第十章 事件的独立性（特色专题卷）-2024-2025学年高一数学特色专题卷（人教A版2019必修第二册）

第十章 事件的独立性 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高一下·河南新乡·期末）从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，现有如下说法：①至少有一个黑球与都是黑球是互斥而不对立的事件；②至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件；③恰好有一个黑球与恰好有两个黑球是互斥而不对立的事件；④至少有一个黑球与都是红球是对立事件.在上述说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用互斥事件和对立事件的定义逐个判断即可 【详解】①“至少有一个 黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误. ②“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故正确. ③“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确. ④“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故正确.上述说法中，正确的个数为3. 故选：C 【点睛】此题考查互斥事件和对立事件的判断，属于基础题 2．（2025高二下·全国·专题练习）掷一枚骰子一次，设事件：“出现偶数点”，事件：“出现3点或6点”，则事件，的关系是 A．互斥但不相互独立 B．相互独立但不互斥 C．互斥且相互独立 D．既不相互独立也不互斥 【答案】B 【详解】事件，事件，事件，基本事件空间，所以，，，即，因此，事件与相互独立．当“出现6点”时，事件，同时发生，所以，不是互斥事件．故选B． 3．（2025·河南洛阳·一模）多年来，网络春晚一直致力于为本土市民“圆春晚梦”，得到了广大市民的认可．某市2023年网络春晚海选如期举行，该活动总共分为海选、复赛、决赛三个阶段，参赛选手通过决赛后将参加该市2023年网络春晚．已知甲、乙、丙三人组成一个小组，假设在每一轮比赛中，甲、乙、丙通过的概率依次为，，，假设他们之间通过与否互不影响，则该小组三人同时进入决赛的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相互独立事件的乘法公式即可求得答案. 【详解】设该小组三人能同时进入决赛为事件A， 则该小组三人能同时进入决赛即前两轮比赛三人都顺利通过， 则, 故选：A． 4．（24-25高二上·湖北武汉·期末）下列给出的命题中，错误的命题有（    ）个 ①互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件； ②事件与事件中至少有一个发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率大； ③若，，则事件，相互独立与，互斥可以同时成立； ④对于事件，，，若成立，则，，两两独立. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据互斥事件，对立事件，独立事件的定义以及关系，依次判断选项. 【详解】①根据互斥事件与对立事件的定义可知，正确； ②当是对立事件时，事件A与事件中至少有一个发生的概率和A与中恰有一个发生的概率相等，故错误； ③若A，互斥，结合，，则， 则A，不相互独立，故错误； ④对于事件A，，，若，，，以及成立，则A，，两两独立，缺一不可，故错误. 故选：C 5．（24-25高二上·湖北荆州·期中）先后抛掷两枚骰子，甲表示事件“第一次掷出正面向上的点数是1”，乙表示事件“第二次掷出正面向上的点数是2”，丙表示事件“两次掷出的点数之和是7”，丁表示事件“两次掷出的点数之和是8”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丁相互独立 D．丙与丁相互独立 【答案】A 【分析】根据事件独立性的定义：判断各选项的正误. 【详解】丙事件的{第一次,第二次}点数组合为，则丙； 丁事件的{第一次,第二次}点数组合为，则丁； 甲乙； ∴1、甲丙甲丙，故甲与丙相互独立. 2、甲丁甲丁，故甲与丙不相互独立. 3、乙丁乙丁，故乙与丁不相互独立； 4、显然，丙与丁为互斥事件，丙丁丙丁，故不相互独立. 故选：A 6．（2025高一·全国·课后作业）下列事件A，B是相互独立事件的是（    ） A．一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面” B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B表示“出现点数为偶数” D．A表示“一个灯泡能用1000小时”，B表示“一个灯泡能用2000小时” 【答案】A 【分析】结合独立事件、互斥事件和条件概率事件的概念即可. 【详解】A：一枚硬币抛两次，A表示“第一次为正面”， B表示“第二次为反面”， ， 故事件A、B是相互独立事件； B：袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两次， A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”， 表示“第一次摸到白球,第二次摸到白球”事件， 则， ，故事件A、B不是相互独立事件； C：掷一枚骰子，A表示“出现的点数为奇数”， B表示“出现的点数为偶数”，故事件A、B是互斥事件， ，故事件A、B不是相互独立事件； D：A表示“一个灯泡能用1000小时”， B表示“一个灯泡能用2000小时”，是条件概率. 故选：A. 【点睛】判断独立事件常用的方法： 定义法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的公式法：若对两事件A，B有P(AB)=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立. 7．（24-25高三·上海·随堂练习）某中学高一年级和高二年级进行篮球比赛，赛制为局胜制，若比赛没有平局，且高二队每局获胜的概率都是，记比赛的最终局数为随机变量，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和的实际意义求解概率即可. 【详解】因为赛制为局胜制，且比赛没有平局，因此随机变量的可能值为或， “”代表的情况有：①高一队连胜局，②高二队连胜局， 所以， 故A错误，C正确； “”代表的情况有：①高一队负胜胜、胜负胜，②高二队负胜胜、胜负胜， 所以， 故B、D错误． 