综合与实践（主题式探究、项目式学习）题-【一战成名新中考】2025年中考数学中考必考知识点专题特训

综合与实践（主题式探究、项目式学习）题 1．证明：选择乙， 证明：假设点、、三点共线， 由图2可知：，， ， ， ， ， ， 与假设矛盾， 点、、三点不共线； 选择丙， 证明： 由图可知：，， ， △与△不相似， 同理可得△与△不相似， ，， ， 点、、三点不共线； 选择丁，证明： 假设点在直线上， ， （两直线平行，内错角相等）， ， ， ， 假设错误， 点、、三点不共线． 2．解：（1）新能源车的每千米行驶费用是（元； （2）燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.69元， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ，， 答：燃油车的每千米行驶费用为0.76元，新能源车的每千米行驶费用为0.07元； （3）设每年行驶里程为 ， 由题意得：， 解得， 即当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 建议：如果每年行驶里程超过大于买新能源车， 如果每年行驶里程小于买燃油车， 如果每年行驶里程等于买新能源车和燃油车都可以． 3．解：（1）由题意可得：， ， 点表示的数是6； （2）设动点的运动速度为每秒个单位长度， ， 解得， 动点的运动速度为每秒1个单位长度； （3）当点为点与的中点时，①当点在点左边，点在点右边时，， 解得； ②当点在点右边，点在点左边时，， 解得（舍去）； 当点为点与的中点时，， 得 解得； 当点为点与的中点时，， 得，解得 综上或5.2或5.5． 4．解：（1）如图1，，，，， ，， ，， ， ， 故答案为：相似． （2）成立， 证明：如图2，，，， ， ，， ， ， （1）中的结论成立． （3）如图3，，，， ，， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 的长是． 5．解：（1）圈， 第一圈（最短圈）周长为400米；直道长为100 米． 米，两个半圆的长分别为米， 个点刚好将田径场最短圈分成等距离的4份，每段长为100米终点位于区域，那么起点应在它的对面的点即点． （2）①足球场的长为100米，宽为米，两端的缓冲区均为直径米的半圆， 足球场和缓冲区的总面积是平方米； ②总占地面积为平方米， 塑胶跑道的面积为， 当，时，总费用为：元， 答：塑胶跑道的建造费用是390000元． （3）根据题意有以下九种方案： ①所有比赛项目均顺次进行50米接力米米米， 用时：（分钟）； ②短跑比赛顺次进行，400米顺次开始，1000米交替开始5， 0米接力米米米交替， 用时：（分钟）； ③短跑比赛顺次进行，400米交替开始，1000米顺次开始， 50米接力米米交替米， 用时：（分钟）； ④短跑比赛顺次进行，400米和1000米交替开始， 50米接力米米交替米交替， 用时：（分钟）； ⑤短跑比赛同时进行，400米和1000米顺次进行， 50米接力和100米米米， 用时：（分钟）； ⑥短跑比赛同时进行，400米顺次开始，1000米交替开始， 50米接力米米米交替， 用时：（分钟）； ⑦短跑比赛同时进行，400米交普开始，1000米顺次开始， 50米接力和100米米交米， 用时：（分钟）； ⑧短跑比赛同时进行，400米和1000米分别交替开始， 50米接力米米交替米交替， 用时：（分钟）； ⑨短跑比赛同时进行，400米和1000米交替开始， 50米接力米米米， 用时（分钟）； 因为， 所以用时最少为82分钟． 6．解：【操作发现1】，分别平分，， ，， ， ， ，分别平分，， ，， ， ； 【操作发现2】 ． 故答案为：； 【操作发现3】平分， ， 平分， ， ； 【归纳概括】①当有公共顶点的两个角和有一条边重合，且这两个角在公共边的异侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是， ②当有公共顶点的两个角和有（其中有一条边重合，且这两个角在公共边的同侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是． 7．解：（1）由题意得：点是外边缘抛物线的顶点， 设， 抛物线过点， ， ， 外边缘抛物线的函数解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）， 喷出水的最大射程为； （2）由左右平移得到， 设， 经过点， ， 解得：，（舍去）， ， 把代入，得： 解得：，（舍去）， 点的坐标为； （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 点与点重合或点在上， 当点与点重合时，， 当点在上时，， 解得：，（不合题意，舍去）， ， ， 的取值范围是． 8．（1）解：作的角平分线，作的垂直平分线，与相交于，点正好落在边上，如图2所示： （2）①解：平分， 设， 是的垂直平分线， ， ， 在△中，， ， ， 解得：， ， 故答案为：； ②证明：在△中，， ， ， ； （3）①解：的垂直平分线为，、、三点共线， ， △是等腰直角三角形 ， 故答案为：； ②解：线段的长度为，理由如下： 过点作于点，如图3所示： 平分，，， 设， ，， △是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ． 