8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第2课时）（分层作业）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第2课时）分层作业 题型研究 题组一　利用决定系数R2刻画回归效果 【例题1】（1）下图为根据某组成对数据绘制的散点图，根据最小二乘法得到了经验回归直线1（实线）与经验回归曲线2（虚线）如图，并分别计算了两模型的决定系数，则（    ） A． B． C． D． （2）（多选）某同学研究两个变量与的关系，收集了以下5组数据： 1 2 3 4 5 1 4 1 9 10 根据上表数据，求得相关系数为，经验回归方程为，决定系数为．后经检查发现当时记录的有误，实际值应为，修正数据后，求得新相关系数为，新回归方程为，新决定系数为，则以下结论正确的是（   ） 参考公式：相关系数，经验回归方程为，其中，，． A． B． C． D． 题组二　非线性回归分析 【例题2】（1）3．红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关.现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图.      根据收集到的数据，计算得到如下值：表中；；；； (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由； (2)根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并求温度为34℃时，产卵数y的预报值. （参考数据：，，，） 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 25 2.89 646 168 422688 48.48 70308 （2）年初，哈尔滨利用冰雪资源成功吸引了大批游客前来旅游.年底，第二十六届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，再次邀请广大游客共赴冰雪之约.统计年这年月份来哈尔滨的游客数量（单位：万），并绘制散点图，如图所示（年份代码对应）. (1)经计算得出下表中的数据，根据散点图，在模型①：与模型②：（均为常数）中，选择一个更适合作为每年月份来哈尔滨的游客数量关于年份代码的回归直线方程类型，并求出关于的回归直线方程. 其中，. 附：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：. (2)根据所求的回归直线方程预测年月份来哈尔滨的游客数量. 1、 基础达标 1．在建立两个变量的回归模型中，分别选择4个不同模型，求出它们相对应的决定系数如下表，则其中拟合效果最好的模型是（   ） 模型 1 2 3 4 0.67 0.85 0.49 0.23 A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4 2．若对于预报变量y与解释变量x的10组统计数据的回归模型中，计算R2=0.95，又知残差平方和为120.55，那么的值为 A．241．1 B．245．1 C．2411 D．2451 3．若一函数模型为，为将转化为的经验回归方程，则需作变换等于（    ） A． B． C． D．以上都不对 4．（多选）某同学用收集到的6组数据对制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并计算得到经验回归直线的方程为，样本相关系数为，决定系数为，经过残差分析确定B为离群点，把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得到经验回归直线的方程为，样本相关系数为，决定系数为，（其中决定系数是样本相关系数的平方，即，去掉离群点B后，拟合效果更好），则以下结论正确的是（    ） A． B． C．直线恰好过点C D． 5．已知回归方程，而试验得到一组数据是(2，4.9)，(3，7.1)，(4，9.1)，则残差平方和是 ． 6．已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数的图像附近，令，则可通过变换得到的线性回归方程为 ． 7．为研究质量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据如下表所示： 5 10 15 20 25 30 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8 (1)作出散点图并求线性回归方程. (2)求出. (3)进行残差分析. 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 相关指数公式： 2、 能力提升 1．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x，y进行回归分析，设u= lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为=0.5v+2，则变量y的最大值的估计值是（    ） A．e B．e2 C．ln2 D．2ln2 2．若一组观测值之间满足，且恒为0，则为 ;（参考公式:） 3．已知与之间的数据如下表： （1）求关于的线性回归方程； （2）完成下面的残差表： 并判断（1）中线性回归方程的回归效果是否良好（若，则认为回归效果良好）. 附：，，，. 4．首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举行，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，成为共建“一带一路”的又一个重要支撑．