点、分别在边、上，点为线段上一动点，过点作的垂线分别交边、于点、点．若线段恰好平分矩形的面积，且，则的长为 　　． 8．如图，在正方形中，点是边上的一点，点在边的延长线上，且，连接交边于点．过点作，垂足为点，交边于点．若，，则线段的长为 　　． 9．如图，在矩形中，，点、分别在、边上，沿将四边形翻折得到四边形，且点落在边上，交于点．若，则的长为 　　． 10．如图，在四边形中，，，是边上的一点，交于点，则的值为 　　． 11．已知四边形中，，分别是，边上的点，与交于点． （1）观察猜想：如图①，如果四边形是正方形，当、分别是、的中点时，则与的数量关系为：　　，位置关系为：　　． （2）探究证明：如图②，若四边形是矩形，且．求证：． （3）拓展延伸：如图③，若四边形是平行四边形，试探究：当与满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论． 12．（1）问题探究：如图1，在正方形中，点，分别在边、上，于点，点，分别在边、上，． ①判断与的数量关系： 　　； ②推断：的值为 　　；（无需证明） （2）类比探究：如图（2），在矩形中，为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：如图3，四边形中，，，，，点、分别在边、上，求的值． 13．如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，点是上一点，且，连接并延长交于点．过点作的垂线，垂足为，交于点． （1）若，，求的面积； （2）若，求证：． 14．如图，矩形中，，，点，分别在边，上，点，分别在边，上，，交于点，记． （1）若的值为1，当时，求的值． （2）若的值为，求的最大值和最小值． （3）若的值为3，当点是矩形的顶点，，时，求的值． 15．如图，在中，，，点为边的中点，于点，交于点，求的值． 16．如图（1），在正方形中，点是边上的一个动点（点与点，不重合），连接，过点作于点，交于点． （1）求证：△△； （2）如图（2），当点运动到的中点时，连接，求证：； （3）如图（3），在（2）的条件下，过点作于点，分别交，于点，，求证：． 17．已知四边形中，、分别是、边上的点，与交于点． （1）如图①，若四边形是矩形，且，求证：； （2）如图②，若四边形是平行四边形，试探究：当与满足什么关系时，成立？并证明你的结论； （3）如图③，若，，，，请直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 十字模型 1．C【解析】①，，，，，，故①正确；②如图，延长、交于点，设，，则，由，有，即，四边形是矩形，，，，，，， ，，，在中，，，，，，即，，，，故②正确；③如图，由②可得：，，又，，，故③正确；④如图，设，，则，由②知，，，故④错误． 2．D【解析】矩形中，是的中点，，，在和中，，，，，设，则，在中，，，垂直平分，，，解得，，． 3．C【解析】如图，连接，设交于点．垂直平分线段，，设，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，，． 4．C【解析】①四边形是正方形，，，，，，，，是正方形边的中点，，，，，，，故①正确；②，设，，则，，，，，，故②不正确；③四边形是正方形，，，，，，，故③正确；④，，，，，故④正确；本题正确的结论是：①③④． 5．A【解析】连接交于点，连接，令交于点，，，又四边形是矩形，，，，是的中位线，，，，，，，，，，，，设，则，，，，，在中，，又，，四边形是矩形，，，解得：，． 6．【解析】四边形是正方形，，，，，，，，，，是的中点，同理可证：是的中点，设，则，，，，，，在中，，，，，整理，得，解得，，，不符合题意，舍去，． 7．【解析】如图，连接，交于，线段恰好平分矩形的面积，是矩形的对称中心，，作，，四边形是矩形，，四边形是平行四边形，，，同理可得，，，，由（1）得，，，，，，在中由勾股定理得，，. 8．20【解析】如图，连接，，，四边形为正方形，，，，在和中，，，，，，为等腰直角三角形，，，，，，，设，，，，，，在中，由勾股定理可得：，即，解得：，，．．方法二、设正方形的边长为，，，，又，，，，，． 9．【解析】由折叠的性质得：，，，，过作于，如图1所示则，四边形是矩形，，，由（1）得：，，，四边形是矩形，，，，，，过作，交的延长线于，如图2所示，由折叠的性质得：，，，，，，，，，，设，则，， ，，，，在中，由勾股定理得：，即，解得：或（舍去），，，，，． 10．【解析】过点作的平行线，交过点作的平行线于，交的延长线于，过点作于，则四边形是矩形，，，，，，，又，，，设，，则，，，，解得，，，，，，． 11．（1）解：四边形是正方形， ，， 点，是，的中点， ，， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为，； （2）证明：如图（1），四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）当时，成立． 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 即当时，成立． 12．解：（1）①证明：四边形是正方形， ，． ． ， ． ． △△， ． ②结论：． 理由：，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ． （2）结论：． 理由：如图2，作于． ， ， ，， ， △△， ， ， 四边形是矩形， ， ． （3）如图3，过点作，交的延长线于点，过点作，连接， ，，， 四边形是矩形， ，，， ，，， △△， ， ，且， ，且， △△， ， ，， ， ， （不合题意，舍去），， ， 由（2）的结论可知：． 13．解：（1），， ， 又中，， ； （2）如图，过作于，交于，过作于，则， ， ， ， ，， 又， ，而， ， 设，则，， ， ， 在和中，， ，， 在等腰中，， ， ， 是的中点， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ，即， ． 14．解：（1）如图1中，作于，于，设交于点． 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． （2）， ， 由题意：，， 当的长取最大时，取最短，此时的值最大最大值， 当的最短时，的值取最大，此时的值最小，最小值为． （3）连接，． ，， ， ，， ， ，， 设，则，，， ①如图2中，当点与点重合时，点恰好与重合．作于． ， ，，， ． ②如图3中，当点与重合，作于．则，， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的值为或． 15．解：如图，过点作，交的延长线于点； ， ，， ， ， ； 设，则； ，， ，， ，， ； ， ． 16．证明：（1）， ， ， 四边形为正方形， ，， ， ， 在△和△中，， △△． （2）四边形是正方形， ，， 如图（2），取中点，连接交于， ， 点是的中点， ， 由（1）知，△△， ， ， 四边形为平行四边形， ， 是中点， 又， ， 是的垂直平分线， ； （3）如图（3），取中点，连接交于， 同（1）的方法得，△△， ， 又，， ， ， 由（2）知：， ， 又，， △△， ， ， △△， ， ， ， ， △△， ， ， ． 17．（1）证明：四边形是矩形， ， ， 又，， ， ． （2）解：当时，成立，理由如下： 在的延长线上取点，使，如图1所示： 则．四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， 又， ， ． ， ， ； （3）解：；理由如下： 连接、，交于点，作于，如图2所示： ，，， ， 在和中，， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ，即， ， ， ， 的面积， ，解得：， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$