9．解：（1） 序号 “点”数 “边”数 “区域”数 图① 2 4 4 图② 3 3 2 图③ 3 6 5 图④ 1 4 5 图⑤ 4 5 3 （2）由表格中的数据可得：中间数列等于两边数列之和减去2，即； （3）由题意得：， 设除起点和终点外的点数为，则， 又个点每个点都连着4条边，且起点和终点的边数分别是3条和5条， ， 又， ， ， （条． 10．解：（1）由题意可知，该益智玩具的日销售量与销售单价之间为一次函数关系， 设该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 由题意得：，解得：， 该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 故答案为：； （2）由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，； 当时，； ，且为了尽快减少库存， ． 答：该益智玩具的销售单价应定为50元． 11．【模型呈现】证明：，， ， ，， △△； 【模型应用】解：①对于，当时，，当时，， 则点、的坐标分别为：、， ②由模型知，△△， 则，， 则点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：； 【模型迁移】解：点，则点，设点、， 过点作轴的垂线交轴于点，交过点和轴的平行线于点， 由模型知，△△， 则，， 即且， 解得：或， 即点，或，． 12．解：任务一：； 任务二：容积变大； 理由：设半径为， ， 直径为， 高为， 圆柱形包装盒的容积为：， ， 容积变大． 任务三：设计方案：在长方形左侧作底圆直径为，右侧裁剪成长为，宽为的长方形，当为圆柱的高时，无盖圆柱型包装盒容积大于， 由设计可知，． 解得：， 该无盖圆柱型包装盒容积为， 此方案可行，容积为． 13．解：任务1． 当时，． 故答案为：1379； 任务2． 要敲击出高音3，， ， 整理得：， ， ，，（不合题意，舍去）． 答：玻璃水杯水量高度约为； 任务3． ， 抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当偏差最小时，， 14．任务一：根据题意可得， 解得米， 答：线段的长为0.25米； 任务二：由题意可知，的半径为米， 骨架的长度为米， 答：骨架的长度为6.5米； 任务三：由任务三可知的半径米， 所以（平方米）， 答：裱糊面积为7平方米； 任务四：方案一费用：， 方案二费用：， 当两个费用相等时，即， 解得， 当时，， 此时选方案一更划算； 当时，， 此时两种方案一样； 当时，， 此时选方案二更划算． 15．解：（1）设小路的宽度为米， 由平移的性质可得，四幅图的面积都可以看作是一个长为，宽为的长方形面积， ； （2）设小路的宽为 ， 由题意得， 整理得，， 解得：或（不合题意，舍去）， 小路的宽为； （3）设矩形宽 ，长 ， ， ， ， 解得：， ， 应设计成11米． 16．（1）解：方法①：用大正方形的面积减去小正方形的面积可得到阴影部分面积为：； 故答案为：； 方法②：将阴影分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为：． 由此我们可以得到平方差公式：； （2）证明：如图3，阴影部分面积， 所以； （3）证明：如图4，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为， ， ， ． 17．解：（1）由题意，， ． ，． （2）由（1）得，，． 又，为正整数， 或3或4． 又，是正整数， 或4． 当时，，则，故； 当时，，则，或，，故或． 综上，，，或，，，或，，，． （3）， ，． 又，为正整数， ，或或． 或． 18．解：（1）由测量知， ， ，，， ， 又， △△， ． 又 ， ； （2）测量过程： 在小水池外选点，如图，用测角仪在点处测得，在点处测得； 用皮尺测量得（7分）， 求解过程：由测量知，在△中，，，． 过点作，垂足为． 在△中，， 即， 所以． 同理，． 在△中，， 即， 所以， 所以． 故小水池的最大宽度为． 19．解：问题1：他选择在平台点餐更优惠，理由如下： 在平台点餐所需费用为（元； 在平台点餐所需费用为（元． ， 他选择在平台点餐更优惠； 问题2：设小华点的午餐没优惠时价格是元， 根据题意得：， 解答：． 答：小华点的午餐没优惠时价格是110元； 问题3：设小华在平台点的餐没优惠时的价格为元，则在平台点的餐没优惠时的价格为元， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：， （元． 答：小华在平台点的餐没优惠时的价格为135元，在平台点的餐没优惠时的价格为185元． 20．解：（1）设与的关系式为：， 经过点，， ，解得：， 这个函数的表达式为：； （2）当时，， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：制动距离约为时该款汽车开始刹车时的速度约为； （3）有碰撞危险，理由如下： 当时，， 制动非安全距离为：， 有碰撞危险． 21．