故选：C. 8．（24-25高二上·山西·开学考试）小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为，，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，先求的有关值，再求对应事件的概率. 【详解】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立， 且. 恰好能答对两道题为事件，且两两互斥， 所以 ， 整理得，他三道题都答错为事件， 故. 故选：C. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高二上·湖北·期中）已知事件，满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 【答案】BCD 【分析】根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式判断各选项. 【详解】A选项：当与相互独立时，，A选项错误； B选项：若，则，B选项正确； C选项：与互斥，那么，C选项正确； D选项：如果与相互独立，那么，D选项正确； 故选：BCD. 10．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．丙与丁相互独立 D．乙与丙不相互独立 【答案】BD 【分析】计算各事件概率，再根据独立事件概率的关系依次判断每个选项得到答案. 【详解】两次取出的球的数字之和为8，有共5种情况， 所以；两次取出的球的数字之和为7，有共6种情况， 所以；； 对于A，，故甲与丙不相互独立，错误； 对于B，，故甲与丁相互独立，正确； 对于C，，故丙与丁不相互独立，错误. 对于D，，故乙与丙不相互独立，正确； 故选：BD. 11．（24-25高一下·湖南·期末）下列关于概率的命题，正确的有（    ） A．若事件满足，则为对立事件 B．若事件A，B满足，则A，B相互独立 C．若对于事件，则两两独立 D．若对于事件与相互独立，且，则 【答案】BD 【分析】A.举例说明；B.根据是判断A，B是否相互独立的条件判断； C. 由两两独立，则AB，AC，BC相互独立判断； D.根据独立事件和互斥事件的概率求法判断. 【详解】A.因为，是为对立事件的必要条件，不是充分条件，如单位圆的一条直径把圆分成两部分，即区域M和区域N（不包括边界），向这两个区域投一枚绣花针，如针尖落在区域M内记为事件A，针尖落在区域N内记为事件B，满足，但不是对立事件，因为针尖还有可能落在直径上，故错误； B. 若，则A，B相互独立，故正确； C. 若两两独立，则，，故错误； D.若事件与相互独立，则，，故正确； 故选：BD 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高一下·贵州黔西·期末）已知A，B两个事件相互独立，且，，则 ． 【答案】0.28 【分析】根据相互独立事件的定义计算即可. 【详解】因为相互独立， 所以. 故答案为：. 13．（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）甲、乙两人进行羽毛球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设甲在第一、第二、第三局比赛中获胜的概率分别为，，，则甲恰好连胜两局的概率为 . 【答案】 【分析】甲恰好连胜两局有两种不同的情况，根据独立事件概率乘法公式可计算每种情况的概率，加和即为所求结果. 【详解】甲恰好连胜两局有：前两局获胜，第三局失利和第一局失利，后两局获胜两种情况， 甲恰好连胜两局的概率. 故答案为：. 14．（24-25高一上·山西朔州·期末）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为 . ①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤. 【答案】①④ 【分析】在①中，由对立事件定义得与为对立事件；有②中，与有可能同时发生；在③中，与有可能同时发生；在④中，（C）（E）；在⑤中，从而（B）（C）． 【详解】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球， 事件 “取出的两球同色”， “取出的2球中至少有一个黄球”， “取出的2球至少有一个白球”， “取出的两球不同色”， “取出的2球中至多有一个白球”， ①，由对立事件定义得与为对立事件，故①正确； ②，与有可能同时发生，故与不是互斥事件，故②错误； ③，与有可能同时发生，不是对立事件，故③错误； ④，（C），（E），， 从而（C）（E），故④正确； ⑤，，从而（B）（C），故⑤错误． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，考查对立互斥事件，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件等基本概念的合理运用． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高二上·上海虹口·期末）在高中学生军训表演中，学生甲的命中率为0.4，学生乙的命中率为0.3，甲乙两人的击互不影响，求： (1)甲乙同时射中目标的概率； (2)甲乙中至少有一人击中目标的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出相应的事件，找出对应事件的概率，利用相互独立事件的概率求解即可， （2）利用对立事件性质求解即可. 【详解】（1）设“甲击中目标”为事件，“乙击中目标”为事件， 则，且事件，相互独立， 所以甲乙同时射中目标的概率为. （2）设“甲乙中至少有一人击中目标”为事件， 则它的对立事件为“甲乙都没有击中目标”记为：， 则. 16．（24-25高二上·贵州黔东南·期末）小明和小亮玩“掷骰子”的游戏，骰子的6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.每次由小明､小亮各掷一次骰子，得到点数分别为x，y，若xy为偶数，则算小明胜；否则算小亮胜. （1）若以A表示的事件，求； （2）现连玩三次“掷骰子”的游戏，以B表示“小明至多胜一次”的事件，C表示“小亮至少胜两次”的事件，试问B与C是否为互斥事件或对立事件？为什么？ （3）这种游戏规则公平吗？试说明理由. 【答案】（1）；（2）B与C不是互斥事件，也不是对立事件．