8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第2课时）（教学设计）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第2课时）

教学设计

一、教学目标

1. 进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用相关统计软件.
2. 了解非线性回归模型.
3. 会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果.

二、教学重难点

重点：（1）进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用相关统计软件；

（2）会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果

难点：了解非线性回归模型．

三、学情分析与教材分析

1. 学情分析：

学生已经具备了一定的数学基础，包括概率论的基本概念、离散型随机变量的分布以及初步的统计分析能力.他们之前已经学习了一元线性回归模型的基本概念，理解了模型参数的统计意义，并掌握了如何通过散点图判断两个变量之间的线性相关关系.

然而，学生在面对具体的一元线性回归模型参数估计时，可能会遇到一些挑战.一方面，最小二乘估计的原理和计算过程相对复杂，需要学生具备较强的数学运算能力和逻辑推理能力.另一方面，学生可能难以将理论知识与实际应用相结合，不知道如何运用最小二乘法解决实际问题.

针对这些学情特点，教师在教学过程中应注重以下几点：一是通过实例引入，帮助学生直观理解最小二乘估计的原理和计算过程；二是结合实际问题，引导学生运用所学知识进行模型构建和分析；三是注重课堂互动，鼓励学生积极参与讨论和提问，以提高他们的学习兴趣和动力.同时，教师还应关注学生的个体差异，针对不同层次的学生给予个性化指导，确保每位学生都能跟上教学进度，并能在实践中灵活运用所学知识.

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2. 教材分析：

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》第八章《成对数据的统计分析》，

本节课主要学习《一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第2课时）》.

本节内容在一元线性回归模型的基础上，深入探讨了如何通过最小二乘法估计模型参数，旨在提升学生的数据处理与分析能力.

教材首先通过回顾一元线性回归模型的基本概念，引导学生理解模型参数（截距和斜率）的统计意义.随后，教材详细介绍了最小二乘法的原理，即通过最小化误差平方和来找到最佳拟合直线，这一方法体现了统计思想中的优化原则.

在内容编排上，教材注重理论与实践的结合.通过具体案例，教材展示了如何利用最小二乘法进行参数估计，并强调了这一方法在实际问题中的应用价值.同时，教材还通过残差分析等手段，帮助学生评估模型的拟合效果，进一步加深对最小二乘法的理解.

此外，教材还注重培养学生的数学核心素养，如数据分析、逻辑推理和数学建模等.通过本节课的学习，学生不仅能够掌握最小二乘估计的方法，还能提升从数据中提取信息、建立模型并进行预测的能力，为后续学习更复杂的统计模型打下坚实的基础.

总体而言，本节教材内容设计合理，逻辑清晰，既注重理论知识的讲解，又强调实践应用的培养，有助于提升学生的数学素养和解决实际问题的能力.

四、教学过程

1．复习回顾，引入新知

1. 经验回归方程：

我们将称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.  这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法.

2. 最小二乘估计：经验回归方程中的参数计算公式为：

2．探究新知

例题：经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高，在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据（表8.2-3），试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程．

师生：共同分析，因为要由胸径预测树高，所以要以成对样本数据的胸径为横坐标、树高为纵坐标描出散点，进而得到散点图，再根据散点图推断树高与胸径是否线性相关．如果是，再利用公式(2)计算出，即可．

要求：以胸径为横坐标、树高为纵坐标，画出散点图

学生：根据表格数据，画出散点图

预设：

要求：用d表示胸径，表示树高，借助计算器，利用最小二乘法，计算出经验回归方程

学生：根据上节课所学内容， 求得经验回归方程：，相应的经验回归直线如下图所示

要求：根据经验回归方程，借助计算器，由胸径的数据可以计算出树高的预测值（精确到0.1）以及相应的残差，列出表格.

学生：按要求完成表格；

预设：