解：（1）点是边的三等分点，证明如下： 由第1步的操作可知、分别是、的中点， 是正方形， ，， ，， △△， ， ， ， △△ ， 点为边的三等分点； （2）由折叠得，， 点为边的三等分点， ， 设，则，，， 由折叠性质得，△△， ，，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 由勾股定理得，， 设，则， ， ， 又， ， 又， △△， ， 即， ， ， ． 22．解：【发现规律】 ①选0.7的第40次运算结果， 选0.5的第40次运算结果， 选0.3的第40次运算结果， 任选一个小于1的正数作为输入值，运算结果最后都趋于一个常数：0.618； ②由①知，随着运算次数的增加，输入和输出的值越来越接近，选； 【验证规律】 多次运算后某次运算输入值为，则输出值为根据规律②可以构造一个方程：规律①中的常数即为方程的解． 为验证组长对规律解释的正确性，小组尝试求出方程的精确解， 某小组成员将方程转化成，构造如图1的图形，利用面积来解方程， 计算4块区域的面积：，，， 整个正方形的面积， ， ， ， ， ， ， 取； 【应用规律】 构造方程：，即， 构造图形： ，，， 整个正方形的面积， ， ， ， ， ， ． 23．解：（1）每个灯笼由6个形状、大小完全相同的小长方形侧面和2个形状、大小完全相同的正六边形底面组成； （2）设其中张硬纸板是型号，则有张是型号，可得侧面 个，地面个； （3）由题意得：， 解得：， ，， 答：种型号的纸板12张，种型号的纸板8张，能制成4个灯笼； （4），答：所需丝带； （5）表格的作用为：理清各个量之间的关系． 24．解：（1）△等腰直角三角形； 理由：四边形是矩形， ，，， 把△沿折叠得到△， ，， ， ， △等腰直角三角形； （2）①如图4，过点作于点， 在△中，， 由△沿折叠得到△， 则△△， ， ， △△， ， 即， ， ， 在△中，； ②当，，三点共线时，如图5， 由△沿折叠得到△， 则△△， ， ，， 设，， ， ， ， ， ， ， △△， ， 即， 解得或（舍去）， 在△中，． 25．解：（1）如图1， 正方形即为所求， 点的坐标为，正方形与正方形相似比为， ， 盒子的高为1； （2）如图2， 四边形是菱形， ，， ， 由题意得， ， ； （3）如图3， 由题意得， 四个阴影部分四边形是四个全等的正方形， ， 设，则，， 由盒子得底部面积和盖子面积可得， ， ， ． 26．解：（1）延长交过的水平线于， 由题意得：四边形为矩形， 米，米， 则米， 米． （2）无人机没有离开瑶瑶的视线； 过作于，延长交的延长线于， 则米，，米， △△， ，即：， 解得：， （米， ， 无人机没有离开瑶瑶的视线． 27．解：（1）四边形、为正方形， ，，， ， 此时点到边所在直线的距离为6； （2）①如图，作于，， 四边形、为正方形， ，，， ， ， ， △△， ，， 为的中点， ， ， ， ， ； ②由①可得：， 此时点到边所在直线的距离为6； （3）如图，作于，作交于， 四边形、为正方形， ，，， ， ， ， ， △△，， ，， 设，则，， ， △△， ， 点是线段的三等分点， 或， 或， 或， 当时， ， △△， ， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， 当时， ， △△， ， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， 综上所述，的长为或6． 28．（1）解：四边形为正方形；理由如下： ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形． △△， ， 矩形为正方形； （2）证明：， ， ， ． ，即， ， ， ． 由（1）得， ； （3）解：，于点，，，如图4，设，的交点为，过作于点， △△， ，，，，， ， ， ． ， 点是的中点， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ． ， ， 即， ． ，，， △△， ， ， 即的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 综合与实践（主题式探究、项目式学习）题 1．综合与实践：【发现问题】 教材《问题出在哪里》内容大致如下：图1是一个的正方形纸片，将它剪成四部分后，再拼成图2中的矩形，图1面积，图2面积，难道？ 【提出问题】 ，这就说明：图2中四个图形之间有缝隙．即，图3中，，，四个点不在一条直线上，那么，如何说明它们不在一条直线上呢？ 【分析问题】 要说明“四点不共线”，可以简化为说明其中“三点不共线”，观察易得，图3是一个中心对称图形，所以，说明“，，三点不共线”或“，，三点不共线”的道理相同，我们不妨选择证明“，，三点不共线”． 【解决问题】 ①甲：若，，三点共线，则，若，则三点不共线．由勾股定理易得，，，，显然； ②乙：若，，三点共线，则，若，则三点不共线，再借助三角函数刻画角的大小， ③丙：3，5，8，让我想到了斐波那契数列和它的一些性质，再结合相似三角形的有关知识， ④丁：“三点共线问题”也可以转化为“判断一点在不在另外两点所在的直线上”， 请你根据乙、丙、丁三位同学的思路，任选一种方法，证明，，三点不共线． 2．综合与实践：随着环保意识的增强和技术的进步，电动汽车（电车）逐渐受到人们的青睐．小聪家计划购买新车，正在考虑购买油车还是电车．