8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第1课时）（分层作业）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第1课时）分层作业 题型研究 题组一　最小二乘法的概念及辨析 【例题1】下列说法正确的是（    ） A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1 B．经验回归方程为时，变量x和y负相关 C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 D．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据，，，，其经验回归方程必过点，则 题组二　求回归直线方程及其应用 【例题2】某研究机构对某校高二学生的记忆力和判断力进行统计分析，得到下表数据. 6 8 10 12 2 3.5 4.5 6 （1）请画出表中数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程. （最小二乘法求线性回归方程中，系数计算公式：，.） 本题已知数据：，. 题组三　计算残差及残差图分析拟合效果 【例3】（1）经验表明,树高与胸径具有线性关系,为了解回归方程的拟合效果,利用下列数据计算残差,用来绘制残差图. 胸径x/cm 18.2 19.1 22.3 24.5 26.2 树高的观测值y/m 18.9 19.4 20.8 22.8 24.8 树高的预测值 18.6 19.3 21.5 23.0 24.4 则残差的最大值和最小值分别是（   ） A．0.4,-1.8 B．1.8,-0.4 C．0.4,-0.7 D．0.7,-0.4 （2）现收集了7组观测数据.用4种模型分别进行拟合.由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到如图4幅残差图，根据残差图，拟合效果最好的模型是（    ） A．模型一 B．模型二 C．模型三 D．模型四 题组四　一元线性回归模型的实际应用 【例4】随着经济的发展某地居民收入逐年增长，下表是该地某银行连续五年的储蓄存款（年底余额）： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 储蓄存款（千亿元） 5 6 7 8 10 为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，，得到下表： 时间代号 1 2 3 4 5 0 1 2 3 5 (1)求关于的经验回归方程； (2)通过（1）中的方程，求出关于的经验回归方程； (3)用所求经验回归方程预测到2021年年底，该银行储蓄存款可达多少？ 附：对于经验回归方程，其中，． 1、 基础达标 1．在线性回归模型中，下列说法正确的是． A．y=bx+a+e是一次函数； B．因变量是由自变量唯一确定的； C．因变量除了受自变量的影响外，可能还受到其它因素的影响；这些因素会导致随机误差e的产生； D．随机误差e是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e的产生． 2．根据一组样本数据，，，，求得经验回归方程为，已知，，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 3．已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为则b的值为（   ） x 6 8 9 10 12 y 6 5 4 3 2 A．-0.6 B．-0.7 C．-0.8 D．-0.9 4．（多选）下列有关回归直线方程，叙述正确的是（　　） A．反映与之间的函数关系 B．反映与之间的函数关系 C．表示与之间不确定关系 D．表示最接近与之间真实关系的一条直线的方程 5．变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（    ）． x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A．变量x，y之间成负相关关系 B． C．可以预测当时，y约为2.6 D．由表格数据知，该线性回归直线必过点 6．某种产品的广告支出费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）的数据如下表： 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 已知关于的线性回归方程为，则当广告支出费用为5万元时，残差为（    ）万元 A．10 B．14 C．23 D．24 7．某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表： 广告费用(万元) 销售额(万元) 根据上表可得回归方程中的为，据此模型预测广告费用为万元时销售额为 万元. 8．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y(件) 90 84 83 80 75 68 （1）当时，求回归直线方程； （2）预计在今后的销售中，销量与单价服从（1）中的关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润=销售收入-成本) 2、 能力提升 1．（多选）中国雪乡哈尔滨的看雪最佳时间在11月中旬到次年的2月上旬，某旅游公司设计了一款冰雪文创产品.试营销以来，这款冰雪文创产品定价（单位：元）与销量（单位：万件）的数据如下表所示： 产品定价（单位：元） 9 9.5 10 10.5 11 销量（单位：万件） 11 10 8 6 5 则下列结论正确的是（    ） 参考公式：. 参考数据：，，，. A．产品定价的平均值是10元 B．产品定价与销量存在正相关关系 C．产品定价与销量满足一元线性回归模型 D．产品定价与销量的相关系数 2．下图是某地区年至年污染天数（单位：天）与年份的折线图，根据年至年数据，年至年的数据，年至年的数据分别建立线性回归模型，，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（多选）假设变量与变量的对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型要利用成对样本数据求参数的最小二乘估计，即求使取最小值时的的值，若某汽车品牌从2020~2024年的年销量为（万辆），其中年份对应的代码为，如表， 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万辆） 4 9 14 18 25 根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述 令变量，且变量与变量满足一元线性回归模型则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．