某企业为了参加这次盛会，提升行业竞争力，加大了科技投入．该企业连续6年来的科技投入（百万元）与收益（百万元）的数据统计如下： 科技投入 2 4 6 8 10 12 收益 5.6 6.5 12.0 27.5 80.0 129.2 并根据数据绘制散点图如图所示： 根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如下表： 43.5 4.5 854.0 34.7 12730.4 70 其中，． （1）请根据表中数据，建立关于的回归方程（保留一位小数）； （2）乙认为样本点分布在二次曲线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好． 附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，相关指数：． 3、 直击高考 1．（2025·河南·三模）人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，AI技术加持的电脑（以下简称AI电脑）也在全国各地逐渐热销起来.下表为市统计的2024年11月至2025年3月这5个月该市AI电脑的月销量，其中为月份代号，（单位：万台）为AI电脑的月销量. 月份 2024年11月 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 月份代号 1 2 3 4 5 月销量 0.5 0.9 1 1.2 1.4 经过分析，与线性相关，且其线性回归方程为，则2025年3月的残差为（    ）（实际值与预计值之差） A． B． C．0.02 D．0.04 2．（2025·贵州·模拟预测）（多选）某校研究学生每周自习时间（小时）与数学成绩（分）的关系，计算得相关系数，并建立线性回归模型，得到决定系数．对残差进行分析时，发现残差与预测值的散点图（是以预测值为横轴，残差为纵轴）呈现明显的先负后正的分布趋势，则（   ） A．，说明该模型的拟合效果较差 B．残差平方和等于0.64 C．相关系数为负，说明自习时间与成绩无关 D．残差图显示模型可能不符合线性假设，建议改用非线性模型 3．（23-24高二下·福建泉州·期中）（多选）下列说法中，正确的命题是（   ） A．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和． B．在线性回归模型拟合中，若相关系数的绝对值越小，则样本的线性相关性越强． C．在回归分析中，决定系数的值越大，说明残差平方和越大． D．在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程中，，则． 4．（2018·广东茂名·一模）一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表： 温度 21 23 24 27 29 32 产卵数个 6 11 20 27 57 77 经计算得：线性回归模型的残差平方和，其中分别为观测数据中的温度和产卵数，. (1)若用线性回归方程，求关于的回归方程（精确到0.1）； (2)若用非线性回归模型求得关于回归方程为，且相关指数0.9522. （i）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好. （ii）用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）. 附：一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为；相关指数. 5．（2023·江苏镇江·三模）经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度（单位：）和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量表. 360 54.5 1360 44 384 3 588 32 6430 表中，，. (1)根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程； (2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有5个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第2课时）分层作业 题型研究 题组一　利用决定系数R2刻画回归效果 【例题1】（1）下图为根据某组成对数据绘制的散点图，根据最小二乘法得到了经验回归直线1（实线）与经验回归曲线2（虚线）如图，并分别计算了两模型的决定系数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据决定系数越大，拟合效果越好，结合图象即可判断 【详解】由图可知，模型2拟合效果更好，故. 故选：. （2）（多选）某同学研究两个变量与的关系，收集了以下5组数据： 1 2 3 4 5 1 4 1 9 10 根据上表数据，求得相关系数为，经验回归方程为，决定系数为．后经检查发现当时记录的有误，实际值应为，修正数据后，求得新相关系数为，新回归方程为，新决定系数为，则以下结论正确的是（   ） 参考公式：相关系数，经验回归方程为，其中，，． A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，求出数据修正前后的相关量，再比较大小即得. 【详解】数据修正前： ， ，， ， ，， 数据修正后： ， ，， ， ，， 因此，，，而，则，ABD正确，C错误. 故选：ABD 题组二　非线性回归分析 【例题2】（1）3．红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关.