小聪通过市场调查，获取了以下信息： 信息一：燃油车的油箱容积为50升，油价：7.6元升，续航里程（加满一箱油可持续行驶的里程）为千米，每千米行驶费用：元； 信息二：新能源车同样行驶千米时，需要耗费电池的电量为70千瓦时，电价为0.5元千瓦时，每千米行驶费用：①____元； 信息三：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.69元． 解决问题： （1）根据信息二，用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用①是　　元； （2）分别求出这两款车的每千米行驶费用的具体数值； （3）若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为3200元和5960元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？请你帮小聪给出购车建议．（年费用年行驶费用年其它费用） 3．【综合与实践】 数学活动课上，吴老师带着同学们进行了一次数轴上有关点的运动的探究活动．请你根据任务要求解答相关问题． 任务一：在数轴上确定点 给定条件：如图，点为数轴的原点，点、在数轴上点的两侧，且，已知点表示的数为． 问题（1）请你直接写出点所表示的数； 任务二：动点问题的探究 给定条件：在任务一的条件下，一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，另一动点同时从点出发，以每秒若干个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒； 问题（2）已知当秒时，、两点相遇，求动点的运动速度； 问题（3）在动点、的整个运动过程中，当原点、动点和动点中的某一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，求的值． 4．综合与实践 问题情境： 如图，在中，，，现取一块透明等腰直角三角尺，将角的顶点放在斜边的任意一点处，并将三角尺绕点顺时针方向旋转，三角尺的两边、分别交，于点、． 观察猜想： （1）如图1情形，与有怎样的关系？　　；（填写“全等”、“相似”或“不相似” 类比推理： （2）将三角板绕点旋转到图2情形时，三角板的两边分别交的延长线、边于点、，（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明，若不成立，请说明理由； 深入探究： （3）如图3，在（2）的条件下，若点为的中点，三角尺绕点继续旋转的过程中，，连接，求的长． 5．综合与实践 根据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，如图1，场地的部分数据如下：①第一圈（最短圈）周长为400米；②直道长为100米． （1）运动员在图1的田径场最短圈上完成100米比赛，他需要跑 　　圈，若终点位于区域，那么起点应在 　　区域（填“”，“ ”，“ ”或“” ； （2）某中学根据国际田联标准并结合本校场地实际，建成一个如图2所示的田径运动场，运动场由足球场、缓冲区和塑胶跑道组成，总占地面积为平方米，其中足球场的长为100米，宽为米，两端的缓冲区均为直径米的半圆． ①足球场和缓冲区的总面积是多少平方米？（用含的式子表示，结果保留 ②若塑胶跑道的建造费用为每平方米100元，当时，塑胶跑道的建造费用是多少元？取 （3）该学校举行运动会，初一年级需要在跑道上进行的比赛项目信息如下： 比赛项目 参赛组数 每组用时（分钟） 50米接力 4 10 100米 8 5 400米 6 8 1000米 2 11 已知比赛需满足以下条件：①“50米接力”和“100米”比赛只能在直道进行；②“400米”和“1000米”比赛需占用整个跑道；③为安全起见，“400米”比赛开始4分钟后，才能开始下一场比赛；“1000米”比赛开始7分钟后，才能开始下一场比赛．受天气变化影响，以上4个比赛项目需要尽快完成，请你通过计算，设计一个用时最少的方案． 6．综合与实践： 有这样一个探究项目：通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角，如、的角等．七年级（1）班数学学习小组又进行了如下实践操作： 【操作发现1】“探索组”用一副三角尺进行拼角．所拼的两个角均在公共边的异侧，并在各自所拼的图形中分别作出的平分线和的平分线．如图①，把和的角拼在一起，如图②，把和的角拼在一起．则图①中的的度数为 　　，图②中的的度数为 　　； 【操作发现2】“智慧组”把图①中的三角尺绕点顺时针旋转到图③的位置，使，，三点在同一条直线上，并求出了的度数为 　　． ． 【操作发现3】“挑战组”把图②中的三角尺绕点顺时针旋转到图④的位置，使，，三点在同一条直线上．请你仿照“智慧组”的做法，求出图④中的度数； 【归纳概括】①当有公共顶点的两个角和有一条边重合，且这两个角在公共边的异侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是 　　（用含，的代数式表示）； ②当有公共顶点的两个角和其中一条边重合，且这两个角在公共边的同侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是 　　（用含，的代数式表示）． 7．综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索． 