2025年的年销售量约为34.4万辆 4．某人工智能公司从2018至2024年的利润情况如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 利润y（单位：亿元） 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)根据表中的数据，推断变量y与x之间是否线性相关．计算y与x之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度； (2)求出y关于x的经验回归方程，并预测该人工智能公司2025年的利润； 参考数据： 参考公式：对于一组数据，①相关系数为：; ②经验回归直线x的斜率和截距的最小二乘估计公式分别， 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第1课时）分层作业 题型研究 题组一　最小二乘法的概念及辨析 【例题1】下列说法正确的是（    ） A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1 B．经验回归方程为时，变量x和y负相关 C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 D．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据，，，，其经验回归方程必过点，则 【答案】BCD 【详解】对于A，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于1，故A不正确； 对于B，因为斜率小于，所以变量x和y负相关，故B正确； 对于C，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故C正确； 对于D，因为经验回归方程必过点，所以，，所以，故D正确. 故选：BCD 题组二　求回归直线方程及其应用 【例题2】某研究机构对某校高二学生的记忆力和判断力进行统计分析，得到下表数据. 6 8 10 12 2 3.5 4.5 6 （1）请画出表中数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程. （最小二乘法求线性回归方程中，系数计算公式：，.） 本题已知数据：，. 【答案】（1）见解析；（2）. 【分析】（1）由表格数据描点即可； （2）先求得,,再利用公式求解即可 【详解】（1） （2）,, 又因为,, 所以,, 所以回归方程为 题组三　计算残差及残差图分析拟合效果 【例3】（1）经验表明,树高与胸径具有线性关系,为了解回归方程的拟合效果,利用下列数据计算残差,用来绘制残差图. 胸径x/cm 18.2 19.1 22.3 24.5 26.2 树高的观测值y/m 18.9 19.4 20.8 22.8 24.8 树高的预测值 18.6 19.3 21.5 23.0 24.4 则残差的最大值和最小值分别是（   ） A．0.4,-1.8 B．1.8,-0.4 C．0.4,-0.7 D．0.7,-0.4 【答案】C 【详解】解:由表可得, 各组数据的残差为:,, ,, , 故残差最大值为0.4,最小值为-0.7. 故选:C （2）现收集了7组观测数据.用4种模型分别进行拟合.由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到如图4幅残差图，根据残差图，拟合效果最好的模型是（    ） A．模型一 B．模型二 C．模型三 D．模型四 【答案】D 【详解】当残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，拟合的精确度越好，拟合效果越好，对比四个残差图，可知模型四的图对应的带状区域的宽度最窄. 故选:D 题组四　一元线性回归模型的实际应用 【例4】随着经济的发展某地居民收入逐年增长，下表是该地某银行连续五年的储蓄存款（年底余额）： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 储蓄存款（千亿元） 5 6 7 8 10 为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，，得到下表： 时间代号 1 2 3 4 5 0 1 2 3 5 (1)求关于的经验回归方程； (2)通过（1）中的方程，求出关于的经验回归方程； (3)用所求经验回归方程预测到2021年年底，该银行储蓄存款可达多少？ 附：对于经验回归方程，其中，． 【答案】(1) (2) (3)14.4千亿元 【详解】（1）设关于的线性回归方程为， 经计算得：，， ， ， ∴，， ∴； （2）将，代入得：， 即； （3）时，（千亿元）， 预测到年年底，该银行储蓄存款额可达千亿元． 1、 基础达标 1．在线性回归模型中，下列说法正确的是． A．y=bx+a+e是一次函数； B．因变量是由自变量唯一确定的； C．因变量除了受自变量的影响外，可能还受到其它因素的影响；这些因素会导致随机误差e的产生； D．随机误差e是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e的产生． 【答案】C 【详解】线性回归模型中，方程表示的不是确定性关系，因此不是一次函数．A错误 选项B中，因变量不是由自变量唯一确定的，B错．选项D中，随机误差是不能避免的，只能将误差缩小，但是不能没有误差，因此D错． 只有选项C成立． 2．根据一组样本数据，，，，求得经验回归方程为，已知，，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】C 【详解】因为，，所以样本中心点， 因为回归方程过样本中心点，所以，解得. 故选：C. 3．已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为则b的值为（   ） x 6 8 9 10 12 y 6 5 4 3 2 A．-0.6 B．-0.7 C．-0.8 D．-0.9 【答案】B 【详解】由表可知：，， 因样本中心点必在线性回归直线上，故有， 代入得：，解得. 故选：B. 4．（多选）下列有关回归直线方程，叙述正确的是（　　） A．反映与之间的函数关系 B．反映与之间的函数关系 C．表示与之间不确定关系 D．表示最接近与之间真实关系的一条直线的方程 【答案】AD 【分析】根据回归方程的意义直接判断各个选项即可. 