理由见解析；（3）这种游戏规则不公平，理由见解析. 【解析】（1）运用列举法，列出事件数，由古典概率公式可得答案； （2） “小明至多胜一次”的事件包括“小明胜一次”，“小明一次都不胜”，相对应的是“小亮胜二次”，“小亮胜三次”也即是“小亮至少胜两次”的事件，由此可判断； （3）分别求小亮获胜的概率，小明获胜的概率，比较大小可判断得结论. 【详解】（1）基本事件总数为个，而有，所以； （2） “小明至多胜一次”的事件包括“小明胜一次”，“小明一次都不胜”，相对应的是“小亮胜二次”，“小亮胜三次”也即是“小亮至少胜两次”的事件，所以事件B与C同时发生，B与C不是互斥事件，也不是对立事件． （3）这种游戏规则不公平，理由如下： xy为奇数的情况有， 所以小亮获胜的概率为：，小明获胜的概率为：，且，所以这种游戏规则不公平. 【点睛】关键点点睛：判断游戏是否公平，关键在于看规定的事件发生的概率是否相等，这是设计公平游戏的基础． 17．（24-25高二上·福建漳州·期中）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示． 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%． （1）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值； （2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2 min的概率． （注：将频率视为概率） 【答案】（1）1．9；（2） 【详解】试题分析：（Ⅰ）由已知得25+y+10=55，x+30=45，故可确定，y的值，进而可求顾客一次购物的结算时间的平均值；（Ⅱ）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟；A1：该顾客一次购物的结算时间为1分钟；A2：该顾客一次购物的结算时间为1．5分钟；A3：该顾客一次购物的结算时间为2分钟；将频率视为概率求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式即可得到结论 试题解析：（1）由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20． 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为 ＝1．9 （min）． （2）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2 min”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1 min”，“该顾客一次购物的结算时间为1．5 min”，“该顾客一次购物的结算时间为2 min”． 将频率视为概率得P（A1）＝＝，P（A2）＝＝，P（A3）＝＝． 因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件， 所以P（A）＝P（A1∪A2∪A3）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＝． 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2 min的概率为． 考点：1．概率的应用；2．众数、中位数、平均数 18．（24-25高二上·上海静安·期末）如图所示为两点间的电路，在时间内不同元件发生故障的事件是相互独立的，他们发生故障的概率如下表所示: 元件 概率 0.6 0.5 0.4 0.5 0.7 (1)求在时间内，与同时发生故障的概率； (2)求在时间内，，至少一个发生故障的概率； (3)求在时间内，电路不通的概率. 【答案】(1)0.3 (2)0.8 (3)0.828 【分析】（1）设表示发生故障，利用相互独立事件概率乘法公式能求出单位时间内，与同时发生故障的概率； （2）利用互斥事件概率计算公式能求出在时间内，由于与至少一个发生故障的概率； （3）设表示,2,发生故障，利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果． 【详解】（1）解：设表示发生故障，则， 在时间内与同时发生故障的概率； （2）解：在时间内，与至少一个发生故障的概率 ； （3）解：设表示发生故障，则， 在时间内，电路不通的概率 . 19．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）为了备战2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会），中国射击队甲、乙两名运动员展开队内对抗赛.甲、乙两名运动员对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响.已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为. (1)求甲两次都没有击中目标的概率； (2)在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设甲第一次击中目标为事件，甲第二次击中目标为事件，结合独立事件乘法公式，求出事件概率即可得到答案； （2）设乙第一次击中目标为事件，乙第二次击中目标为事件，结合独立事件乘法公式，求出事件的概率即可， 【详解】（1）设甲第一次击中目标为事件，甲第二次击中目标为事件， 则. 因为事件“甲两次都没有击中目标”即为事件， 则所求的概率为. （2）设乙第一次击中目标为事件，乙第二次击中目标为事件， 则. 所以事件“四次射击中，甲、乙恰好各击中一次目标”表示为， 所以所求的概率为 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 事件的独立性 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高一下·河南新乡·期末）从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，现有如下说法：①至少有一个黑球与都是黑球是互斥而不对立的事件；②至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件；③恰好有一个黑球与恰好有两个黑球是互斥而不对立的事件；④至少有一个黑球与都是红球是对立事件.在上述说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025高二下·全国·专题练习）掷一枚骰子一次，设事件：“出现偶数点”，事件：“出现3点或6点”，则事件，的关系是 A．