8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第1课时）（教学设计）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第1课时）

教学设计

一、教学目标

1. 结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义；
2. 了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法；
3. 针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．

二、教学重难点

重点：了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法；

难点：针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．

三、学情分析与教材分析

1. 学情分析：

首先，学生在此之前已经学习了成对数据的统计相关性，包括散点图的绘制、样本相关系数的计算等，对两个变量之间的相关关系有了初步的认识.然而，对于如何根据这些相关性数据建立数学模型，特别是如何估计一元线性回归模型中的参数，学生可能还缺乏深入的理解和实践经验.因此，本节课的学习对学生来说既是一个挑战，也是一个深化理解的好机会.

其次，考虑到学生的数学基础和学习能力存在差异，部分学生可能对最小二乘法的原理和应用感到陌生或难以理解.这就要求教师在教学过程中注重因材施教，通过具体的案例和生动的讲解，帮助学生逐步掌握最小二乘法的核心思想和方法.同时，教师还可以利用信息技术手段，如数据分析和可视化软件，辅助学生进行实践操作，加深对最小二乘法的理解.

最后，从学习兴趣和动机的角度来看，学生可能对将数学知识应用于实际问题感兴趣.因此，教师在教学过程中可以结合生活中的实际案例，如经济增长与消费支出的关系、身高与体重的关系等，引导学生运用最小二乘法进行数据分析，从而激发学生的学习兴趣和动机.同时，通过解决实际问题，学生也能更加深刻地体会到数学知识的实用性和价值.

2. 教材分析：

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》第八章《成对数据的统计分析》，本节课主要学习《一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第1课时）》.

本节教材在内容上紧密衔接了前面所学的成对数据的统计相关性，通过引入一元线性回归模型，进一步探讨了两个变量之间线性关系的量化描述.教材首先明确了最小二乘法的原理，即通过最小化观测值与预测值之间差的平方和来估计模型参数，这一方法既科学又实用.

在呈现方式上，教材采用了探究式的栏目设计，引导学生通过实际案例和数据分析，自主探索和理解最小二乘法的应用.这种设计不仅有助于激发学生的学习兴趣，还能培养他们的数据分析能力和逻辑推理能力.

此外，教材还注重了数学思想的渗透，通过最小二乘法的介绍，让学生体会到数学模型在解决实际问题中的重要性，以及如何通过优化方法来求解模型参数.这种数学思想的渗透对于学生后续学习更复杂的统计模型和数据分析方法具有重要意义.

总体来看，本节教材在内容设计、呈现方式和数学思想渗透上都做得相当出色，既符合学生的认知规律，又有助于培养他们的数学素养和实际应用能力.

四、教学过程

1．复习回顾，引入新知

一元线性回归模型：

Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量，e是Y与bx+a之间的随机误差，a称为截距参数，b称为斜率参数.

 

2．探究新知

引言：在一元线性回归模型中，表达式Y=bx+a+e刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，需要根据成对样本数据进行估计. 

  由模型的建立过程可知，参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系，因此通过成对样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近.

探究：利用散点图找出一条直线，使各散点在整体上与此直线尽可能接近.

 

师生：教师引导，学生小组讨论，尝试着开始画.

预设：方法一：采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置.  然后测量出此时的斜率和截距，就可得到一 条直线，如下图所示.

方法二：在图中选择这样的两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同，把这条直线作为所求直线，如下图所示.

方法三：在散点图中多取几对点，确定出几条直线的方程，再分别求出这些直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为所求直线的斜率和截距，如下图所示.

教师：上面这些方法虽然有一定的道理，但比较难操作，我们需要考虑其他可行方法.

任务:  从成对样本数据出发，用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”.

师生：共同讨论，尝试着如何完成以上任务.

预设：通常，我们会想到利用点到直线y=bx+a的“距离”来刻画散点与该直线的接近程度，然后用所有“距离”之和刻画所有样本观测数据与该直线的接近程度.然后用所有“距离”之和刻画所有样本观测数据与该直线的接近程度我们设满足一元线性回归模型的两个变量的对样本数据为，，…，，由，得．显然越小，表示点与点的“距离”越小，即样本数据点离直线的竖直距离越小，如图8.2-5所示．特别地，时，表示点在这条直线上．