现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图.      根据收集到的数据，计算得到如下值：表中；；；； (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由； (2)根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并求温度为34℃时，产卵数y的预报值. （参考数据：，，，） 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 25 2.89 646 168 422688 48.48 70308 【答案】(1)应该选择模型①，理由见解析 (2)；250个 【分析】（1）由模型①的残差点比较均匀落在水平的带状区域以及带状区域的宽度窄，所以选择模型①比较合适； （2）令，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则，利用公式和数据求出和，则可以得到y关于温度x的回归方程，当时，可求出产卵数y的预报值. 【详解】（1）应该选择模型①. 由于模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中， 且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高， 回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适 （2）令，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则. ， 所以， 则z关于x的线性回归方程为. 于是有， 所以产卵数y关于温度x的回归方程为 当时，（个）. 所以，在气温在34℃时，一个红铃虫的产卵数的预报值为250个 （2）．年初，哈尔滨利用冰雪资源成功吸引了大批游客前来旅游.年底，第二十六届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，再次邀请广大游客共赴冰雪之约.统计年这年月份来哈尔滨的游客数量（单位：万），并绘制散点图，如图所示（年份代码对应）. (1)经计算得出下表中的数据，根据散点图，在模型①：与模型②：（均为常数）中，选择一个更适合作为每年月份来哈尔滨的游客数量关于年份代码的回归直线方程类型，并求出关于的回归直线方程. 其中，. 附：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：. (2)根据所求的回归直线方程预测年月份来哈尔滨的游客数量. 【答案】(1)选择，回归方程为 (2)万 【分析】（1）根据散点图可作出判断，令，所以，利用最小二乘法求出、的值，即可得出回归方程； （2）将代入回归方程，可得结果. 【详解】（1）由散点图可知，更适合作为每年月份来哈尔滨的游客数量关于年份代码的回归直线方程类型. 因为，所以. 因为，，，， 所以， 所以，所以回归方程为. 所以每年月份来哈尔滨的游客数量关于年份代码的回归直线方程为. （2）当时，， 所以预测年月份来哈尔滨的游客数量为万. 1、 基础达标 1．在建立两个变量的回归模型中，分别选择4个不同模型，求出它们相对应的决定系数如下表，则其中拟合效果最好的模型是（   ） 模型 1 2 3 4 0.67 0.85 0.49 0.23 A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4 【答案】B 【分析】利用决定系数的大小与拟合效果的关系判断即得. 【详解】在线性回归分析中，越大拟合效果越好，越小拟合效果越差， 而，所以模型2的拟合效果最好． 故选：B 2．若对于预报变量y与解释变量x的10组统计数据的回归模型中，计算R2=0.95，又知残差平方和为120.55，那么的值为 A．241．1 B．245．1 C．2411 D．2451 【答案】C 【详解】试题分析：设，根据条件残差平方和为，即由公式，可得. 考点：残差平方和，总偏差平方和和相关指数的关系. 3．若一函数模型为，为将转化为的经验回归方程，则需作变换等于（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】由，结合是关于的一次函数，即可确定参数. 【详解】因为是关于的经验回归方程，实际上是关于的一次函数，又， 令，可得与的函数关系式为，此时变量与变量是线性相关关系. 故选：B 4．某同学用收集到的6组数据对制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并计算得到经验回归直线的方程为，样本相关系数为，决定系数为，经过残差分析确定B为离群点，把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得到经验回归直线的方程为，样本相关系数为，决定系数为，（其中决定系数是样本相关系数的平方，即，去掉离群点B后，拟合效果更好），则以下结论正确的是（    ） A． B． C．直线恰好过点C D． 【答案】AC 【分析】由回归直线方程的概念对选项逐一判断 【详解】对于A，B，由图可知与正相关，故故A正确，B错误 对于C，由，，故回归直线过，C正确 对于D，由题意得去掉离群点B后，拟合效果更好，则，故D错误 故选：AC 5．已知回归方程，而试验得到一组数据是(2，4.9)，(3，7.1)，(4，9.1)，则残差平方和是 ． 【答案】0.03/ 【分析】由回归方程分别求出残差，从而可得残差的平方和. 【详解】解：当时，，， 当时，， 当时，， 所以， 故答案为:0.03. 6．已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数的图像附近，令，则可通过变换得到的线性回归方程为 ． 