互斥但不相互独立 B．相互独立但不互斥 C．互斥且相互独立 D．既不相互独立也不互斥 3．（2025·河南洛阳·一模）多年来，网络春晚一直致力于为本土市民“圆春晚梦”，得到了广大市民的认可．某市2023年网络春晚海选如期举行，该活动总共分为海选、复赛、决赛三个阶段，参赛选手通过决赛后将参加该市2023年网络春晚．已知甲、乙、丙三人组成一个小组，假设在每一轮比赛中，甲、乙、丙通过的概率依次为，，，假设他们之间通过与否互不影响，则该小组三人同时进入决赛的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·湖北武汉·期末）下列给出的命题中，错误的命题有（    ）个 ①互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件； ②事件与事件中至少有一个发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率大； ③若，，则事件，相互独立与，互斥可以同时成立； ④对于事件，，，若成立，则，，两两独立. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25高二上·湖北荆州·期中）先后抛掷两枚骰子，甲表示事件“第一次掷出正面向上的点数是1”，乙表示事件“第二次掷出正面向上的点数是2”，丙表示事件“两次掷出的点数之和是7”，丁表示事件“两次掷出的点数之和是8”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丁相互独立 D．丙与丁相互独立 6．（2025高一·全国·课后作业）下列事件A，B是相互独立事件的是（    ） A．一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面” B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B表示“出现点数为偶数” D．A表示“一个灯泡能用1000小时”，B表示“一个灯泡能用2000小时” 7．（24-25高三·上海·随堂练习）某中学高一年级和高二年级进行篮球比赛，赛制为局胜制，若比赛没有平局，且高二队每局获胜的概率都是，记比赛的最终局数为随机变量，则（    ）． A． B． C． D． 8．（24-25高二上·山西·开学考试）小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为，，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高二上·湖北·期中）已知事件，满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 10．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．丙与丁相互独立 D．乙与丙不相互独立 11．（24-25高一下·湖南·期末）下列关于概率的命题，正确的有（    ） A．若事件满足，则为对立事件 B．若事件A，B满足，则A，B相互独立 C．若对于事件，则两两独立 D．若对于事件与相互独立，且，则 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高一下·贵州黔西·期末）已知A，B两个事件相互独立，且，，则 ． 13．（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）甲、乙两人进行羽毛球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设甲在第一、第二、第三局比赛中获胜的概率分别为，，，则甲恰好连胜两局的概率为 . 14．（24-25高一上·山西朔州·期末）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为 . ①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高二上·上海虹口·期末）在高中学生军训表演中，学生甲的命中率为0.4，学生乙的命中率为0.3，甲乙两人的击互不影响，求： (1)甲乙同时射中目标的概率； (2)甲乙中至少有一人击中目标的概率. 16．（24-25高二上·贵州黔东南·期末）小明和小亮玩“掷骰子”的游戏，骰子的6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.每次由小明､小亮各掷一次骰子，得到点数分别为x，y，若xy为偶数，则算小明胜；否则算小亮胜. （1）若以A表示的事件，求； （2）现连玩三次“掷骰子”的游戏，以B表示“小明至多胜一次”的事件，C表示“小亮至少胜两次”的事件，试问B与C是否为互斥事件或对立事件？为什么？ （3）这种游戏规则公平吗？试说明理由. 17．（24-25高二上·福建漳州·期中）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示． 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%． （1）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值； （2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2 min的概率． （注：将频率视为概率） 18．（24-25高二上·上海静安·期末）如图所示为两点间的电路，在时间内不同元件发生故障的事件是相互独立的，他们发生故障的概率如下表所示: 元件 概率 0.6 0.5 0.4 0.5 0.7 (1)求在时间内，与同时发生故障的概率； (2)求在时间内，，至少一个发生故障的概率； (3)求在时间内，电路不通的概率. 19．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）为了备战2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会），中国射击队甲、乙两名运动员展开队内对抗赛.甲、乙两名运动员对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响.已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为. (1)求甲两次都没有击中目标的概率； (2)在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$