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 【解决问题】 （1）求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）请求出内边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 8．综合与实践 背景 【直角三角形中角平分线与垂直平分线的探究与发现】 南南和北北两位同学对几何学习非常感兴趣，在八年级上册的几何学习后，他们俩相约着对直角三角形背景下的角平分线与垂直平分线进行了一番探究，有了一些有意思的发现． 素材 如图1，△是直角三角形，． 操作：南南和北北画出的角平分线与的垂直平分线，与交于点． 发现：当长度不变，长度变化时，点的位置也会随之变化．当点位于某个特殊位置时，的度数、一些线段之间的长度关系会存在一定的特殊性． 问题解决 任务1 在如图2所示的直角三角形中，南南发现：点正好落在边上． （1）请利用尺规作图帮助南南找出点的位置．（保留作图痕迹，不要求写作法） 任务2 （2）点在图2的位置时，南南和北北发现： ① 　　； ②，请证明这一发现． 任务3 （3）继续探索发现，如图3所示，、、三点共线，此时，南南和北北又有了新的发现： ① 　　； ②若已知，，则能用含字母、的式子表示线段的长度．请写出的长度，并说明理由． 9．综合与实践 【问题情境】 “一笔画图形”是指笔尖不离纸，且不走重复路线，能够一笔画出的图形．我们把画图时，亮尖的起点、终点以及所画出的线与线的交点叫做“一笔画图形”的“点”，把由“点”分成的每一条线叫做“边”，把“边”将平面分成的每一部分叫做“区域”．图①、②、③、④都是“一笔画图形”，图①的“点”是、，“边”是、、、部分，“区域”是Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ部分． 【探索活动】 （1）请你在图⑤的方框中画出一个与图①、②、③、④都不同的“一笔画图形”，并完成表格； 序号 “点”数 “边”数 “区域”数 图① 2 4 4 图② 3 3 2 图③ 3 6 　　 图④ 1 　　 5 图⑤ 　　 　　 　　 （2）写出、、之间的关系式； 【解决问题】 （3）图⑥是“一笔画图形”．已知该图形中有62个“区域”，除了“起点”和“终点”，其余每个“点”都连着4条“边”，该图形有多少条“边”？ 10．项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近，，，，五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元和日销售量（个的情况，记录如下表： 玩具店 销售单价元 61 60 59 58 57 日销售量个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为 　　； 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 11．综合与实践 【模型呈现】如图1，在△中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，试说明：△△． 【模型应用】如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点． ①求，两点的坐标； ②求点的坐标与直线的函数关系式； 【模型迁移】如图3，在平面直角坐标系中，点是点关于轴的对称点，点是轴上一个动点，点是直线上一个动点，若△是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 12．综合与实践： 小明和小红假期到某厂参加社会实践，发现该厂用一批长为，宽为的白纸板做无盖包装盒（不考虑连接的重叠部分），制作时，工厂一般将白纸板分隔成两个长方形分别制作底面和侧面，截得底面后的剩余部分不再使用．请根据活动完成相应的任务． 活动一 如图（1）是常见的一种设计方案甲：在白纸板上截去两部分（图中阴影部分），盒子底面的四边形是正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体包装盒． 任务1：请直接计算出方案甲中包装盒的容积为　　． 活动二 为了增加包装盒的容积，有人提议将包装盒设计成圆柱形．小明横着裁剪把长方形的长作为底面圆的周长进行设计，如图（2）得方案乙． 任务2：请计算方案乙中无盖圆柱形包装盒的容积取，并判断容积是否变大． 活动三 小明：设计成圆柱形的容积确实变化了． 小红：那么是否还有容积更大的情况呢？ 小明与小红通过研究发现了无盖圆柱形包装盒设计的新方案，且容积还大于． 任务3：请在下列白纸板上画出他们的方案，并计算其容积取 13．【问题背景】洪山区某校开展综合与实践活动．同学们发现在相同玻璃水杯内加入不同高度的水量，用筷子敲击玻璃水杯会发出不同音调． 【实验操作】由于频率不同则音调不同，因此同学们用频率仪作测量实验，获得如下水量高度与频率数据对照表． 水量高度 7 14 22 35 45 55 64 72 80 92 101 113 136 频率 1381 1366 1365 1362 1347 1311 1274 1227 1173 1091 1021 945 741 【建立模型】用表示对应的水量高度，用表示频率，同学们运用信息技术描出数据散点图并发现可用二次函数近似刻画水量高度与频率关系如图． 