【答案】 【解析】根据已知由对数的运算求出的表达式即可得． 【详解】由，得，即． 则线性回归方程为． 7．为研究质量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据如下表所示： 5 10 15 20 25 30 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8 (1)作出散点图并求线性回归方程. (2)求出. (3)进行残差分析. 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 相关指数公式： 【答案】(1)散点图见解析，线性回归方程为 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据表格的信息画出散点图，然后利用最小二乘法计算即可； （2）利用相关指数公式计算即可； （3）对残差表进行分析即可 【详解】（1）根据所给数据，作出散点图如图所示： 由表格可得， ， ， ， 所以， ， 故所求回归直线方程为； （2）利用回归直线方程，残差表如下： 5 10 15 20 25 30 7.2 8.115 9.03 9.945 10.86 11.775 0.05 0.005 0.04 0.025 0.413 1.413 2.313 所以，， 所以 （3）由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与质量具有线性关系. 2、 能力提升 1．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x，y进行回归分析，设u= lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为=0.5v+2，则变量y的最大值的估计值是（    ） A．e B．e2 C．ln2 D．2ln2 【答案】B 【解析】将u= lny，v=(x-4)2代入线性回归方程=-0.5v+2，利用指数函数和二次函数的性质可得最大估计值. 【详解】解：将u= lny，v=(x4)2代入线性回归方程=0.5v+2得： ，即， 当时，取到最大值2， 因为在上单调递增，则取到最大值. 故选：B. 【点睛】本题考查了非线性相关的二次拟合问题，考查复合型指数函数的最值，是基础题,. 2．若一组观测值之间满足，且恒为0，则为 ;（参考公式:） 【答案】1 【分析】由恒为0，可得，再结合公式可求. 【详解】由恒为0，知恒成立，即恒成立，故. 故答案为：1 3．已知与之间的数据如下表： （1）求关于的线性回归方程； （2）完成下面的残差表： 并判断（1）中线性回归方程的回归效果是否良好（若，则认为回归效果良好）. 附：，，，. 【答案】（1）；（2）表格见解析，良好. 【分析】（1）由题意求出，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；（2）根据公式计算并填写残差表；由公式计算相关指数，结合题意得出统计结论． 【详解】（1）由已知图表可得，，，， 则，， 故. （2）∵，∴，，，，，则残差表如下表所示， ∵ ， ∴， ∴该线性回归方程的回归效果良好. 4．首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举行，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，成为共建“一带一路”的又一个重要支撑．某企业为了参加这次盛会，提升行业竞争力，加大了科技投入．该企业连续6年来的科技投入（百万元）与收益（百万元）的数据统计如下： 科技投入 2 4 6 8 10 12 收益 5.6 6.5 12.0 27.5 80.0 129.2 并根据数据绘制散点图如图所示： 根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如下表： 43.5 4.5 854.0 34.7 12730.4 70 其中，． （1）请根据表中数据，建立关于的回归方程（保留一位小数）； （2）乙认为样本点分布在二次曲线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好． 附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，相关指数：． 【答案】（1）；（2）甲建立的回归模型拟合效果更好． 【分析】（1）令，，则，根据最小二乘估计，，则，从而确定关于的回归方程即可． （2）先计算甲建立的回归模型的残差，，再计算甲模型的相关指数，与乙模型的相关指数比较大小，即可． 【详解】（1），令； 令，则． 根据最小二乘估计可知： 从而，故回归方程为，即． （2）甲建立的回归模型的残差： 5.6 6.5 12.0 27.5 80.0 129.2 4 8 16 32 64 128 1.6 -4 16 1.2 则，从而， 即甲建立的回归模型拟合效果更好． 3、 直击高考 1．（2025·河南·三模）人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，AI技术加持的电脑（以下简称AI电脑）也在全国各地逐渐热销起来.下表为市统计的2024年11月至2025年3月这5个月该市AI电脑的月销量，其中为月份代号，（单位：万台）为AI电脑的月销量. 月份 2024年11月 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 月份代号 1 2 3 4 5 月销量 0.5 0.9 1 1.2 1.4 经过分析，与线性相关，且其线性回归方程为，则2025年3月的残差为（    ）（实际值与预计值之差） A． B． C．