【详解】对于AB，表示的与之间的函数关系，并不是与之间的函数关系，A正确，B错误； 对于C，表示与之间的函数关系，为确定性关系，C错误； 对于D，用回归直线来表示最接近与之间真实关系的一条直线方程，D正确. 故选：AD. 5．变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（    ）． x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A．变量x，y之间成负相关关系 B． C．可以预测当时，y约为2.6 D．由表格数据知，该线性回归直线必过点 【答案】B 【分析】由线性回归方程，即可判断A；求出，代入回归方程解出，列方程解出，即可判断B；将时，代入线性回归方程可判断C；线性回归直线必过，可判断D. 【详解】由得，所以x，y成负相关关系，故A中说法正确； ，故，又因为，所以，解得，故B中说法错误； 当时，y的预测值为2.6，故C中说法正确； 因为故线性回归直线恒过点，而，，该线性回归直线必过点，故D中说法正确. 故选:B． 6．某种产品的广告支出费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）的数据如下表： 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 已知关于的线性回归方程为，则当广告支出费用为5万元时，残差为（    ）万元 A．10 B．14 C．23 D．24 【答案】A 【详解】，，带入线性回归方程，得，将代入回归直线方程，，残差为万元. 故选：A. 7．某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表： 广告费用(万元) 销售额(万元) 根据上表可得回归方程中的为，据此模型预测广告费用为万元时销售额为 万元. 【答案】 【详解】解：由题意可知，. 因为回归方程中的为， 所以，则. 所以回归方程为. 当时，. 所以广告费用为万元时销售额为万元. 故答案为：. 8．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y(件) 90 84 83 80 75 68 （1）当时，求回归直线方程； （2）预计在今后的销售中，销量与单价服从（1）中的关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润=销售收入-成本) 【答案】（1）；（2）应定为元. 【详解】（1）根据表中数据，计算， ， 且， ∴， ∴y关于x的线性回归方程为. （2）设工厂获得的利润为L元， 则， 则该产品的单价应定为元时，工厂获得的利润最大. 2、 能力提升 1．（多选）中国雪乡哈尔滨的看雪最佳时间在11月中旬到次年的2月上旬，某旅游公司设计了一款冰雪文创产品.试营销以来，这款冰雪文创产品定价（单位：元）与销量（单位：万件）的数据如下表所示： 产品定价（单位：元） 9 9.5 10 10.5 11 销量（单位：万件） 11 10 8 6 5 则下列结论正确的是（    ） 参考公式：. 参考数据：，，，. A．产品定价的平均值是10元 B．产品定价与销量存在正相关关系 C．产品定价与销量满足一元线性回归模型 D．产品定价与销量的相关系数 【答案】ACD 【分析】计算出可得A；计算出后可得B、C、D. 【详解】由题可得，故A正确； 而. 由于与的相关系数近似为，故与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与的关系，同时，与为负相关，故B错误，C、D正确. 故选：ACD. 2．下图是某地区年至年污染天数（单位：天）与年份的折线图，根据年至年数据，年至年的数据，年至年的数据分别建立线性回归模型，，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】由图象可知，回归直线应分布在散点图的附近，由和的几何意义直接判断选项. 【详解】由图象可知，回归直线应分布在散点图的附近，2010至2014年，随的增加，平缓的下降，2015年到2019年随着的增加，下降迅速，根据回归直线方程中的几何意义可知，，由点的分布可知，，所以 ， 根据散点图可知. 故选：C 3．（多选）假设变量与变量的对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型要利用成对样本数据求参数的最小二乘估计，即求使取最小值时的的值，若某汽车品牌从2020~2024年的年销量为（万辆），其中年份对应的代码为，如表， 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万辆） 4 9 14 18 25 根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述 令变量，且变量与变量满足一元线性回归模型则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．2025年的年销售量约为34.4万辆 【答案】AC 【分析】利用线性回归方程待定系数公式，再由变量的线性代换关系进行计算，最后恒过样本点，就可得到线性回归方程. 【详解】由可得：， 同理由，可得， 根据公式，故A正确；B错误； 由表格中数据可得：， ， ， 所以， 由于，所以与的回归方程必过原点，， 又由于，代入得： ，整理得：，故C正确； 当，即表示2025年，此时， 所以2025年的年销售量约为万辆，故D错误； 故选：AC. 4．某人工智能公司从2018至2024年的利润情况如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 利润y（单位：亿元） 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)根据表中的数据，推断变量y与x之间是否线性相关．计算y与x之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度； (2)求出y关于x的经验回归方程，并预测该人工智能公司2025年的利润； 参考数据： 参考公式：对于一组数据，①相关系数为：; ②经验回归直线x的斜率和截距的最小二乘估计公式分别， 【答案】(1)y与x线性相关，，相关程度很强 (2)，6.3亿元 【分析】（1）用题目给的、、的值代入算 r ，再依据 r 的值和正负判断变量关系． （2）把已知的和的值代入计算，得到涉及的系数，进而得到方程．再 把给定 x 值代入回归方程算出 y 值． 【详解】（1）由题设，易知y与x线性相关，且， ， 由于，可以推断变量y与x成正线性相关且相关程度很强． （2）由题设，，， 所以，因此y关于x的回归方程为， 当时，，即预测该人工智能公司2025的利润为6.3亿元． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$