任务1 当水量高度为时，计算频率值为 　　． 任务2 若要敲击出高音3，玻璃水杯水量高度为多少？（结果保留整数）调音符与频率对照表：低音，中音，高音，其他参考数据：，， 【反思优化】同学们通过观察如图，发现第十一组数据与利用二次函数计算得出的频率值偏差较大．决定将其数据优化为，减少偏差．通过查阅资料后知道：可将水量高度对应的频率值进行次测量，得到个结果，，再计算个结果与之差的平方和，记为，越小，偏差越小． 任务3 当偏差最小时，说明与，，之间关系，并阐述理由． 14．【综合与实践】 【知识背景】为丰富市民和游客的文化生活，青秀山举办花灯展．花灯的制作方法主要包括以下步骤：①设计；②选材；③骨架制作；④裱糊（将绸缎等材料粘贴在骨架上）；⑤安装灯珠和电路；⑥装饰． 【目标设定】某兴趣小组模仿图1的造型制作花灯．如图2，花灯由4条骨架构成，依次记为，，，，每条骨架包括半圆和两条垂直于地面的相等线段． 【步骤实施】的长为2米，半圆的半径为0.5米，完成以下任务取． 任务一：求中线段的长； 任务二：如图2所示，与的间距为0.4米，相邻两条骨架的间距由内自外依次递增0.1米，每条骨架的长度如下表所示，请直接写出骨架的长度； 骨架 骨架的长度（单位：米） 2 3.2 4.7 ▲ 任务三：求裱糊面积（即与地面所围成的图形面积）； 任务四：若装饰花灯需要裱糊材料和灯珠盏，在购买材料时有以下两种方案可供选择： 方案1：裱糊材料每平米30元，每盏灯珠10元； 方案2：裱糊材料每平米20元，每盏灯珠15元． 选择哪一种方案更划算？并说明理由． 15．综合与实践（项目化学习） 【项目主题】：“校庆主题”草坪设计 【项目情境】：为了迎接第60周年校庆，同学们参与一块长为40米，宽为30米的矩形“校庆主题”草坪方案设计，以下为小组对草坪设计的研究过程． 【项目任务】： 活动任务一：请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边． （1）小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案． 请直接写出小组设计出来的四种方案小路面积，，，的大小关系 　　； 活动任务二：为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米． （2）请计算两条小路的宽度是多少？ 活动任务三：为了展示校庆元素，打算在草坪上的校庆宣传主题墙前，靠墙用篱笆围（三边）建成一个矩形，且，如图． （3）数学之星小聪查阅资料发现：短边为长边的倍的矩形称为黄金矩形．黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．为了使长40米的篱笆恰好用完同时围住矩形的三面，且矩形的形状更接近黄金矩形．应设计成多少米？（参考数据：；，结果取整数） 16．综合与实践 探索：将边长分别为、的正方形纸片叠合在一起，如图1，你能表达出未重叠（阴影）部分的面积吗？ （1）阅读并完成下面填空： 方法①：用大正方形的面积减去小正方形的面积可得到阴影部分面积为：　　； 方法②：将阴影分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为：． 由此我们可以得到平方差公式：　　． 总结：上面验证平方差公式的方法我们称之为面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”． （2）巩固：如图3，如果将小正方形的一边延长，也能验证平方差公式，请完成证明． （3）拓展：如图4，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，证明：． 17．综合与实践 【阅读理解】材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中，，，均为整数），则有．，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【实践探究】（1）当，，，均为正整数时，若，用含，的式子分别表示、，得　　，　　； 【拓展延伸】（2）利用所探索的结论，若我们限定的取值范围是，写出所有的正整数，，，组合，使得成立． （3）若，且，，均为正整数，求的值． 18．综合与实践 【任务】测量小水池的最大宽度．如图1． 【工具】一把皮尺（测量长度略小于和一台测角仪，如图2． ①皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）； ②测角仪的功能是测量角的大小．即在任一点处，对其视线可及的，两点，可测得的大小，如图3． 【操作实践】 步骤1：在小水池外选点，如图4，测得，； 步骤2：分别在，上测得；测得． 【实践探索】 （1）请根据上述测量数据，用你所学的数学知识计算出小水池的最大宽度； （2）请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．（要求：测量得到的长度用字母，，表示，角度用，，表示） 19． 如何下单，最优惠？ 背景 随着时代发展外卖行业得到迅速的发展，截止2024年12月，中国外卖用户已达到5.45亿人，相较于自己做一顿饭较高的时间成本，点外卖不仅可以节省大量的时间，也可以满足年轻人对于“吃”的需求．