0.02 D．0.04 【答案】B 【分析】求出样本中心点，带入回归方程求出，在求出对应的月销量预测值，结合月销量求出残差 【详解】因为， 所以，所以关于的线性回归方程为， 2025年3月对应的，故此时残差为. 故选：B. 2．（2025·贵州·模拟预测）某校研究学生每周自习时间（小时）与数学成绩（分）的关系，计算得相关系数，并建立线性回归模型，得到决定系数．对残差进行分析时，发现残差与预测值的散点图（是以预测值为横轴，残差为纵轴）呈现明显的先负后正的分布趋势，则（   ） A．，说明该模型的拟合效果较差 B．残差平方和等于0.64 C．相关系数为负，说明自习时间与成绩无关 D．残差图显示模型可能不符合线性假设，建议改用非线性模型 【答案】AD 【分析】A 根据决定系数的意义可判断；B利用可判断；C 根据相关系数正负性的意义即可判断；D若符合线性模型，则残差与预测值的散点图应该在零周围随机分布从而可判断. 【详解】决定系数的取值范围在0到1之间，其值越接近1拟合效果越好，其值远小于1，故其拟合效果较差，故A正确； 因，则，但因未给出总平方和，故无从得知残差的平方和，故B错误； 相关系数为负，说明随着自习时间的增加，数学成绩有下降趋势，但不意味着它们无关，故C错误； 若符合线性模型，则残差与预测值的散点图应该在零周围随机分布，而残差与预测值的散点图呈现先负后正的分布趋势，这表明残差不是随机分布的，而是遵循某种模式，故不符合线性回归模型，因此建议改用非线性模型，故D正确. 故选：AD 3．（23-24高二下·福建泉州·期中）下列说法中，正确的命题是（   ） A．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和． B．在线性回归模型拟合中，若相关系数的绝对值越小，则样本的线性相关性越强． C．在回归分析中，决定系数的值越大，说明残差平方和越大． D．在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程中，，则． 【答案】AD 【分析】对选项A，两边取对数，可得，即可判断A正确，对选项B，根据相关系数的性质即可判断B错误，对选项C，根据的性质即可判断C错误，对选项D，根据回归直线方程过点，即可判断D正确. 【详解】对于A，，两边取对数，可得，则， ，，，故A正确， 对于B，若越大，则样本的线性相关性越强，故B错误； 对于C，在回归分析中，相关指数越大，残差平方和越小，回归效果就越好，故C错误； 对于D，回归直线方程中，，故D正确； 故选：AD 4．（2018·广东茂名·一模）一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表： 温度 21 23 24 27 29 32 产卵数个 6 11 20 27 57 77 经计算得：线性回归模型的残差平方和，其中分别为观测数据中的温度和产卵数，. (1)若用线性回归方程，求关于的回归方程（精确到0.1）； (2)若用非线性回归模型求得关于回归方程为，且相关指数0.9522. （i）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好. （ii）用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）. 附：一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为；相关指数. 【答案】(1) (2)（i）非线性回归模型拟合效果更好；（ii）； 【分析】（1）求出、后代入公式直接计算得、，即可得解； （2）（i）求出线性回归模型的相关指数，与比较即可得解； （ii）直接把代入，计算即可得解. 【详解】（1）由题意，则，， ，， y关于x的线性回归方程为. （2）（i）对于线性回归模型，，， 相关指数为， 因为，所以用非线性回归模型拟合效果更好. （ii）当，时（个） 所以温度为时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个. 5．（2023·江苏镇江·三模）经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度（单位：）和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量表. 360 54.5 1360 44 384 3 588 32 6430 表中，，. (1)根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程； (2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有5个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 【答案】(1)适宜作为与之间的回归方程模型， (2)答案见解析，. 【分析】（1）根据散点图确定模型，代入数据计算即可； （2）确定随机变量取值，结合全概率公式计算概率，进而可求解； 【详解】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以适宜作为与之间的回归方程模型. 令，则， ， ， 所以， 所以关于的回归方程为. （2）由题意设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为，则的可能取值为，，， 设“所取两个鱼卵来自第批”， 所以， 设“所取两个鱼卵有个‘死卵’”， 由全概率公式得 ， ， ， 所以取出“死卵”个数的分布列为 0 1 2 所以， 所以取出“死卵”个数的数学期望为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$