在数学综合与实践课上，老师以“点外卖”为主题，请同学们分析和解决问题： 素材 某餐厅打算在平台和平台根据点餐金额采用不同的优惠策略： 在平台实施方案如表： 在平台实施方案如表： 平台一次性点餐金额 优惠措施 平台一次性点餐金额 优惠措施 不超过60元 无优惠 不超过60元的部分 无优惠 超过60元，但不超过160元 减10元 超过60元，但不超过160元的部分 打8折 超过160元 减30元 超过160元的部分 打6折 问题解决 问题1 若小华点餐金额为80元，请你帮他选择在哪个平台点餐更优惠？并说明理由； 问题2 小华点了超过60元，但不超过160元的午餐，发现在两个平台上优惠后的价格相同，那么小华点的午餐没优惠时价格是多少？ 问题3 若小华在两个平台各点单一次，两次点餐金额共320元，实际付款金额280元，其中平台点餐金额比平台点餐金额低，那小华点的餐没优惠时价格分别是多少？ 20．综合与实践： 某数学小组为了了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查询资料获得以下信息： 材料一：由于人的反应和惯性的作用，行驶中的汽车发现情况到刹车停止前还要继续向前行驶一段距离才能停下，这段距离称为制动非安全距离．从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，这段距离普通人反应时间为0.2秒．从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离． 材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能（车速不超过进行测试，测得数据如表： 车速 0 30 60 90 120 150 制动距离 0 7.8 19.2 34.2 52.8 75 探究任务： （1）已知该款新型汽车的制动距离和车速之间存在已学过的某种函数关系，请根据上面提供的数据，求出这个函数的表达式； （2）若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为，请通过计算估计该款汽车开始刹车时的速度； （3）若某驾驶员驾驶这种新型汽车以的速度在单行道上行驶，发现前方处有一辆大货车停在公路上挡住去路，驾驶员紧急刹车，请问是否有碰撞危险？请说明理由． 21．综合与实践 在一次综合实践活动课上，郑老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作探究】 “励志”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作： 第1步：如图1所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为； 第2步：再将正方形纸片对折，使点与点重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点； 第3步：过点折叠正方形纸片，使折痕． 【过程思考】 （1）结合“励志”小组操作过程，判断点是否为边的三等分点，并证明你的结论； 【拓展提升】 （2）如图2，将矩形纸片对折，使点和点重合，展开铺平，折痕为，将△沿翻折得到△，过点折叠矩形纸片，使折痕，若点为边的三等分点，请求出的值． 22．综合与实践：计算器运用与功能探索 计算器运算快捷而又“不辞辛劳”，可以代替我们进行繁杂的运算，让我们腾出更多时间进行规律的探索． 【发现规律】 八年级数学兴趣小组借助计算器进行如下操作：任选一个小于1的正数作为输入值，乘以，加上1，再开平方，将计算器输出的值，作为输入值，不断执行上述操作得到了如下运算记录表： 选定小于1的正数 0.7 0.5 0.3 第1次运算结果 0.547722558 0.707106781 0.836660027 第2次运算结果 0.672515756 0.541196100 0.404153403 第3次运算结果 0.572262390 0.677350648 0.771911003 第38次运算结果 0.618061094 0.617997417 0.617932544 第39次运算结果 0.618012059 0.618063575 0.618116054 第40次运算结果 0.618051729 0.618010053 0.617967593 根据记录表的结果，小组成员发现一些规律： ①任选一个小于1的正数作为输入值，运算结果最后都趋于一个常数：　　（保留3位小数）． ②随着运算次数的增加，　　（从下列选项中选择）． ．运算结果越来越大 ．运算结果越来越小 ．输入和输出的值越来越接近 【验证规律】 组长对规律进行如下分析：设多次运算后某次运算输入值为，则输出值为 　　，根据规律②可以构造一个方程：　　（保留原始形式，不作变形），规律①中的常数即为方程的解． 为验证组长对规律解释的正确性，小组尝试求出方程的精确解．某小组成员将方程转化成，构造如图1的图形，利用面积来解方程，计算4块区域的面积： 　　， 　　， 　　，整个正方形的面积，所以 　　，注意，开方后解得 　　． 【应用规律】 若将操作改为“任选一个正数作为输入值，乘以2，加上1，再开平方”，不断执行上述操作，请求出经过足够多次运算后，运算结果趋于的常数（必要的步骤：列出方程、构造图形解方程、结果保留3位小数，参考数据：，，． 23．综合与实践：制作底面为正六边形的直六棱柱灯笼 小明准备仿照图1制作一个灯笼，抽象出几何图形是一个底面为正六边形的直六棱柱，如图2．选用、两种型号硬纸板进行裁剪，一张型号纸板可剪成2个侧面，一张型号纸板可剪成1个与之配套的底面，裁剪后剩余角料不再利用．现有两种型号的硬纸板共计20张，且裁剪出的侧面和底面恰好全部用完．问：每种型号的纸板各多少张？装饰灯笼的丝带需要多长？ 【理解问题】 （1）每个灯笼由 　　个形状、大小完全相同的小长方形侧面和 　　个形状、大小完全相同的正六边形底面组成． 【分析问题】 （2）设其中张硬纸板是型号，其余的是型号．用含的代数式表示其他量． 型号 型号 硬纸板数目（张 　　① 侧面数目（个 　　② 底面数目（个 　　③ 【解决问题】 （3）每种型号的纸板各多少张？能制成多少个灯笼？请根据每个灯笼中侧面和底面的数量关系列方程解决． （4）使用型号的硬纸板是规格，即长方形硬纸板长，宽，要用丝带给制作出来的每个灯笼的各条棱上都描上边儿，所需丝带有多长？ 【回顾反思】 （5）表格对解决这类问题有什么作用？字以内） 24．综合与实践 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展了“折叠矩形纸片做角”的探究活动，先将矩形纸片按如图1上下对折，折痕为；点是线段上的点，再把△按如图2沿折叠，使点刚好落在上的点，连结，，则．活动后，老师鼓励同学们能通过折叠手中的矩形纸片发现并提出新的问题． 【活动猜想】（1）小华受此问题启发，将准备的一张纸（生活常识：一张纸宽为，长为，按如图3的方式把△沿折叠得到△，经观察后得到猜想：当，，三点共线时，△是一个特殊的三角形．请直接写出：△是 　　三角形； 【探究迁移】（2）如图4，小明和小亮把△沿折叠，使点的对应点落在上，连结，发现并提出新的探究点： ①若，，求的长； ②当，，三点共线时，求的值． 25．综合与实践 【发现并提出问题】 在进行综合与实践活动时，学习小组发现可以将一张特殊的平行四边形硬纸片剪拼成一个有盖的直四棱柱形盒子（无损耗无重叠）．在制作过程中，学习小组提出了一个问题：制作的盒子的高与四边形硬纸片的边长存在怎样的数量关系？ 【分析并解决问题】 探究一：盒子的高与正方形硬纸片的边长的数量关系 （1）以正方形的顶点为坐标原点，，所在的直线为坐标轴建立如图1所示的平面直角坐标系，此时点的坐标为，再以正方形的两条对角线交点为位似中心，画一个正方形，使它与正方形位似，且相似比为，然后按图2的方式将正方形纸片沿虚线剪开，可拼接成如图3所示的四棱柱形有盖盒子． 请在图1中画出正方形，此时盒子的高为 　　； 探究二：盒子的高与菱形硬纸片的边长的数量关系 （2）按探究一的方式将图4中的菱形硬纸片制作成了如图5所示的四棱柱形有盖盒子．在菱形中，若，，则盒子的高为　　；（用含的代数式表示） 【推广并创新应用】 探究三：盒子的高与矩形硬纸片的边长的数量关系 （3）如图6，矩形硬纸片中，，，将该纸片沿虚线剪开，把所得的四个阴影部分纸片再剪拼成一个长方形盖子，并与剩余部分一起拼接成一个四棱柱形有盖盒子．求盒子的高．（用含有，的代数式表示） 26．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．在“综合与实践”活动中，瑶瑶计划借助无人机测量月亮酒店大楼的高度，她设计了如下测量方案： 如图，瑶瑶站在离月亮酒店大楼水平距离为40米的广场高地处，处高出湖面的距离米，无人机旋停在点正上方的点处，测得月亮酒店大楼的顶部处的俯角的正切值是，此时无人机离湖面的高度为120米，已知瑶瑶的目高（眼睛到地面的距离）米． （1）求月亮酒店大楼的高度． （2）若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以4米秒的速度继续向前匀速飞行，求经过12秒时，无人机是否离开瑶瑶的视线？请说明理由． 27．综合与实践 问题背景： 活动课上，同学们以正方形为背景，探究图形运动中的数学结论．已知，正方形中，，点是射线上的一个动点，连接，以为边作正方形（点在边所在直线的上方），连接． 探索发现： （1）如图1，勤学小组画出了点与点重合时的图形，此时点到边所在直线的距离为 　　； （2）如图2，创思小组画出点恰好是线段中点时的图形，请你解答如下问题： ①判断线段与的数量关系，并说明理由； ②直接写出此时点到边所在直线的距离； 拓展延伸： （3）如图3，博闻小组画出了点在线段延长线上时的情形，与交于点．若点是线段的三等分点，请直接写出此时的长． 28．综合与实践 【问题情境】 “综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△和△，其中，，将△和△按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点．当时，延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． 【数学思考】 （1）请你解答以上老师提出的问题； 【深入探究】 （2）老师将图2中的△绕点逆时针方向旋转，使点落在△内部，让同学们提出新的问题并请你解答此问题． “善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点，与交于点．证明：． 【拓展提升】 （3）如图4，当时，过点作于点，若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$